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1第七届全国大学生数学竞赛决赛试题解答(非数学类,2016年3月福州)一、填空题(本题30分,每小题6分)y=c2(4)f(λ1)f(λ2)···f(λn);(5)π.二、(本题14分)证明记则取曲面的法向量n=((z—c)f1,(z—c)f2,—(x—a)f1—(y—b)f2).记(x,y,z)为曲面上的点,(X,Y,Z)为切平面上的点,则曲面上过点(x,y,z)的切平面方程为[(zc)f1](Xx)+[(zc)f2](Yy)[(xa)f1+(yb)f2](Zz)=0.容易验证,对于任意(x,y,z)(zc),(X,Y,Z)=(a,b,c)都满足切平面方程.结论得证.三、(本题14分)证明由f(x)在[a,b]上连续知f(x)在[a,b]上可积.令F(x)=f(t)dt,则FI(x)=—f(x).由此2四、(本题14分)证明我们要证明且(n),(—Ep),(p—q)可逆,所以五、(本题14分)解(1)In+In-2(2)由于0,所以0<tanx<1,tann+2x<tannx<tann-2x.从而In+2<In<In-2,于是In+2+In<2In<In-2+In.故<In< 知绝对收敛.当0<p≤1时,由于{I}单调减少并趋于0,由Leibniz判别法知,收敛.而I发散,所以3知发散.六、(本题14分)证明记上半球面S的底平面为D,方向向下,S和D围成的区域为Ω.由于σDPdydz+Rdxdy=—σDRdσ和题设条件,其中dσ是xy平面上的面积微元,我们得到注意到上式对任何r>0成立,我们由此证明R(x0,y0,z0)=0.若不然,设R(x0,y0,z0)0.注意到σDRdσ=R(ξ,ζ,z0)πr2,这里(ξ,ζ,z0)∈D.而当r→0+,R(ξ,ζ,z0)→R(x0,y0,z0),故(*)式左端为一个2阶的无穷小.类似地,当0,ⅢΩ是一个3阶无穷而当该积分趋于零的阶高于3.故(*)式右端阶高于左端.从而当r很小时这与(*)式矛盾.由于在任何点处,R(x0,y0

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