第2届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案（非数学类）

1第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准(非数学类，2010)一(本题共5小题，每小题5分，共25分)、计算下列各题(要求写出重要步骤).(1)设x,=(1+a)·(1+a²)…(1+a²"),解将x,恒等变形(2)求解(3)设s>0,求解因为s>0时，,所以，2(4)设函数f(t)有二阶连续的导数，r=√x²+y²,,求(5)求直：与直线l₂的距离.解直线l₁的对称式方程为记两直线的方向向量分别为Z=(1,1,0),T₂=(4,-2,-1),两直线上的定点分别为P(0,0,0)和P₂(2,1,3),a=PP₂=(2,1,3).Z×Z₂=(-1,1,-6).由向量的性质可知，两直线的距离二(本题共15分)、设函数f(x)在(-0,+)上具有二阶导数，并且f"(x)>0,,且存在一点x。,使得f(x₀)<0.证明：方程f(x)=0在(-0,+0)恰有两个实根.证1.由必有一个充分大的a>x。,使得f'(a)>0.f"(x)>0知y=f(x)是凹函数，从而f(x)>f(a)+f'(a)(x-a)(x>a)当x→+0时，f(+0)+f'(a)(x-a)→+00.故存在b>a,使得f(b)>f(a)+f'(a)(b-a)>03同样，由,必有c<x₀,使得f'(c)<0.f"(x)>0知y=f(x)是凹函数，从而f(x)>f(c)+f'(c)(x-c)(x<c)当x→-时，f(-o)+f'(c)(x-c)→+00.f(d)>f(c)+f'(c)(d-c)>0下面证明方程f(x)=0在(-0,+o)只有两个实根.用反证法.假设方程f(x)=0在(-0,+0)内有三个实根，不妨设为x₁,x₂,x₃,且x₁<x₂<x₃.对f(x)在区间[x₁,x₂]和[x₂,x₃]上分别应用洛尔定理，则各至少存在一点ξ(x₁<ξ<x₂)和ξ₂(x₂<Š₂<x₃),使得f(ξ)=f(S₂)=0.再将f(x)在区间[S,S₂]上使用洛尔定理，则至少存在一点η(G<η<ξ₂),使f"(η)=0.此与条件f"(x)>0矛盾.从而方程f(x)=0在(-0,+0)不能多于两个根.…(15分)证2.先证方程f(x)=0至少有两个实根.由,必有一个充分大的a>x。,使得f'(a)>0.拉格朗日中值定理，对于x>a有f(x)-[f(a)+f'(a)(x-a)]=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)]=f'(ξ)(x-a)-f'(a)(x-a)=[f'(ξ)-f'(a)](x-a)其中a<ξ<x,a<η<x.注意到f"(η)>0(因为f"(x)>0),则4又因f'(a)>0,故存在b>a,使得f(b)>f(a)+f'(a)(b-a)>0………………(6分)下面证明方程f(x)=0在(-00,+)只有两个实根.(以下同证1)……(15分)三(本题共15分)、设函数y=f(x)由参数方程(t>-1)所确定.且 处相切.求函数y(t).…………(3分)…………(9分)5所以,知四(本题共15分)、设a>0,,证明：(1)当α>1时，级数收敛；(2)当α≤1,且S,→0(n→)时，级发散.证明令f(x)=x¹-",x∈[S,1,S,].将f(x)在区间[S,|,S,]上用拉格朗日中值定..显然的(2)当α=1时，因为a,>0,S,单调递增，所以因为S,→+00对任意n,当p∈N,从而.所以级数6五(本题共15分)、设1是过原点，方向为(a,β,γ)(其中α²+β²+γ²=1)的直线，均匀椭(其中0<c<b<a,密度为1)绕1旋转.(1)求其转动惯量；(2)求其转动惯量关于方向(a,β,γ)的最大值和最小值.为r,则点P到旋转轴l的距离的平方为d²=r²-(r.1)²=(1-α²)x²+(1-β²)y²+(1-γ²)z²-2a由积分区域的对称性可知………………(2分)……………由转到惯量的定义(2)考虑目标函数V(a,β,γ)=(1-α²)a²+(1-β²)b²+(1-γ²)c²在约束a²+β²+γ²=1下的条件极值.设拉格朗日函数为L(α,β,y,A)=(1-α²)a²+(1-β²)b²+(1-γ²)c²+λ(α²+β²+γ²-1)令L=2a(A-a²)=0,Lg=2β(A-b²)=0,L=2γ(A-c²)=0,L=a²+β²+γ²-1=07比较可知，绕z轴(短轴)的转动惯量