第5届全国大学生数学竞赛决赛数学类三、四年级真题

第五届中国大学生数学竞赛决赛三四年级试卷(数学类2014年3月,Æ考试形式闭卷考试时间180分钟满分100分Æ姓名准考证号所在姓名准考证号所在院校考生座位号专业总分题号四二满分2015151001515得分20满分2015151001515得分注意1.前4题是必答题再从5{11题中任选两题题号要填如上面的表中2.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边写在其它纸上一律无效3.密封线左边请勿答题密封线外不得有姓名及相关标记密封线答题时不要超过此线,Æ,4.如答题空白不够可写在当页背面密封线答题时不要超过此线,Æ,得分评阅<(本题15分)设S为R3中的抛物面zx2+得分评阅<y2Pa;b;c为S外一固定点满足a2+b2>2c过P作S的所有切线证明这些切线的切点落在同一张平面上,Æ,Æ,第1页共11页第2页共11页得分评阅人二(本题15分)设实二次型fx1;x2;x3;x4xTAx得分评阅人a0a;b;c;d;e;f;g;h;k皆为实数已知λ12是A的一个几何重数为3的特征值试回答以下问题(i)A能否相似于对角矩阵;若能请给出证明;若不能请给出例子(ii)当a02时试求fx1;x2;x3;x4在正交变换下的标准型三三(本题20分)设fx是[0+∞上非负可导函数f(0)0fx≤假设R0+∞fxdx收敛求证对任意α>1R0+fxdx也收敛并且得分评阅<Æ姓名姓名准考证号所在院校考生座位号专业,Æ,密封密封线答题时不要超过此线,Æ,Æ,第3页共11页第4页共11页得分评阅人四(本题20分)对多项式f(x记df为其最大和最小实根之间的距离设n≥2为自然数求得分评阅人C使得对任意所有根都是实数的n次多项式fx都有df≥Cdf五(常微分方程15分)设fx;y为a;b℄×R上得分评阅<,Æ关于y单调下降的二元函数五(常微分方程15分)设fx;y为a;b℄×R上得分评阅<,Æ姓名准考证号所在院校考生座位号专业yfx;y姓名准考证号所在院校考生座位号专业已知za≤ya求证zx≤yxx∈a;b℄,Æ,密封密封线答题时不要超过此线,Æ,Æ,第5页共11页第6页共11页得分评阅<六(复变函数15分)设D{z∈Cjzj<1}是单位圆盘非常数函数fz在D上解析且当jzj1时jf(z)j1求证fDD得分评阅<姓名准考证号所在院校姓名准考证号所在院校考生座位号专业七(实变函数15分)设Ekk12...是一列可测集f∈E得分评阅<,Æ3)如果{Ek}是单调的求证kEkE存在且有,Æ,密封密封线答题时不要超过此线,Æ,Æ,第7页共11页第8页共11页得分评阅<八(微分几何15分)设Γ是三维欧氏空间中一张平面上的一条抛物线`是Γ的准线将Γ绕其准线`旋转一周得到旋转面S求S的两个主曲率的得分评阅<得分评阅人,Æ九(概率统计15分)一只盒子中装有标上1至N的N张票券有放回地一张一张地抽取若我们想收集r张不同的票券则要期望抽多少次才能得到它们当然假设取得每张票券是等可能的各次抽取是独立的得分评阅人,Æ姓名姓名准考证号所在院校考生座位号专业,Æ,密封密封线答题时不要超过此线,Æ,Æ,第9页共11页第10页共11页得分评阅<十(抽象代数15分)设群GAB其中AB均为G的Abel子群且ABBA8g1g2∈G用g1g2g11g21G表示G的换位子群(即由G的换位子所生成的子群)证得分评阅<a8a;x∈A8b;y∈B有下式成立x1y1x1y11为Gb为GAbel群十十(数值分析15分)给定多项式序列T0x1T1xx;得分评阅人Æ...T+1x2xTx—T1xn1...姓名准考证号所在院校考生座位号专业求证(1)当x∈—1姓名准考证号所在院校考生座位号专业(2)设C—11℄是区间—11℄上连续函数构成的内积空间其中内积定义为则Tx是该内积空间的正交多项式即当nm时〈TxTx〉0(3)设Px是次