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第五届中国大学生数学竞赛决赛二年级试卷(数学类2014年3月,Æ考试形式闭卷考试时间180分钟满分100分Æ题号题号二三四五六总分满分151515152020100得分姓名姓名准考证号所在院校考生座位号专业注意1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边写在其它纸上一律无效2.密封线左边请勿答题密封线外不得有姓名及相关标记3.如答题空白不够可写在当页背面并标明题号,(本题(本题15分)设S为R3中的抛物面zx2+y2Pa;b;c为S外一固定点满足a2+b2>2c过P作S的所有切线证明这些切线的切点落在同一张得分评阅<密封线密封线答题时不要超过此线平面上,Æ,Æ,第1页共6页第2页共6页得分评阅<二(本题15分)设实二次型fx1x2x3x4xTAx得分评阅<a0a;b;c;d;e;f;g;h;k皆为实数已知λ12是A的一个几何重数为3的特征值试回答以下问题(i)A能否相似于对角矩阵若能请给出证明若不能请给出例子(ii)当a02时试求fx1x2x3x4在正交变换下的标准型姓名准考证号所在院校姓名准考证号所在院校考生座位号专业三(本题15分)设n阶实方阵得分评阅人,Æ有n个线性无关的特征向量b1b1均不为0记WX∈Rn×njXAAX证明W是实数域R上的向量空间且I;A;An-1为其一组基其中I,Æ,为n阶单位阵,Æ,密封密封线答题时不要超过此线,Æ,Æ,第3页共6页第4页共6页四(本题15分)设fx;y为a;b℄×R上关于y得分评阅<单调下降的二元函数四(本题15分)设fx;y为a;b℄×R上关于y得分评阅<yfx;yz≤fx;zx∈a;b℄已知za≤ya求证zx≤yxx∈a;b℄五五(本题20分)设fx是[0+∞上非负可导函数f(0)0fx≤假设R0+fxdx收敛求证对任意α>1R0+fxdx也收敛并且得分评阅<Æ姓名姓名准考证号所在院校考生座位号专业,Æ,密封密封线答题时不要超过此线,Æ,Æ,第5页共6页第6页共6页得分评阅<六(本题20分)对多项式f(x记df为其最大和最小实根之间的距离

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