第6届全国大学生数学竞赛决赛数学类一、二年级答案

第六届中国大学生数学竞赛决赛ò、二年级试卷,,题号一题号一二三四五六总分满分得分姓名:准考证号姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:注意:1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.3.如答题空白不够,可写在当页背面,并标明题号.,一、,一、(本题20分)填空题(每小题5密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线(1)实二次型2x1x2—x1x3+5x2(1)实二次型2x1x2—x1x3+5x2x3的规范型=z+z—z.(3)计算第一型曲面积分的值:I=x2+y2+z2=1(4)A=(aij)为n阶实对称矩阵(n>1),rank(A)=n—1,A的每行元素之和均为0.设2,3,...,n为A的全部非零特征值"用A11表示A的元素a11所对应的代数余子式.则有A11=(n—1)!.(4)解:1)秩A=n—1)(4)解:1)秩A=n—1)秩A*=1且Ax=0的解空间维数为1,2)注意到AA*=0,从而A*的每一列均形如又由于A为实对称矩阵,故A*也为实对称矩阵"故A*=.3)考虑特征多项式,f(λ)=jλI—Aj=λ(λ—2)···(λ—n).,第1页(共5页)第2页(共5页)其一次项系数为(—1)n-1n!.另一方面,由f(λ)=jλI—Aj又知,其一次项系数为(—1)n-1(A11+···Ann).结果a=(n—1)!.二、(本题15分)设空间中定点P到一定直线l的距离为p.一族球面中的每个球面都过点P,且截直线l得到的弦长都是定值a.求该球面族的球心的轨迹.解:以l为z轴,以过点P且垂直于z轴的直线为x轴来建立直角坐标系"可设球面C的球心为(x0,y0,z0),由于C过点P,则设P:设球面C的球心为(x0,y0,z0),由于C过点P,则即由此得到两个解为故弦长a=jt1t2j=2√z(2px0反之,如果球面C的球心满足(2),如果C过点P,此时二次方程(1)的判别式反之,如果球面C的球心满足(2),如果C过点P,此时二次方程(1)的判别式方程有两个实根从而C和l相交,而且截出来弦长为a.故所求的轨迹为三、证明题,其中C表复数域"试证,明:8A∈Γ,A的Jordan标准形JA仍然属于Γ;进一步还存在可逆的矩阵P∈Γ使,得P-1AP=JA.姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:证明:对A=姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:jz2jz20.:此时,z2=0,z1=此时,z2=0,z1=Rez1,从而A==JA∈取P=I即,,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线情形2.△<0.此时A的特征值为从而从而现取A关于λ1的一个非0特征向量则有,,直接检验知因此为A关于λ1的一个非0特征向量"令P=,则有P可逆,且P∈P-1AP=JA.................15分四、(本题20分)设,,第3页(共5页)求最大常数Q满足若,取xn=-1,yn=则下证由于f(x)为偶函数ß不妨设0≤x<y.令z=sup{u≤y|f(u)=f(x)},五、(本题15分)设a(t),f(t)为实连续函数ß∀t∈R有f(t)>0,a(t)>1.f(t)dt=+∞.已知x(t)满足x,,(t)+a(t)f(x(t))≤0,∀t∈R.求证:x(t)在[0,+∞)有上界.证明:由x//(t)≤-a(t)f(x(t))<0,故limt→∞x/(t)存在或为-∞.第4页(共5页)若limt→∞x(t)=+∞,则x/(t)>0,limt→∞x(t)=+∞......................6分故,x/(t)f(x(t))≤a(t)x/(t)f(x(t))≤-x/(t)x//(t),姓名:准考证号:姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:令t→∞得六、(本题15分)设f(x)在区间[0,1]上连续可导,且f(0)=f(1)=0.求证:,,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线等号当且仅当f(x)=A(x-x3)时成立,其中A是常数.证明:分部积分可得6xf(x)dx=(1-3x26xf(x)dx=(1-3x2)f/(x)dx.