第6届全国大学生数学竞赛预赛数学类答案

,,姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:题号一二三四五六总分满分得分密封线答题时不要超过此线,密封线答题时不要超过此线,l1l21)证明l1和l2异面;2)求l1和l2公垂线的标准方程;3)求连接l1上的任一点和l2上的任一点线段中点的轨迹的一般方程"(1)证明:l1上有点r1=(4,3,8),方向向量为v1=(1,-2,1)"l2上有点r2=(-1,-1,-1),方向向量为v2=(7,-6,1)",,0,故l故l1和l2异面"(3分)(2)l1上的任一点P1=r1+t1v1与l2上的任一点P2=r2+t2v2的连线的方向向量为,=(-5+7t2-t1,-4-6t2+2t1,-9+t2-t1).公垂线的方向向量为,由P1P2与v2t1)得t1=1,t2=0.故点r2+0v2=(—1,—1,1)在公垂线上ß从而公垂线的标准方程为(9分)(9分)(3)P1=r1+t1v1与P2=r2+t2v2的中点为因此中点轨迹为一个平面ß平面的法向量为v=v1×v2=(4,6,8).又点,2,7)在平面上ß故轨迹的方程为4x+6y+8z40=0.二、(本题15分)设f∈C[0,1]是非负的严格单调增函数"1)证明:对任意n∈Nß存在唯一的xn∈[0,1]ß使得(f(xn))n=(f(x))ndx.2)证明:limn→∞xn=1.证明证明:1)f(0)n≤(f(x))ndx≤f(1)n,由连续函数的介值性质得到xn的存在性"(3分)由于f是严格单调函数ßxn是唯一的"(5分)2)对任意的小∈>0,由f的非负性和单调性ß故从而liff(xn)≥f(1—∈).由f的单调性,,,三、(本题15分)设V为闭区间[0,1]上全体实函数构成的实向量空间,其中姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:向量加法与纯量乘法均为通常的"f1,...,fn∈V.证明以下两条等价:1)f1,...姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:i(aj))0,这里det表行列式.证明2))1).考虑方程λ1f1+···+λnfn=0.将a1,...,an分别代入,得方程组,密封线答题时不要超过此线注意到上述方程组的系数矩阵为(fi(aj))T,因此由det(fi(aj))0直接知道λ1=···=λn=0.(6分)密封线答题时不要超过此线1)1))2).用归纳法.首先,n=1时,结论显然"其次,设n=k时结论真"则n=k+1时,由f1,...,fk+1线性无关知,f1,...,fkki(aj))k×k0"观察函数,按最后一列展开得F(x)=λ1f1(x)+···+λkfk(x)+λk+1fk+1(x),其中λ1,...,λk+1均为常量"注意到λk+10,因此由f1,...,fk+1线性无关知F(x)不det(fi(aj))0.证毕"(15分)四、(本题15分)设f(x)在R上有二阶导函数,f(x),f/(x),f//(x)都大于零,假设存在正数a,b使得f//(x)≤af(x)+bf/(x)对一切x∈R成立.求证:x(ii)求证:存在常数c使得f/(x)≤cf(x).,(iii)求使上面不等式成立的最小常数c.,证明:由条件知f及f/是单调递增的正函数,因此x和x都存在"(2分)根据微分中值定理,对任意x存在θx∈(0,1)使得f(x+1)—f(x)=fI(x+θx)>fI(x)>0.上式左边当x→—∞时极限为0,因而有(5分)fII(x)—cfI(x)≤(b—c)fI(x)+af(x)=(b—c)(fI(x)—cf(x)).这说明函数e—(b—c)x(fI(x)—cf(x))是单调递减的。注意到该函数当x→—∞时极限为0,因此有fI(x)—cf(x)≤0.即,fI(x)≤cf(x).(10分)常数常数c是最佳的,这是因为对函数f(x)=ecx有fII(x)=af(x)+bfI(x).(15分)五、(本题20分)设m为给定的正整数.证明:对任何的正整数n,l,存在m阶方阵X使得:I证明则所求的方程变为(3分)Xn+Xl=2I+2H+3H2+···+mHm—1.(3分)2H22+)考察的矩阵X,则有X=I+a1H+Xn=(I+a1H+a2H2+···+amHm—1)n=I+(na1)H+(na2+f1(a1))H2+···+(nam+fm—1(a1,···,am—1))Hm—1,类似地,有,Xl=I+(la1)H+(la2+g1(a1))H2+···+(lam+gm-1(a1,···,am-1))Hm-1.,姓名:准考证号:所在院校姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:直接可看出该方程组有解。命题得证。(20分):I密封线答题时不要超过此线,密封线答题时不要超过此线,求证求证limnkan=0,其中k>0.n→∞证明:由条件可知从某项开始{an}单调递减。因此,若a>0,则当n充分大时,因为因为所以也发散,但此级数显然收敛到a1—a.这是矛,,盾!所以应有a=0.