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1第七届全国大学生数学竞赛决赛ò、二年级试题解答(数学类,2016年3月福州)一、(本题20分)填空题(每小题5分)(4)(1,0,1),或(-1,0,-1),或(1,t,-1),或(-1,t,1),t∈R.二、(本题15分)由于形如αx+βy+γ=0的平面与S只能交于直线或空集,所以可以设平面σ的方程为z=αx+βy+γ,它与S的交线为圆.令x=cosθ,y=sinθ,则σ与S的交线可表示为由于Γ(θ)是一个圆,所以它到一个定点P(a,b,c)的距离为常数R.于是有恒等式利用我们可以将上式写成Acos2θ+Bsin2θ+Ccosθ+Dsinθ+E=0,其中A,B,C,D,E为常数.由于这样的方程对所有θ∈[0,2π]恒成立,所以A=B=C=D=E=0.特别地,我们得到2于是得到Q=0,β=士1,平面σ的法向量为的非零倍数.三、(本题15分)证明存在可逆方阵T,使得T-1AT=为对角阵.令T-1BT=,则为实对称方阵,且tr((AB)2)=tr(()2),tr(A2B2)=tr(22).令=diag(a11,···,ann),=(bij)n×n.则于是四、(本题20分)先证:当0<x<时,有证明设Γ的圆心为O,Qi=7BiOBi+1,Bn+1=B1,则P先证:当0<x<时,有3故g(x)严格单调递增,因而g(x)>g(0)=0.(1)式得证.五、(本题15分)证明a(t)dt,则y(x)=Ce-F(x)+f(t)eF(t)-F(x)dt.0注意到故4六、(本题15分)解令g(x)=f(x)-x,则有对于x>0,根据积分平均值定理,存在x1∈(0,x),使得g(x)=g(x1).设x0=inf{t∈(0,x)jf(t)=f(x)}.则有g(x0)=g(x).若x0>0,则重复上面的过程,可知存在y0∈(0,x0),使得g(y0)=g(x0)=g(x).这与x0的取法矛盾.因此,必有x0=0.这说明g(x)=g(0).同理,对x

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