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文档简介

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛广西赛区选拔赛试题参考答案（考试时间：2023年5月21日9：00-11：30）一、填空题（本大题共8小题，每小题10分，共80分.）二、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）1.（本小题满分15分）设S0是以定点P0为球心半径为r的球面，π0是一个固定平面，P0到π0的距离a>r．设SM是以点M为球心的球面，它与S0外切并与π0相切．令Λ为满足上述条件的球心M构成的集合．设平面π与π0平行且在π上有Λ中的点．设dΣ是平面π与π0之间的距离，求dΣ的最小值m.解：过P0作π0的垂线，交π0为O．以O为原点，π0为xoy面建立空间坐标系使得P0的坐标为(0,0,a).2.（本小题满分15分）设函数f(x)在区间I上有定义．若f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)对任意的实数x1，x2∈I和任意的α∈(0,1)恒成立，则称函数f(x)为区间I上的一个凸函数．例如，f(x)=ex是(-∞,+∞)上的一个凸函数.证明：(1)由f(x)=ex是(一∞,+∞)上的一个凸函数可得pqpq由(1)(Young不等式)可得从而有因此，xkyk≤AB=其中a1a2a3…an…中有无限多项不为0，则称a为一个十进制无限小数．设a为一个十进制无限小数．若存在自然数n,k使得an+i=an+k+i对任意的自然数i均成立，则称a为一个循环小数；否则，称a为一兀个不循环小数．例如，0.19898…98…和0.8=0.799…9…是循环小数=0.314159…是一个不循环小数．已知(0,1]的每一个数均与一个十进制无限小数一一对应.(1)求证:若(a,b)(0,1)，则存在循环小数c∈(a,b)．即：循环小数在(0,1)中稠密.(2)求证:(0,1]中所有的数不能排列成一个数列α1,α2,α3,…,αn,…，即：(0,1]是一个不可数集.(3)用分数表示循环小数a=0.365365…365….kb1b2b3…bn…中有无限多项不为0，故存在m>k,bm≠0.mi因此，循环小数在(0,1)中稠密.(2)假设(0,1]中所有的数可以排列成一个数列α1,α2,α3,…,αn,…．记αk=0.ak1ak2ak3…akn…．若整数m，a≠αm，矛盾．因此，(0,1]是一个不可数集.意的正数M均存在相应的自然数N，当n>N时Sn>M，则称1an=+若f:Z+→Z+是正整数集Z+上的一个一一对应，则称f(1),f(2),…,f(n),…是Z+的一个重排，称 是的一个重排．求证：证明：(1)对任意的正数M，取N=4+…+Σ2N-1+1 Σ>n

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