安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期3月阶段考试数学试题（人教A版）C卷含解析

2023级高二下学期3月阶段考数学（人教A版）试题C本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分，在每小题给出的四个A.3B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直列方程，解方程即可.【详解】,因为，所以，解得.故选：B.2.若椭圆：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为()A.C.B.D.【答案】D【解析】【分析】根据条件得出双曲线E的顶点和焦点坐标即可.【详解】已知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为，则双曲线E的顶点为，焦点为，则双曲线E的标准方程为故选：D3.设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则()A.4B.5【答案】B【解析】【分析】根据恰为和的等差中项，由，求得公比，再利用等比数列前n项和公式求解.【详解】因为恰为和的等差中项，所以，则，故选：B4.“点在圆外”是“直线与圆相交”的()A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为，若点在圆外，则，则圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相交，即“点在圆外”“直线与圆相交”；第2页/共17页若直线与圆相交，则，可得，不妨取则，此时，点在圆内，所以，“点在圆外”“直线与圆相交”.因此，“点在圆外”是“直线与圆相交”的充分不必要条件.故选：A.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题中递推公式逐项计算出、、、的值，即可求得的值.【详解】在数列中则，可得， 故选：A.6.已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而的最大值为，得到答案.第3页/共17页故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，圆的方程为，则的最大值为.故选：B,则的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知，可得，点共线，设，可得，由的周长为，可得，在中，利用勾股定理有，化简整理，即可求出离心率.【详解】由可知，连接，则，由椭圆的定义可知的周长为，则，解得，所以，再根据椭圆的定义可知第4页/共17页，，解得.故选：D.【点睛】关键点点睛：由，设，得到，由的周长为，可得，再在中，利用勾股定理即可.8.在数列中且，则的值为()A.18B.19C.20D.21【答案】C【解析】【分析】先进行因式分解，表示出于间的递推式，最后代入数据即可.【详解】解且，又.故选:C.9.已知等差数列的公差为，其前项和为则()【答案】BCD【解析】第5页/共17页【分析】由等差中项及等差数列的前项分别化简和，得到和的正负情况，然后根据等差数列的性质判断各个选项.∴中最大，C选项正确；故选：BCD10.已知数列的前项和为，下列说法正确的是()B.若为等差数列，则为等差数列C.若为等比数列，则为等差数列D.若则为等比数列【答案】BD【解析】【分析】根据特殊数列法判断A；利用等差数列的定义判断B；取判断C；利用等比数列的定义判断D.【详解】对于A，当时有，此时、、不成等比数列，A错；对于B，设等差数列的公差为，则，所以则，第6页/共17页因此，若为等差数列，则为等差数列，B对；对于C，若为等比数列，取，则当为正奇数时，无意义，C错；对于D，因为，所以，而因此数列是首项为，公比为的等比数列，D对故选：BD.11.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，抛物线的准线为48过点且与交于，两点，则()A.若点的坐标为，则的最小值为3B.以线段为直径的圆与直线相离C.点到直线的最小距离为5D.AOB可能为钝角三角形【答案】AB【解析】【分析】由抛物线的定义可得A正确；设，直线的方程为，联立曲线方程，然后用韦达定理求出弦长，再利用换元法求出中点到准线的距离可得B正确；由点到直线的距离公式结合二次函数可得C错误；由向量垂直的坐标表示结合韦达定理可得D错误.【详解】对于A，作于，由抛物线的定义可得，当三点共线时取等号，故A正确；第7页/共17页对于B，设，直线的方程为，联立，消去可得,设线段的中点为，则，,c到准线的距离为，所以，所以以线段为直径的圆与直线相离，故B正确；对于C，设，由点到直线的距离公式可得，当时，距离的最小值为，故C错误；对于D，设，则，所以，故D错误.故选：AB12.已知，设直线若，则a=______．【答案】【解析】【分析】由两直平行得到，求解并验证即可；【详解】因为直线所以，即，当时，直线重合，舍去，当时，符合题意；故答案为：13.已知点在抛物线上，且到的焦点的距离为，则实数a=.【答案】##【解析】【分析】由抛物线定义求出，得到抛物线方程，再将点代入，即可求得.【详解】由抛物线的定义可知，，解得，所以，将点代入得又,所以.故答案为：.14.已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，【答案】【解析】【分析】当时，求得；当时，由可得，作差推导出数列的奇数项和偶数项分别成以为公差的等差数列，根据数列的单调性得出，即可解得实数的取值范围.第9页/共17页【详解】由题意可知且对任意的当时，则有，即，解得，这两个等式作差可得，可得，所以，数列的奇数项和偶数项分别成以为公差的等差数列，且，因为数列为递增数列，只需即可，即，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：..15.（1）等比数列中求数列的通项公式；（2）等差数列中，公差，且满足求数列的通项公式.【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式计算基本量求解即可；（2）由等差数列的通项性质得到，然后求解出计算出公差求解通项公式即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为所以，所以，所以或，（2）在等差数列中又所以解得16.在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段PD的中点的轨迹为.（1）求的方程.（2）直线与C交于两点（点不重合）.①求的取值范围；②若，求.【解析】【分析】（1）设，则，代入圆的方程，化简整理即可得到所求方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去，得到的方程，运用判别式大于0，即可求解的范围，代入m=l，求解方程两根，即可根据弦长公式求解.【小问1详解】将代入，可得，即即点的轨迹的方程为；【小问2详解】①由，联立整理得②当时解得，17.如图，在正四棱锥中为侧棱SD的中点．（1）求证（2）求点到平面PAC的距离；（3）求平面SBC与平面PAC夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标运算证明垂直关系；（2）利用空间向量坐标运算求点到直线的距离；（3）利用空间向量的坐标运算求平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】连接交于点，连接so,因为是正四棱锥，所以平面，又因为为正方形，所以AclBD,所以以方向为轴建立如图所示空间指标坐标系，所以,所以，【小问2详解】设平面的一个法向量为，,,所以，即，令，可得，所以点到平面PAC的距离为.小问3详解】设平面的一个法向量为，,,设平面SBC与平面PAC夹角为，则由图可知为锐角，所以即为所求.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，求证（3）令，求数列的前项和.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据递推关系，得出为常数，结合等比数列得定义求解的通项公式；（2）结合第一问题，写出的通项公式并进行裂项，再求解数列的前项和为，从而证明;（3）利用错位相减法求解数列的前项和即可.【小问1详解】因为，所以，又因为，所以恒成立所以为为公比的等比数列，且，也满足所以【小问2详解】证明：由（1）知，所以，又因为，所以【小问3详解】由（1）知所以数列所以数列的前项和①对①式两边同乘可得②则②①可得所以即19.已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由渐