湖北省黄冈市2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

2024年秋季九年级第二次测评数学试题（考试时间：120分钟满分：120分）温馨提醒：1．答卷前，请将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在指定位置．2．请保持卷面的整洁，书写工整、美观．3．请认真审题，仔细答题，诚信应考，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩！一、选择题（共10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.二次函数的顶点坐标是（）A. B. C. D.答案：D解：二次函数的顶点式为，其顶点坐标为：．故选：D2.已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（

）A.点在圆内 B.点在圆外 C.点在圆上 D.无法判断答案：B解：∵的直径为，∴的半径为，∵点P到圆心O的距离为大于半径，∴点P在圆外，故选：B．3.如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（）．A.70° B.60° C.50° D.40°答案：C解：∵∠A=∠BOC，∠BOC=100°，∴∠A=50°．故选：C．4.如图，将绕点O逆时针方向旋转得，若，则的度数是（）A. B. C. D.答案：B解：∵将绕点O按逆时针方向旋转后得到，∴，∵，∴；故选：B．5.如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解：连接，设的半径为，则，，过圆心，，，由勾股定理得：，即，解得：，即的半径长是5，故选：C．6.如图，四边形内接于⊙O，已知点C为的中点，若，则的度数为（）A. B. C. D.答案：D解：∵四边形内接于⊙O，，∴，∵点C为中点，∴，故选D．7.将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（）A. B. C. D.答案：D已知，，，，解得．故选：D．8.若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（）A.3 B. C.3或 D.答案：B解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，∴，，∴，故选：B．9.如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（）A. B.C D.答案：D解：∵中，，，，∴，，∴,．故选：D．10.如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于两点，若点的坐标是，则点的坐标为（）A. B. C. D.答案：D解：作于B，连结，如图，设的半径为r．∵与y轴相切于原点O，∴，∴点A的坐标为．∵，∴．∵轴，，∴B点坐标为．中，．∵，∴，解得：，∴，∴，∴N点坐标．故选：D．二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）11.在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是_____．答案：点（3，4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，﹣4）．故答案为（﹣3，﹣4）．12.圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则该弧的长度为_____．答案：π．解：该弧的长度＝＝π，故答案为：π．13.若关于的一元二次方程（）的解是，则的值是______．答案：解：∵关于的一元二次方程（）的解是，∴，即，∴，∴的值是．故答案为：．14.如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是______．答案：或解：如图，作于，∵，∴，∴当时，与射线相切，此时只有一个交点；当时，与射线有两个交点；∴当时，与射线只有一个交点；综上，当与射线只有一个交点时，半径r的取值范围是或，故答案为：或．15.如图，是直径，点在上，垂足为，点是上动点（不与重合），点为的中点，若，，则的最大值为______．答案：解：延长交于点，连接，∵，即，是的直径，∴，∵点为的中点，∴，当取最大值时，也取得最大值，设的半径为，则，在中，，∴，解得：，∴的最大值为，∴的最大值为，故答案为：．三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形的每一个外角的度数．答案：（1）8（2）【小问1详解】解：设这个多边形的边数为n，∵一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，∴正多边形的内角和是外角和的3倍，∴，解得，答：这个多边形的边数是8；【小问2详解】，答：这个多边形的每一个外角的度数为．17.如图，在中，CD是直径，弦，垂足为点E，连接AC，AD．（1）求证：．（2）若，，求的长度．答案：（1）见解析（2），见解析【小问1详解】证明：连接，∵是直径，弦，∴．∴．又∵．∴；【小问2详解】解：如图，连接，，则，∵，∴，∴，∴∴的长度．18.圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1.2m的圆，如图所示，若水面宽．，求水的最大深度（精确到0.1，）．答案：水的最大深度为如图，过点作于点，连接，，，，，直径为，，在中，根据勾股定理，可得，，水的最大深度为．19.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，正方形的顶点，，．（1）顶点D的坐标为；（2）将正方形绕点O逆时针旋转得正方形，点A，B，C，D的对应点分别为，在图中画出正方形，并写出其各顶点的坐标．答案：（1）顶点的坐标为，（2）图见解析，顶点坐标为，，，．【小问1详解】解：由图可知，顶点的坐标为；【小问2详解】解：顶点，，，绕点O逆时针旋转得到，，，，依次连接，，，，得到正方形，则正方形即为所求，如图：∴顶点坐标为：，，，．20.如图，点A为外一点，交于两点，于点，交于点为上一点，连接交于点，且．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．答案：（1）见解析（2）【小问1详解】证明：连接，如图所示：，于点，，，，，，，，，，即，，为的半径，是的切线；【小问2详解】解：过点作于，如图所示：，，是等边三角形，，在，，在，，．21.某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？答案：每本画册应降价4元．设这种画册每本降价x元，由题意可得，，整理得，解得，，∵要求每本售价不低于55元，∴符合题意．故每本画册应降价4元．22.如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E．（1）求证：；（2）若，求阴影部分弓形的面积．答案：（1）见解析（2）【小问1详解】解：如图，连接，为直径，，，，弧弧，；【小问2详解】解：如图，连接，过点作于点，，，，，为等边三角形，，又，为等边三角形，，，，．23.如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（）（1）求圆弧所在圆的半径：（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高宽，那么这辆货运卡车能否通过该隧道?答案：（1）（2）能通过，见解析【小问1详解】解：设圆心为点O，半径为，连接，设与交于点F，∵隧道的顶端E是圆弧的中点，高出道路（），∴，∵矩形的长为宽为，∴，且之间的距离为，∴，，∴，根据勾股定理，得，解得，故圆弧所在圆半径为．【小问2详解】解：在圆弧上取一点H，过点H作于点G，且使得，根据勾股定理，得，由点O到的距离为，故点G到到的距离为，故这辆货运卡车能通过该隧道．24.如图，在，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数过．（1）求二次函数的解析式；（2）点为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标；（3）为二次函数上一点，为轴上一点，当成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标．答案：（1）（2）（3）或或或【小问1详解】解：根据题意，将点代入函数，可得，解得,∴该二次函数的解析式为；【小问2详解】设直线的函数解析式为，将点代入，可得，解得，∴直线的函数解析式为，设点，则，∵，∴当时，的面积最大，最大值为4，此时，即点的坐标为；【小问3详解】点坐标为或或或，理由如下：对于二次函数，若时，可有，解得，，∴点关于该二次函数图象的对称轴的对称点为，若四边形是平行