2024-2025学年江苏省常州市金坛一中高二（下）调研数学试卷（4月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省常州市金坛一中高二（下）4月调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空闻直角坐标系Oxyz中，点(1,2,0)关于x轴的对称点为A.(−1,−2,0) B.(−1,2,0)2.y=f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列排序正确的是(

)A.f(5)−f(3)<2f′(3)<2f′(5) B.2f′(3)<2f′(5)<f(5)−f(3)

C.2f′(3)<f(5)−f(3)<2f′(5) D.2f′(5)<2f′(3)<f(5)−f(3)3.已知函数f(x)=1−2x−sinx，则曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为(

)A.1 B.−1 C.3 D.−34.给出下列四个命题，其中正确的有(

)

(1)若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；

(2)空间任意两个单位向量必相等；

(3)对于非零向量c，由a⋅cA.0个 B.1个 C.2个 D.4个5.某学校有A、B两家餐厅，王同学第一天去A、B两个餐厅的概率分别是35和25，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为35；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为45，则王同学第二天去AA.1217 B.817 C.17256.如果随机变量X～N(1,σ2)，且P(−1≤X≤1)=0.3，则P(X≥3)=A.0.3 B.0.2 C.0.8 D.0.77.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=BC=AA1=2，点PA.[0,2]B.[1,3]

C.[2,4]D.[3,5]8.已知函数f(x)=ax+2cosx,x≤0,ax2−x−2a−4,x>0在R上单调递减，则实数A.[−3,−2) B.(−3,−2] C.[−3,−2] D.(−3,−2)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X的分布列如下，则(

)X1234P4p3p2ppA.p=0.2 B.P(X<3)=0.7 C.E(X)=52 D.10.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=23，点E是棱PB上一点，则下列说法正确的是(

)A.存在点E，使AE//平面PCD

B.存在点E，使PB⊥平面ACE

C.若点E为PB中点，则点C到平面ADE的距离为3

D.二面角P−AE−D夹角最大时，11.已知函数f(x)=lnxx，则下列说法中正确的是(

)A.函数f(x)的最大值是1e

B.f(x)在(1,+∞)上单调递减

C.对任意两个正实数x1，x2，且x1>x2，若f(x1)=f(x2)，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.5个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，检验后放回，连续抽检3次，则抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为______．13.已知x∈R，空间向量a=(3,1,2)，b=(1,1,−1)，c=(5,x,0).若a，b，c共面，则x=14.已知y=exf(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)+f′(x)>0，则满足ex−2⋅四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间(单位：小时)，从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．

(1)求a的值；

(2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率；

(3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设X为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求X的分布列及数学期望．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=13x3−12ax2(a≠0)．

(1)讨论f(x)17.(本小题15分)

如图，已知平行六面体ABCD−A′B′C′D′．

(1)若AB=4，AD=2，AA′=2，∠BAD=90°，∠BAA′=60°，∠DAA′=60°，求AC′的长度；

(2)若AB=AD=AA′，∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60°，求AC与BD′所成角的余弦值．18.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.M，N分别为AB，PC的中点．

(1)求证：MN//平面PAD；

(2)平面PAD与平面MND夹角的余弦值；

(3)在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面PBC所成角为π6.若存在，确定点E19.(本小题17分)

有一水平直角通道，其宽度分别为1米和33米.现要将一批钢管从M通道水平抬至N通道.为了计算能抬过去的钢管最大长度，建立模型如图所示，设一根长度为L的钢管经过点B且两端与通道壁恰好接触于A，C两点时，钢管与M通道壁的夹角为θ∈(0,π2)(不计钢管直径)．

(1)求长度L与θ的函数关系式；

(2)

参考答案1.D

2.C

3.D

4.A

5.C

6.B

7.C

8.C

9.BD

10.ABC

11.ACD

12.5412513.3

14.(−∞,415.解：(1)由频率分布直方图可得(0.01+0.06+0.07+a+0.02)×5=1，解得a=0.04．

(2)由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于(0.04+0.02)×5=0.3，

所以电池续航时间不少于35小时的电池有50×0.3=15组，

电池续航时间少于35小时的电池有50×0.7=35组，

所以从抽取的50组电池中任取2组，恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为C351C151C502=37．

(3)由(2)知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于310，

由题可知，X～B(2,310)，

所以X所有可能的取值有0，1，2，X012P49219所以X的数学期望为E(X)=0×4910016.当a>0时，f(x)在(−∞,0)，(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减；当a<0时，f(x)在(−∞,a)，(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减；

当b<−76或b>103时，函数g(x)有1个零点；

当b=−76或b=103时，函数g(x)有2个零点；

17.18.(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，取PD的中点Q，连接AQ，NQ，由M，N分别为AB，PC的中点，

NQ//CD，NQ=12CD，又四边形ABCD是菱形，则AM//CD//NQ，AM=12CD=NQ，

于是四边形AMNQ是平行四边形，MN//AQ，而AQ⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

所以MN//平面PAD．

(2)解：以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，M(2,1,0)，N(0,1,1)，平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0)，

设平面MND的法向量m=(x,y,z)，DM=(2,1,0)，DN=(0,1,1)，

所以m⋅DM=2x+y=0m⋅DN=y+z=0，令x=1则y=−2，z=2，所以m=(1,−2,2)，

所以平面PAD与平面MND夹角的余弦值为|cos<m，n>|=|m⋅n||m||n|=23．

(3)解：A(2,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，

假定在棱PA上存在一点E，满足条件，令AE=λA