2024-2025学年河北省唐山一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省唐山一中高一（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设z(1−i)=2，则|z−|=A.1 B.2 C.2 D.2.“k<2”是“向量a=(k,2)与向量b=(1,−1)的夹角为钝角”的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b−2A.14a B.13a C.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos2A2=b+c，则A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形5.如图，在测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D.现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=l，在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB=(

)A.l⋅tanθsinβsin(α+β)

B.l⋅tanθsin(α+β)sinβ

C.6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2−b2=3bcA.π6 B.π3 C.5π67.如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若AP=λAB+μAE，则下列判断不正确的是A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点 B.满足λ+μ=1的点P有两个

C.满足λ+μ=3的点P有且只有一个 D.λ+μ=32的点8.已知平面非零向量a，b满足a⋅b=|2a+3bA.12 B.24 C.18 D.16二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1，z2是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是(

)A.若|z1|=1，则z1=i

B.∀z1，zz∈C，|z1z2|=|z110.△ABC中，BC=22，BC边上的中线AD=2，则下列说法正确的有(

)A.|AB+AC|=4 B.AB⋅AC为定值

C.11.我们知道正、余弦定理推导的向量法，是在△ABC中的向量关系AB+BC=AC的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于点D，E，设AB=c，B=c，CA=b，∠ADE=θ，则下列结论正确的有A.a2+b2+c2=2abcosC+2bccosA+2cacosB

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，∠A=π4,AC=2，设BC边长为x，若满足条件的△ABC有且只有一个，则x13.如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=2.点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ=45°，则AP⋅AQ的最小值为______．

14.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2+2b2+3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a,b的夹角为60°，|a|=1，|b|=2，m=3a−b，n=ta+2b．

(1)若16.(本小题15分)

已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且3asinB−bcosA=b．

(1)求A的值；

(2)若a=2，求17.(本小题15分)

如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥AC，AB⊥BC，AC平分∠BCD．

(1)若∠BAD=5π6，CD=2，求BD；

(2)若BD=CD，求18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a(cosC+3sinC)=b+c．

(1)求A．

(2)若b=5，c=2，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，

(Ⅰ)求AM；

(Ⅱ)19.(本小题17分)

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

(1)若cos(A−C)+cosB=tanAtanCtanAtanC−1，且△ABC的面积为43，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PC的取值范围；

(2)若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，且PB平分∠ABC，试问是否存在常实数t参考答案1.C

2.C

3.A

4.B

5.A

6.A

7.A

8.B

9.BD

10.ABD

11.ABD

12.{x|x≥2或x=13.12(14.315.解：(1)已知a,b的夹角为60°，|a|=1，|b|=2，m=3a−b，n=ta+2b，

则a⋅b=|a||b|cos60°=1×2×12=1，

由m⊥n，得m⋅n=(3a−b)⋅(ta+2b)=3t|a|2+(6−t)a⋅b−2|b|2

=3t+6−t−8=0，解得t=1；

(2)由m//n，得ta+2b=λ(3a−b)(λ≠0)，

即t=3λ2=−λ，解得t=−6λ=−2，

所以存在实数t=−6，使得m//n．

16.(1)解：因为3asinB−bcosA=b，

由正弦定理得3sinAsinB−sinBcosA=sinB，

又因为B∈(0,π2)，可得3sinA−cosA=1，可得2sin(A−π6)=1，即sin(A−π6)=12，

因为A∈(0,π2)，可得A−π6∈(−π6,π3)，所以A−π6=π6，所以A=π3；

(2)解：由(1)知A=π3，且a=2，可得△ABC外接圆的直径2R=asinA=43，

又由正弦定理得2b−c=2×43sinB−43sinC=43[2sinB−sin(2π3−B)]

=43[2sinB−(32cosB+12sinB)]=43⋅(32sinB−32cosB)=4sin(B−π6)，

因为△ABC为锐角三角形，可得0<B<π20<2π3−B<π2，解得π6<B<π2，

可得0<B−π6<π3，所以0<sin(B−π6)<32，则0<4sin(B−π6)<23，

所以2b−c的取值范围为(0,23)．

17.解：(1)平面四边形ABCD中，内角和为2π，且AD⊥AC，AB⊥BC，

则∠BAC+∠ADC+∠BCD=π.且∠BAC+∠ACB=∠ADC+∠ACD=π2．

∵AC平分∠BCD，

∴∠ACB=∠ACD，结合上面式子，

19.解：(1)因为cos(A−C)+cosB=tanAtanCtanAtanC−1，且A+B+C=π，

所以cos(A−C)−cos(A+C)=tanAtanCtanAtanC−1，

所以cosAcosC+sinAsinC−(cosAcosC−sinAsinC)=sinAsinCsinAsinC−cosAcosC，

即2sinAsinC=sinAsinC−cos(A+C)，

因为A∈(0°,180°)，C∈(0°,180°)，

所以sinA≠0，sinC≠0，所以cosB=12，

因为B∈(0°,180°)，所以B=60°，

因为∠ABC=60°，所以△ABC的内角均小于120°，

所以点P在△ABC的内部，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，

由S△ABC=12acsinB=43，得ac=16，

设∠ABP=θ，θ∈(0°,60°)，则∠CPB=60°−θ，

在△PAB中，由正弦定理，得PAsinθ=csin∠APB，即PA=23csinθ，

在△PBC中，由正弦定理，得PCsin(60∘−θ)=asin∠CPB，

即PC=2