概率论基础知识修改版四川大学理工概统

第一章概率论基础知识主要内容四个概念（随机事件、概率、条件概率及事件的独立性）四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式）三个概型（古典概型、几何概型、独立试验概型即伯努利概型）1§1.1样本空间与随机事件2§1.1.1随机试验1.可以在相同条件下重复进行；2.试验结果不止一个，且可以预知一切可能的结果的取值范围；3.试验前不能确定会出现哪一个结果。

随机试验的三个特点:对随机现象进行的观察或试验称为随机试验，简称为试验。3例如考虑试验：将一枚硬币抛掷两次，第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):可能结果为（正面为H，反面为T）:={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}可见，该随机试验的所有可能的结果，构成一个集合：我们称该集合为这个随机试验的样本空间。4§1.1.2样本空间在下图中，用Ω表示一个试验的所有可能的集合，则称Ω为样本空间.而这个随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.

样本点.

5----样本空间的子集例：掷一颗骰(tou)子，观察出现的点数.={1,2,3,4,5,6｝样本空间：B={1,3,5}B发生当且仅当B中的样本点1，3，5中的某一个出现.事件B就是

的一个子集随机事件6从集合的角度看事件是由某些样本点所构成的一个集合．一个事件发生，当且仅当属于该事件的样本点之一出现．由此可见，样本空间Ω作为一个事件是必然事件，空集

作为一个事件是不可能事件，仅含一个样本点的事件称为基本事件．7

§1.1.3事件的关系及运算1.事件的包含与相等

“A发生必导致B发生”,记作A

B.

A＝B

A

B且B

A.2.事件的和（并）

“事件A与B至少有一个发生”，记作AB．n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作．

9n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…An．3.事件的积（交）:A与B同时发生，记作A

B或AB．10思考：何时A-B=何时A-B=A？注：A-B=A-AB．4.事件的差：A－B称为A与B的差事件,表示事件发生而B不发生．?115.互不相容（互斥）的事件：如果事件A与事件B不能同时发生，即AB＝

，则称A与B为互斥事件。

注：(b)互斥事件可同时不发生。

(a)基本事件组是互斥事件组，126.对立（互逆）的事件：如果A

B＝,且AB＝

,则称A与B为互逆事件，记作B=如果A，B是任意两事件，则有AΩ

注意对立事件与互斥的区别.137.完备事件组若事件A1,A2,…An为两两互不相容的事件，并且,称事件组A1,A2,…An构成一个完备事件组。注:

－A(a)A与构成一个完备事件组；(b)基本事件组构成一个完备事件组。事件的关系与运算与集合的关系及运算是一致的，具有相同的运算律。说明：14事件间的运算律：(课本第四页)1、交换律：A

B＝B

A，AB＝BA2、结合律：(A

B)

C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A

B)C＝(AC)(BC)，(AB)

C＝(AC)(B

C)4、对偶律，又称德·摩根(DeMorgan)律：15(1)只有乙没有击中；(2)甲、乙至少有一人击中，而丙未击中；(3)至少两人击中目标；(4)靶上仅中一弹；(5)三人都没有击中；(6)三人中至少有一人击中目标；例1：甲、乙、丙三人各向靶子射击一次，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：思考：(7)三人中最多有一人击中目标；(8)靶上恰中两弹。？16例2：一工人生产了n个零件，设Ai表示“第i个零件是正品”（i=1,2,….n).试用文字叙述下列事件：(1),(2),(3)解：（1）n个零件全为正品；（2）至少有一个零件不是正品，或；（3）有且仅有一个零件不是正品。i=1n17

我们关心某个随机事件A发生的可能性大小：

想法：用P(A)来度量，P(.)的取值跟A有关，即：用一个与A有关函数来定义。因此：P(.)是个集函数。下面考虑该集函数的应具有的性质。§1.2事件发生的概率18

在不变条件下,重复进行n

次试验,事件A发生的频率稳定地在某一常数

p附近摆动,且一般地说,当次数n越大时,摆动幅度越小,则称常数p为事件A发生的概率,记作P(A)。频率fn(A)虽然具有波动性，但有刻画事件A发生可能性客观的一面，故被称为A的统计概率。

定义1.1在次重复试验中，若事件A发生了次，则称为事件A发生的频数，称为事件A发生的频率，记为。191.非负性：对于每一个事件A，0≤P(A)≤1;2.规范性：P(

)=1;3.可列可加性：对于两两互斥的事件A1,A2,…,有

概率的公理化定义设E是随机试验，是它的样本空间。对于每一个事件A赋予一个实数P(A),称为事件A的概率，如果它满足：20概率的性质一般地，21AΩΩBA-BAB小结论:概率的性质226°（加法公式）推广：概率的性质23∵P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5∴P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.2从而=0.1。例3:已知P(A)=0.7，P(B)=0.3，P(A-B)=0.5，求P(B-A)。解：24例4:某市有A,B,C三种报纸,调查表明居民家庭订购C报的占30%,同时订A,B两种报纸占10%,同时订A,C及B,C两种报纸各占8%与5%，三种都订的占3%.求从该市任选一户,问该户(1)只订A、B两报的概率；(2)只订C报的概率。解:设A,B,C分别表示该户订A,B,C报这三个事件,则P(C)=0.3,P(AB)=0.1,P(AC)=0.08,P(BC)=0.05,P(ABC)=0.03.

于是，=0.1－0.03=0.07；2526等可能概型等可能概型是指在一次试验中，样本空间的每个样本点被取到的可能性相等的随机试验类型，这是一种最简单的概率类型。古典概型几何概型等可能概型27古典概型古典概型具有如下特点：（1）样本空间中的样本点的数量是有限的，即试验的基本事件总数为有限个：Ω={ω1,

ω2

,…,

ωn}；（2）每次试验中，每个样本点出现的可能性相同：

P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn).（3）在任何一次试验中，ω1,

ω2

,

…,

ωn中有且仅有一个发生．28古典概型的计算公式

在古典概型中，若中有n个样本点，事件A中有k个样本点，则这就是古典概型概率的计算公式。29一般古典概型的概率计算步骤为：（1）判断试验为古典试验，即基本事件总数为有限个，且各基本事件出现的可能性相同。（2）计算样本空间中样本点的个数n；（3）计算事件A包含样本点的个数k；（4）由计算事件A的概率。30

一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.因为抽取时这些球是完全平等的，故没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.1325678910410个球中的任一个被取出的机会都是1/10所以，称这类概率模型为古典概型.23479108615示例：31在此示例中,若记A={摸到2号球}若记B={摸到红球}223479108615132456

P(A)=1/10显然：则P(B)=?

P(B)=6/10显然：P(A)=?则这里实际上是从“比例”转化为“概率”静态动态当要求“摸到红球”的概率时，实际上只要找出它在静态时相应的比例.32加法原理：设完成一件事可以分为两类（两种途径），第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。回顾：排列与组合1、两条原理：乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法。33（1）有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，共有nk

种排列方式.2、排列：（2）无重复排列（选排列）：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后不放回，将记录结果排成一列，共有Ank=Pnk=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)种排列方式.（3）全排列：从含有n个元素的集合中随机抽取n次，每次取一个，记录其结果后不放回，将记录结果排成一列，共有An=Pn=n!种排列方式.34（1）从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法.3、组合：（2）把n个元素随机地分成m组(n≥m),要求第i组恰有ni个(i=1,…m)，共有种分法.?35n个不同元素分为m组，各组元素数目分别为n1,n2,…,nm的分法总数为：…n1个元素nm个元素n2个元素n个元素因为：分组分配36

把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：CISNCEE问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？例1:37故该结果出现的概率为：

这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：解:设A：排列结果恰好拼成英文单词SCIENCE

拼成英文单词SCIENCE

的情况数为：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次.n:七个字母的排列总数为7！38例2:

设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求：其中恰有k件次品的概率.这是一种无放回抽样.

令B={恰有k件次品}则：P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品解：39例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员；B:3名运动员集中在一组40

把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为：而出现事件A的分法数为n!,例4:

n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只.问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？故得:解：41例5:盒中有6张面值相同的债券,其中有两张中奖债券,现从中任取两次,每次取一张,考虑两种取法:

(1).有放回地取：第一次取出观察后放回盒中混合均匀后再取第二次(放回抽样)(2).无放回地取：第一次取出后不放回盒中,第二次从剩余的债券中再取一张(不放回抽样)求：分别就两种抽样方式求取到的两张都是中奖的债券的概率？42解：显然，本题属古典概型。(1).有放回地抽取：设A：取到的两张都是中奖券第一次从盒中取，不论是否是中奖券，总是从6张中取一张，第二次再从盒中取，仍是有6张券可供抽取，故有：中奖券有2张，第一次取有2张可供抽取,第二次取仍有2张可供抽取，故有：从而:

43(2).

不放回地抽取：从而:

▲在此例中若将取法改为“一次抽取两张”,其它条件不变则有:▲“不放回地抽取两次,每次取一张”相当于“一次抽取两张”.故在许多问题中如果不是有放回地抽样,就统称为“任意取出”多少个。注:44两个基本的摸球模型口袋中有N只球，其中m个红球，余下是白球,他们除颜色以外没有差别，现随机从中摸球n次并观察摸出球的颜色，计算恰好摸到k个红球的概率。考虑如下两种情况:(1)有放回摸球(2)不放回摸球45（1）有放回抽样样本空间中的样本点总数一共有Nn

取出的n个球究竟哪k个是红球：Cnkm个红球中取k个：mk(N-m)个白球中取n–k个：(N-m)n–k概率论中称为是二项分布的概率公式46（2）无放回抽样中包含的样本点，即从N个球中不放回抽取n个。我们感兴趣的是：n个中有k个红球。概率论中称为是超几何分布的概率公式。47§1.3.2几何概型

几何概型:保留古典概型等可能性的特征,允许试验的所有可能结果为直线上的一条线段,平面上的一区域或空间中的一立方体等具有无限多个结果的情形,称这种性质的实验模型为几何概型.48?例1在计算机上任意产生[0，1]区间上的一个随机数x，问x小于1/3的概率是多少？例2假设在500毫升的自来水中有一个大肠杆菌，今从中任取2毫升水样放到显微镜下观察，问发现大肠杆菌的概率是多少？49几何概率的计算A作为一般的欧氏区域，m(A)作为A的测度（一维是长度，二维是面积，三维为体积等）就得到几何概率计算方法：如果把50例：某电台每到整点均报时，某人早上醒来后打开收音机，求他等待的时间不超过10分钟就能听到电台报时的概率。P=1/651例：某货运码头公能容纳一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时。设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。解：52例1.13蒲丰问题1777年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离的一半。把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去。小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相交。这次实验共投针2212次，与直线相交的有704次，2212÷704≈3.142。得数竟然是π的近似值。这就是著名的蒲丰投针问题。53平行线的距离a，针的长度l，求针与平行线相交的概率。怎样描述针与直线相交的情况？X表示针的中点与最近的一条平行线的距离54例1.13蒲丰问题55取a=2L，投针N次，如果有k次与直线相交，则π的近似值为N/k例1.13蒲丰问题56零概率事件不一定不发生在[0,1]区间上任意取一个随机数,则这个随机数恰好等于0.5的概率是多少010.5P=点(0.5)的长度/[0,1]区间的长度=057§1.4.1条件概率58引例：设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率设A＝“第一次取到红球”,B＝“第二次取到红球”59显然，若事件A、B是古典概型的样本空间Ω中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则一般地，设A、B是Ω中的两个事件，则可以定义条件概率如下定义：设A,B是两个事件,则称为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率,其中。60思考题一：你到一个家庭来做客，已经知道该家庭有两个孩子，但不知道性别，你发现来给你开门的孩子是个女孩，而另一个孩子你没看到，则另一个孩子也是女孩的概率是多少？

思考题二：已知一家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率。(假定生男生女是等可能的)61思考题二的解答由题意,样本空间为:设B={其中一个是女孩},A={两个都是女孩}，则B={(M,F),(F,M),(F,F)},A={(F,F)}。因此,要求的是:P(A|B)=1/362在样本空间中，先求出P(AB)，P(B)，再由定义计算P(A|B)在缩减样本空间B中求事件A的概率，就得到P(A|B)；。求条件概率的方法有两种：63

掷骰子A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}则:P(A|B）=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数比如：64条件概率是概率，满足公理化定义三条件容易验证：（3）设可列个事件A1，A2，A3…两两互不相容，则类似可以推出条件概率也满足概率的基本性质。65

设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).活到20年以上活到25年以上B

A例1:解：66§1.4.2乘法公式乘法公式………67

无条件概率

P(A)、条件概率

P(A|B)

及P(AB)的区别归纳

每一个随机试验都是在一定条件下进行的，若设其样本空间为

Ω

★68丙答出的概率。例2：依次请甲、乙、丙三个同学回答一个问题，如果前面的同学回答对了就停止，回答错误则由后面的同学回答。已知他们依次答对的概率分别是0.4、0.6、0.8。分别求出问题由甲、乙、69设A、B、C分别表示问题由甲、乙、丙答出，则解：70一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次试求：第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.

例3:

波里亚罐子模型b个白球,r个红球随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.

解:设Wi={第i次取出是白球},

i=1,2,3,4Rj={第j次取出是红球}，

j=1,2,3,471用乘法公式容易求出：=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)于是：W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”

72一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽签的方法来解决。

入场券5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写。将它们放在一起洗匀,让5个人依次抽取例4:问：后抽的人确实比先抽的人吃亏吗73到底谁说的对呢？请用已学的条件概率、乘法定理来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到

‘入场券’

的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”74设：Ai表示“第i个人抽到入场券”i＝1,2,3,4,5.显然：P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，则：表示“第i个人未抽到入场券”因为若第2个人抽到了入场券，则第1个人一定没抽到.由于：所以由乘法公式：计算得:第2个人抽到入场券的概率也是1/5.即：75这就是有关抽签顺序问题的正确解答:

同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此：＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.由乘法公式76

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥§1.4.3全概率与贝叶斯公式77

有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求:取得红球的概率.解：记Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3;

B={取得红球}即:

B=A1B∪A2B∪A3B，

且:

A1B、A2B、A3B两两互斥B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式123引例:注意到：78将此引例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/1579注：Ω的一个划分一是要互斥，二是要充满整个空间.样本空间的划分

设Ω为试验E的样本空间,为E的一组事件,若：则称是样本空间Ω的一个划分或称是一个互斥事件完备组。nBBBL,,21定义：80E的一组事件是S的一个划分或构成了互斥事件完备组E的另一组事件就不是S的一各划分，或构不成一个互斥事件完备组。比如：对“掷一颗骰子观察其点数”这一试验，其：81[证明]：则：

设试验E的样本空间为Ω,A为E的事件,为Ω的一个划分,且称为全概率公式.全概率公式定理1.1(1))(21nBBBAAΩAÈÈÈ==LQ82

▲全概率公式关键抓住寻找Ω的一个划分或寻找一个互斥事件完备组(这里事件是导致事件A发生的一组原因,而事件A的出现只能与中之一同时出现)。注：83每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和即为全概率公式.某一事件B的发生有各种可能的原因Ai(i=1,2,…,n)如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是：P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式：▲从另一个角度去理解▲全概率公式一搬用于“用条件概率求非条件概率”的问题。即P(A)不易求,但却很容易找到S的一个划分时用全概率公式比较方便84

设甲袋中有3个白球,5个红球,乙袋中有4个白球,6个红球,现从甲袋中任取一个球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球。求：从乙袋中取得白球的概率。设A：从乙袋中取得白球取球只有两种情况，要么白球要么红球所以设：例4:甲:乙:解：因为:85显然：甲:构成一个互斥事件完备组乙:86

某工厂有四条流水线生产同一种产品,四条流水线的产量分别占该产品总产量的且四条流水线生产产品的次品率分别是0.01,0.02,0.03,0.025,

求：从出厂的这种产品中任取一件恰是次品的概率。例5：87

因为抽出的产品只能出自这四条流水线，故设：从而：解：取出的一件是次品取出的一件次品恰出自第条流水线四条流水线产量(率):15%,20%,25%,40%四条流水线次品(率):0.01,0.02,0.03,0.025显然:Ω88该球取自哪号箱的可能性最大实际中还有下面一类问题：“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.引例某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:89有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球。1231红4白?求：该球是取自1号箱的概率

引例：

90某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;

B={取得红球}求:P(A1|B)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到：贝叶斯公式1231红4白?91贝叶斯公式(逆概公式)设试验E的样本空间为Ω,A为E的事件,称为贝叶斯(Bayes)

公式[证明]：略.贝叶斯公式与全概率公式一样都是加法公式和乘法公式的综合运用,值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断的方法，称作为：“贝叶斯统计”（这也足可见贝叶斯公式的影响）定理1.1(2):则:92

▲贝叶斯公式在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的先验概率和后验概率.P(Ai)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化▲贝叶斯公式适用于“用条件概率求条件概率”当有了新的信息（知道B发生）,人们对诸事件.发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.注:93

在不了解案情细节(事件B)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为:比如，原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯。例如:某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情细节后,这个估计就有了变化。P(A1|B)知道B发生后P(A2

|B)P(A3|B)最大偏小94例6:在例5中已知任取一件产品是次品．问：此次品出自哪条的流水线的可能性大解：例5:某工厂有四条流水线生产同一种产品,四条流水线的产量分别占该产品总产量的且四条流水线生产产品的次品率分别是0.01,0.02,0.03,0.025,求：从出厂的这种产品中任取一件恰是次品的概率.15%,20%,25%,40%出自第四条流水线可能性大95例7：商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,由Bayes公式:96甲、乙二人进行击剑练习，甲先向乙进攻，击中的概率为0.2，若未击中，则乙还击，击中甲的概率为0.3；若未击中甲，则甲再次进攻，击中乙的概率为0.4。求这几个回合中：(1)甲被击中的概率；(2)乙被击中的概率；(3)若乙被击中，求他是在第一回合中被击中的概率。例8：97解：Ai表示第i回合击中对方，i=1,2,3.A表示甲被击中，B表示乙被击中，则98§1.5事件的独立性及伯努利概型

设P(A)>0、P(B)>0,如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响，即P(A|B)=P(A),则称事件A对于事件B独立。

若A对于B独立，则B对于A也一定独立，于是，称事件A与事件B相互独立。？99例：10件产品中有4件正品，连续取两次，每次取一件，作有放回抽样。设B、A分别表示第一、二次取得正品，则P(A)=0.4，P(A|B)=0.4，故有P(A)=P(A|B).换言之，有P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B).100定义1.4设A,B是随机试验E的两个事件，若

则称事件A，B

相互独立。

于是，我们也可以按如下方式来定义事件A、B的相互独立关系：101多个事件的独立性

如果n(n>2)个事件A1,A2,…,An中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，则称A1,A2…,An相互独立。定义：若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足：(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立。102两两独立与相互独立定义1.5：设A1，A2，…，An(n>=2)是n个事件，如果Ai，Aj是其中任意两个事件，(i≠j)有

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)则称这n个事件两两独立。103定义1.6

设A1，A2，…，An(n≥2)是n个事件，如果则称n个事件A1，A2，…，An相互独立。m104事件独立性的性质：1.设A、B为两个事件，若P(A)>0，则事件A与B相互独立的充分必要条件是P(B|A)=P(B)。

若P(B)>0，则事件A与B相互独立的充分必要条件是P(A|B)=P(A)。1052.若事件A与B相互独立，则A与，与B，与中的每一对事件都相互独立。－B－B－A－A仅证左边:右边：1063.

若事件A1,A2,…,An相互独立，则特别地，若A、B、C相互独立，则∪∪∪∪∪1074.

必然事件Ω与任意随机事件A相互独立；不可能事件

与任意随机事件A相互独立。108思考题答：概率为1的事件与任何事件都相互独立；概率为0的事件与任何事件都相互独立.概率为1