概率论预备知识吴建成

概率论主讲：吴建成第一页，共33页。Ch1预备知识第二页，共33页。§1排列与组合第三页，共33页。基本计数原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm

种方法.加法原理第四页，共33页。基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，

乘法原理第五页，共33页。例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法3

+2

种方法回答是第六页，共33页。例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有

种打扮第七页，共33页。

加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.第八页，共33页。其中：k=n时称全排列一、排列从n个不同元素取k个（1kn)的不同排列总数为：从n个不同元素取k个（允许重复）（1kn)

的不同排列总数为：第九页，共33页。从n个不同元素取

k个（1kn)的不同组合总数为：常记作，称为组合系数。二、组合注：第十页，共33页。从3个元素取出2个的排列总数有6种从3个元素取出2个的组合总数有3种20排列和组合的区别：顺序不同是不同的排列组合不管顺序第十一页，共33页。§2集合第十二页，共33页。一、集合的基本概念1.集合与元素如，2.集合的分类有限集无限集不可数集可数集：如果一个无限集中的诸元素能与全体自然数构成一一对应关系，则此无限集称为可数集或可列集。第十三页，共33页。二、集合间的关系与运算1.子集显然有：SAB2.并集SAB第十四页，共33页。3.交集特殊地，若，则称集合互不相交。SAB4.差集5.余集SABASAB第十五页，共33页。6.运算规律：交换律：分配律：结合律：德摩根律：第十六页，共33页。Ch2随机事件第十七页，共33页。§1随机事件的概念第十八页，共33页。E2：掷一骰子，观察点数。首先，看几个试验：E1：抛币观察正、反面。{正、反}{1，2，3，……}{1、2、3、4、5、6}E3：定点投篮，投中为止，记录投篮次数。E4：观察某地区每天最低与最高温度（其中T1,T2是该地区最低与最高温度）第十九页，共33页。ⅲ）再试验前不能预知哪一种结果出现。以上试验具有以下特征：ⅰ）在相同条件下可重复进行。ⅱ）试验的可能出现的结果不唯一，但知道所有可能出现的结果。我们将具有这三个特征的试验称为随机试验。一、随机试验常用E

表示。第二十页，共33页。1.定义：在随机试验中，可能出现、也可能不出现的事件称为随机事件。常用A，B，C，D，……表示。2.两个特殊的随机事件必然事件：每次试验中必然发生的事件。不可能事件：每次试验中必然不发生的事件。用表示。用表示。注：必然事件和不可能事件都是确定的，并不具备随机性，但为了讨论问题的方便，也将它们作为随机事件处理。二、随机事件第二十一页，共33页。则有：如，掷一枚骰子，观察点数。U={1，2，3，4，5，6}令事件A：出现奇数点，即A={1，3，5}；

B={1}；C={2}；D={出现7点}。A，B，C为一随机事件；D=φ为不可能事件。第二十二页，共33页。§2事件间的关系及运算第二十三页，共33页。事件间的关系及运算随机事件必然事件不可能事件A是B的子事件即事件B包含事件A，或事件A发生必然导致事件B发生事件A，B相等

空集

φ

全集

U

集合

A

集合论

概率论

记号A=BA是B的子集集合A，B相等第二十四页，共33页。A,B互余A,B不相交AB=φ差集A—BA与B的交集A与B的并集

集合论概率论

记号

即A,B中至少有一个发生即A,B同时发生

即A发生而B不发生积事件和事件差事件A,B互斥或互不相容即A与B不能同时发生A,B互逆或为对立事件即A,B有且仅有一个发生第二十五页，共33页。SBSA

互不相容

对立事件A第二十六页，共33页。推广：为n个事件的和事件

为可列个事件的和事件

同理有若，则称事件是互不相容的。若，则称它们是两两互不相容的。注：

“A

与B

互相对立”与“A

与B

互斥”是不同的概念。第二十七页，共33页。——

抽取的是精装中文版数学书——

精装书都是中文版——

非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书例1.在图书馆中随意抽取一本书，表示数学书，表示中文版，表示平装书.事件则：第二十八页，共33页。例2.设A,B,C表示三个随机事件，试将下列事件用A,B,C表示出来A发生,B,C不发生(2)A,B都发生,而C不发生(3)所有三个事件都发生(4)3个事件中至少1个发生(5)3个事件中至少2个发生(6)3个事件都不发生(7)不多于1个事件发生(8)不多于2个事件发生(9)恰有1个事件发生解:第二十九页，共33页。§3基本空间第三十页，共33页。——U的子集,记为A,B,…它是满足某些条件的基本事件所组成的集合.——

随机试验E所有可能的结果组成的集合称为基本空间，记为U——基本空间的单个元素,称为基本事件.基本空间基本事件随机事件第三十一页，共33页。例.写出下列随机试验的基本空间（1）同时掷两枚骰子，记录两枚骰子点数之和（2）10件产品中有3件是次品，每次从中取1件，取出后不再