湖南省宁远某中学2025届高三年级下册新年第一考（开学）数学试卷

湖南省宁远县第一中学2025届高三下学期新年第一考(开学)数学

试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]已知集合5=卜卜=2〃+1,〃€2},

T={t\t=4n+l,n^Z},则S"=()

A.0B.SC.TD.Z

1.答案：C

解析：任取/eT，则/=4〃+1=2・(2〃)+1,其中〃eZ，

所以，teS，故T「S，因此，snr=r.

故选：C.

2.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]若i(l-z)=l,则z+Z=()

A._2B._IC.lD.2

2.答案：D

解析：由题设有1—z」=3=—i,

ii2

故z=l+i，故z+5=(l+i)+(l-i)=2,

故选：D

3.[2024春•高三•湖南株洲•开学考试校考]已知向量7=(3,4),6=(1,0),

3=口+医若(。团=(瓦3，则/=()

A.-6B.-5C.5D.6

3.答案：C

解析：E=(3+/,4),cos仅©=cos(Z?©,

解得/=5,

故选：C

4.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]已知等差数列{4}的公差为力前”项

和为S"，贝『2<0”是“邑”—52”<邑”一5/'的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.答案：B

解析：“S-J即5”+%<2%，

皿n（n-l）d3n（3n-l）d2n（2n-l）d

3na22na,H-----------

贝I」na,+、2+i+—'2<12

n（n-l]d3n（3n-l）d/、

o\2+—'2<2〃（2〃—1）d

oH—n+9n2—3n—8n2+4〃）d<0

o2n2d<0od<0，

则“d<0”是“s3K-s2n<s2n-s“”的充要条件.

故选：B

22

5.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]已知双曲线c：=_1=i（a〉o/〉O）

a2b1

的离心率为血，则点（4,0）到C的渐近线的距离为

A.叵B.2C.孚D.2夜

5.答案：D

解析：Jl+（-）2=V2».-.-=1

a\aa

所以双曲线的渐近线方程为x±y=0

所以点（4,0）到渐近线的距离d=7含4=2夜r-

故选D

6.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]在△ABC中内角4B,C所对边分别

9

为。'b,c,若3=—71,b2-—ac，贝UsinA+sinC=（）

34

A.lB.亚C.立D.立

2"22

6.答案：C

解析：因为3=女，b1--ac则由正弦定理得sinAsinC=asin2jB=L

3493

由余弦定理可得：b1=a2+c2-ac=—ac

4

即：a2+c2--ac,根据正弦定理得siYA+sin2c=—sinAsinC=—,

4412

所以（sinA+sin。）？=sin2A+sin2C+2sinAsinC=:，

因为A,C为三角形内角，则sinA+sinC〉O，则sinA+sinC=E.

2

故选：C.

7.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱

中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取

出一球放入乙箱，分别用事件％和&表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱

中随机取出两球，用事件3表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（）

A

-m）=|B.PGB）*C.P（MA）*D.P（A|B）=A

7.答案：C

解析：由题意可知p（a）=|,尸（4）=|,

P（小吟**4）唱$，

所以p（5）=p（A）p（叫A）+P（4）P（5|4）=|XK+|X1=M

12

V-17P（B）P（B）1111

50

综上ABD说法正确，C说法错误；

故选：C

8.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]若函数

/（X）=sin[ox-胃-cos0x（。〉0）在（0,兀）内恰好存在8个/,使得|/由）|=1,则

。的取值范围为（）

197197725

A.B.,D.

6'2~622，-6"

8.答案：D

解析：由题意可得:

/(x)=sin711

COX——-coscox=旦……X…

622

71

COX——

223

由|〃Xo)|=日可得sin,Xo-T=4

71兀1

因为X£（0,7l），0>0，则

由题意可得也<0兀-二《西，解得工<0«”,

故选：D.

二、多项选择题

9.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]已知数列｛4｝是公差为d的等差数

列,S“是其前〃项的和，若％<0,则（）

A.d>0B.〃2O12=°C§4024=°D.S〃2s2012

9.答案：ACD

斛析：因为Sago。=S2024，所以。2001+“2002+,"2024=°，

所以24（%。。1+%。24）=0,所以的）01+^2024=。2012+〃2013=2%+4023d—0>

2

又因为q<0,所以d=-——a.>0,故A正确；

40231

40221、

0nlo=a,+20lid=a-----a.=-----a.<0，故B错误；

2701211y40234023

邑⑼=4024(]+*)=2012(%、“+/。24)=0，故C正确；

a

因为02012<°，“2013=~2012>°，

所以当2012时，an<0,当"22013时，an>Q,

所以⑸L=s2M2,所以S/SQ，故D正确.

故选：ACD.

10.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]已知函数/(力及其导函数((尤)，且

g(x)=/'(x)，若VxeR，/(%)=/(6—%)，g(4+x)=g(4—x)，贝>J()

2025

A./(-2)=/(8)B.g(-l)+g(3)=2C.£g(z)=0D./(0)+/(4)=2

i=l

10.答案：AC

解析：因为/("=/(6-"，所以/(力的图像关于直线x=3对称.

令x=-2，得/(-2)=/⑻，故A项正确；

因为/(x)=/(6—x).所以/'(%)=—/'(6—x)，即g(x)=-g(6-x)>

所以g(4+x)=-g(2_X),因为g(4+x)=g(4-x),所以g(4__x)=_g(2__x),

即g(x+2)=-g(x),所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x),则g(x)的一个周期为4.

因为"％)的图像关于直线x=3对称，所以1=3是/(力的一个极值点，

所以8⑶:/，⑶=0，所以g(-l)=g⑶=0，则g(-l)+g⑶=0.故B项错误；

由g(x+2)=-g(x)，得g⑴+g⑶=0，g⑵+g(4)=0，

即g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=0.

2025

所以Zg(i)=506[g⑴+g(2)+g⑶+g(4)]+8⑴=g(l)=0，故C项正确；

i=l

设Mx)=〃x)+c(c为常数)，定义域为R,

贝I//(%)=/'(x)=g(x),/z(3+x)=/(3+x)+c,/z(3-x)=/(3-x)+c,

又/(3+x)=/(3-％)，所以故3+%)=//(3-，显然/z(x)=/(%)+c也满足题设，即

〃九）上、下平移均满足题设，显然〃0）+/（4）的值不确定，故D项错误.

故选：AC

11.：2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]“角谷猜想”是“四大数论世界难题”之

一，至今无人给出严谨证明.“角谷运算”指的是任取一个大于1的正整数，如果它是偶

数，我们就把它除以2,如果它是奇数，我们就把它乘以3再加上1.在这样一个变换

下，我们就得到了一个新的正整数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然

数，该猜想就是：反复进行角谷运算后，最后结果为1.我们记一个正整数经过

/（“）次角谷运算后首次得到1（若〃经过有限次角谷运算均无法得到1,则记

/（〃）=+8）,以下说法正确的是（）

A.J（n）可看作一个定义域和值域均为N*的函数

B./（〃）在其定义域上不单调，有最小值，无最大值

C.对任意正整数〃（“手1）,都有J（n）J（2）=J（2n）-1

D.J（2"）="是真命题，J（2"-l）＜J（2"+1）是假命题

11.答案：BCD

解析：对于A,依题意，/（〃）的定义域是大于1的正整数集，A说法错误；

对于B,由42）=1,43）=7，J（4）=2可知/⑺在其定义域上不单调，

根据题意可知J（2）=1,=则/⑺有最小值1,无最大值,B说法

正确；

对于C,对任意正整数J（2n）=J（n）+L

又42）=1,所以15"（2）=1（"）=1,C说法正确；

对于D,对任意正整数〃，2〃每次除以2,最后得到1的次数为〃，

因此J（2"）=〃，由jQ?—1）=J（3）=7,J（22+l）=J（5）=5可知J（2"—1）＜J（2"+l）是

假命题，D说法正确；

故选：BCD

三、填空题

12.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考+的展开式中，各项系数中的

最大值为.

12.答案：5

解析：由题展开式通项公式为/，OWrWlO且reZ，

设展开式中第r+1项系数最大，

44

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为c：oQj=5.

故答案为：5.

13.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]已知«为第一象限角，夕为第三象

限角，tana+tan，=4,tanatan,=0+1，则sin（a+/7）=.

13.答案：_述

3

解析：法一：由题意得tan（a+万）=二），=（二）=-2」,

ALdll（JLIdllp]—I7Z+]I

因为a£12女兀，2左兀+^），Be[2加兀+兀，2mn+技），k,muZ,

则a+/?£（（2加+2左）兀+兀,（2加+2左）兀+2兀），k,meZ，

又因为tan（a+£）=-20<0，

则£,2根+2左）兀+，，（2加+2左）兀+2兀],k,meZ,

贝hin（a+尸）<0,则sin'a+）|=_2血,

Icos（a+m

联立sin2（o+/7）+cos2（o+m=l，解得sin（a+

法二：因为c为第一象限角，夕为第三象限角，贝!Jcosi>0，cos/7<0,

COSa1nCOS/?-1

cosa=/=/=,cosp=/=i=

Vsin26z+cos2crJl+tan2a^/sin2y5+cos2y]l+tan2J3

贝1Jsin(a+/?)=sinacos°+cosesin/?=cosacos/?(tan+tan/7)

-4

=4coscifcos/?=

________________-4

(tancir+tan/?)2+(tanortan/?-1)2

-42A/2

742+23

故答案为：—述.

3

14.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]若曲线丁=辰-1亿＜0)与曲线丁=1有

三条公切线，则左的取值范围是.

14.答案:--,0

e

解析：设公切线为/,2(国,％)是/与/(%)="-1的切点,

由/(%)=履T，得/(X)=W，

X

设Q(%2，＞2)是/与g(%)=e*的切点，由g(x)=e*，得g，(x)=e，，

所以/的方程为y-%=2(x-%)，因为％=8，整理得y=-k2k

----，

玉xx花玉

同理y-%=e*(x-x,)，因为%=e*,整理得y=e*x+e的(1一%)，

依题意两条直线重合，可得

消去网，得4左=-e气七-1)2，

由题意此方程有三个不等实根，设//(%)=-e*(x-1)?,

即直线y=4k与曲线网可有三个不同的交点，

因为〃'(x)=e*(l—必)，令"")=0，则兀=±1，

当xv—l或x>l时,/z"(x)<0;当-l<xvl时,/z'(x)>0,

所以/?(%)有极小值为/z(-l)=-4e-1»/z(x)有极大值为/z(l)=0，

因为/z(x)=-e，(x-，e*>0，(x-1)2>0，所以/z(x)<0，

当尤趋近于-8时，可力趋近于0；当%趋近于+00时，力⑴趋近于-00,

故可力的图象简单表示为下图:

所以当-4「<4左<0，即二〈人<0时，直线y=4Z与曲线可力有三个交点,

故答案为：,Jo]

四、解答题

15.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]在△ABC中，角A,B,C所对的边

分别记为〃,b,c,MtanA(cosC+sinB)=cosB-sinC.

(1)证明：A+2B=-;

2

(2)若q=2,求A+c的取值范围.

15.答案：(1)证明见解析；

⑵(2,+8)

解析：(1)因为tanA(cosC+sin3)=cosB-sinC,

所以sin490sC+sinB)-cosB-sinC，

cosA

即sinAcosC+sinAsinB=cosAcosB-cosAsinC，

即sinAcosC+cosAsinC=cosAcosB-sinAsinB，

所以sin(A+C)=cos(A+B),

又因为△ABC中A+C=7i—5，

所以sinB=sin1/+A+5),

所以3=^+A+3或3+巴+4+3=兀，

22

又因为Ac(0,兀)，Be(0,7i))

即人=—乙(舍)或A+23=E，所以A+23=E.

222

(2)由(1)得4+23=巴，因为^=上=^_,

2sinAsin3sinC

asinB2sinB2sinB2sinB

所以sinAsinA.(itdcos2B，

sm——2B

12

2sin仁+3

asinC_2sinC2cos3

sinAsinAsinl1-2Bcos23

b+2(sinB+cosB)2(sinB+cosB)2

则cos2Bcos2B-sin2BcosB-sinB

0<3<兀

又由0〈工一23<兀解得o<3(殳，

24

Q<—+B<71

[2

所以二<3+工<二，所以0<3仿+工]<也,

4421412

所以Z?+c的取值范围为(2,+00).

16.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]已知函数/(力=y-

⑴若a=2,求/(x)在(1,/⑴)处的切线方程；

⑵讨论“X)的零点个数.

16.答案：(l)y=(2e2-l)x-e2；

⑵答案见解析

解析：(1)若「=2，贝U/a)=e2、-x，f(x)^2e2x-l.

又/⑴=e2—1,切点为(l,e?—1),

2xl2

曲线y=f(x)在(1,7(1))处的斜率k=/(1)=2e-l=2e-l，

故所求切线方程为y—(e?-1)=(2e?—l)(x—1)即y=(2e2-l)x-e2.

(2)由题/'⑴=恁厩―1.

①当aWO时，/'(x)<0，/(x)在R上单调递减，

又/⑼=1〉0，=1W0.

故/(%)存在一个零点，此时“力零点个数为L

②当。>0时，令/'(九)<0得x<—蛔，令/'(x)>0得x>—蛔，

所以/(%)在卜0,-用上单调递减，在［-7，+oo］上单调递增.

故“X)的最小值为小吗=1±1!土

当0=1时，〃尤)的最小值为0,此时〃龙)有一个零点.

e

当时，”外的最小值大于0,此时“力没有零点.

e

当0<a<工时，〃尤)的最小值小于0，/(-l)=e-c,+l>0-

1+lna0n-+

--------<0,X->H-oo0j,/(x)f+co,此时/(%)有两个零点.

a

综上，当「wo或。=工时，/(%)有一个零点;

当0<a<工时，〃力有两个零点;

当a〉，时，/(力没有零点.

17.［2025春•高三•湖南永州•开学考试校考］如图，在以A,B,C,D,E,R为顶

点的五面体中，四边形ABCZ)与四边形ADEF均为等腰梯形，EF//ADBC//AD-

AZ)=4，AB=BC=EF=2,ED=M，FB=26，知为AD的中点.

⑴证明：则〃平面COE；

（2）求二面角尸—9—石的正弦值.

17.答案：（1）证明见详解；

⑵述

13

解析：（1）因为BC〃A。，EF=2,AD=4，M为A£）的中点，

所以BC〃A/D，BC=MD，

四边形5co暇为平行四边形，所以6M7/CD，又因为平面CDE，

CDu平面CDE，所以BM7/平面CDE；

（2）如图所示，作50JLAD交A。于。，连接0E，

因为四边形ABCD为等腰梯形，BCHAD，AD=4，AB=BC=2,

所以CD=2，结合（1）BCDM为平行四边形，

可得BM=CD=2，又AM=2，

所以△河/为等边三角形，。为AM中点，所以O5=g，

又因为四边形ADEF为等腰梯形，〃为A。中点，

所以EF=MD，EFIIMD，

四边形EW如为平行四边形，FM=ED=AF，

所以△加“为等腰三角形，△向/与底边上中点。重合，

OFLAMOF=y/AF2-AO2=3»

因为052+0尸2=5/2,所以05,077，所以08，0D，0尸互相垂直，

以03方向为刀轴，0。方向为丁轴，0尸方向为z轴，建立O-孙z空间直角坐标系,

2A

y

F（0,0,3）»3（百,0,0），M（0,l,0），£（0,2,3），

W=（-^,l,0）,丽=[后0,3）,

丽=卜君,2,3）,设平面BFM的法向量为四=（%,%,zj,

平面EMB的法向量为为=（%2，丁2*2），

则产.呼=0,即卜后+必=0,

m-BF=0一百玉+34=0

令X[=拒,得％=3,4=1,即庆=（6,3』）,

则上痴=0,即心2+%=0,

n-BE-0-A/3X2+2y2+3z2=0

令42=g，得%=3'z2=-l

an/I-\玩,五1111

即为=（6,3，T，侬口,〃”而=7r>二百，

则sin（比，力=勺叵，故二面角尸——石的正弦值为1.

18.[2025春•高三•湖南永州•开学考试校考]某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛

队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若

3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二

阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该

队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中

的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.

（1）若“=0.4,4=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分

的概率.

(2)假设0<p<q,

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比

赛？

(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

18.答案：(1)0.686；

(2)(i)由甲参加第一阶段比赛；(i)由甲参加第一阶段比赛；

解析：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第

二阶段也至少投中1次，

.•.比赛成绩不少于5分的概率尸=(1-0用(1-0.53)=0.686.

(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为

昂=[1—(1—

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为

殳=[1-

•.<0<p<q,

••丹一坛=q3-1q-pqf-p3pqf

=(.q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)-\_(p-pq)2+(,q-pq)2+(.p-pq)~\

=(p-q)因?》-3p~q-3pq-)

^3pq(p-q)(pq-p-q)^3pq(p-q)[(l-p)(l-q)-i]