湖南省长沙市某中学2025届高三年级下册2月开学考试数学试卷

湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期2月开学考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]已知集合

A={xeZ|x-5x-6<O},B={xeR||x-l|<l},^JA(^B)=()

A.{0,1,2}B.{3,4,5}C.{%|0<x<2}1<%<0或2<x<6}

1.答案：B

解析：解不等式好_5%_6<0,则其解为-l<x<6・

又因为xeZ,所以A={0,l,2,3,4,5}.

求解集合3:解不等式|x-1区1,则—iwx—iwi,得04九W2,所以5={%|O〈xW2}.那么

61tB={x|x<0或x>2}.

所以A93)={3,4,5}.

故选:B.

2.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]已知复数z=»0,且有z+N=0,则

4+3i

实数。=()

A.--B.-2C.-D.-

3223

2.答案：A

曲近2+ai(2+ai)(4-3i)8+3a4a-6.

解析：z=-------=>----------------(-=-------+--------1,

4+3i(4+3i)(4-3i)2525

8+3ci4。一6.

所以三----------1，

2525

又z+元=0,

所以2=0,解得:a=—

253

故选:A

3.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示

事件“第一次出现的点数是奇数点”，乙表示事件“两次骰子的点数之和是7”,则甲与乙的

关系为（）

A.互斥B.互为对立C.相互独立D.既不互斥也不独立

3.答案：C

解析：由题设，样本空间为

(1,1)，(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3)，

(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3)

,(6,4),(6,5),(6,6)，共有36种，

甲有

(1,1)，(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5),(5,6)共有18种，则概率为《=；,

乙有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共有6种，则概率为=1,

6

显然同时满足甲乙有(1,6),(3,4)(5,2)且概率为巴nJ,则巴

所以甲乙不互斥也不对立,但相互独立,A、B、D错,C对.

故选:C

4.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]设数列｛4｝的前〃项和为S“，若命题

P:“数列｛4｝为等差数列“，命题q：”对任意的keZ,SkSk-Sk，S3k-S2k成等差数列“，

则p是4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.答案：A

解析：判断0能否推出?

若数列｛«„｝为等差数列，设其首项为%,公差为d.

先求Sk，根据等差数列前n项和公式Sn=阳।+若Q2，可得见=他+"工6.

再求S2k，S2k=2ka｝+2"T).,那么

—、k=H-------------------d——T---——d)—kci、-\----------------d

4k--2k-k~+k3kk

d=ka1+~d-

2

接着求S3k，S3k=3俎+3k(3；-l)d,所以

Si=3他+3"-D〃.M+2"T)d)=奶木⑸7「性—3

9k2-3k-4k2+2kd=ka+5k~kd-

二kCLy+---------------i

2

o72i

然后计算2($2左一S&),2(S2/—SJ=2(她+个工d)=2应+(342一人)小

计算

SR+⑸尢—$2%),

"小的+5k_kk2_k+5kl—k7,、,

Sk+(S3k~S2k)=kai+---------d=2kci[H----------------------d=2ka、+(3k-k)d

因为2（%-SQ=Sk+®-S2J，所以对任意的左eN*，》，S2k-Sk,S3k—S2k成等差数列,

即夕是q的充分条件.

判断q能否推出p,

当数列｛”的通项公式为4=?1鬻时.

[2,〃为偶数

当左=]时,S]=q=0,S,=%+电—0+2=2,S2—Sj-2,S3=S,+%—2+0—2,S3—S2=0,

此时2（S2—SJ=2x2=4,A+（邑—S2）=0+0=02（S2—&）力1+（国一邑），不满足R

说明满足q时，数列｛«„｝不一定是等差数列，即qLp,p不是q的必要条件.

p是q的充分不必要条件.

故选:A.

5.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]若e为锐角，且

cosPcos（。一/]=圭叵，则tan。的值为（）

I4J10

12

A.1B.-C.lD.2

33

5.答案：D

解析：由cos^-cos^—=-^（cos2^+sin^cos^）=~^~则cos?e+sin8cose=1,

所以cos2e+sinaos'=J+tan。=由又。为锐角，则加。〉。，

cos~e+sirT。1+tan-05

所以3tan?。一5tan夕一2=（3tan8+l）（tan。-2）=0,可得tan0=2-

故选:D

6.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]已知在平面直角坐标系xOy中，点

4（1,0）,5（3,0%点C在V轴上运动，当NACfi最大时，向量C4在8上的投影向量为（）

ill?

A.-CBB.-CBC.-CBD.-CB

4323

6.答案：C

解析：令C(0,y)，则CA=(l,-y)，C5=(3,-y)，

CACB3+/

所以cosZACB=

\CA\\CB\Jl+Vx,9+/

而0＜；W；,故NACfi最大，则，=6，^=3,故（cosNACB/m:与,

此时，向量C4在庭上的投影向量为生色（5=9底=^C氏

|CB|2122

故选:C

7.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]“四书”是《大学》、《中庸》、

《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史上地位极高，所载内容

及哲学思想至今仍具有积极意义.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵

读比赛活动,某班有4位同学参赛,每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这

4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这

四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵,记抽到自己准备的书

的人数为的人数X,（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容

背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数匕则有（）

A.£（X）=E（Y）,D（X）=D（Y）B.E（X）＞E“）,£＞（X）＜D（Y）

C.E（X）＜E（Y）,D（X）＞D（Y）D.E（X）=E（Y）,D（X）＜D（Y）

7.答案：D

解析：由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为L易知

4

X〜3（4,：），

由二项分布的数学期望公式与方差公式可知:

E（X）=4xl=l,D（X）=4xlx（l-lj=j.

由题可知y的所有可能取值为01,2,4,

9_3

。"=。）=二产24-8

V'A；243

叩=2）=界-

'7A：244

p（y=4）=^-=—,

I'A：24

E（y）=0x—+lx—+2x—+4x—=1

v724242424

D（y）=（0-l）2x^-+（l-l）2x^-+（2-l）-x^-+（4-l）2x^-=l,

i"i"i"

：.石（x）=E（y）,£＞（x）＜£＞（y）.

故选:D.

8.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]如图,已知异面直线。力成60。角，公

垂线段MN（MNLa,MNLb,Mwa,Nwb）长度为2.线段43两个端点分别在直线。力上

移动,且线段A5的长度为4,则线段中点T的轨迹的离心率为（）

AV2B2A/2cD2布

~~•亍

8.答案：B

解析：设线段MN中点为。，过点。分别作直线a7/a，//〃〃，

以。为坐标原点，直线储石所成的角平分线所在直线作x轴，直线MN所在直线为z轴

建立如图所示空间直角坐标系，

则|AB|=j3(〃zT)_+(_〃zT)_+4=4,即3(m—?)2+(m+/)2=12,

2x

'2m+t=

A/3

设线段中点T坐标为（%,丁⑶,则＜y=S，可得4t-m=2y

2

z=0

z=0

22

所以3（吁。2+（机+。2=]2/+浮A=12,整理得.+y2=i，

所以T的轨迹为椭圆，离心率e=£=必2—尸=述,

aa3

故选:B

二、多项选择题

9.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]如图，在棱长为1的正四面体A3CD

中，点。是顶点A在底面BCD内的射影"为A。的中点，则（）

A.BMLCMB.四面体A-BMC的体积为—

48

C.点D到平面BCM的距离为也

D.三棱锥A—BCO与“—BCD的外接球体积相

等

9.答案：ACD

解析：由题设OB=OC=2X道=走厕04=，故0M邛,

323

所以BM=CM£OB2+0M?=显，故BM?+CM?=BC?，则对;

2

=x

BMC^A-BOC—%-80c且Szxgoc--xsinl20°=^~,

所以入斗导部落导B错;

=1031

由^D-BCMVM-BCD且SABCD=万义FXSill60°=，S=—X----X----=—，

△BCM2224

若点D到平面BCM的距离〃则![义L』x"x3,可得d=^C对；

343642

对于M-6cD，其外接球球心在直线Q4上，若其半径为「，贝Ur2=OB2+(r-OM)2,

所以户」+[—4]—2厂+工可得厂=近

3(V6)V624

对于A-BCD，其外接球球心在直线OA上，若其半径为凡则R2=OB2+(04-R)2,

所以R2=L(®R]=R2—mR+L可得R=血,

3I3J34

所以R=r,即三棱锥A—BCD与V-BCD的外接球体积相等,D对.

故选:ACD

10.［2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试］已知函数

/(x)=sin(|cosx|)+cos(|sinx|)，则以下结论正确的是()

A./(%)的图象关于直线x对称B./(%)是最小正周期为2兀的偶函数

C.f(x)在区间上单调递减D.方程/(x)=；x恰有三个不相等的实数根

10.答案：ACD

+cossin=sin(|sinx|)+cos(|cosx|),

—+x)=sin(|sinx|)+cos(|cosx|),

，，[-x]=f]，+x],故A正确;

/(7T+x)=sin(|cos(7i+x)|)+cos(|sin(7i+x)|)=sin(|cosx|)+cos(|sinx|)=f(x)，故B不正确;

当XE］o,'|■|时"=8sx单调递减,ynsin/jw(0,1)单调递增，所

以,y=sin(|cosx|)=sin(cosx)单调递减,同理,y=cos(|sinx|)=cos(sinx)单调递减,故函数

/(x)在区间［。e］上单调递减，所以C正确；

易知/⑴为偶函数，综上可知:/⑶的周期为兀，且在区间10,9上单调递减，在区间

由兀］上单调递增,在区间卜卷上单调递减.

令g(x)=gx,因为/(O)=sin1+1>g(0)=0,/=cos1<cos(=<g=(,故函

数/(x)与g(x)的图象在区间10弓］内有且只有一个交点；

又/(兀)=sinl+1〉sin：+l=拒;?>g(?i)=^|•，故函数/(x)与g(x)的图象在区间''兀］

内有且只有一个交点；

又/住卜cos1<g住卜?，故函数/(x)与g(x)的图象在区间卜群内有且只有一

个交点.

因为/(2兀)=sinl+1<g(2?r)=兀，由/(%)周期性和g(x)单调性可知，当x>2兀或xW0时,

两函数图象无交点.

综上所述，方程/(x)=；x恰有三个不相等的实数根

故选:ACD

11.［2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试］造型称为四叶型或幸运草

型，数学上，我们把这样的曲线叫做四叶玫瑰线.已知定长线段A3的长度为4,它的

两个端点A,3分别在x轴、y轴上(均不过原点。)滑动，过。向线段A3作垂线

OM,垂足M的轨迹为四叶玫瑰线,记作曲线C,则下列结论正确的是()

A.点(后，后)在曲线C上B.曲线C有且只有两条对称轴

C.曲线C围成区域的面积不超过4兀D.当点(根,")在曲线C上时，|加"区2

11.答案：ACD

解析：设析(x,y)(xwO,y#0),A(xo,O)(xo^0),3(0,%)(%w0),则

OM=(x,y),AB=(f0,%),AM=(x-x0,y),由|AB|=4得x；+公=16①,

由ABLQM得AB.OM=(fo，%)•(羽y)=0,即为丁=%%②，由点航在线段A3上，

得AM//AB,则为(x-/)=-③.由①②③得仁+力3=16//,所以曲线C的方程

为+,2)3=］6%2,2(x/0,y/0).

选项A：将(0,3)代入曲线C的方程，易知［(0)2+(0)2］=16乂(0)2*(后)2成

立，故A正确.

选项B：用r替换x,曲线C的方程不变，所以曲线C关于y轴对称；用-y替换》

曲线C的方程不变，所以曲线C关于x轴对称；x与y互换，曲线C的方程不变，所

以曲线C关于直线y=x对称；用-x替换》-y替换x,曲线C的方程不变，所以曲

线C关于直线,=-x对称，所以曲线C有四条对称轴，故B错误.

/22、2

选项C：因为（炉+'2）3=16%2y2416土上匕,所以炉+y2«4,所以曲线C围成区

I2J

域的面积不超过4兀，故C正确.

选项D：由16必/=#+力3）（2|町|）3,得|孙区2,当且仅当|x|=|田=后时取等

号，所以当点（加，川）在曲线。上时，|加〃区2,故D正确.

三、填空题

12.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]^+|+3^（x+l）6的展开式中常数

项是.

12.答案：15

解析：（X+1）6的通项公式为：&]=C"6-r,

所以卜+j+3}x+l）6的展开式中常数项是：2C：+3C：=15,

故答案为：15

13.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]已知函数/（x）=|x3-ax在区间

解析：当aWO时,在区间（1,6）上〃x）=gx3-以单调递增，满足题设;

当a>0日寸，在％£（。,+oo）上，令x3-3ax=x（x2-3a）=0,可得％=y/3a，

ax--xi,Q<x<y[3a

3

所以0<时时/(x)N。,贝!)/(%)=<

—x3-6zx,x>y/3a

对于y=蛆-；％3且0<x<G^,则y，=Q_%2,

所以0<%<五时V>。，在(0,«)上y=ax-gx3单调递增，

y[a<x<yf3a时V<0,在(而,+8)上y=-gv单调递减，

此时，要使"X)在区间(1,用上单调递增，则62行得心3，

对于y=；x3_〃尤且1〉y/3a1则y'=%?-〃>0,即函数在+oo)上单调递增，

此时，要使f(x)在区间(1,同上单调递增，则后41，得即0<〃<g,

aG]—co,—[3,+co).

故答案为:[一局…

14.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]定义min{p,q/}表示p,%「中的最

小信max{p,q,r}表示中的最大值.已知实数。力,。满足。+/?+°=0,取:=1,则

min{max{a,/?,c}}的值为.

14.答案：揖

解析：因为a+》+c=0，a/;c=l,

所以实数a,b,c中2个为负数,1个为正数，

不妨设c>0,则max{a,Z?,c}=c,

2

因为2A/^V(—a)+(—/?)=(?,所以仍V1,

1

因为c>0,abc=l,所以‘VJ2,即d24,解得cN也，

c4

所以max{〃,/?,(?}的最小值为次，即min{max{a/c}}的值为百，

故答案为:次

四,解答题

15.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]在△ABC中角A,3,C的对边分别为

a,b,c,已知tanA+tanC=~7•

a2-b2-c2

(1)求C;

⑵若°=2百，且*=速，求&WC的面积•

sinA4

15.答案：（1）C=—；

3

（2）迪，

解析：(1)由〃2="+/-2/?ccosA，即a2-b2-c2=-2Z?ccosA，

所以tanA+tanC=26H=_Vf",

-2bccosAccosA

sinAsinCsinAcosC+cosAsinC_sin(A+C)

而tanA+tanC=H-----------

cosAcosCcosAcosCcosAcosC

又sin6=sin(7i-A-C)=sin(A+C)，且tanA+tanC=——----------

cosAcosC

所以sin§=_®=_CsinB，显然/BcosA/0,

cosAcosCccosAsinCcosA

2

所以tanC=-6，而八（0,兀）,则。=q7r.

c°s1—cosA_36，

(2)由(1)知3=4—A,贝UcosB

3

sinA2sinA24

所以篙邛由nA弓故sinA=,c°sA=W

..26x

icsinAJ78V312_1

则mia=------=-----产'—=—f=,sin8=sin1三一A

sinCV3V72X772义币―2后'

~2

所以=；acsinB=；x-^x2Gx^^=^^

/2yj/27//

16.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]如图，在四棱锥p—ABCD中以_1平

面A3CD,设平面P3C和平面PAD的交线为l，l//BC-

（1）若ABL5C，证明:平面Q4T）J_平面出3；

⑵AB=AD=1,PA=42,ZABC=120°，平面ABCD与平面PCD所成角的余弦值

为L求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.

3

16.答案：（1）证明见解析

（2）叵

3

解析：（1）证明:因为上4,平面ABCdCu平面ABCD,所以PAL5C，

因为ABMA.RVABU平面A4B，所以平面

因为〃/BC"u平面PAD,5C<Z平面PAD，所以BC〃平面PAD，

因为5Cu平面ABCD,平面ABCD平面八4D=AD，所以5C〃AD,

所以AD,平面

因为A£>u平面PA。，所以平面B4T），平面上4B.

（2）由（1）可知BC7/AD,因为NABC=120。,所以/B4£>=60。，

以A为原点,AB，AP所在直线分别为x轴,z轴,在平面ABCD内,垂直于AB的直线为V

轴,建立如图所示的空间直角坐标系，

B

X

设3c=p,则P（0,0,夜），6（1,0,0）（旦+1,也,0,D,0，所以

（22j122/

PC=[f+l,鼻,-拒],P£>="，¥，-后，

（22J（22J

Ip\百〃

设平面PCD的法向量为〃=（%y,z）,则<12]2'丁,

x+6y-2A/2Z=0

取z=l，则尤=Q1-p），y=n0+"所以〃=取（1-#,"（；'）,1

显然平面ABCD的一个法向量为m=（0,0,1）,

依题意2小、二

解得p=2,

设PC与平面ABCD所成的角为a,因为PC=(2,后,-行卜又平面ABCD的一个法向量

为777=(0,0,1),

所以sina=空渣=交，所以直线PC与平面A3CD所成角的正弦值为史.

|PC||m|33

17.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]已知函数力(x)=lnx+ax-a,直线

/:y=左,对于给定的实数匕存在两个不同的实数体吗，使得直线/与曲线y=力,(%)和曲

线产几(％)都相切•

(1)求左的取值范围；

(2):%+/<-2.

17.答案：(1)(0,+oo)

(2)证明见解析

解析：(1)设直线/:y=左与曲线力(x)=lnx+ax-a相切于点P(尤“0),

小°)=2+"°,消去。得lnx0-1+二左

则有

Inx0+axQ—a=k

根据题意可知k=lnx-1+!有两个不同的解,

X

令/z（x）=1口入+工一1,则/（%）=，--v=T-9

JCJCXX

所以当0<xvl时,〃（力<0,/1（%）单调递减当X>1时,〃（力>0/（力单调递增，且

/z(l)=O,

显然当x—时,/z(x)f+00,

r

令加(x)=lnx+J(x>0)4iJm(x)=---~~r~9

所以当0<x<g时，加（%）vO,加（x）单调递减，当%>1时,加（%）>0,制%）单调递增,

=—ln2+l〉0,

所以In%>--M亘成立，所以Inx+^-l所以当％>0,x-0时,/z（x）-+oo,

2xx2x

所以要使左=1口％-1+,有两个不同的解，人>0,

x

故女的取值范围为（0,”）.

（2）由（1）可知对于给定的实数女>0,有且仅有七£（。」）,々£（1,丑0）,

使得=InXj+--1=Inx2+--1,BPIn—+———=0,

X]x2x2x}x2

又因为。=一工,所以存在力=—J_,g=-,满足题意，

xQX1X2

设，=%，贝Ux=---，x=---,(0<Z<1),

x12v7

X2Inr-tint

ii)

所以要证6+〃2=----1---—2，只需证«+l)ln/<—2+2/,即

l石x?)1-t

(1+l)ln/_+2—2t<0?

令g⑺=Q+l）lnf+2—2/,（0</<1），则g'⑴=hn+；—1,

由⑴可知gt）〉g"）=O,所以g⑺在（0,1）单调递增，

所以g⑺<g（l）=0,所以%+?<-2成立*

18.[2025春•高三•长沙市第一中学•开学考试]如图已知抛物线「：好=2/,点

A,3,C是抛物线r上的三个不同的动点，当抛物线「的焦点R为△ABC的重心时，线段

网/员RC长度之和为2.过4B,C三点作抛物线的切线，三条切线两两交于点。，瓦G.

⑵求正胃黑

（3）已知△ABC和△DEG的面积分别为号，S2,是否存在实数2，使得工二入^?若存

在，求出2的值;若不存在,请说明理由.

18.答案：（1）=--

p2

（2）证明见解析；

（3）答案见解析.

解析：（1）设4（%,%）,8（%2，%），。（%3,%），因焦点厂为4.0的重心，

再+冗2+冗3=°

又（。,£|,则V

X+%+%_p，又线段FA,FB,FC长度之和为3,

3一'

结合抛物线定义，又抛物线准线为y=-e.

2

331

可知|可|+|歹回+怛q=y+%+%+]P=3p=5np=5.

（2）由（1），抛物线r：L=y，则A（再苫）,5（々芯）,C（%3,娟,

设在A点的切线方程为:y=%）+片，将其与抛物线方程联立,

可得：/一质+脑—%：=0,令其判另式为0,

2

则k—4g+4x；=0=>(左一2%J=0=>左=2xl

故在A点的切线方程为:y=2%（工一%）+父=>y=2%d一片,

同理可得在B点切线为:y=2x2x-xf，在。点切线为:y=2x3x-xj.

2/、

联立A与3处切线方程，则2x3一>=%，可得G土也,再赴

2x2x-y=x1（2J

同理可得玉产，七小71玉产,玉石]

\AE\_GD\\AE=mEG

因A,瓦G与氏2G均三点共线，则--^--~-----------r<^>5

\EG\DB\GD=mDB

因A(不，才),3(%2芯)，C(%3，%；),

贝UAE=[,%(七一XJ)EG=(,x1(x2-x3)

、

,x2(x3-xj,DB=

7

hz^

AE=EG即他_仍.

可得/f即可西

GD=^-X^DB

(3)由(2)修

阿|

贝坐G|=六|G41GM二号忸琲

则S?二一471G4MqsinNBGA=SABGA，其中M=玉二土

2(m+1)(m+1)x2-x3

注意到445。与Z\BGA同底，则S]=nSBGA,

其中〃为C点到AB距离4与G点到AB距离d2的比.

由（2）,A（X],X；）,B（九2，X；），C（%3,X；）,G「；”,小2

2

贝ijAB直线方程为:y=~~—（x-x^+xjny-（x2+x^x+=0,

+X3）+12，（々+工3）+12^（X2+X3）+1

贝!J〃=4