集合、复数、不等式与常用逻辑用语（4考点+19题型）-2025年高考数学复习专练（原卷版）

查漏补缺01集合、复数、不等式与常用逻辑用语

8升考点大集合

Y元素与集合的关系）

-（集合的表示方法）理01元素与集合的关系及应用

型02子集（真子集）的分数|'^

—（[。考点一集合〉-型03颗集合之间的关系求参数

逊04侬极拼谢

摩05磁集合的运算结果求参数

壁06~睡

「复数的定义

+复数的：

复数的基本概念

SMS.共匏复数、复数的殖

复平面双轴、时，

复数的几何意及〉■[■（复数的几何表示

型01复数的概念与运算

壁02

复平面的点与复数的对应关系

考点二复数的概念与运算壁03复数的几何意义

复数的四期逑法则避04蔓黜

集合、复数、不等式复数的四则运算复数的乘方蛹

与常用逻辑用语复数范围内解方程

复数的=翩晟镭角

复数的三角形式

三角形式下复数的乘除法

r榜式的唾

壁oi椿

一（O考点三不等式-欠椿式的解集1

裁02解一元二次棒^

—重要的不等式裁03不等式恒成立与有解问题

壁04利用基本襁本最值

T基本式---,■基本不等式

壁05基科等式恒成立及有解问题

_利用基本不等式求最值

充分条件与必要条件

充分条件与必要条件

壁01充分条件与必瞰件判断

壁02礴充雄必要共第

O考点四常用逻辑用语全称量词与全称量词命题

殖03量词的命题的否定

全称量词与存在量词存在量词与存在量词命题堂04翩钠匹）颗趟期钠

命题的否定

考点大过关

考点一：集合

・k核心提炼•查漏补缺

知识点1集合与元素

1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；

2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号e或史表示

3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法

4、常见数集的记法与关系图

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*(或N+)ZQR

知识点2集合间的基本关系

表示

文字语言符号语言图形语言

关系

集合A的所有元素都是集合B的

子集或5卫A

元素（A则X£5）O

或

基本

集合A是集合B的子集,且集合B

关系真子集AijB或BfA

中至少有一个元素不属于AO

相等集合A,8的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合A的子集

知识点3集合的基本运算

1、集合交并补运算的表示

集合的并集集合的交集集合的补集

Q©

图形语言

符号语言AB=(x|xGA,eAB=|x|xGA,SJCGBjgA=<X\X^U,SJC^A^

2、集合运算中的常用二级结论

(1)并集的性质：AU0=A；AUA=A；AUB=JBUA；A^B=A^BQA.

(2)交集的性质：AQ0=0；AfU=A；AQB^BDA；AClB^A^>AQB.

(3)补集的性质：AU((u4)=U；An((u4)=0.}((力)=4；

[MAU3)=([uA)n([:#)；/4^8)=([必)口([出).

・题型特训•精准提分

【题型1元素与集合的关系及应用】

利用集合元素的“三性”尤其是互异性是解题的关键，求解过程中务必注意：用描述法表示的集合，

要先认清代表元素的含义和集合的类型，是数集、点集，还是其他类型的集合。如果是根据已知列

方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性.

（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值;

（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.

1.（24-25高三上・贵州贵阳•期末）以下选项中，是集合4=｛（%切2彳+,-1=0｝的元素的是（）

A.{(-2,2)}B.(-2,2)C.{(1,-1)}D.(1,-1)

2.（24-25高三上•云南楚雄・期末）已知集合4=｛+尤2-（2°+1）尤+4+。＜0｝,若2eA,则。的取值范围

为（）

A.(1,2)B.(2,3)C.[1,2]D.[2,3]

3.(24-25高三上・江西新余・月考)己知集合4=卜|/<10/€用，B={2,3,4,5},C=AB,

M=^y\y=^-,aeA,ceC^,则M中所有元素和为：()

A.2B.3C.4D.5

4.（24-25高三上•广东河源・月考）已知集合4=｛吊无＞。｝,B=|x|x2-ax-3>0^,若leA且则a

的取值范围是（）

A.[―2,1)B.(—2,1)C.[—2,+oo)D.(—oo,l)

Xk—X

5.（24-25高三下•辽宁・月考）已知集合。=｛犬|一式=^^「｝恰有一个元素，则左的取值集合为______

x—2x-2x

【题型2子集（真子集）的个数问题】

注意：空集是集合的子集，也是非空集合的真子集；集合是它自身的子集。

如果集合A中含有n个元素，则有

（1）A的子集的个数有2"个.（2）A的非空子集的个数有2"-1个.

（3）A的真子集的个数有2"—1个（4）A的非空真子集的个数有2"—2个.

1.（24-25高三下•重庆・月考）集合A={无wN/一2x-840}的非空真子集个数为（）

A.14B.15C.30D.31

2.（24-25高三下•河北保定•模拟预测）设集合知=旧0＜国＜3},"={-3,-2,：1,4,6},则集合McN的非空

子集的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（24-25高三下•安徽淮北•开学考试）若集合4=[幻1",1卜0,尤eN*],集合3=卜|/-5x-6＜o},

则AcB的非空真子集个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.（24-25高三下•安徽・月考）已知集合A={x£N|（2016）・（喀力叫，则集合A的子集个数为（）

A.4B.8C.16D.32

5.（24-25高三下.广东广州.模拟预测）满足卜产+2%-3=0}qA{-3,-1,0,1,3}的集合A的个数为（）

A.3B.7C.8D.15

【题型3根据集合之间的关系求参数】

空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易

因忽略空集的特殊性而导致漏解。

第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；

第二步：看集合中是否含有参数，若

且A中含参数应考虑参数使该集合为.空集的情形；

第三步：将集合间的包含关系转化为方程（组）或不等式（组），求出相关的参数的值或取值范围.

常采用数形结合的思想，借助数轴解答.

1.（24-25高三上•福建泉州・期末）设集合A=V一。一2,1,2},B={0,fl+2},若3=则"（）

A.2B.1C.0D.-1

2.（24-25高三下•广东惠州・月考）已知集合4={皿<》<2},B={x\x<a},若4屋3,则实数。的取值范

围是（）

A.（2,+oo）B.（-co,2）C.（-℃,2]D.[2,+oo）

3.（24-25高三上•新疆喀什・月考）设集合A={0,。},B={X|0<X<26Z-2）,若则实数。的取值范

围为（）

A.a>2B.a<2C.a>2D.a<2

4.（24-25高三上•湖南娄底•期末）己知集合A={0,1},B={X|X2+X-2<0},若则实数a的取值范

围是（）

A.{-2,1}B.{-1,0,2}C.[—2,1]D.[—2,1）

5.（24-25高三下•山东聊城•开学考试）已知集合河={1,3,9},N={m,3m}.若N=M,则根的取值范围

是.

【题型4集合的交并补运算】

求解集合的基本运算问题需掌握“3种技巧”（1）先“简"后“算"：进行集合的基本运算之前要先对其进行

化简，化简时要准确把握元素的性质特征，如区分数集与点集等.

（2）遵“规”守"矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”；并集的运算中

“并”是合并的意思；补集的运算要关注“你有我无”的元素.（3）借“形”助“数”：在进行集合的运算时

要尽可能地借助Venn图或数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍.

1.(24-25高三下•江苏扬州•月考)设集合A={2,4,6,8},3={尤|尤=2"+4,〃eN},则A「B=()

A.0B.{6}C.{6,8}D.{4,6,8}

2.(24-25高三下•安徽•一模)已知集合&=何一/+》+2>0},3=卜€用工一1归1},则AB=()

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

3.(24-25高三下.云南昆南一模)已知集合&=卜|国<1},B={A|2X2-X-1>0},则A8=()

A.B.[-1,1]C.T-g)D.R

4.(24-25高三上•天津和平•期末)已知集合"="€凡％<4},集合力={2,3,4},B={x|x+leA),则

euB)=()

A.{1,2}B.{1,4}C.{0,1,2}D.{0,1,4}

5.(24-25高三上•河北・期末)若集合4=3x41},5={x|lnx<l},则低A)I3=()

A.(0,1)B.(l,e)C.(1,+co)D.(e,+CO)

【题型5根据集合的运算结果求参数】

法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.

法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；

（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.

【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“="；（2）千万不要忘记考虑空集。

1.（24-25高三下•江苏南通•模拟预测）已知集合4={小>。},8=qiogyNl,若AB=B,则实数a的

取值范围为()

A.卜aN；1B.C.{daWO}D.{4“<

2.（24-25高三下•山东临沂•一模）已知集合&=32*-440},8={2<*<2}.若AB=0,则。的取值范

围为（）

A.(-co,l)B.(-8,1]C.(-oo,2)D.(-00,2]

3.(24-25高三上•湖北•一模)已知集合4={-1,0,1,2},3={*|小时？2},若AB=B,则加的取值范围

是()

A.(0,1)B.(-1,1)C.[0,1]D.[-1,1]

2

4.(24-25高三下•河北石家庄•开学考试)已知集合A={x\x<2},B=[x\log2(x-2.x-2)>0),C={^|x>a],

且Au&3)uC=R,则实数“的取值范围为()

A.(-1,+co)B.C.(-℃,3)D.(-℃>,3]

5.(24-25高三下•辽宁•模拟预测)已知集合/={%|%<1),A=[x\x3<x],B=[x\x2+mx+n<0\AB=0,

AB=I,则"7+〃=.

【题型6集合的新定义问题】

常见的新定义问题有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型。解决以集合为背景的新定义问

题，要抓住两点：

①紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体

的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在。

②用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集

合的性质。

1.（24-25高三上•河南新乡•期中）定义非空数集M的“和睦数H”如下：将“中的元素按照递减的次序排

列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合｛123,4,5｝的“和睦数”是

5+4-3+2—1=7,｛2,4｝的“和睦数”是4+2=6,｛1｝的“和睦数”是1.对于集合A=一eN.eN1,其

所有非空子集的“和睦数”的总和为（）

A.82B.74C.12D.70

2.（24-25高三下•浙江温州•模拟预测）（多选）给定〃eN+，若集合尸曰1,2,3,,〃｝,且存在a,6,c,de尸,

满足a<6Vc<d,6-“=d-c,则称P为“广义等差集合”.记P的元素个数为IPI,贝I（）

A.{1,2,3}是“广义等差集合”

B.{L3,4,6}是“广义等差集合”

C.若尸不是“广义等差集合”，当〃=8时，1尸1的最大值为4

D.若尸不是“广义等差集合”，若1尸1的最大值为4,则w可以是13

3.（24-25高三下•湖北武汉•二模）（多选）已知〃eN*,记国为集合A中元素的个数，min（A）为集合A中

的最小元素.若非空数集A屋{12…，科，且满足网4min（A）,则称集合A为“"阶完美集”.记。“为全部〃阶

完美集的个数，下列说法中正确的是（）

A.%=7

B.将〃阶完美集A的元素全部加1,得到的新集合，是〃+1阶完美集

C.若A为（"+2）阶完美集，网>1且“+2eA,满足条件的集合A的个数为

D.若A为（"+2）阶完美集，闺>1且〃+2,，满足条件的集合A的个数为

4.（24-25高三下•湖南长沙•月考）记集合A的元素个数为网，若同22,定义集合"A）=

{z[z=^,x,yeA,x#y},我们称集合尸（A）为集合A的积集.

⑴当A={1,2,4,8}时，写出集合A的积集/网及归（A）|；

⑵若4=是由4个有理数构成的集合，积集&A）=,求集合A中的所有

元素之和；

（3）现给定一个正实数集合X,|X|=8,试求满足F（A）=X的非空有限正数集合A的个数的最大可能值.

5.（24-25高三下•浙江•开学考试）定义：A\x为在集合A中去掉一个元素x后得到的集合；S（A）为集合A

中的所有元素之和.已知由〃个正整数组成的集合4=也。，•，4}（〃eN*,〃N3）,若对于

Vfl;.GA（z=l,2,...,n）,都存在两个集合民C,W#A\a,.=BuC,J8nC=0,且S（B）=S（C）,就称集合A为

“完美集”.

(1)若4={1,2,3,5,6},判断A是否为“完美集”，并说明理由；

⑵若集合4={%出，，a“}("eN*,〃23)是“完美集”，证明：〃是奇数；

⑶若集合4={%%…，4,}("6*,心3)是“完美集，，,且人中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列,

则称A为“等差完美集”.已知集合A=也,%,是“等差完美集”，求〃的最小值.

考点二：复数的概念与运算

・核4提炼：查漏补缺

知识点1复数的基本概念

1、复数的定义：形如历(a,bGR)的数叫做复数，其中实部是°,虚部是。

2、复数的分类：

实数6=0,

复数z=a+bi

［纯虚数a=0,

a,4>eR虚数6力十电*斤

〔非纯虚数存0.

3、复数的有关概念

复数相等a+Z?i=c且Z?=d(。，b,c,d£R)

共甄复数〃+历与c+di共辆=a=c且/?=—"(〃，b,c,d£R)

向量OZ~＞的模叫做复数z=a+bi的模，

复数的模

记作|z|或|a+卜i|,即|z|=|a+加=丁=\d1+/(色0,a,b£R)

知识点2复数的几何意义

1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；

2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原

点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；

3、复数的几何表示：复数z=a+6i«一一对应》复平面内的点Z(a,b)«.・对应》平面向量OZ

知识点3复数的四则运算

1、复数的运算法则

设Zi=a+Z?i,z2=c+di(a,b,c,d£R),则：

(1)zi+z2=(a+历)+(c+di)=(a+c)+(6+d)i；

(2)zi-Z2=(a+bi)—(c+di)—(a-c)+(6-<7)i；

(3)zi-Z2=(a+历)(c+di)—(ac-bd)+(ad+bc)i；

z,a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad人、

—=----=-----------=———+———-i(c+di/0)

(4)r2

z2c+di(c+di)(c-di)c~+d^c+d~

2、复数运算的几个重要结论

(1)|zi+wl2+|zi—Z2I2=2(|zi|2+IZ2I2).

(2)z-z=|z|2=|zI2.

(3)若Z为虚数，则|z|2先2.

(4)(l±i)2=±2i.

（5）i4n=l；i4n+1=i；i4n+2=-l；i4n+3=-i.

知识点4复数的三角形式

1、复数的辐角：设复数z=a+历的对应向量为近，以x轴的非负半轴为始边，向量次所在的射线（射线OZ）

为终边的角氏叫做复数z的辐角.

2、辐角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些

值相差2兀的整数倍.规定：其中在＜2兀范围内的辐角。的值为辐角的主值，通常记作argz

3、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成2=汽（；05。+15讥。）的形式，其中r是复数的模，。是复数

的辅角.

4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义

已知Zi=r1(cosd1+is讥。1),z2=r2(cos02+is讥4)，

(1)复数乘法运算的三角表示：ZiZi=r1r2[cos(01+02)+isin(<91+02)]

(2)复数乘法运算三角表示推广：

Z1Z2...zn=r1(cosd1+isin/),r2(cosd2+isind2)・•••,rn(cosdn+isin3n)

=rrr2….[cos.i+62T---卜%)+is讥(％+4+—卜0n)]

71n

特别的，当Zi=z2=…=zn=r{cosd+is》。)时，[丁(cos。+isind)]=rQcosn9+isinnd)

(3)复数除法运算的三角表示：豆=哼空产嘤=3[005(%—4)+15讥(4—4)]

z2r2(cos02+^in02)r2

题型特训•精准提分

【题型1复数的概念与运算】

a-Q

1、对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数2=〃+初为纯虚数八，往往容易忽略虚部不等于0；

Z?wO

a＜c

2、两个复数不能直接比大小，但如果Q+初＜c+成成立，等价于＜7八。

力=d=0

U.Vi*

1、复数概念的几个关注点

（1）复数的代数形式：若z=a+6i,只有当a,6GR时，。才是z的实部，6才是z的虚部；

（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；

（3）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先

特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答。

2、求复数标准代数式形式的两种方法

（1）直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；

（2）待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部

的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。

3、乘方：i1=i,i2=—1,i3=i-i2=—i,i4=i3-i=—i-i=L

;4n+l—;;4八+2——1;4n+3———;;4n+4—i

1-1,1—1,1—1911i.

1.（24-25高三下•重庆・月考）已知复数z满足i.z=2+2i（i为虚数单位），则2=（)

A.2+2iB.2-2iC.-2+2iD.-2-2i

m—i

2.（24-25高三上•云南昭通•月考）若复数z==]的实部与虚部相等，则实数的值为（

2+1

1

A.—1B.1C.—D.

33

3.（24-25高三下•黑龙江大庆•模拟预测）若复数z=（l-i）（2+ai）（“eR）为纯虚数，则。的值为（）

A.-2B.1C.72D.2

4.（24-25高三下•江西上饶•一模）已知z=,3],贝丘=（）

1+1+1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

5.（24-25高三下•重庆•模拟预测）已知复数z=1^,则z2°25=（）

1+1

A.-iB.iC.-1D.1

【题型2共朝复数的相关应用】

共轨复数问题的求解技巧

1、求复数z的代数形式己知，则根据共辗复数的定义可以写出再进行复数的四则运算；

2、已知关于z与三的方程，而复数z的的代数式形式未知，求解z。解此类题的常规思路为：设

z=a+bi（a,beR）,则［=。-匕i,代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解。

1.（24-25高三下•福建厦门•开学考试）若复数z="伫更为纯虚数，b=\a+sl3i\,则a+历的共辗复数

2+1

为（）

„12".n「

ABC.----------iD.2+V13

-一2一屈-「半33

2.（24-25高三下•河南新乡•月考）复数z满足2z+3l=5-2i，则力的虚部为（）

A.-2B.2C.2iD.-2i

3.（24-25高三下•新疆•模拟预测）已知复数z满足z+N=-l,z-彳=后，则下列结论正确的是（）

A-lzl=lB.z为纯虚数

C.Z的虚部为走i

D.z2=z

2

4.（24-25高三上•浙江•模拟预测）（多选）已知复数z满足|z-l|=|z|=l,贝lj（）

B.|z|=l

A.zGRC.z+z=1D.==1

z

5.（24-25高三下•山东荷泽・模拟预测）（多选）已知复数4,Z2，4为4的共辗复数，则下列结论中一定

成立的是（）

|zi|=lzi|

A.z+z1为实数B.

C.若㈤=|zj,贝”=±z?D.

【题型3复数的几何意义】

复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.

（1）任一个复数z=a+bi（a,bGR）与复平面内的点Z（a,6）是一一对应的.

（2）一个复数z=cz+历（a,&GR）与复平面内的向量至=（a,b）是---对应的.

1.（24-25高三下•陕西咸阳・月考）已知复数z=（l+2i）2,i.z2=4-3i,则,4和的在复平面内对应的点关

于（）

A.坐标原点对称B.x轴对称c.y轴对称D.直线>=彳对称

2.（24-25高三下•河北保定・月考）在复平面内，复数Z1对应的点与复数Z2=3对应的点关于实轴对称,

1-1

则4=（）

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

3.（24-25高三下.广东广州•月考）已知复数z=2cos>isiq,z2=cos^+isin^,则不在复平面内

对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.（24-25高三下•山东•一模）已知复数4在复平面内所对应的点位于第一象限，且攵=-2,则复数z?在

Z1

复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.（24-25高三下•吉林延边•一模）在复平面内，复数4，Z?对应的向量分别是04=（2,-1）,05=（-1,2）,

则的复数所对应的点位于（）

Z1+Z?

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【题型4复数的模长及应用】

对复数模长的理解错误，复数的模长计算与实数不同，尤其要注意模长性质的应用。

（1）定义：向量前的模r叫做复数z=cz+bi（a,6GR）的模或绝对值

（2）记法：复数z=a+历的模记为|z|或|a+历

（3）公式：\z\—\a-\-bi\—r—yja2+b2（r>0,r£R）.

2Z

1.（24-25高三下广东深圳•月考）已知2=广，其中i为虚数单位，则=()

1-1z-1

叵

A.2B.72C.1D.

2

2.（24-25高三下•福建•模拟预测）若复数z满足z(l+i)=3-i,则|z|=)

A.2痣B.75C.5D.8

3.（24-25高三下•河北沧州•月考）已知复数z满足|z-2|=2,贝乖+1|的最大值为

A.6B.5C.4D.3

4.（24-25高三下•广东湛江•一模）（多选）复数4，4满足4+Z2=4,ZI-Z2=8,则（）

A.团忆|=8B.|ZJ-Z2|=4

C.团+卜|=4D.—=1

5.（24-25高三下•河北石家庄•开学考试）（多选）已知复数4*2，则（）

A.若z”Z2互为共轨复数，贝心也为实数

B.若团=3，则4=z?或Z]=-Z2

C.|马勾=团忆]

D.|Z|+Z2「+|Z|-Z2「=2卜「+2"「

【答案】ACD

考点二：不等式

■4核心提炼•查漏补缺

知识点1不等式的性质

性质别名性质内容注意

1对称性a>b<=>b<a可逆

2传递性a>b,b>c=>a>c同向

3可加性a>b^a-\-c>b+c可逆

a>b,c>Q=>ac>bc

4可乘性C的符号

a>b,c<O=>ac<bc

5同向可加性a>b,c>d=>a+c>b+d同向

6正数同向可乘性a>b>0,c>d>O=>ac>bd同向

7正数乘方性a>b>O=^an>b\n£N,n>2)同正

知识点2一元二次不等式的解集

判别式/=廿一4碇/>0J=0/<0

y