江西省九江市2024-2025学年高一年级上册期末考试数学试卷（含答案解析）

江西省九江市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合M=d+x<6},N={-2,-l,0,l,2},则（）

A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1}C.{-1,0}D.{-1,0,1,2）

2.已知某地最近10天每天的最高气温（单位：°C）分别为23,17,17,21,22,20,16,

14,21,19,则10天最高气温的第75百分位数是（）

A.15B.21C.21.5D.22

3.若%>1,则二的最小值是（)

x-1

A.72B.2C.3D.2V2

4.下列命题中正确的是（）

A.ac2>be2,则aNbB.若a>网，则

什11

C.若贝D.右一<不，则a

ab

函数〃尤）=工+零点所在区间为（

5.65-1)

A.(1,2)B.(0,1)c.(-1,0)D.(-2,-1)

6.若命题祗«1,3],渥+（4-2）x-2W0”是真命题,则。不能等于（）

A.0B.1C.2D.3

7.设函数〃x）=（在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.(—00,0]B.[—2,0]C.(0,2]D.[2,+00)

/、\21OS9X0<x<2

8.已知函数冗〉2(。>0且〃工1)的值域为R，则实数〃的取值范围是()

A.(0,1)B.(V2,2]C.(1,2]D.(l,+oo)

二、多选题

9.有一组原样本数据玉，尤2,…,X”,由这组数据得到新样本数据如必，…,K，其中

%=2%+。(7=1,2「..,〃),°为非零常数，贝|()

A.新样本数据的平均数是原样本数据的平均数的2倍

B.新样本数据的中位数是原样本数据的中位数的2倍

C.新样本数据的标准差是原样本数据的标准差的2倍

D.新样本数据的极差是原样本数据的极差的2倍

10.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A="出现点数为奇数”，事件3="出现点数为3”,

事件C="出现点数为3的倍数”，事件。="出现点数为偶数”，则以下选项正确的是()

A.8与。互斥

B.A与。互为对立事件

C.尸(0=；

D.P(AC)=P(B)

11.已知连续函数满足：①有/(x+y)=/(x)+/(y)T；②当x>0时,

/(x)<l；③/⑴=-2.则以下说法中正确的是()

A./(0)=1

B.f(3x)=3/(^)-2

C.在［-2,2］上的最大值是6

D.不等式仆)>/(5尤)+6的解集为

三、填空题

12.已知函数〃0=彳3+1,若〃a)+〃2a-3)40,则实数。的取值范围是.

13.如图，某电子元件由A,民C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经

过反复测试，A,3,C三种部件不能正常工作的概率分别为J,g，!，各个部件是否正常工作

相互独立，AB同时正常工作或C正常工作则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正

常工作的概率是.

试卷第2页，共4页

14.已知正实数a,/满足。+lna=ln尸+ln(ln/?)=2,则耶=.

四、解答题

15.已知集合A=2y321,8=｛尤|x2-4x+4-m2<0,m>Q].

(1)若加=2,求人口(a8);

⑵若“xeA”是“xe3”成立的充分不必要条件，求机的取值范围.

16.4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们养成

阅读习惯，快速阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善

读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中

学生，对这些中学生每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，将这些学生每天阅读的时间

分成五段：[。,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100](单位：分钟)，得到如图所示的频率分

(1)求频率分布直方图中。的值，并估计这200位学生每天阅读的平均时间(同组数据用区间

的中点值代替)；

⑵现在从[20,40)和[40,60)两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人

进行交流，求这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率.

17.已知函数〃司=2工+最一l(aeR).

⑴若〃尤)为偶函数，求。的值;

⑵讨论“X）的零点个数.

18.已知函数〃尤）=ln（Jl+x2-x）-ox+6（a>0,6eR）.

⑴求〃x）的定义域；

⑵证明：曲线y=/（x）是中心对称图形；

（3）设玉Tog2。？/=2°，2,无3=0.2°3,试比较/（周）,/伍）,/优）的大小.

19.若函数“尤）的图象恒过（0,0）和。,1）两点,则称函数〃力为“0-1函数

⑴试写出一个“0-1函数”的二次函数；

（2）若函数g（x）=log“（x+〃z）-a£+l（a>。，且awl）是“0-1函数”，求alna的值；

⑶设G（x）=〃-1（6>0,且五1）,定义在R上的函数"（%）满足：①有

”（%々+1）=〃（演+1）〃（/+1）-（占+々），②G["（X）]是“0—1函数”.求证：G（x）,H（x）均

是“0-1函数”.

试卷第4页，共4页

《江西省九江市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BBCBDDACCDABD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】解不等式化简集合4再利用交集的定义求得答案.

【详解】解不等式尤2+%<6,即/+尤-6<0,解得—3<X<2,

则M={x「3<x<2},N={—2,—l,0,L2},所以”nN={-2,—1,0,1}.

故选：B

2.B

【分析】根据百分位数的定义，将数据重新排列计算即可求得结果.

【详解】将10天的最高气温按照从小到大的顺序重新排列如下：

14,16,17,17,19,20,21,21,22,23,

又10x75%=7.5,不是整数，因此取重新排列的第8个数即可，

即第75百分位数是21.

故选：B

3.C

【分析】利用基本基本不等式求出最小值.

【详解】x+—!—=(x-l)+」一+122］。-1>」一+1=3，当且仅当x-l=」一，即x=2时,

x-1x-1Vx-1x-1

取等号，

所以x+工的最小值为3.

x-l

故选：C

4.B

【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.

【详解】解：对于A,若c=。，则。力无法比较大小，故A错误；

对于B,若。>同，则。为正数，两边平方得/>4,故B正确；

对于C,若«>况,贝故C错误;

答案第1页，共9页

对于D,若。=-2,6=1,满足但是。<6,故D错误.

ab

故选：B.

5.D

【分析】利用指数函数的性质及零点存在性定理判断零点所在区间.

【详解】当龙>。时，〃尤)=卜-1)+。>0,此时无零点；

当尤<0时，/(X)在(一叫。)上单调递增，>/(-1)=->0,/(-2)=--1<0,

ee4

所以(-2,-1)上存在一个零点；

综上，零点所在区间为(-2,-1).

故选：D

6.D

【分析】根据命题为真分离参数求得:在［L3］上的最大值，可得结果.

【详解】由依?+(a—2)x-240,可得。4^±^=工，

X+XX

故选：D.

7.A

【分析】由指数复合函数的区间单调性有羡40,即可求参数范围.

【详解】•.,函数y=在R上单调递减，且/(W在区间(0,1)上单调递减，

函数y=x(x-a)在区间(0,1)上单调递增，

—W0,即a<0,

2

°的取值范围是(-00,。］.

故选：A

8.C

【分析】设/(x)="-a(x>2)的值域为A,可知(2,+e)aA,分0<a<l和两种情况,

结合指数函数性质运算求解.

【详解】当0<xW2时，可知/(x)=21og2X的值域为(-8,2］,

答案第2页，共9页

设=优-a（x>2）的值域为A,依题意得（2,+8）uA.

当0<a<l时，/（X）在（2,+oo）上单调递减，

即当x>2时，A=（^-a,a2-a）,不符合题意；

当a>l时，/在（2,m）上单调递增，

即当x>2时，A=（a~—a,+e）,可得4―解得l<a<2；

综上所述：实数。的取值范围是。,2].

故选：C.

9.CD

【分析】根据数据平均数、中位数、标准差、极差的定义及性质分析判断各项的正误.

【详解】对于A：设丁=、+%++/，则产3*）+（2/+。++（2%+°）=+c,且cH0,

nn

错误；

对于B：设原样本数据的中位数为当，则新样本数据的中位数为％=2%+c,且cwo,错误；

对于C：由O（y）=22D（x）+O（c）=4O（x）,知新样本数据的标准差是原样本数据的标准差

的2倍，正确；

对于D：设原样本数据的极差为x1mx-x血则新样本数据的极差为

2

Xnax-ymin=（^+°）-（2工1111n+。）=2（X1mx-%），正确.

故选：CD

10.ABD

【分析】写出A民CD以及样本空间所包含的基本事件，逐一判断各个选项即可.

【详解】由题意4={1,3,5},3={3},。={3,6},。={2,4,6},样本空间为。={1,2,3,4,5,6},

对于A,BQ£）=0,这意味着民。不可能同时发生，故A正确；

对于B,AcO=0,AuQ=U,这意味着4。中有且仅有一个事情发生，故B正确；

71

对于c,P（C）=-=-,故c错误；

63

对于D,因为AcC=8={3},所以P（AC）=P（B）=J,故D正确.

6

故选：ABD.

答案第3页，共9页

11.ABD

【分析】利用题设条件通过赋值法代入，即可判断A,B；对于C,先由条件②，推出/(x)

在R上的单调性，再由③推出"-2)=7,排除C项；对于D,利用C的结论/(-2)=7,

将f(3f)>〃5司+6化成/(3/)>“5尤-2),再利用函数单调性即可解得.

【详解】对于A：由①，尤=》=0时，有/(O)=〃O)+/(O)—1,即"0)=1,故A正确；

对于B：由①，取…,可得〃2力=/("+/(力-1=2/(耳_1,

再取y=2x,/(3x)=/(2x)+/(x)-l=2/(x)-l+/(x)-l=3/(x)-2,故B正确；

对于C：设\/尤［,%eR且再<%，则％-占>。，由②得

由①,取kr,可得/(O)=/(x)+/(f)—l,即Q(x)+/(—x)=2.

由①再取y=F，x=%，可得/(电—石)=/(%)+/(-％)-1=/优)+2-/(%)-1,

即/仁)—/(%)=/(4-%)—1<。即/(%)</&)，故"X)在R上单调递减.

由③，得/⑵=2/⑴-1=—5.又因/⑵+/(—2)=2,则/(—2)=2—/⑵=7,

故/⑴在［-2,2］上的最大值为7,故C错误；

对于D：因/(3/)>〃5尤)+6,〃-2)=7,则/(3尤2)>/(5尤)+〃-2)-1,即

因/(X)在R上单调递减，贝u3/<5X-2,解得§<X<1,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的单调性、最值的应用，属于难题.

对于C项的确定是关键，要考虑利用②证明函数单调性，由③通过求得/(-2)=7排除此项，

同时，又要运用该值等价转化D项不等式.

12.(-oo,l］

【分析】由奇偶性定义判断函数奇偶性，根据幕函数的单调性及解析式判断函数单调性，再

应用奇偶性、单调性解不等式求参数范围.

答案第4页，共9页

【详解】由"X)定义域为R,且〃-尤)=(-刈3+(-炉=-13+彳1=一”封，则"X)为奇

函数.

又函数y=V,y=x(均为R上的增函数，则“X)为R上的增函数.

由题设〃a)4-42—3)=/(3—2a),即aV-2a+3,解得心1,

故实数。的取值范围是(9』.

故答案为：(-8』

3

13.-/0.75

4

【分析】设上半部分正常工作为事件M,下半部分正常工作为事件N,该电子元件能正常

工作为事件E.则P(E)=1-尸(祈)P(M，分别计算出尸(/),尸(N),根据对立事件即可得

尸便)，尸(W)即可解出.

【详解】解：设上半部分正常工作为事件下半部分正常工作为事件N,该电子元件能

正常工作为事件E.

•••尸(河)=[1一;jx(l—•.尸(湎)=1-2(河)=1一；=；,

1_1__113

•・・P(N)=-,:.尸(N)=1-0(N)二万,P(E)=1-尸(河)尸(N)=1—5x耳=[,即该电子元件能正

常工作的概率是彳3.

4

3

故答案为：—.

4

14.e2

【分析】根据题设a,In6均为方程x+lnx-2=0的根，由解析式判断/(x)=x+lnx-2的单

调性，利用零点存在性定理确定零点唯一性，结合对数运算性质求参数值.

【详解】•.,c+ln(z=2,ln/?+ln(ln/?)=2,

a,In6均为方程％+In尤一2=0的根，

,.•/(x)=x+Inx—2在(0,+ao)上单调递增，M/(l)=-l<0,/(2)=ln2>0,

\有唯一零点，即a=ln£=>2-lna=ln/?nlna+ln£=2,

答案第5页，共9页

afi=e2.

故答案为：e2

15.(l)An(4B){x|-2<x<0^4<x<5}

⑵［4")

【分析】(1)化简集合A8,由集合的运算即可得解；

(2)由题意得A是8的真子集，进一步列不等式即可求解.

【详解】(1)A=^x^<2x<32^={x\-2<x<5},

B|x2-4x<0^={x10<x<4}.

:.dkB={x|x<0或x>4},

Ac5={x|-2VxvO或4<x«5}.

(2)是成立的充分不必要条件，A是4的真子集.

又3={x|x2—4x+4-m2<0,m>0^=1x|2—m<x<2+m,m>01.

m>0fm>0

.•「2-加W-2等号不同时成立，即加24,解得加24,经检验“=”满足题意.

2+m>5m>3

***m的取值范围是［4,+oo).

16.(l)a=0.01,54(分钟)；

⑵%.

15

【分析】(1)根据频率和为1求参数，再结合频率直方图求平均数即可；

(2)应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，再应用列举法求古典概型的概率.

【详解】⑴由频率分布直方图，得20(0.0025+a+0.02+a+0.0075)=1,即a=0.01,

.•.这200位学生每天阅读的平均时间为

x=10x0.05+30x0.2+50x0.4+70x0.2+90x0.15=54(分钟).

nO1

(2)每天阅读的时间在［20,40)和［40,60)内的人数比为,则分层抽样抽取的6人中,

在［20,40)内的有2人,记为48,在［40,60)内的有4人,记为c,d,e,f,

答案第6页，共9页

这6人中随机抽取2人的试验的样本空间为

O={AB,Ac,Ad,Ae,Af,Be,Bd,Be,Bf,cd,ce,cf,de,df,ef),共15个样本点，

阅读的时间所在区间不同的事件M={Ac,Ad,Ae,省,a,&/,庆，跋},共8个样本点.

Q

，这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率为P(M)=].

17.(l)a=l；

(2)答案见解析.

【分析】(1)应用偶函数的性质有-2T)=0恒成立，即可求参数值；

(2)设/=23问题化为分析a=+；«>0)解的个数，分类讨论判断原函数零点

的个数.

【详解】(1)依题意，得了(f)=/(x),即2工+(_1=2一工+?]

即(”1)(2"-27)=0恒成立，得。=1.

(2)令〃x)=0,得〃=一(2')2+2工

设f=2",贝|4=-『+1=一[-3)+；”0)

由函数在(o,g)上单调递增，在g,+s)上单调递减，且最大值为:，

当时，/(元)无零点；

当。=；或。<0时，/(X)有一个零点；

当0<a<；时,“X)有两个零点.

18.(1)R.

(2)证明见解析

⑶/⑺>/(玉)>〃％)

【分析】⑴根据67丁-工>0即可求解，

(2)计算/(x)+/(-x)的值，即可根据中心对称的性质求解，

答案第7页，共9页

(3)利用单调性的定义可得=单调递减，即可根据对数复合函数的单调性

求解.

【详解】(1)由yjl+x2-X>0得A/1+X2>X①

J1+V>„,即①式恒成立，的定义域为R.

(2)

/(%)+/(-%)=In[yjl+x2-x^-ax+b+\n^Jl+x2+x)+av+b=21+ln(Jl+x?+x)(Jl+x?-x)=2b

■■曲线y=/(x)是中心对称图形，对称中心为(。))

(3)令g(尤)=Jl+炉-x,设任意占，无26R，且占<々，

"1+X；+J1+X；

*2）［尤1+*2-（11+龙；+