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文档简介
专题26活用隐圆的五种定义妙解压轴题
【题型归纳目录】
题型一:隐圆的第一定义:到定点的距离等于定长
题型二:隐圆的第二定义:到两定点距离的平方和为定值
题型三:隐圆的第三定义:到两定点的夹角为90°
题型四:隐圆的第四定义:边与对角为定值、对角互补、数量积定值
题型五:隐圆的第五定义:到两定点距离之比为定值
【典例例题】
题型一:隐圆的第一定义:到定点的距离等于定长
例1.(2022•和平区校级月考)平面内,定点A,B,C,。满足|ZM|=|£«|=|QC|=2,且
DA.DB=DB.DC=DC.DA=-2,动点尸,M满足|AP|=1,PM=MC,则的最大值为()
,37+66H37+2亚„43n49
4444
【解析】解:由题可知|D4|=|DB|=|DC|,则D到A,B,C三点的距离相等,
所以。是AABC的外心,
又DA.DB=DB.DC=DC.DA=-2,
变形可得DA.DB-DB-DC=DB(DA-DC)=DB-CA=0,
所以同理可得ZM_L3C,DCLAB,
所以。是AABC的垂心,
所以AABC的外心与垂心重合,
所以AABC是正三角形,且。是AABC的中心;
则8(3,C=(3,B,0(2,0),\AP\=l,
可设P(cos0,sin。),其中。e[0,2汨,而尸M=MC,
即M是尸。的中点,则M(3+c°s"W+sin",
22
JI
IBMI-(^1)2+(Sin。+3,)2=37+由(。-彳)3=竺,
22444
当e=2"时,IBMF取得最大值为丝.
34
故选:D.
例2.(2022春•温州期中)已知a,b是单位向量,ab=O,若向量c满足|c-a+6|=1,则|c-6|的取值范
围是()
A.[>/2-1,A/2+1]B.[1,A/2+1]C.[0,2]D.[^-1,A/5+1]
【解析】解:由a,b是单位向量,JLiz-Z?=0,则可设a=(l,0),b=(0,l),c=(x,y);
向量e满足|e-a+b1=1,
.-.|(x-l,y+l)|=l,
Jd)2+(y+l)2=1,
即(x-l)2+(y+l)2=l,
它表示圆心为C(1,T),半径为r=l的圆;
又|c-》|=|(x,y-1)|=yjx2+(y-l)2,它表示圆C上的点到点2(0,1)的距离,如图所示:
且|3。|=、产+(-1_1)2=6,
75-11IJ|PB|后+1;
即|c-b|的取值范围是[逐-1,V5+1].
【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系,也
考查了推理能力和计算能力,是综合性题目.
例3.(2022•延边州一模)如果圆(x-4)2+(y-q)2=8上总存在两个点到原点的距离为应,则实数。的取
值范围是()
A.(-3,3)B.(-1,1)
C.(-3,1)D.(-3,-1)0(1,3)
【解析】解:问题可转化为圆(x-ar+(y-a)2=8和圆尤2+9=2相交,
两圆圆心、星巨d=7(«-0)2+(a-0)2=y/2\a\,
由R-r<\OC\\<R+r得2四-抗〈及\a\<20+版,
解得:l<|a|<3,即。w(-3,-1)U(1,3)
故选:D.
例4.(2022•花山区校级期末)设点M为直线x=2上的动点,若在圆。:V+V=3上存在点N,使得
NOMN=30。,则M的纵坐标的取值范围是()
A.[-1,1]B.C.[-2直,20]D.
2222
【解析】解:设M(2,y”),
在AOMN中,由正弦定理可得,———=———,
sinZONMsinZOMN
ZOACV=30°,ON=G
.巨亘=jf=2石,
sinMNM1
2
整理得,yM=±«26sinZONM’-4,
由题意知,00<ZONM<150°,/.sinZONMe(0,1].
当sinNOW=1时,加取得最值,
即直线MN为圆O的切线时yM取得最值.
yMe[-272,2A/2].
故选:C.
y
例5.(2022•广元模拟)在平面内,定点A,B,C,。满足|D41=|DB|=|DC|=2,
DA.BC=DB.AC=DC.AB=0,动点尸,M满足|AP|=1,PM=MC,则|8AZ『的最大值为.
【解析】解:平面内,|ZM|=|O8|=|DC|=2,DA.BC=DB.AC=DC.AB=0,
DA±BC,DBA.AC,DCLAB,
可设£)(0,0),4(2,0),B(-1,A/3),C(-1,-A/3),
.,动点P,M满足14Pl=1,PM=MC,
可设P(2+cos0,sin。),M(l+/,sinOjG,
BM=(3+COS0,sin"3g
22
_JT
23+cos0sin0-3\/337+12sin(--^)
,BM=("c°s")2+T-3)2=-----------------------6_竺,
2244
当且仅当sin£-3)=1时取等号,
的最大值为丝.
4
故答案为:—.
4
题型二:隐圆的第二定义:到两定点距离的平方和为定值
例6.(2022•普陀区二模)如图,AABC是边长为1的正三角形,点P在A4BC所在的平面内,且
|「4|2+|尸8|2+|「口2=°(。为常数).下列结论中,正确的是()
B
A.当0<a<l时,满足条件的点尸有且只有一个
B.当a=l时,满足条件的点尸有三个
C.当a>l时,满足条件的点P有无数个
D.当“为任意正实数时,满足条件的点P是有限个
【解析】解:以3c所在直线为x轴,3c中点为原点,建立直角坐标系,如图所示
则4(0,弓),B(-1,0),C(1,0),设尸(x,y),可得
\PA\=x2+(y-^-f,\PB\=(x+^)2+y2,\PC\=(x-^)2+y2
|PA|2+|PB|2+|PC|2=a
x2+(y--^-)2+(x+g)?+y2+(x—gy+y2=a
化简得:3x2+3/-^y+|-a=0,即Y+V〉+卷一]=0
配方,得犬+(,_曰y=g(a_i)…(])
当时,方程(1)的右边小于0,故不能表示任何图形;
当°=1时,方程(1)的右边为0,表示点(0,络),恰好是正三角形的重心;
当时,方程(1)的右边大于0,表示以(0,*)为圆心,半径为J(a-l)的圆
由此对照各个选项,可得只有C项符合题意
例7.(2022•江苏模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆。:/+/=1,圆M:(x+a+3了+(y-2a)2=1(〃为
实数).若圆。和圆M上分别存在点P,Q,使得/OQP=30。,则。的取值范围为.
【解析】解:由题意,圆A/:(x+a+3)2+(y-2a)2=1(〃为实数),圆心为-3,2〃)
圆〃上任意一点Q向圆。作切线,切点为尸,NPQO=30。,
所以无2+y2=4与圆M有交点掇取4+3)2+413,
解得
—g轰女0,
故答案为:-g强力o,
5
例8.(2022•通州区月考)在平面直角坐标系xOy中,尸(2,2),。(01)为两个定点,动点加在直线x=-L
上,动点N满足NO2+NQ2=16,则1PM+PN|的最小值为.
【解析】解:NO2+N02=16,;.N在以OQ为直径的圆上,
不妨设N(2cos9-2,2sine),,
则PM=(-3,m-2),PN=(2cos6-4,2sine-2),
PM+PN=(2cos0-l,2sin0+m-4),
PM+PN|2=(2cos6(-7)2+(2sin6+机-4)2=m2-Sm+69+4[(m-4)sin6,-7cos6}
=(m-4)2+53+4j(〃z-4)2+49sin(,-<p),
令-4)2+49=t,sin(^-(p)=a,则f..7,-啜b1.
:]PM+PN\"=t2+4+4at,
令/(1)=r+4+4成=(/+2a)2+4-4/,A.7,一段W1,
在[7,+8)上单调递增,
故当f=7时,/⑺取得最小值53+28a,
再令g(°)=53+28。,一掇W1,
显然g(a)在[-1,1]上单调递增,
故a=-l时,g(a)取得最小值53-28=25,
综上,当"7,。=-1时,1PM+PNF取得最小值25.
故|PM+/W|的最小值为5.
故答案为:5.
例9.(2022•盐城三模)已知A,B,C,。四点共面,BC=2,AB2+AC2=20,CD=3CA,贝的
最大值为.
【解析】解:以C为原点,以直线CB为x轴建立平面坐标系,
设3(2,0),D(x,y),CD=3CA,A(|,1).
AB2+AC2-20,
十一方黄2乎2上2孙
(x-3)2+y2=81,
.•.点。在以E(3,0),以厂=9为半径的圆E上,
BD的最大距离为BE+r=10.
故答案为:10.
例10.(2022•大武口区校级期末)已知圆C:(x-3)2+(>-4)2=1,点4(-1,0),3(1,0),点P是圆上的动点,
则d=|PA『+1PB|2的最大值为,最小值为.
【解析】解:设尸点的坐标为(3+sin(z,4+cosa),
贝Id=\PA\"+|P8/=(4+sina)2+(4+cosa)2+(2+sina)2+(4+cosa)2=54+12sina+16cosa=54+20sin(6»+a)
.,.当sin(e+a)=l时,即12sintz+l6costz=20时,d取最大值74,
当sin(6+a)=-1时,即12sinct+l6cosc=-20,d取最小值34,
故答案为:74,34.
例11.(2022•大观区校级期中)正方形ABCD与点P在同一平面内,已知该正方形的边长为1,且
|PA|2+|PB|2=|PC|2,求|PD|的取值范围.
【解析】解:以点A为坐标原点,他所在直线为X轴建立平面直角坐标系,如图所示,
D--------------------iC
By
则A(0,0),8(1,0),C(l,l),0(0,1),
设点P(x,y),则由IPA『+1PBI2=|PC|2,
得(/+丁)+(x―1)2+丁=(x_1)2+(y_1)2,
整理得-+(y+l)2=2,
即点P的轨迹是以点M(0,-1)为圆心,72为半径的圆,
圆心M到点D的距离为||=2,
所以1尸。1“加=2-&,\PD\max=2+^/2,
所以|PD|的取值范围是[2-后,2+72].
例12.已知।C:(x-3)2+(y-4)2=l,点A(-1,O),2(1,0),点尸是圆上的动点,求d2+1尸8]的最
大值、最小值及对应的P点坐标.
【解析】解:设P点的坐标为(3+sina,4+cosa),
贝|Jd=|尸A『+1PB/=(4+sina)2+(4+cosa)2+(2+sina)2+(4+cosa)2=54+12sina+16cosa=54+20sin(6»+a)
.•.当sin(6+tz)=1时,即12sintz+l6costz=20时,〃取最大值74,
止匕时sine=3,cosa=—
55
24
尸点坐标
T
当sin(6+(z)=-1时,即12sintz+l6cos0=-20,d取最小值34,
止匕时sinx=-3,cosa=--,P点坐标(L,—).
5555
题型三:隐圆的第三定义:到两定点的夹角为90。
例13.(2022春•湖北期末)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c).(b-2c)=0,
贝l]|c|的最大值是()
A.A/2B.—
2
【确军析】解:(。一右)・3—2°)=0,.•.(Q-c)・gb-c)=0,
设。4=Q,OB=b,OC=c,设Q5的中点为O,则a—c=C4,-b-c=CD,
2
/.CA.CD=0,
故。在以AD为直径的圆M上,
OALOB,在圆M上,
.Ic|的最大值为圆M的直径AD=yJOA2+OD2=—.
2
故选:B.
A
MC
ODB
例14.(2022春•龙凤区校级期末)已知圆C:(x-l)2+(y-3)2=10和点M(5j),若圆。上存在两点A,3使
得则实数r的取值范围是()
A.[3,5]B.[2,4]C.[2,6]D.[1,5]
【解析】解:由题意圆C:(无-l)2+(y-3)2=10和点M(5,^),若圆C上存在两点A,B,使得
可得|CM|”
二.(5-1)2+(7-3)2,,20,
.•,O5,
故选:D.
例15.(2022•荆州区校级期末)已知M,N是圆。“2+尸=4上两点,点尸(1,2),且尸M.PN=0,贝
的最小值为()
A.A/5-1B.#C.痛-GD.灰-血
【解析】解:如图所示:
设R(x,y)是线段MN的中点,则ORLMN,
PM.PN=0,PM±PN,
于是|刊?|」|脑”=|欢|,
2
在RTAO2W中,|ON|=2,|OR|=卜+y
\RN\=\RP\=7(x-l)2+(y-2)2,
由勾股定理得:
22=x2+y2+(x-l)2+(_y-2)2,
整理得(X—g)2+(y一l)2=j,
故R(x,y)的轨迹是以C(;,1)为圆心,厂=弓为半径的圆,
故l0RU=l℃l+r=1+gT+g,
V4222
=2,4一专+^)2=,8.2厉AA
2=/5-/3,
故IMN|m,,=21NR2yl\ON\-\OR\mJ
例16.(2022•浙江期中)已知点A(l-私0),B(\+z/1,0),右圆C:Y+y?—8x—8y+31=0上存在一*点P,
使得则实数m的最大值是()
A.4B.5C.6D.7
【解析】解:根据题意,圆。:炉+/一8%一8>+31=0,即(九—4)2+(y-4)2=1;
其圆心为(4,4),半径r=l,
设AB的中点为M,
又由点A(l—九0),B(l+m,0),则M(l,0),\AB\=2\m\,
2
以AB为直径的圆为(%-1)2+V=m,
若圆C:/+y2—8%—8y+3i=o上存在一点尸,使得如,依,则圆。与圆〃有公共点,
又由|MC|=J(l—4)2+(0—4)2=5,
即有|切-L,5且|加+1..5,
解可得:4麴jm|6,即-6轰弧-4或4张弧6,
即实数用的最大值是6;
故选:c.
例17.(2022•彭州市校级月考)设机eR,过定点A的动直线X+畋=0和过定点3的动直线
〃比-y-«i+3=0交于点尸(x,y),则|PA|+|的取值范围是()
A.[75,2A/5]B.[2际,4A/5]C.[y/10,475]D.h/IU,,2后
【解析】解:由题意可知,动直线工+阳=0经过定点A(0,0),
动直线mr-y-〃2+3=O即m(x-1)—y+3=0,经过定点2(1,3),
.■动直线x+〃zy=0和动直线〃a-y-m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点,
:.PA±PB,.-.|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.
222
由基本不等式可得|PA|2+|pB|2^|PA|+|PS|)2(1FAI+|PB|),
即1谭(|尸川+|尸3|)220,可得^/1^^4|+|尸3|2y/5.
故选:D.
例18.(2022•安徽校级月考)设〃zeA,过定点A的动直线x+〃沙+机=0和过定点3的动直线
〃zx-y—〃z+2=0交于点尸(x,y),则|上4|+|尸2|的取值范围是()
A.[75,2A/5]B.[710,2A/5]C.[加,4百]D.[2q,4e]
【解析】解:由题意可知,动直线无+冲+%=。经过定点A(0,-l),
动直线mr-y-%+2=0即m(x-l)-y+2=0,经过点定点3(1,2),
.•动直线x+〃4+“7=0和动直线mx-y-m+2=0的斜率之积为-1,始终垂直,
尸又是两条直线的交点,BPA『+|PBF=|ABF=10.
设NABP=6>,贝iJ|PA|=Msin。,|PB|=710cos6>,
由|PA|..O且IPBI..0,可得(9e[0,-]
2
PA\+\PB\=屈(sin6+cos0)=2亚sin(。+-),
4
0e[0,-J,,-.6>-[-,—],
244+4e
sin(6+?)e,1],
275sin(6>+-)e[710,2我,
4
故选:B.
例19.(2022•北京模拟)已知根cH,过定点A的动直线znx+y=0和过定点B的动直线x-冲-机+3=0交
于点P,则|尸川+若|尸2|的取值范围是()
A.(®2MlB.(V10,A/30]C.[而,病)D.[疝2师
【解析】解:由题意可知,动直线M+y=O经过定点A(0,0),
动直线x—rny—%+3=0CP—tn(^y+l)x+3=0,经过点定点B(—3,—1),
动直线+y=0和过定点B的动直线x-7〃y-〃?+3=0满足加xl+lx(-m)=0,两直线始终垂直,
尸又是两条直线的交点,.•.K4LPB,BPA|2+|PBF=|AB|2=1O.
设NABP=6>,贝IJ|PA|=JI^sinO,\PB\=y[iOcos0,
由|PA|..O且可得(9e[0,-]
2
则|PA\+百\PB\=y/idsine+瓜Mcos0=2而sin(6»+y),
C冗兀5冗I.//I1、r1-I
<9+—e[r—,—],.-.sin(6>+—)e[-,1l],
33632
2Msin(<9+§e[A/10,2M],
故选:D.
例20.(2022春•大理市校级期末)已知圆0(彳-3)2+。-4)2=1和两点4(-私0),B(m,0),(m>0).若
圆C上存在点P,使得NAPB=90。,则机的最小值为()
A.7B.6C.5D.4
【解析】解:NAPB=90。,.•.点P的轨迹是以至为直径的圆O,
故点P是圆O与圆C的交点,
因此两圆相切或相交,即|“-1|侬炉彳777+1,
解得4轰帆6.
m的最小值为4.
故选:D.
例21.(2022春•红岗区校级期末)已知圆C:Y+y2-6龙—8y+24=0和两点A(-”2,0),B(m,0)(m>0),
若圆C上存在点尸,使得APBP=0,则机的最大值与最小值之差为()
A.1B.2C.3D.4
【解析】解:圆C:(x-3)2+(y-4)2=1的圆心C(3,4),半径厂=1,
设尸3,6)在圆C上,则AP=(a+%b),BP=(a-m,b),
由APBP=O,
可得(a+m)(a-ni)+b2=0,
^\im2=a2+b2=\OP^,
m的最大值即为|0尸|的最大值,等于|OC|+r=5+l=6.
m的最小值即为|0尸|的最小值,等于|OC|-r=5-1=4.
则m的最大值与最小值之差为6-4=2.
故选:B.
例22.(2022•兰州一模)已知圆C:(x-石)2+。-1)2=1和两点4-/,0),B(t,0)(1。),若圆C上存在点
P,使得NAPB=90。,则当f取得最大值时,点P的坐标是()
【解析】解:圆C:(X-石)2+(丁一1)2=1,其圆心CG/L1),半径为1,
「圆心C到0(0,0)的距离为2,
,圆C上的点到点。的距离的最大值为3.
再由/4依=90。,以钻为直径的圆和圆C有交点,可得==故有4,3,
2
.-.A(-3,0),8(3,0).
•圆心C(石,1),直线O尸的斜率左=@,
3
直线O尸的方程为y=^x
[昱].迪
联立:)‘一3”解得:2.
(X->/3)2+(J-1)2=1y=|
故选:D.
例23.(2022•海淀区校级三模)过直线/:y=2x+a上的点作圆C:V+y2=i的切线,若在直线/上存在一
点使得过点M的圆C的切线MP,MQ(P,。为切点)满足NPMQ=90。,则。的取值范围是(
)
A.[-10,10]B.[-40,阿
C.(-co,-10][J[10,+oo)D.(-8,-ViojjtTio,+00)
【解析】解:圆C:/+y2=l,圆心为:(0,0),半径为1,
.•在直线/上存在一点使得过M的圆C的切线MP,MQ(P,。为切点)满足/尸”。=90。,
在直线I上存在一点M,使得M到C(0,0)的距离等于V2,
只需C(0,0)到直线l:y=2x+a的距离小于或等于四,
故龄”收解得-同物业,
故选:B.
例24.(2022春•东阳市校级期中)如图,四边形AOCB中,OA±OC,CA±CB,AC=2,CB=®,
则OB的长度的取值范围是—.
【解析】解:设NOG4=〃,^e(0,1)
显然OB>BC=0,
/.OC=2msO,
OB2=OC2+CB2-2XOCXCB.cos(e+-)=4cos20+2-2叵x2cos6>.cos(6»+-)
22
=4+2(cos20+&sin20)
=4+2^3sin(26)+(p)(其中tan9=^-),
,,4+2/=(括+1)2,
:.OB,,A/3+11
综上03的长度的取值范围是(&,A/3+1].
故答案为:(&,^+1].
例25.(2022春•淮安校级期中)若实数a,b,c成等差数列,点P(-l,0)在动直线方+勿+。=0上的射影
为M,点N坐标为(3,3),则线段长度的最小值是.
【解析】解:「实数a,b,c成等差数列,
:.2b=a+c即a—2Z?+c=0,
可得动直线ax+by+c=0恒过。(1,-2),
.♦点尸(-1,0)在动直线依+与+c=0上的射影为M,
:.ZPMQ^9Q°,则Af在以尸。为直径的圆上,
,此圆的圆心A坐标为(―,f),即AQT),
半径厂」|/0|」>/4+4=后,
22
又N(3,3),.-JAN|=7(3-0)2+(3+1)2=5>A/2,则点N在圆外,
贝U|MN|*=5-0,
故答案为:5-叵.
题型四:隐圆的第四定义:边与对角为定值、对角互补、数量积定值
例26.(2022•长治模拟)已知4,6是平面向量,。是单位向量,若非零向量°与e的夹角为工,向量b,
3
e满足b2-6e.b+8=0,则|。-b|的最小值为.
【解析】解:b2-6b.e+8=0,
b~-6b.e+8e2=(6—2e)(6-4e)=0,
b的终点在以2e和4e的终点为直径端点的圆上运动,设如=2e,OE=4e,则圆心为OC=3e的终点C,
半径为1的圆上运动,如图所示,
其中,OB=b,。的终点在射线。4上运动,显然当CFLtM交圆于点3,交。4于点尸时,|a-b|=|BP|最
小,
此时|C用=|OC|sin工=3x3=速,\BF\=\CF=-.
3222
故答案为:--1.
2
/----------M~~——>l£
ozAcJ
例27.(2022春•瑶海区月考)在平面四边形ABCD中,连接对角线BD,已知CD=9,BD=16,NBDC=90。,
4
sinA=-,则对角线AC的最大值为()
A.27B.16C.10D.25
【解析】解:根据题意,建立如图的坐标系,则0(0,0),C(9,0),8(0,16),
班»中点为G,则G(0,8),
设曲三点都在圆E上,其半径为R,
在RtAADB中,由正弦定理可得,一=学=2氏=20,即R=10,
sinA4
5
即E3=10,BG=8,则EG=6,
则E的坐标为(-6,8),
故点A在以点E(-6,8)为圆心,10为半径的圆上,
当且仅当C、E、A三点共线时,AC取得最大值,此时AC=10+EC=27;
例28.(2022秋•沈河区校级期中)设向量占,b,C满足:|a|=|6|=l,a»b=——,<a—c,b—c>=60°,
2
贝l)|c|的最大值为()
A.2B.6C.屈D.1
【解析】解:由题意可得IaH。1=1,a»b=—jIxlxcos<<7,b>=――,
22
「.cosva,b>=—,:.<d,b>=120°.
2
<d—c,b—c>=60°,:\a-b\=—a)2=y/a2+Z?2—2a»b=,
设。4=a,OB=b,OC=C,则CA=a—c,CB=b—c,
AB=b-a,AB=3—a)2=3.
ZACB+ZAOB=60°+120°=180°,「.A、O、B、。四点共圆,
:.OC=2R,R为该圆的半径.
AAOC中,由正弦定理可得2R=———=—-—=2,
sinZACOsin30°
当且仅当OC是NAQ5的平分线时,取等号,此时,2R=OC,
故选:A.
例29.(2022•闸北区一模)在平面内,设A,3为两个不同的定点,动点P满足:P4PB=4左为实常数),
则动点尸的轨迹为()
A.圆B.椭圆C.双曲线D.不确定
【解析】解:设A(-c,0),B(C,0)(C>0),P(x,y).
则PA=(-c-x,-y),PB=(c-x,-y).
,满足:P4P2=r(k为实常数),
(-c-x,-y).(c-x,-j)=k2,
化为x2-c2+y2=k2,
即x2+y2=c2+k2
故动点尸的轨迹是原点为圆心,以为半径的圆.
故选:A.
例30.(2022•和平区校级一模)如图,梯形ABCD中,AB//CD,AB=2,CD=4,BC=AD=^5,E和
尸分别为与BC的中点,对于常数力,在梯形ABCD的四条边上恰好有8个不同的点P,使得
尸E.P尸=2成立,则实数力的取值范围是()
595
A.-—)B.C.
420449GT
【解析】解:以DC所在直线为x轴,DC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系
则梯形的高为^/^=T=2,A(-l,2),8(1,2),C(2,0),E>(-2,0),E(-1,1),F(1,1).
1)当P在DC上时,设P(x,0)(—2领k2),则尸E=(—]—x,1),PF=(1,1).
335
T>PE.PF=(---X)(--X)+1=X2--=2,
.•.当%=时,方程有一解,当一U时,丸有两解;
444
(2)当尸在AB上时,设P(尤,2)(-1领k1),贝!!「£1=(-1-;(:,-1),PF=(j,-1).
335
PE.PF={------x)(——x)+l=x2——=2,
224
.•.当彳=-»时,方程有一解,当-*<%,-工时,2有两解;
444
(3)当P在AD上时,直线AD方程为y=2x+4,
33
设尸(x,2%+4)(-2<%<-1),则PE=(-/-x,-2x-3),PF=(--x,-2x-3).
3327
于是PE.PF=(---x)(--x)+(-2x-3)2=5X2+12X+—=A.
,当2=-2或」<2<2时,方程有一解,当一2<九<二时,方程有两解;
2044204
(4)当P在CD上时,由对称性可知当彳=-2或-工时,方程有一解,
2044
Q1
当-2<彳<」时,方程有两解;
204
综上,若使梯形上有8个不同的点P满足PE-PF=X成立,
则力的取值范围是(一3,—]n(--,--]n(-—,
4444204204204
故选:D.
例31.(2022•宁城县一模)如图,正方形ABCD的边长为6,点E,尸分别在边45,3c上,l.DE=2AE,
CF=2BF.如果对于常数;I,在正方形ABCD的四条边上,有且只有6个不同的点P使得PE.P尸=4成
立,那么2的取值范围是()
A.(0,7)B.(4,7)C.(0,4)D.(-5,16)
【解析】解:以。C为无轴,以D4为y轴建立平面直角坐标系,如图,则E(0,4),F(6,4).
(1)若P在CD上,设尸(x,0),O6.P£=(-x,4),PF=(6-x,4).
.•.PE.PJFMY-GJV+IG,■xe[0,6],7张pE.PF16.
.•.当X=7时有一解,当7〈儿,16时有两解.
(2)若「在AD上,设P(0,y),0<y„6.PE=(0,4-y),PF=(6,4-y).
PE.PF=(4-yf=y2-Sy+16,0<y„6,:.0„PE.PF<16.
.•.当彳=0或4<2<16,有一解,当0<%,4时有两解.
(3)若P在AB上,设P(x,6),0<%,6.PE=(-x,-2),PF=(6-x,-2).
PE.PF=^-6%+4,0〈苍,6..'.-SiJPE.PF4.
.•.当2=—5或4=4时有一解,当—5<九<4时有两解.
(4)若尸在3C上,设P(6,y),0<j<6,,尸E=(-6,4-y),PF=(0,4-y).
PE.PF=(4-y)2=y2-Sy+16,0<y<6,:.0„PE.PF<16.
.•.当2=0或4,,2<16时有一解,当0<4<4时有两解.
综上,.-.0<2<4.
故选:C.
例32.(2022•黄浦区校级三模)在边长为8的正方形ABCD中,A1是3c的中点,N是ZM边上的一点,
且|OV|=3|N4|,若对于常数根,在正方形ABCD的边上恰有6个不同的点尸满足:PM.PN=m,则实数
m的取值范围是.
【解析】解:以AB所在直线为x轴,以4)所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图:
(1)若P在AB上,设尸(x,0),噂於8
PN=(-x,2),PM=(8-x,4)
PN.PM-8x+8,
-xe[0,8],-S^N.PM8,
二当根=-8时有一解,当-8〈见,8时有两解;
(2)若「在AD上,设P(0,y),0<y,,8,
PN=(0,2-y),PM=(8,4-y)
PN-PM=(2-y)(4-y)=y2-6y+8
0<y„8,.-.-I,,PN.PM<24
.•.当〃z=-1或8</<24时有唯一解;当-1<m,,8时有两解
(3)若尸在£>C上,设P(x,8),0<%,8
PN=(一x,—6),PM=(8-x,-4),
PN.PM=x2-8x+24,
0<X,8,&NPM24,
.•.当〃z=8时有一解,当8<血,24时有两解.
(4)若尸在3c上,设尸(8,y),0<y<8,
:.PN=(-8,2-y),PM=(0,4-y),
PN-PM=(2-y).(4-y)=/一6y+8
-0<y<8,-1,,PN.PM<24,
二.当加=—1或8<相<24时有一解,当-1<%,8时有两解.
综上,在正方形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点尸,使得=M成立,那么机的取值范围是
(-1,8)
故答案为(-1,8)
题型五:隐圆的第五定义:到两定点距离之比为定值
例33.(2022•湖南•长沙县第一中学模拟预测)古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》
中指出:平面内与两定点距离的比为常数左(%>0且左N1的点的轨迹是圆,已知平面内两点A(右,0),
B(2小,0),直线依-y-无+2=0,曲线C上动点尸满足,=,2,则曲线C与直线/相交于M、N两点,
L
则的最短长度为()
A.非B.回C.275D.2回
【答案】C
222
【解析】设动点尸的坐标为(尤,y),则|尸2F=(尤-2w°+y2,|PA|=(X-A/5)+J
由•鲁•=正得:|PB|2=2|PAFn(x-2如『+/=2
化简后得:曲线C:x2+/=10,故尸点轨迹为圆,
又依-y-k+2=0可化为、-2=左(%-1)
直线/过定点A(1,2),
则圆心到直线的距离的最大值为|。4|,此时的长度最短.
所以脑VI的最短长度为2To=2.-5=2小.
故选:c.
例34.(2022•全国•高三专题练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德并称为亚历
山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》
一书,阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是:已知动点/与两定点的距离之比
曙=〃X>0"wl),那么点/的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点/的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为
V+y2=i,其中,定点Q为x轴上一点,定点尸的坐标为(J,O)%=3,若点3(1,1),则31Mpi+|MB|的最
小值为()
4.晒B.VTTC.715D.V17
【答案】D
【解析】设Q(a,。),M(x,y),所以眼@=4>域+",由p'g,。],
过卫=0
整理可得/+/+三£X=土口,又动点M的轨迹是/+丁=1,所以<4
-48a2-l,
----=1
解得。=_3,所以。(-3,0),又|MQ|=3|MP|,
所以3|MP|+|M8|=|MQ|+|MB08Q|,
因为5(1,1),所以31Mpi+1MB|的最小值忸Q|=7(1+3)2+(1-0)2=后,
当M在位置或M2时等号成立.
故选:。
例35.(2022•全国•高三专题练习)阿波罗尼斯(公元前262年~公元前190年),古希腊人,与阿基米德、
欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题,其中阿波罗尼斯圆是他的
PA
论著中的一个著名问题:已知平面上两点A,B,则所有满足=4(Z>0,且;Iwl)的点尸的轨迹是一
PB
个圆.已知平面内的两个相异定点P,Q,动点又满足|以卜21M2|,记M的轨迹为C,若与C无公共点
的直线/上存在点R,使得|M/?|的最小值为6,且最大值为10,则。的长度为()
A.2"B.4兀C.8万D.16万
【答案】B
【解析】依题意,M的轨迹C是圆,设其圆心为点半径为,,显然直线/与圆C相离,令点。到直线/
的距离为d,
由圆的性质得:\[八,解得d=8,r=2,
[d+r=10
所以C的长度为4万.
故选:B
例36.(2022•全国•高三专题练习)阿波罗尼斯(约公元前262790年)证明过这样一个命题:平面内到
两定点距离之比为常数左色>0且左片1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,
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