活用隐圆的五种定义妙解压轴题（解析版）

专题26活用隐圆的五种定义妙解压轴题

【题型归纳目录】

题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长

题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值

题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°

题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值

题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值

【典例例题】

题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长

例1.（2022•和平区校级月考）平面内，定点A,B,C,。满足|ZM|=|£«|=|QC|=2,且

DA.DB=DB.DC=DC.DA=-2,动点尸，M满足|AP|=1,PM=MC,则的最大值为（）

,37+66H37+2亚„43n49

4444

【解析】解：由题可知|D4|=|DB|=|DC|,则D到A,B,C三点的距离相等，

所以。是AABC的外心，

又DA.DB=DB.DC=DC.DA=-2,

变形可得DA.DB-DB-DC=DB（DA-DC）=DB-CA=0,

所以同理可得ZM_L3C,DCLAB,

所以。是AABC的垂心，

所以AABC的外心与垂心重合，

所以AABC是正三角形，且。是AABC的中心；

则8(3,C=(3,B,0(2,0),\AP\=l,

可设P(cos0,sin。)，其中。e[0,2汨，而尸M=MC,

即M是尸。的中点，则M(3+c°s"W+sin",

22

JI

IBMI-(^1)2+(Sin。+3,)2=37+由(。-彳)3=竺，

22444

当e=2"时，IBMF取得最大值为丝.

34

故选：D.

例2.(2022春•温州期中)已知a,b是单位向量，ab=O,若向量c满足|c-a+6|=1,则|c-6|的取值范

围是()

A.[>/2-1,A/2+1]B.[1,A/2+1]C.[0,2]D.[^-1,A/5+1]

【解析】解：由a,b是单位向量，JLiz-Z?=0,则可设a=(l,0),b=(0,l),c=(x,y)；

向量e满足|e-a+b1=1,

.-.|(x-l,y+l)|=l,

Jd)2+(y+l)2=1,

即(x-l)2+(y+l)2=l,

它表示圆心为C(1,T)，半径为r=l的圆；

又|c-》|=|(x,y-1)|=yjx2+(y-l)2,它表示圆C上的点到点2(0,1)的距离，如图所示：

且|3。|=、产+(-1_1)2=6,

75-11IJ|PB|后+1；

即|c-b|的取值范围是[逐-1,V5+1].

【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，也

考查了推理能力和计算能力，是综合性题目.

例3.(2022•延边州一模)如果圆(x-4)2+(y-q)2=8上总存在两个点到原点的距离为应，则实数。的取

值范围是()

A.(-3,3)B.(-1,1)

C.(-3,1)D.(-3,-1)0(1,3)

【解析】解：问题可转化为圆(x-ar+(y-a)2=8和圆尤2+9=2相交，

两圆圆心、星巨d=7(«-0)2+(a-0)2=y/2\a\,

由R-r<\OC\\<R+r得2四-抗〈及\a\<20+版,

解得：l<|a|<3,即。w(-3,-1)U(1,3)

故选：D.

例4.(2022•花山区校级期末)设点M为直线x=2上的动点，若在圆。:V+V=3上存在点N,使得

NOMN=30。,则M的纵坐标的取值范围是()

A.[-1,1]B.C.[-2直,20]D.

2222

【解析】解：设M(2,y”)，

在AOMN中，由正弦定理可得，———=———,

sinZONMsinZOMN

ZOACV=30°,ON=G

.巨亘=jf=2石,

sinMNM1

2

整理得，yM=±«26sinZONM’-4,

由题意知，00<ZONM<150°,/.sinZONMe(0,1].

当sinNOW=1时，加取得最值，

即直线MN为圆O的切线时yM取得最值.

yMe[-272,2A/2].

故选：C.

y

例5.(2022•广元模拟)在平面内，定点A,B,C,。满足|D41=|DB|=|DC|=2,

DA.BC=DB.AC=DC.AB=0,动点尸，M满足|AP|=1,PM=MC,则|8AZ『的最大值为.

【解析】解：平面内，|ZM|=|O8|=|DC|=2,DA.BC=DB.AC=DC.AB=0,

DA±BC,DBA.AC,DCLAB,

可设£)(0,0),4(2,0),B(-1,A/3),C(-1,-A/3),

.,动点P,M满足14Pl=1,PM=MC,

可设P(2+cos0,sin。)，M(l+/,sinOjG，

BM=(3+COS0,sin"3g

22

_JT

23+cos0sin0-3\/337+12sin(--^)

,BM=("c°s")2+T-3)2=-----------------------6_竺,

2244

当且仅当sin£-3)=1时取等号,

的最大值为丝.

4

故答案为：—.

4

题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值

例6.(2022•普陀区二模)如图，AABC是边长为1的正三角形，点P在A4BC所在的平面内，且

|「4|2+|尸8|2+|「口2=°(。为常数).下列结论中，正确的是()

B

A.当0<a<l时，满足条件的点尸有且只有一个

B.当a=l时，满足条件的点尸有三个

C.当a>l时，满足条件的点P有无数个

D.当“为任意正实数时，满足条件的点P是有限个

【解析】解：以3c所在直线为x轴，3c中点为原点，建立直角坐标系，如图所示

则4(0,弓)，B(-1,0),C(1,0),设尸(x,y),可得

\PA\=x2+(y-^-f,\PB\=(x+^)2+y2,\PC\=(x-^)2+y2

|PA|2+|PB|2+|PC|2=a

x2+(y--^-)2+(x+g)?+y2+(x—gy+y2=a

化简得：3x2+3/-^y+|-a=0,即Y+V〉+卷一]=0

配方，得犬+(,_曰y=g(a_i)…(])

当时，方程(1)的右边小于0,故不能表示任何图形；

当°=1时，方程(1)的右边为0,表示点(0,络)，恰好是正三角形的重心；

当时，方程(1)的右边大于0,表示以(0,*)为圆心，半径为J(a-l)的圆

由此对照各个选项，可得只有C项符合题意

例7.(2022•江苏模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆。:/+/=1,圆M：(x+a+3了+(y-2a)2=1(〃为

实数).若圆。和圆M上分别存在点P,Q,使得/OQP=30。，则。的取值范围为.

【解析】解：由题意，圆A/:(x+a+3)2+(y-2a)2=1(〃为实数)，圆心为-3,2〃)

圆〃上任意一点Q向圆。作切线，切点为尸，NPQO=30。，

所以无2+y2=4与圆M有交点掇取4+3)2+413,

解得

—g轰女0,

故答案为：-g强力o,

5

例8.(2022•通州区月考)在平面直角坐标系xOy中，尸(2,2),。(01)为两个定点，动点加在直线x=-L

上，动点N满足NO2+NQ2=16,则1PM+PN|的最小值为.

【解析】解：NO2+N02=16,;.N在以OQ为直径的圆上，

不妨设N(2cos9-2,2sine),,

则PM=(-3,m-2),PN=(2cos6-4,2sine-2),

PM+PN=(2cos0-l,2sin0+m-4),

PM+PN|2=(2cos6(-7)2+(2sin6+机-4)2=m2-Sm+69+4［(m-4)sin6,-7cos6}

=(m-4)2+53+4j(〃z-4)2+49sin(，-<p),

令-4)2+49=t,sin(^-(p)=a,则f..7,-啜b1.

:］PM+PN\"=t2+4+4at,

令/(1)=r+4+4成=(/+2a)2+4-4/,A.7,一段W1,

在［7,+8)上单调递增，

故当f=7时，/⑺取得最小值53+28a,

再令g(°)=53+28。，一掇W1,

显然g(a)在［-1,1］上单调递增，

故a=-l时，g(a)取得最小值53-28=25,

综上，当"7,。=-1时，1PM+PNF取得最小值25.

故|PM+/W|的最小值为5.

故答案为：5.

例9.(2022•盐城三模)已知A,B,C,。四点共面，BC=2,AB2+AC2=20,CD=3CA,贝的

最大值为.

【解析】解：以C为原点，以直线CB为x轴建立平面坐标系，

设3(2,0),D(x,y),CD=3CA,A(|,1).

AB2+AC2-20,

十一方黄2乎2上2孙

(x-3)2+y2=81,

.•.点。在以E(3,0),以厂=9为半径的圆E上,

BD的最大距离为BE+r=10.

故答案为：10.

例10.(2022•大武口区校级期末)已知圆C:(x-3)2+(>-4)2=1,点4(-1,0),3(1,0),点P是圆上的动点,

则d=|PA『+1PB|2的最大值为,最小值为.

【解析】解：设尸点的坐标为(3+sin(z,4+cosa),

贝Id=\PA\"+|P8/=(4+sina)2+(4+cosa)2+(2+sina)2+(4+cosa)2=54+12sina+16cosa=54+20sin(6»+a)

.,.当sin(e+a)=l时,即12sintz+l6costz=20时，d取最大值74,

当sin(6+a)=-1时，即12sinct+l6cosc=-20,d取最小值34,

故答案为:74,34.

例11.(2022•大观区校级期中)正方形ABCD与点P在同一平面内，已知该正方形的边长为1,且

|PA|2+|PB|2=|PC|2,求|PD|的取值范围.

【解析】解：以点A为坐标原点，他所在直线为X轴建立平面直角坐标系，如图所示，

D--------------------iC

By

则A(0,0),8(1,0),C(l,l),0(0,1),

设点P(x,y),则由IPA『+1PBI2=|PC|2,

得(/+丁)+(x―1)2+丁=(x_1)2+(y_1)2,

整理得-+(y+l)2=2,

即点P的轨迹是以点M(0,-1)为圆心，72为半径的圆,

圆心M到点D的距离为||=2,

所以1尸。1“加=2-&，\PD\max=2+^/2,

所以|PD|的取值范围是[2-后，2+72].

例12.已知।C:(x-3)2+(y-4)2=l,点A(-1,O)，2(1,0)，点尸是圆上的动点，求d2+1尸8]的最

大值、最小值及对应的P点坐标.

【解析】解：设P点的坐标为(3+sina,4+cosa),

贝|Jd=|尸A『+1PB/=(4+sina)2+(4+cosa)2+(2+sina)2+(4+cosa)2=54+12sina+16cosa=54+20sin(6»+a)

.•.当sin(6+tz)=1时，即12sintz+l6costz=20时，〃取最大值74,

止匕时sine=3,cosa=—

55

24

尸点坐标

T

当sin(6+(z)=-1时，即12sintz+l6cos0=-20,d取最小值34,

止匕时sinx=-3,cosa=--,P点坐标(L,—).

5555

题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90。

例13.(2022春•湖北期末)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c).(b-2c)=0,

贝l]|c|的最大值是()

A.A/2B.—

2

【确军析】解：(。一右)・3—2°)=0,.•.(Q-c)・gb-c)=0,

设。4=Q,OB=b,OC=c,设Q5的中点为O,则a—c=C4,-b-c=CD,

2

/.CA.CD=0,

故。在以AD为直径的圆M上，

OALOB,在圆M上，

.Ic|的最大值为圆M的直径AD=yJOA2+OD2=—.

2

故选：B.

A

MC

ODB

例14.(2022春•龙凤区校级期末)已知圆C:(x-l)2+(y-3)2=10和点M(5j),若圆。上存在两点A,3使

得则实数r的取值范围是()

A.[3,5]B.[2,4]C.[2,6]D.[1,5]

【解析】解：由题意圆C:(无-l)2+(y-3)2=10和点M(5,^),若圆C上存在两点A,B,使得

可得|CM|”

二.(5-1)2+(7-3)2,,20,

.•,O5,

故选：D.

例15.(2022•荆州区校级期末)已知M,N是圆。“2+尸=4上两点，点尸(1,2),且尸M.PN=0,贝

的最小值为()

A.A/5-1B.#C.痛-GD.灰-血

【解析】解：如图所示：

设R(x,y)是线段MN的中点，则ORLMN,

PM.PN=0,PM±PN,

于是|刊?|」|脑”=|欢|,

2

在RTAO2W中，|ON|=2,|OR|=卜+y

\RN\=\RP\=7(x-l)2+(y-2)2,

由勾股定理得：

22=x2+y2+(x-l)2+(_y-2)2,

整理得(X—g)2+(y一l)2=j,

故R(x,y)的轨迹是以C(；,1)为圆心，厂=弓为半径的圆,

故l0RU=l℃l+r=1+gT+g,

V4222

=2,4一专+^)2=,8.2厉AA

2=/5-/3,

故IMN|m,,=21NR2yl\ON\-\OR\mJ

例16.(2022•浙江期中)已知点A(l-私0),B(\+z/1,0)，右圆C:Y+y?—8x—8y+31=0上存在一*点P，

使得则实数m的最大值是()

A.4B.5C.6D.7

【解析】解：根据题意，圆。:炉+/一8%一8>+31=0,即(九—4)2+(y-4)2=1；

其圆心为(4,4),半径r=l,

设AB的中点为M,

又由点A(l—九0),B(l+m,0),则M(l,0),\AB\=2\m\,

2

以AB为直径的圆为(％-1)2+V=m,

若圆C:/+y2—8%—8y+3i=o上存在一点尸，使得如，依，则圆。与圆〃有公共点,

又由|MC|=J(l—4)2+(0—4)2=5,

即有|切-L,5且|加+1..5,

解可得：4麴jm|6,即-6轰弧-4或4张弧6,

即实数用的最大值是6；

故选：c.

例17.(2022•彭州市校级月考)设机eR,过定点A的动直线X+畋=0和过定点3的动直线

〃比-y-«i+3=0交于点尸(x,y),则|PA|+|的取值范围是()

A.[75,2A/5]B.[2际,4A/5]C.[y/10,475]D.h/IU,,2后

【解析】解：由题意可知，动直线工+阳=0经过定点A(0,0),

动直线mr-y-〃2+3=O即m(x-1)—y+3=0,经过定点2(1,3),

.■动直线x+〃zy=0和动直线〃a-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，

:.PA±PB,.-.|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.

222

由基本不等式可得|PA|2+|pB|2^|PA|+|PS|)2(1FAI+|PB|),

即1谭(|尸川+|尸3|)220,可得^/1^^4|+|尸3|2y/5.

故选：D.

例18.(2022•安徽校级月考)设〃zeA,过定点A的动直线x+〃沙+机=0和过定点3的动直线

〃zx-y—〃z+2=0交于点尸(x,y),则|上4|+|尸2|的取值范围是()

A.[75,2A/5]B.[710,2A/5]C.[加,4百]D.[2q,4e]

【解析】解：由题意可知，动直线无+冲+%=。经过定点A(0,-l),

动直线mr-y-%+2=0即m(x-l)-y+2=0,经过点定点3(1,2),

.•动直线x+〃4+“7=0和动直线mx-y-m+2=0的斜率之积为-1,始终垂直，

尸又是两条直线的交点，BPA『+|PBF=|ABF=10.

设NABP=6>,贝iJ|PA|=Msin。，|PB|=710cos6>,

由|PA|..O且IPBI..0,可得(9e[0,-]

2

PA\+\PB\=屈(sin6+cos0)=2亚sin(。+-),

4

0e[0,-J,,-.6>-[-,—],

244+4e

sin(6+?)e,1],

275sin(6>+-)e[710,2我,

4

故选：B.

例19.(2022•北京模拟)已知根cH，过定点A的动直线znx+y=0和过定点B的动直线x-冲-机+3=0交

于点P,则|尸川+若|尸2|的取值范围是()

A.(®2MlB.(V10,A/30]C.[而,病)D.[疝2师

【解析】解：由题意可知，动直线M+y=O经过定点A(0,0),

动直线x—rny—%+3=0CP—tn(^y+l)x+3=0,经过点定点B(—3,—1),

动直线+y=0和过定点B的动直线x-7〃y-〃?+3=0满足加xl+lx(-m)=0,两直线始终垂直，

尸又是两条直线的交点，.•.K4LPB,BPA|2+|PBF=|AB|2=1O.

设NABP=6>,贝IJ|PA|=JI^sinO,\PB\=y[iOcos0,

由|PA|..O且可得(9e[0,-]

2

则|PA\+百\PB\=y/idsine+瓜Mcos0=2而sin(6»+y),

C冗兀5冗I.//I1、r1-I

<9+—e[r—,—]，.-.sin(6>+—)e[-,1l],

33632

2Msin(<9+§e[A/10,2M],

故选：D.

例20.(2022春•大理市校级期末)已知圆0(彳-3)2+。-4)2=1和两点4(-私0),B(m,0),(m>0).若

圆C上存在点P,使得NAPB=90。，则机的最小值为()

A.7B.6C.5D.4

【解析】解：NAPB=90。，.•.点P的轨迹是以至为直径的圆O,

故点P是圆O与圆C的交点，

因此两圆相切或相交,即|“-1|侬炉彳777+1,

解得4轰帆6.

m的最小值为4.

故选：D.

例21.(2022春•红岗区校级期末)已知圆C:Y+y2-6龙—8y+24=0和两点A(-”2,0),B(m,0)(m>0),

若圆C上存在点尸，使得APBP=0,则机的最大值与最小值之差为()

A.1B.2C.3D.4

【解析】解：圆C:(x-3)2+(y-4)2=1的圆心C(3,4),半径厂=1,

设尸3,6)在圆C上，则AP=(a+%b),BP=(a-m,b),

由APBP=O,

可得(a+m)(a-ni)+b2=0,

^\im2=a2+b2=\OP^,

m的最大值即为|0尸|的最大值，等于|OC|+r=5+l=6.

m的最小值即为|0尸|的最小值,等于|OC|-r=5-1=4.

则m的最大值与最小值之差为6-4=2.

故选：B.

例22.(2022•兰州一模)已知圆C:(x-石)2+。-1)2=1和两点4-/,0),B(t,0)(1。)，若圆C上存在点

P,使得NAPB=90。，则当f取得最大值时，点P的坐标是()

【解析】解：圆C：(X-石)2+(丁一1)2=1,其圆心CG/L1),半径为1,

「圆心C到0(0,0)的距离为2,

，圆C上的点到点。的距离的最大值为3.

再由/4依=90。，以钻为直径的圆和圆C有交点，可得==故有4,3,

2

.-.A(-3,0),8(3,0).

•圆心C(石，1),直线O尸的斜率左=@,

3

直线O尸的方程为y=^x

[昱].迪

联立：)‘一3”解得：2.

(X->/3)2+(J-1)2=1y=|

故选：D.

例23.(2022•海淀区校级三模)过直线/:y=2x+a上的点作圆C:V+y2=i的切线，若在直线/上存在一

点使得过点M的圆C的切线MP,MQ(P,。为切点)满足NPMQ=90。，则。的取值范围是(

)

A.[-10,10]B.[-40,阿

C.(-co,-10][J[10,+oo)D.(-8,-ViojjtTio,+00)

【解析】解：圆C：/+y2=l,圆心为：（0,0）,半径为1,

.•在直线/上存在一点使得过M的圆C的切线MP,MQ（P,。为切点）满足/尸”。=90。,

在直线I上存在一点M,使得M到C（0,0）的距离等于V2,

只需C（0,0）到直线l:y=2x+a的距离小于或等于四，

故龄”收解得-同物业，

故选：B.

例24.（2022春•东阳市校级期中）如图，四边形AOCB中，OA±OC,CA±CB,AC=2,CB=®,

则OB的长度的取值范围是—.

【解析】解：设NOG4=〃，^e（0,1）

显然OB>BC=0,

/.OC=2msO,

OB2=OC2+CB2-2XOCXCB.cos（e+-）=4cos20+2-2叵x2cos6>.cos（6»+-）

22

=4+2（cos20+&sin20）

=4+2^3sin（26）+（p）（其中tan9=^-）,

,,4+2/=（括+1）2,

:.OB,,A/3+11

综上03的长度的取值范围是（&,A/3+1].

故答案为：（&,^+1].

例25.(2022春•淮安校级期中)若实数a,b,c成等差数列，点P(-l,0)在动直线方+勿+。=0上的射影

为M,点N坐标为(3,3),则线段长度的最小值是.

【解析】解：「实数a,b,c成等差数列，

:.2b=a+c即a—2Z?+c=0,

可得动直线ax+by+c=0恒过。(1,-2),

.♦点尸(-1,0)在动直线依+与+c=0上的射影为M,

:.ZPMQ^9Q°,则Af在以尸。为直径的圆上，

，此圆的圆心A坐标为(―，f)，即AQT)，

半径厂」|/0|」>/4+4=后,

22

又N(3,3),.-JAN|=7(3-0)2+(3+1)2=5>A/2,则点N在圆外，

贝U|MN|*=5-0，

故答案为：5-叵.

题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值

例26.(2022•长治模拟)已知4,6是平面向量，。是单位向量，若非零向量°与e的夹角为工，向量b,

3

e满足b2-6e.b+8=0,则|。-b|的最小值为.

【解析】解：b2-6b.e+8=0,

b~-6b.e+8e2=(6—2e)(6-4e)=0,

b的终点在以2e和4e的终点为直径端点的圆上运动，设如=2e,OE=4e,则圆心为OC=3e的终点C,

半径为1的圆上运动，如图所示，

其中，OB=b,。的终点在射线。4上运动，显然当CFLtM交圆于点3,交。4于点尸时，|a-b|=|BP|最

小，

此时|C用=|OC|sin工=3x3=速，\BF\=\CF=-.

3222

故答案为：--1.

2

/----------M~~——>l£

ozAcJ

例27.(2022春•瑶海区月考)在平面四边形ABCD中，连接对角线BD,已知CD=9,BD=16,NBDC=90。,

4

sinA=-,则对角线AC的最大值为()

A.27B.16C.10D.25

【解析】解：根据题意,建立如图的坐标系,则0(0,0),C(9,0),8(0,16),

班»中点为G,则G(0,8),

设曲三点都在圆E上，其半径为R,

在RtAADB中，由正弦定理可得，一=学=2氏=20,即R=10,

sinA4

5

即E3=10,BG=8,则EG=6,

则E的坐标为(-6,8),

故点A在以点E(-6,8)为圆心，10为半径的圆上，

当且仅当C、E、A三点共线时，AC取得最大值，此时AC=10+EC=27；

例28.(2022秋•沈河区校级期中)设向量占，b,C满足：|a|=|6|=l,a»b=——,<a—c,b—c>=60°,

2

贝l)|c|的最大值为()

A.2B.6C.屈D.1

【解析】解：由题意可得IaH。1=1,a»b=—jIxlxcos<<7,b>=――,

22

「.cosva,b>=—,:.<d,b>=120°.

2

<d—c,b—c>=60°,:\a-b\=—a)2=y/a2+Z?2—2a»b=,

设。4=a,OB=b,OC=C,则CA=a—c,CB=b—c,

AB=b-a,AB=3—a)2=3.

ZACB+ZAOB=60°+120°=180°,「.A、O、B、。四点共圆，

:.OC=2R,R为该圆的半径.

AAOC中，由正弦定理可得2R=———=—-—=2,

sinZACOsin30°

当且仅当OC是NAQ5的平分线时，取等号，此时，2R=OC,

故选：A.

例29.(2022•闸北区一模)在平面内，设A,3为两个不同的定点，动点P满足：P4PB=4左为实常数)，

则动点尸的轨迹为()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.不确定

【解析】解：设A(-c,0)，B(C,0)(C>0),P(x,y).

则PA=(-c-x,-y),PB=(c-x,-y).

，满足：P4P2=r(k为实常数)，

(-c-x,-y).(c-x,-j)=k2,

化为x2-c2+y2=k2,

即x2+y2=c2+k2

故动点尸的轨迹是原点为圆心，以为半径的圆.

故选：A.

例30.(2022•和平区校级一模)如图，梯形ABCD中，AB//CD,AB=2,CD=4,BC=AD=^5,E和

尸分别为与BC的中点，对于常数力，在梯形ABCD的四条边上恰好有8个不同的点P,使得

尸E.P尸=2成立，则实数力的取值范围是()

595

A.-—)B.C.

420449GT

【解析】解：以DC所在直线为x轴，DC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系

则梯形的高为^/^=T=2,A(-l,2),8(1,2),C(2,0),E>(-2,0),E(-1,1),F(1,1).

1)当P在DC上时，设P(x,0)(—2领k2),则尸E=(—]—x,1),PF=(1,1).

335

T>PE.PF=(---X)(--X)+1=X2--=2,

.•.当％=时，方程有一解，当一U时，丸有两解；

444

(2)当尸在AB上时，设P(尤，2)(-1领k1),贝!!「£1=(-1-;(:,-1),PF=(j,-1).

335

PE.PF={------x)(——x)+l=x2——=2,

224

.•.当彳=-»时，方程有一解，当-*<%,-工时，2有两解；

444

(3)当P在AD上时，直线AD方程为y=2x+4,

33

设尸(x,2%+4)(-2＜%＜-1),则PE=(-/-x,-2x-3),PF=(--x,-2x-3).

3327

于是PE.PF=(---x)(--x)+(-2x-3)2=5X2+12X+—=A.

，当2=-2或」＜2＜2时，方程有一解，当一2＜九＜二时，方程有两解；

2044204

(4)当P在CD上时，由对称性可知当彳=-2或-工时，方程有一解，

2044

Q1

当-2＜彳＜」时，方程有两解；

204

综上，若使梯形上有8个不同的点P满足PE-PF=X成立，

则力的取值范围是(一3，—]n(--,--]n(-—,

4444204204204

故选：D.

例31.（2022•宁城县一模）如图，正方形ABCD的边长为6,点E,尸分别在边45,3c上，l.DE=2AE,

CF=2BF.如果对于常数；I,在正方形ABCD的四条边上，有且只有6个不同的点P使得PE.P尸=4成

立，那么2的取值范围是（）

A.(0,7)B.(4,7)C.(0,4)D.(-5,16)

【解析】解：以。C为无轴，以D4为y轴建立平面直角坐标系，如图，则E(0,4),F(6,4).

(1)若P在CD上，设尸(x,0),O6.P£=(-x,4)，PF=(6-x,4).

.•.PE.PJFMY-GJV+IG,■xe[0,6],7张pE.PF16.

.•.当X=7时有一解，当7〈儿,16时有两解.

(2)若「在AD上，设P(0,y),0<y„6.PE=(0,4-y),PF=(6,4-y).

PE.PF=(4-yf=y2-Sy+16,0<y„6,:.0„PE.PF<16.

.•.当彳=0或4<2<16,有一解，当0<%,4时有两解.

(3)若P在AB上，设P(x,6),0<%,6.PE=(-x,-2),PF=(6-x,-2).

PE.PF=^-6%+4,0〈苍，6..'.-SiJPE.PF4.

.•.当2=—5或4=4时有一解，当—5<九<4时有两解.

(4)若尸在3C上，设P(6,y),0<j<6,，尸E=(-6,4-y),PF=(0,4-y).

PE.PF=(4-y)2=y2-Sy+16,0<y<6,:.0„PE.PF<16.

.•.当2=0或4,,2<16时有一解，当0<4<4时有两解.

综上，.-.0<2<4.

故选：C.

例32.（2022•黄浦区校级三模）在边长为8的正方形ABCD中，A1是3c的中点，N是ZM边上的一点，

且|OV|=3|N4|,若对于常数根，在正方形ABCD的边上恰有6个不同的点尸满足：PM.PN=m,则实数

m的取值范围是.

【解析】解：以AB所在直线为x轴，以4）所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图：

(1)若P在AB上，设尸(x,0),噂於8

PN=(-x,2),PM=(8-x,4)

PN.PM-8x+8,

-xe[0,8],-S^N.PM8,

二当根=-8时有一解，当-8〈见,8时有两解;

(2)若「在AD上，设P(0,y),0<y,,8,

PN=(0,2-y),PM=(8,4-y)

PN-PM=(2-y)(4-y)=y2-6y+8

0<y„8,.-.-I,,PN.PM<24

.•.当〃z=-1或8</<24时有唯一解；当-1<m,,8时有两解

(3)若尸在£>C上，设P(x,8),0<%,8

PN=(一x,—6),PM=(8-x,-4),

PN.PM=x2-8x+24,

0<X,8,&NPM24,

.•.当〃z=8时有一解，当8<血,24时有两解.

(4)若尸在3c上，设尸(8,y),0<y<8,

:.PN=(-8,2-y),PM=(0,4-y),

PN-PM=(2-y).(4-y)=/一6y+8

-0<y<8,-1,,PN.PM<24,

二.当加=—1或8<相<24时有一解，当-1<%,8时有两解.

综上，在正方形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点尸，使得=M成立，那么机的取值范围是

(-1,8)

故答案为(-1,8)

题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值

例33.(2022•湖南•长沙县第一中学模拟预测)古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》

中指出：平面内与两定点距离的比为常数左(％>0且左N1的点的轨迹是圆，已知平面内两点A(右，0),

B(2小,0),直线依-y-无+2=0,曲线C上动点尸满足,=，2,则曲线C与直线/相交于M、N两点，

L

则的最短长度为()

A.非B.回C.275D.2回

【答案】C

222

【解析】设动点尸的坐标为(尤，y),则|尸2F=(尤-2w°+y2,|PA|=(X-A/5)+J

由•鲁•=正得：|PB|2=2|PAFn(x-2如『+/=2

化简后得：曲线C：x2+/=10,故尸点轨迹为圆，

又依-y-k+2=0可化为、-2=左(％-1)

直线/过定点A(1,2),

则圆心到直线的距离的最大值为|。4|,此时的长度最短.

所以脑VI的最短长度为2To=2.-5=2小.

故选：c.

例34.（2022•全国•高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历

山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》

一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点/与两定点的距离之比

曙=〃X＞0"wl）,那么点/的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点/的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为

V+y2=i,其中，定点Q为x轴上一点，定点尸的坐标为（J,O）%=3,若点3（1,1）,则31Mpi+|MB|的最

小值为（）

4.晒B.VTTC.715D.V17

【答案】D

【解析】设Q（a,。），M（x,y）,所以眼@=4＞域+",由p'g,。］,

过卫=0

整理可得/+/+三£X=土口，又动点M的轨迹是/+丁=1,所以＜4

-48a2-l,

----=1

解得。=_3,所以。(-3,0),又|MQ|=3|MP|,

所以3|MP|+|M8|=|MQ|+|MB08Q|,

因为5(1,1),所以31Mpi+1MB|的最小值忸Q|=7(1+3)2+(1-0)2=后，

当M在位置或M2时等号成立.

故选：。

例35.（2022•全国•高三专题练习）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、

欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的

PA

论著中的一个著名问题：已知平面上两点A,B,则所有满足=4（Z>0,且；Iwl）的点尸的轨迹是一

PB

个圆.已知平面内的两个相异定点P,Q,动点又满足|以卜21M2|,记M的轨迹为C,若与C无公共点

的直线/上存在点R,使得|M/?|的最小值为6,且最大值为10,则。的长度为（）

A.2"B.4兀C.8万D.16万

【答案】B

【解析】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点半径为，，显然直线/与圆C相离，令点。到直线/

的距离为d,

由圆的性质得：\[八，解得d=8,r=2,

[d+r=10

所以C的长度为4万.

故选：B

例36.（2022•全国•高三专题练习）阿波罗尼斯（约公元前262790年）证明过这样一个命题：平面内到

两定点距离之比为常数左色>0且左片1）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,