江苏省泰州市2025届高三第一次调研测试数学试题（含答案解析）

江苏省泰州市2025届高三第一次调研测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={x|-14x42},S={xIInx>0},则/门5=（）

A.[-1,2]B.[1,2]

C.（0,2]D.（0,1]

2.已知向量3满足。+2*=（3,1）,2,-35=（-1,2）,则8与3的夹角为（）

7171_7171

A.-B.—C.—D.一

6432

3.某正四棱锥的底面边长为2,侧棱与底面的夹角为60。，则该正四棱锥的体积为（）

.4^/6口蚯「5^/15门476

3339

4.已知等比数列{%}的前〃项和为S“，且其…S”,S3成等差数列，则”=（）

%

A.1B.2C.4D.9

5.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以P%的增长率呈指数增长.若增长为原来的。倍经过

4

了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（）

（参考数据：电2=0.3）

A.6B.12C.16D.20

6.定义在R上的奇函数/（x）满足/（x）=/（4-x）,且/（x）在卜2,2]上单调递增.设

a=C，"/[I，，=/（-"），则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

22

7.已知双曲线C:=-A=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为片，F2,4为C的左支

ab

上一点，/片与c的一条渐近线平行.若|N&|=|片且I，则c的离心率为（）

A.2B.272C.3D.3G

8.设函数〃x）=sin[ox用（。>0）,若/（X）在[o,雪上有且只有2个零点，且对任意实

试卷第1页，共4页

数a,/（x）在+上存在极值点，则0的取值范围是（

二、多选题

9.已知今，Z2是复数，则下列说法正确的是（）

A.若z2为实数，则Z是实数B.若Z?为虚数，则Z是虚数

C.若Z2=],则平2是实数D.若z；+z；=O,则Z]Z2=0

10.口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依

次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件“第二次抽到黄球”为事件比则（）

A.P（N）=gB.尸

C./与8为互斥事件D./与2相互独立

II.已知正方体/日a-44GA的棱长为2,E,9分别是棱N3,4A的中点，贝1J（）

A.C/，平面。RE

B.向量用及赤，瓦可不共面

C.平面CEF与平面/BCD的夹角的正切值为拽

3

D.平面CEF截该正方体所得的截面面积为标

三、填空题

12.已知二项式（2尤7）5=%+%x+%x2+/尤4+。5竟则4+%+。5=_.

13.过抛物线/=4x的焦点作斜率为1的直线/交抛物线于48两点，则以为直径的

圆被了轴截得的弦长为.

14.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，前3个数字构成三位数a,后三个数字构成三位

数6.记机=|。-4,则m的最小值为,m小于100的概率为.

四、解答题

试卷第2页，共4页

15.某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单

随机抽样，得到如下数据：

女男

未参加跳绳比赛7590

参加跳绳比赛2510

(1)能否有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关？

(2)为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人进行研

究，老师甲从这12人中随机选取3人，求至少有1人参加跳绳比赛的概率.

2n(ad-be)。_,,,

附：X=77T7\7]"7T，其中"=a+6+c+d

p(x2^k]0.1000.0500.0100.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

AB

16.在VA8C,已知tan/=—,sin(^-3)=—.

3IJ10

⑴求8;

⑵若ND为/"C的平分线，V/BC的面积为14,求4D.

17.如图，在直三棱柱/3C-44G中，4Bi=BG=C4,BCX±CA,.

B

(1)证明：三棱柱ABC-44G是正三棱柱；

(2)证明：AB.LCA,.

(3)设/可u平面a,8G〃平面a,若直线与平面a的距离为百，求三棱柱NBC-44G

试卷第3页，共4页

外接球的表面积.

18.已知函数1(的=》3+办的图象与x轴的三个交点为4,O,B(。为坐标原点).

(1)讨论/(x)的单调性;

⑵若函数g(x)=/(x)-21n、j有三个零点，求a的取值范围；

(3)若"-1,点「在〉=/C)的图象上，且异于4,0,2,点。满足秒.谖=0,PB-QB=O,

求|。0|的最小值.

22/—(国、

19.已知椭圆C:0+q=1(a>6>0)的离心率为包，且经过点/应,一.定义第〃

a2b2212J

("eN*)次操作为：经过C上点4作斜率为k的直线与C交于另一点B",记Bn关于x轴

的对称点为4用，若4用与4重合，则操作停止；否则一直继续下去.

(1)求C的方程；

(2)若4为C的左顶点，经过3次操作后停止，求人的值；

(3)若后=-2,4是。在第一象限与/不重合的一点，证明：△44+14+2的面积为定值.

a

试卷第4页，共4页

《江苏省泰州市2025届高三第一次调研测试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BBACBDCDBCAB

题号11

答案AC

1.B

【分析】解对数不等式求集合，再由集合的交运算求集合.

【详解】集合8={尤|lnx20}={x|尤21},又/={尤|一1WxW2},

所以/CB={X|1VXV2}=[1,2].

故选：B

2.B

【分析】设@=（占,乂），彼=（%,%），根据已知求向量的点坐标，再由向量夹角的坐标表示

求夹角.

【详解】设）=（西,乂），6=卜2，%），

因为3+21（3,1）,25-3^=（-1,2）,

再+2X2=3Xj—1

=1

y}+2y9=1X

所以1，解得＜

2再-3%=T尤2=1

、2%-3%=2J2=0

ab1旦

所以a=(1,1),行=（1,0），a石=1，则cos依勺

.|-|/)|V2xl2

因为♦3,6—e[0,可，则♦方,6.="

故选：B

3.A

【分析】利用线面角求出正四棱锥的高，再利用其体积.

【详解】在正四棱锥尸中，令NCP|8O=。，连接P。，P。_1平面/80

则/尸/。=60°,由得PO=&,

所以该正四棱锥的体积为122.痛=生色.

33

故选：A.

答案第1页，共15页

4.C

【分析】利用等差中项列式求出公比即可得解.

【详解】由%，S",sn+2成等差数列，得sn+2-sn=sn-%,则—=

BP%+2=-2%”,因此等比数列｛见｝的公比《=-2,

所以”=d=4.

〃4

故选：C

5.B

【分析】根据已知可得l+p%=(》：，进而可得弓放=2,利用指对数关系、对数的运算性

质、换底公式求〃即可.

5c-

【详解】若原来蓝藻数量为。，则。(1+0%)4=%，可得1+0%=弓)"

令经过〃天后蓝藻增长为原来的2倍，则0(1+0%)"=2°,

lgl6_41g24x0.3

可得〃=1。8工16==12天.

Ig5-lg4-l-31g2~1-3x0.3

4

故选：B

6.D

【分析】根据题意得到/(X)的图象的对称轴是X=2,周期是8,进一步有

,c=/(-13)=/(3)=/(1),结合单调性即可得解.

【详解】定义在R上的奇函数八尤)满足f(x)=/(4r),

则/(x)的图象的对称轴是x=2,

所以/(x)=/(4-x)=,

则/(x+4)=-/(x),

答案第2页，共15页

则〃尤+8)=-/(x+4)=/(x),所以/(x)的周期是8,

所以6===/(-13)=/(3)=/(1),

因为/'(x)在12,2］上单调递增，

所以6=/金|<0=/(1)<”/日.

故选：D.

7.C

【分析】求出双曲线的渐近线，由平行关系求出cos//6工，再结合双曲线定义及等腰三角

形性质列式求出离心率.

22力

【详解】由对称性，不妨取双曲线C：5-4=1的渐近线N=令C的半焦距为C,

aba

依题意，tan44片贝Ijcos4片£=乙看j『而|力阊=|耳耳|=2c,

则M与|=2c-2*cos解得c=3a,

闺工I2cc

8.D

【分析】根据正弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围.

【详解】由题意，当时，O'—"7w（―刀口―『］，

12/6（6267

因为函数〃x）=sin"q］（°>0）,若/'（x）在（0,曰上有且只有2个零点，

冗冗713

则兀<—CD---<271,解得一<a）<一.

2633

又对任意实数。，/（X）在上存在极值点，且的长度为:，

而函数「⑺的最小正周期为生，则工，解得。>3,

CD3CD

答案第3页，共15页

综上，。的取值范围是,

故选：D

9.BC

【分析】对于AB,^z=x+yi^,yeR,由复数概念以及乘法即可判断；对于CD,设

Zj=xI+y,i,z2=x2+y2i,xl,x2,yl,y2eR,由复数概念以及乘法即可判断.

【详解】对于A,B,设2=》+必式>eR,则z?二卜+负丫4/一力+的1,

若z?为实数，贝iJ2xy=0,但这不一定能得到y=0,比如x=O,y=l,

这个时候满足d为实数，但z不是实数，故A错误；

若Z?为虚数，贝IJ2犯W0,这一定能得到此时z是虚数，故B正确；

对于C,D,设Z]=再+卯/2必,%eR,

右z2=X?+=Z]=X]-yj,这表明X]=x2,yt=一%>

所以平2=(占+Ki)(xi-%i)=x：+y；是实数，故C正确；

若z；+z；=(玉+必ip+(x2+y2i)~=(x；+x；-y；-)+2(玉％+x2y2)i=0,

这表明(x；+x；-y；-y；)=(xlyl+x2y2)=0,

但ZK=(演+为乂尤2+%。=(占了2-%%)+(』%+尤2乂»不一定等于0,

比如xl=yl=x2=-y2=1,这个时候有z：+z；=0,

但z/2=&+词(x2+%i)=(不超-%%)+(X1%+无2乂)i=2,故D错误“

故选：BC.

10.AB

【分析】根据给定条件，利用古典概率、条件概率公式，结合互斥事件、相互独立事件的意

义计算判断.

【详解】对于A,2(/)=；，A正确；

对于B,尸(48)="=：,P(//)=B|)=g,B正确；

对于C,事件48可以同时发生，则/与8不互斥，C错误；

答案第4页，共15页

对于D,P(8)=；，由选项AB知，P(AB-P(A)P(B),则N与8相互不独立，D错误.

故选：AB

11.AC

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断ABC；作出截面，结合余弦定理、

三角形面积公式计算判断D.

【详解】在棱长为2的正方体/BCD-44GA中，建立如图所示的空间直角坐标系，

。(0,0,0),C(0,2,0),2(0,0,2),5(2,2,0),At(2,0,2),Ct(0,2,2),片(2,2,2),£(2,1,0),F(l,0,2),

对于A,印=(1,-2,0),西=(0,0,2),瓦=(2,1,0),则印•西=0,于•丽=0,

即C/_LZ)A，GF_LZ)E,nUDDtr>DE=D,DD],DEcDDXE,因此C__L平面,

A正确；

对于B,A^E=(0,1,-2),BF=(-1,-2,2),D^BX=(2,2,0)=-2A^E-2BF,则向量港，丽，丽共

面，B错误；

对于C,设平面CEF的法向量7=(x,y,z),而=(2,-1,0),丽=(一1,一1,2),

fn-CE=2x-y=0__

则—",取x=2,得”=(2,4,3),平面48。的法向量皿=。0,1),

n•EF=-x-y+2z=0

—*―►Iyyi•yiI3

设平面CE尸与平面45cZ)的夹角为。，贝Ijcose=|cos〈风〃〉|=匚」=—r=,

|m||w|V29

对于D,连接CE并延长交ZM的延长线于G,连接G尸交44于H,交。，延长线于K,

答案第5页，共15页

连接KC交GA于M,则五边形EWCM■即为所求截面，CG=2CE=275,

A】HA】F4尸

4FP则/”《旅二平，心，

AHAGBC~2

52._25

——+5——6.V29

cos/HGE=-:I—,sin/HGE—.——,

227136J65V65

3

号十%咛"为'KC的中位线，则S"殍，

SHECK=V29，因此截面面积小于V29，D错误.

故选：AC

【点睛】关键点点睛：正确作出截面是求解判断D选项的关键.

12.122

【分析】根据二项展开式，利用赋值法，即可解出.

【详解】解：令X=1得，4+/+…+%=1①，

令x=-1,4_4+4%—243(2)

①一②得,4+。3+。5=122.

故答案为：122.

13.2币

【详解】设/(孙必)，8优,％),直线/的方程为产*-1,将其代入＞=4x中并整理得

/-6x+l=0,所以西+%=6,所以48的中点即以4B为直径的圆的圆心，其横坐标为3,

所以圆心到V轴的距离为3,|48|=。+再+/=8,所以以48为直径的圆的半径为4,由已

答案第6页，共15页

知及垂径定理得以为直径的圆被了轴截得的弦长为=2币.

点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若

P（Xo，%））为抛物线V=2px（p>0）上一点，由定义易得|尸用=%+§若过焦点的弦4848的

端点坐标为，（匹,必）,8（%,%）,则弦长为|N3|=X[+X2+p,尤1+z可由根与系数的关系整体求出;

若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.

1

14.47-

6

【分析】根据给定条件，结合差的绝对值的对称性，逐一分析各个数位上的数字即可求出最

小值；分两步探讨，结合古典概率列式计算得解.

【详解】由加=|。-4中。,方的对称性，不妨令a>b,要加最小，

百位必相邻，。的百位为4,b的百位为3；

对于十位，6的十位尽可能的大，为6,。的十位尽可能的小，为1；

同理b的个为5,。的个位为2,因此。=412,6=365,所以加的最小值为47；

要m小于100,百位必相邻，且较大数的十位小于较小数的十位，个位无限制，分两步：

取百位的概率为W=；；取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给“/作十位，

而。的十位大于6的十位与。的十位小于6的十位的概率相等，此步符合要求的概率为g,

所以m小于100的概率为gx!=J.

故答案为：47；—

6

【点睛】关键点点睛：按两步分析，分别求出各步发生的概率求得第二空.

15.⑴有

⑵纪

~55

【分析】（1）根据给定数表，求出/的观测值，再与临界值比对即可.

（2）利用分层抽样求出抽取的12人中参加与未参加跳绳的人数，再借助组合计数问题求出

古典概率.

【详解】（1）由表格中的数据，得方=200（75xl°-90x25）"=幽。7.792>6,635,

100x100x165x3577

所以有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关.

（2）利用分层抽样的方法从女生这100人中抽取12人，则未参加跳绳比赛的有9人，参加

答案第7页，共15页

跳绳比赛的有3人，

老师甲从这12人中随机选取3人，记“至少有1人参加跳绳比赛”为事件A，

_c32134

则…一…一口白下,

34

所以至少有1人参加跳绳比赛的概率是

71

16.⑴7

⑵述

3

【分析】(1)利用同角三角函数的关系求出tan(/-3),再利用两角差的正切公式结合

3=/_(/叫即可求解.

(2)由(1)的结论以及三角形中sinC=sin(/+B)求出角C的正弦，再利用正弦定理与

三角形面积公式求出b边和c边，再用等面积法转化即可求解.

47T

【详解】(1)在V4BC中，taiM=g>0,所以

TT

因为0<3<兀，所以一兀</一5<一，

2

因为sin(/-8)=>0，所以。</-8<二,

V7102

所以cos(4-5)=^1-sin2^A-B^=~~~

/、sin(4—8)1

所以tan(…=C。s=7'

4_J.

厂/、-1taib4—tan(A-B\

所以tan5=tan「4一(/一3)]=---------------'一3一5

Lv7Jl+tan4tan(^-5)[41

l+-x-

37

7T

又因为°<8(兀’所以八屋

4兀43

(2)由tarU=§,0</<5，所以sirL4=y,cos/=y,

所以sinC=sin(4+B)=siib4cosB+cos/siaS=.

记V48c中角/、B、。所对的边为.、b、c

bchzbsinS5

由正弦定理可得‘所以「寂=亍

sinBsinC

答案第8页，共15页

ii54

所以5“g=5左$1必=2'亍°2、1=14,

解得c=7（负值舍去），所以6=5.

又由cos/=l-2sin2==3,得sinW=",

2525

1A1A

所以由％BC=S./BD+Leo，得14=5c•NDsin-+-b-ADsin-,

所以144x把"NO,解得/D=WL

25253

17.（1）证明见解析；

（2）证明见解析；

（3）3371

【分析】（1）通过证明三角形全等得到/3=3C=G4,即可证明三棱柱/3C-4耳G为正

三棱柱；

（2）建系，利用空间向量的方法证明线线垂直；

（3）根据垂直关系得到方可以作为平面。的法向量，然后利用点到面的距离公式列方程,

解方程得到。，然后求外接球表面积即可.

【详解】（1）在直三棱柱-44cl中，

BB,=eq=AAi,^ABBl=ZBCCX=ZCAAX=90.

又因为N4=8G=C4，

所以A/BBI也,

所以/3=3C=a,

所以三棱柱/BC-N4G为正三棱柱.

答案第9页，共15页

(2)取/C,4G的中点D,A，连结BD,D/,

则_L/C.

因为44i//DDX,AA11平面ABC,

所以。2_L平面/8C.

以｛丽，皮，两｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设/C=2。,皿|=6,则

/(0,-4,0),8(A/5a,0,0),C8,a,0]p,-a,b),

G(O,a,Z>),Sj〈ja,O,b),

所以8G=卜石2,0力)C4=(0,-2a,byABX=｛^a,a,b).

因为BC|_LC4，所以南_L《4，

所以前i・有i=一32+62=0,所以

所以函石]=_勿2+62=0,

HULLULlll

所以/耳J_C4，即

(3)因为/片u平面a,BG〃平面a,

又因为BG，C4],N3JC4,

所以不妨取平面。的法向量力=/=(。,-〃，缶).

因为直线3G与平面。的距离为百，

所以点3到平面a的距离为

因为B8]=(0,0,衣()，

所以点3到平面«的距离d=网"=72a°=二a=5

\n\,4/+2/V6

所以〃=逑.

2

_j_3后_/7

所以正三角形N3C的外接圆半径〃==V,

~T

答案第10页，共15页

所以正三棱柱NBC-4耳G的外接球的半径

V33

所以三棱柱/3C-4用C的卜接球的表面积为S=4成2=337t.

18.(1)答案见解析;

(2)a<—4；

⑶万

【分析】(1)根据根的个数可得。<0,再应用导数研究函数的单调性即可；

(2)令g(x)=/+ax-2ln£1,求出函数的定义域，并证明g(x)为奇函数，由零点的个

数及奇函数的对称性，将问题化为g(x)在(0,1)上有且仅有一个零点，讨论。+420、。+4<0

研究g(x)在(0,1)上零点的个数，即可得参数范围；

(3)设/(占,0),3(X2,0),且再=-％=-7^,尸(刃,〃),0G,了)，应用向量数量积的坐标表示

求得x=-机/=’,进而有［0。|=/工，最后应用基本不等式求最小值.

【详解】(1)由已知得，〃x)=0有三个根，令尤3+办=0,得x=0或/+a=0,

所以/+0=0有两个不同的解，所以。<0,又八X)=3/+%

令/(x)>0,得x<-1或x>巨，令/'("<0,得一且<x〈且，

所以当。<0时，/(x)在，内上单调递增,

J—3a1—3a

上单调递减.

33

1—Y1—x

(2)令--->0,得—令g(x)=丁+办—2In----,

1+X')1+X

因为g(—x)+g(x)=一丁-6zx-21n^-^+x3+^x-21n---=0,所以g(x)为奇函数.

1-x1+x

因为g(0)=0,所以0是g(%)的一个零点，

要使g(x)=/(X)-21nF有三个零点，只需要g3在(0,1)有且仅有一个零点.

答案第11页，共15页

8")=31+。+丁^在(0,1)上单调递增,g，(O)=a+4.

当a+420,即止-4时，g，(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,

由g(O)=O,得g(x)在(0,1)上无零点，不合题意，舍去.

所以存在/e(O,l),使得g'(Xo)=O.

当0<x</时，g,(x)<0,所以g(x)在(0,%)上递减;

当无o<x<l时，g,(x)>0,所以g(x)在伉,1)上递增.

当xe(O,x())时，g(x)<g(O)=O,且g(Xo)<O.

当x£1)时，g(x)=d+(2X—21n--->a—21n----,

''1+x1+x

a(色、

n1—X1_介21—A2

令?=ln!三，解得=，所以g-->0,

21+x-,

1+e2l^l+e2J

所以g(x)在(x°,l)上存在唯一的零点.

综上，a<—4.

(3)设/(石,0),8(%2，。)，且再

=-x2,

因为点尸异于4。产，所以冽w0,±J-a.

_____________[(x^+ny=0

由尸=_________=0,得“

,

m-x2)(x-x2)+=0

^m+4~a^[x+\J-a^+ny=0

即\解得X=-冽，贝！ly=-----=-3----=——，

—y/-a^+ny=0n-m-amm

2

所以|。。|=Jx?+/=^m+-L>V2,当且仅当苏=口，即加=±1时，等号成立，

m

所以|。。|的最小值为VL

【点睛】关键点点睛：第二问，判断g(X)=/+"-21nl的奇偶性，将问题化为g(X)在

(0,1)有且仅有一个零点为关键.

答案第12页，共15页

19.（1）—+/=1；

（2）±§

2

（3）证明见解析.

【分析】（1）由离心率、椭圆所过的点列方程求参数，即可得椭圆方程；

（2）设4（%,然）