集合与复数（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学二轮复习专项提升

热点01集合与复数

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

集合：集合：

2022年，第1题，考察集合的交集和补集该内容为天津卷的必考内容，多借助不等式的解集、

2023年，第1题，考察集合的交集集合的定义域和值域考查集合的交、

2024年，第1题，考察集合的并集并、补运算，关犍要抓住集合元素的属性，特别是分

复数：清点集和数集，考直难度较低；

2022年，第10题（填空题第1题），考察复数的四复数：

则运算本节内容是天津卷的必考内容，一般考有复数的概念

2023年，第10题（填空题第1题），考察复数的四及几何意义以及复数的四则运算

则运算

2024年，第10题（填空题第1题），考察复数的乘

法运算

热点题型解读

题型1元素与集合的关系

题型2子集（真子集）个数问题

题型3集合与集合关系判断集合与复数一一题型8复数的模问题

题型4根据集合的包含关系求参数题型9共腼数

题型5集合的并交补运算题型10复数的四则运算

题型1元素与集合的关系

（1）集合的元素必须满足确定性，互异性，无序性，特别是需要代入答案检查是否满足互异性。

（2）根据元素与集合的关系求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再代入答案检查元素是

否满足互异性，要注意分类讨论思想的应用.

1.（2024・广东•模拟预测）若机e{1,3,4,丁}，则机可能取值的集合为（）

A.{0,1,4}B.{0,3,4}C.{-1,0,3,4}D.{0,1,3,4）

【答案】B

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系列式计算并验证即得.

【详解】由{1,3,4,加之},得〃则切片1,

由机e{1,3,4,加工，得加=3,此时疗=9,符合题意；

或加=4,此时加2=16,符合题意；或加=小，则加=0,此时加2=0,符合题意,

所以加可能取值的集合为{034}.

故选：B

2.（2023•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知/=,若2eN,则俄的取值范围是（）

mx-1

A.——<m<—B.——<m<—C.m<——或D.m<——或机2—

22222222

【答案】A

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式

【分析】将x=2代入%然后转化为一元二次不等式求解可得.

mx-1

2机+1]（2加+1）（2加—1）W0

【详解】因为2e/,所以署等价于:,

2m-1[2加一1/0

解得一:《加

22

故选：A

3.（24-25高一上•安徽•阶段练习）已知集合/={x|2〃?x-3>0,〃7eR},若1把/且3e/,则实数m的取值

范围是（）

<131r13）（3）

A.B.C.-,+0>

（22j[22）（2）

【答案】A

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果.

[2m-3<0,

【详解】由"/且得乙,八

[6m-3>0,

13

解得2〈加W/,

故选：A.

4.（2024•上海宝山•二模）已知集合/={2,卜+1|,。+3},且1”,则实数。的值为.

【答案】0

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得.

【详解】由集合/={2,卜+1|,。+3},且le/,得=1或a+3=l,解得"0或a=-2,

当a=0时，/={2,1,3},符合题意，

当。=-2时，|。+1|=1且。+3=1,与集合元素的互异性矛盾,

所以实数”的值为0.

故答案为：0

题型2子集（真子集）个数问题

GO

如果集合z中含有“个元素，则有

（1）z的子集的个数有2"个.（2）Z的非空子集的个数有2"-1个.

（3）Z的真子集的个数有2"-1个（4）Z的非空真子集的个数有2"-2个.

1.（2024•天津和平•一模）已知集合/={xeN-24x<2},3={xeZ]|x|<2},集合。=4口2,则集合C的

子集个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算

【分析】根据集合的交集运算求得集合C,然后可解.

【详解】因为竟={0,1},5={-1,0,1},

所以C=/n3={01},

所以集合C的子集个数为22=4.

故选：D

2.（24-25高一上•天津滨海新•阶段练习）已知集合/=<0,xeZkB={x|0<x<5,xeN),则满

足条件/=C=3的集合。的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、分式不等式

【分析】化简集合，将题目等价转换为求已知集合的子集个数即可求解.

【详解】集合N=|x|WwO,xez1={x|lWx<3,xeZ}={l,2},

8={x|0<x<5,xeN}={1,2,3,4},

而题目等价于求{3,4}的子集的个数，故所求为22=4.

故选：D.

3.（2024•贵州遵义•模拟预测）已知集合/={01,2},8={1,2,3},若集合C={zeN*|z=肛,xe/且

y^B},则C的子集的个数为（）

A.8B.16C.32D.64

【答案】C

【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】首先求集合。中的元素，再根据集合的元素个数，代入公式，即可求解.

【详解】由条件可知，xy=0xl=0x2=0x3=0,xy=lxl=l,|x2=2xl=2,1x3=3,2x2=4,2*3=6,

所以集合。={1,2,3,4,6},集合C的子集的个数为25=32个.

故选：C

4.（2024•宁夏•模拟预测）集合,|三|<°，》€21的真子集个数是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、分式不等式

【分析】利用分式不等式，化简完集合，根据真子集定义即可求得结果.

【详角军】由题意得1x||^|v0,xeZ：={x|_l<xV2,xeZ}={0,l,2},

所以该集合的真子集个数为23-1=7.

故选：C

5.（24-25高一上•天津•阶段练习）已知集合/=］鼻eNxez1,则满足。冬M£N的集合州个数为—

【答案】63

【知识点】描述法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数、子集的概念、常用数集或数集关系应用

【分析】利用常用数集的定义化简集合A,再由条件得到集合M为集合A的真子集，从而得解.

【详解】因为「1j2cN,xeZ,

x+3

所以x+3的取值为1,2,3,4,6,12,即x的取值为-2,-1,0为3,9,

所以N=卜{-2,-1,0,1,3,9},有6个元素，

又M=即集合M为集合A的真子集，

所以集合M个数为26-1=63.

故答案为：63.

题型3集合与集合关系判断

:00—信

（1）列举法，通过列举两个集合的部分元素找到规律;

!（2）共同特征法，通过通分等技巧找到两个集合共同特征，分析规律判断两个集合的关系。

1.（24-25高三上•天津•阶段练习）已知集合/={#2-》_2<0},5=3-1<无<3},则（）

A.A"B.3$AC.A=BD.AC\B=0

【答案】A

【知识点】判断两个集合的包含关系、解不含参数的一元二次不等式

【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合/,结合集合之间的关系即可求解.

【详解】由题意知，/={x|-l<x<2},

X5={x|-l<x<3},所以A0及

故选：A

2.（24-25高三上•天津东丽•阶段练习）已知集合力={小27-2<。},3=3-1。<1},则（）

A.A^BB.8$AC.A=BD.AC\B=0

【答案】B

【知识点】判断两个集合的包含关系、解不含参数的一元二次不等式

【分析】化简集合/={xy-x-2<0},即可判断.

【详解】解：因为/={x,-x-2<o}={x［（尤-2）（x+l）<0}={x|-l<x<2},

5={x|-l<x<l},所以8$A.

故选：B.

3.（2024全国・模拟预测）已知集合/={-1,0,1}潭=卜|-1"41},则（）

A.A=BB.AP\B=0C.B^AD.A$3

【答案】D

【知识点】判断两个集合的包含关系

【分析】利用元素与集合，集合间的基本关系判定选项即可.

【详解】因为集合/={-1,0,1},3=卜|-14》41},/中元素都属于8,

且42瓦.•［是B的真子集.

故选：D.

4.（2024・湖北•模拟预测）已知集合"=xx=W+；,“ez1,N=xx=：+；,〃eZ，，则下列表述正确的

是（）

A.McN=0B.M\JN=RC.M=ND.N=M

【答案】C

【知识点】判断两个集合的包含关系

【分析】集合M表示正奇数除以4,集合N表示整数除以4,据此可以判断两个集合的关系.

【详解】，卜二勺1〃©%，表示是的含义是正奇数除以4,

N=[xx=*,〃eZ，表示的含义是整数除以4,

所以M=

故选：C.

5.（2024・陕西商洛•模拟预测）在下列选项中，能正确表示集合/={-3,0,3}和3=卜|，+3%=（）}的关系的

是（）

A.A=BB.A^BC.AjBD.Ap\B=0

【答案】B

【知识点】判断两个集合的包含关系

【分析】先求出集合瓦然后利用两个集合之间的关系进行判断即可.

【详解】由8={刈/+3》=0},可得8={-3,0},又/={-3,0,3},所以A=B

故选：B

题型4根据集合的包含关系求参数

-W

（1）Zn8=Z=Zu8；

（2）AUB=BoAuB

（3）注意分类讨论的思想，若Zn8=Z=NuB优先考虑Z=0

（4）常采用数形结合的思想，借助数轴解答

1.（2024・湖北•一模）已知集合/={-1,0,1,2},8={x||x-加归2},若4UB=B,则〃?的取值范围是（）

A.（0,1）B.（-1,1）C.[0,1]D.[-1,1]

【答案】C

【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数

【分析】由/U8=8,得到4=8,再由集合之间的包含关系列不等式组求解即可；

【详解】由,一对W2解得机一24x4机+2,

因为4U5=5,所以ZqB,

[加—2<—1「1

所以,解得。(切〈1,即加的取值范围是0,1,

[m+2>2

故选：C.

2.(2024•河南新乡•模拟预测)设集合/={#229},3=卜|2%<。},若8包/,则0的取值范围是()

A.(-8,-6]B.(-co,-2]C.[3,+oo)D.[6,+co)

【答案】A

【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】解不等式可得集合A,再由子集的运算求出结果即可；

[详解]由题可知/=(一叫一3]U[3,+⑹,3=,叱鼻，

由8仁/,可得:4-3,

所以a4—6.

故选：A.

3.(2024•陕西铜川•三模)已知集合/={x|无<加},8={x[-2<x<3},若/卫8,则实数”的取值范围为

()

A.(一1»,-2)B.(-oo,-2]

C.(3,+(»)D.[3,+co)

【答案】D

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】根据3G4,结合图象列不等式即可求解.

【详解】因为

所以

所以由数轴得加23.

即"2的取值范围为[3,+00).

故选：D.

--------------------O-------------------O——<>------------>

-23mx

4.(2024•江苏宿迁•三模)己知集合/={尤|0<无<%},2=卜卜2-3》+2>0},若则实数的取值

范围为()

A.(-8,2]B.(1,2]C.[2,+<»)D.(2,+<»)

【答案】D

【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】解不等式可得集合3,再由补集和子集的运算可得实数加的取值范围.

【详解】因为一3x+2>0nx>2或x<l,

所以2=或x<l},

所以[；6={刈14％42},

又"B三A,且4=卜|0<^<加},

所以“Z>2,

所以实数加的取值范围为（2,+功,

故选：D.

5.（2024•河北邯郸•模拟预测）已知集合么=卜卜2+2》_4训,3=卜孙=0},若则实数a的取值

范围是.

【答案】（-8,3]

【知识点】根据集合的包含关系求参数、对数的运算性质的应用

【分析】由对数运算可得8={1},再由元素与集合的关系代入解不等式可得结果.

【详解】易知8=律，因为8包/,所以le/,

所以1+2-aNO,IPa<3.

可得实数a的取值范围是（一叫3].

故答案为：（-8,3]

题型5集合的并交补运算

0。

（1）列举法

（2）数轴法

(3)ne〃〃图法

1.（2024•天津河西,模拟预测）已知集合/={x|x=3E-lKeN},3={x|-4x2+4x+15>0},则4门2=

（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,2}

【答案】D

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】解一元二次不等式得到B,再由集合交集运算即可求解.

【详解】因为“={x|x=3左一1,无€用,当左=-1,0,1,2,时，3^-1=-4,-1,2,5

所以4口2={-1,2}

故选：D

2.（2024•天津南开二模）已知全集。=卜2,-1,0,1,2},集合/={-2,0},2={0,2},则1（/口5）=（

A.{1}B.{-1,1}C.{-1,1,2}D.{-1,0,1）

【答案】B

【知识点】交并补混合运算

【分析】借助集合的并集与补集的定义计算即可得.

【详解】由么={-2,0},5={0,2},则/UBnBnW",-2},

又。={-2,-1,0,1,2},则Q（/UB）={-M}.

故选：B.

3.（2024,天津滨海新,三模）已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,4,6],5={4,5},贝（

A.{3,6}B.{1,3,6}C.{3,4,6}D.{1,3,4,6}

【答案】B

【知识点】交并补混合运算

【分析】根据集合补集和交集的运算法则即可计算求解.

【详解】•••[/={1,2,3,4,5,6},8={4,5},

={1,2,3,6},

又/={1,3,4,6},

.../n&8）={1,3,6}.

故选：B.

4.（2024•天津和平・二模）设集合U={xeN|xW7},5={0,2,4,5},T={3,5,7},贝USc（jT）=.

【答案】{0,2,4}

【知识点】交并补混合运算

【分析】根据集合的交运算以及补集定义即可求解.

【详解】t/={xeN|x<7}={0,l,2,3,4,5,6,7},叱={0,1,2,4,6},

故Sc&?）={0,2,4},

故答案为：{024}

5.(2024・天津•三模)已知全集。={X€^^47},集合/={1,2,3,6},集合2={xeZ|国<5},则

爆)门5=,/U2=.

【答案】{4}{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,6}

【知识点】列举法表示集合、交并补混合运算

【分析】根据题意，分别求得。={1,2,3,4,5,6,7}和8={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},结合集合运算法则，即可

求解.

【详解】由全集U={xeN*|x<7}={1,2,3,4,5,6,7},

集合/={1,2,3,6},集合8={xeZ|忖<5}={-4,一3,-2,-1,0,1,2,3,4},

可得&/={4,5,7},贝UC4)c8={4},={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,6).

故答案为：{4}；{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,6).

题型6ve〃力图

通过画图分析各个集合的特征，通过计算求得各个集合

1.(2024•海南•模拟预测)如图，已知全集"=1i,集合/=抑2》-3).口+1)40},5={x|x>0),则图中

C.{x\x<0或x>—}D.{x\x<0或x>—}

【答案】B

【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、利用Venn图求集合

【分析】解不等式化简集合4再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.

【详解】依题意，集合/={x|T4x4},而3={x|x>0},则/U8={x|x"l},

由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为&(/U8)={x[x<-1}.

故选：B

2.(2024•新疆乌鲁木齐•三模)已知集合。={1,2,3,4,5},4={1,2,3},5={2,3,4},则图中阴影部分表示

的集合为（）

C.{1,4}D.{1,2,3,4}

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、利用Venn图求集合

【分析】表示出阴影为在直接计算即可.

【详解】图中阴影部分为1（/口3）,因为/={1,2,3},5={2,3,4},

所以NcB={2,3},

故选：A.

3.（2024,广西柳州•三模）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学

生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是

（）

A.70%B.60%C.50%D.40%

【答案】C

【知识点】利用Venn图求集合

【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可.

4.（24-25高一上•全国•课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面

发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设"足球"、"篮球"两门选修课程，假设某班每位学生最少选

修一门课程，其中有33位学生选修了"足球"课程，有26位学生选修了"篮球"课程，有10位学生同时选修了

这两门课程，则该班学生的人数为（）

A.39B.49C.59D.69

【答案】B

【知识点】容斥原理的应用

【分析】设选修"足球"课程的学生构成的集合为A,选修"篮球"课程的学生构成的集合为8,作出韦恩图,

可得出该班学生人数.

【详解】设选修"足球"课程的学生构成的集合为A,选修“篮球〃课程的学生构成的集合为B,

如下图所示：

故选：B.

5.(24-25高一上•辽宁・阶段练习)已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加

了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都

没有参加的人数为

【答案】25

【知识点】容斥原理的应用

【分析】根据题意画出Venn图，再进行求解即可.

【详解】根据题意，画出Venn图如下：

所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为55-(8+9+13)=25.

故答案为:25.

题型7集合新定义问题

0。0W

(1)封闭运算

(2)完美集

(3)群，域，环等

1.（24-25高三上•四川•开学考试）定义：如果集合。存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为

不交）的非空真子集4,4,…/peN*）,且4U4U…U4=。，那么称子集族{4,4,…，4}构成集合。

的一个上划分.已知集合/={xeN|x2_6x+5<0},则集合/的所有划分的个数为（）

A.3B.4C.14D.16

【答案】B

【知识点】集合新定义

【分析】解二次不等式得到集合/，由子集族的定义对集合/进行划分，即可得到所有划分的个数.

【详解】依题意，7={xeN|x2-6x+5<0}={xeN|l<x<5}={2,3,4）,

I的2划分为{{2,3},{4}},{{2,4},{3}},{{3,4},{2}}，共3个，

/的3划分为{{2},{3},{4}},共1个，

故集合/的所有划分的个数为4.

故选：B.

2.（2024•上海静安•二模）如果一个非空集合G上定义了一个运算*,满足如下性质，则称G关于运算*构

成一个群.

（1）封闭性，即对于任意的a/eG,有a*beG；

（2）结合律，即对于任意的a,6,ceG,有（a*6）*c=a*（6*c）；

（3）对于任意的a,6eG,方程x*a=6与。*>=6在G中都有解.

例如，整数集Z关于整数的加法（+）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对

于任意的a,6eZ,方程x+“=b与。+了=6都有整数解；而实数集R关于实数的乘法（x）不构成群，因为

方程Oxy=1没有实数解.

以下关于"群"的真命题有（）

①自然数集N关于自然数的加法（+）构成群；

②有理数集Q关于有理数的乘法（x）构成群；

③平面向量集关于向量的数量积L）构成群；

④复数集C关于复数的加法（+）构成群.

A.0个；B.1个；C.2个；D.3个.

【答案】B

【知识点】集合新定义

【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.

【详解】对于①，x+3=2,在自然数集中无解，错误；

对于②，Oxy=l,在有理数集中无解，错误；

对于③，是一个数量，不属于平面向量集，错误；

对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律，

且对任意的a/eC,方程x+a=b与。+了=6有复数解，正确.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的3

个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论.

3.(2024•黑龙江齐齐哈尔•一模)

/={zeC|z=a+6i,aeN,beN,|z|=1},8={zeC|z=x+yi,xeZ,yeZ，WV1,[引V1},若定义

/㊉8={zeC|z=Z]+z2，Z]&A,Z2eS},则/㊉8中的元素有个.

【答案】14

【知识点】由复数模求参数、利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义

【分析】根据复数模的运算公式，结合题中定义进行求解即可.

【详解】因为/=11},8={-1,0,1,-1+不，1+>171,1-”，

所以/㊉8={-l+i,i,l+i,-l+2i,2i,l+2i,-l,0,l,2,2+i,-i,l-i,2-i},

N㊉8共14个元素.

故答案为：14

【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题中定义.

4.(23-24高二下•浙江温州•期中)若X是一个集合，T是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：

①X属于T,空集0属于T;②T中任意多个元素的并集属于7;③T中任意多个元素的交集属于T,则

称T是集合X上的一个拓扑.已知函数〃x)=[x[x]],其中[x]表示不大于x的最大整数，当xe(0,矶〃eN*

时，函数/'(x)值域为集合4,则集合4上的含有4个元素的拓扑7的个数为.

【答案】9

【知识点】组合数的计算、集合新定义

【分析】根据集合X上的拓扑的集合T的定义，判断"的值，利用元素与集合的关系判断满足题意的集合4

上的含有4个元素的拓扑T的个数.

【详解】因为函数〃x)=[x[x]],其中团表示不大于x的最大整数，当xe(0,〃],〃eN*时，函数〃x)值域为

集合，

所以〃=2,故0<xW2,

①当0<x<1时，则[x]=0,.'.f[x[x]]=0,

②当x=l时，[x]=l显然=

③当l<x<2时，[x]=l,==

④当x=2时，〃2)=4,

={0,1,4},

・"中含有4个元素，其中两个元素0和4,

A^0

AA2

设其它两个元素为4兄贝B丰0,

BwA?

AHB

由对称性，不妨设1引4区忸区2,其中14团表示集合/中元素的个数,

AcBeT

又⑷引创,NcB=0或A,

ADBST

若/nB=0,则/U2只能等于4，（若/UB=8,则/=则Nn8=N=0,矛盾），

则必有＜

，“㈤的个数O"的个数=3种.即]::篇或或舄fl}；

若4c8=/=此时满足/U8=8,

.../WB且1引w且忸|42,

A=1

所以

B=2

■■■B的选择共有C；=3种，则A的个数有C；=2种,

.•.(48)的个数=2x3=6种.

、“\A={0}J/={1}J/={O}J/={4}J/={I}p={4}

这6种h是=jo,i}，j8=jo,i}[8=jo,4}，jg=,,4}，j8=,,4}，

综上可知T的个数为9个.

故答案为：9.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合新定义，得到若/口3=0时，（43）的个数O/的个数=3

种；若4cB=N=/=8时，（4台）的个数=2x3=6种.

5.（24-25高一上•北京,期中）给定数集Af,若对于任意。、b&M,有a+beM,^.a-b&M,则称集

合〃为闭集合，则下列所有正确命题的序号是.

①集合〃={-2,-1,0,1,2}是闭集合；

②正整数集不是闭集合；

③集合初=徊"=3左，左eZ}是闭集合；

④若集合4、4为闭集合，则4口4为闭集合.

【答案】②③

【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义

【分析】对于①，令。=-2,b=-l,即可判断；对于②，两个正整数的差可能是负整数，即可判断；对

于③，任取巧,n2eM,贝lj"i=3勺，叼=3卷,左，仅eZ,结合新定义即可判断；对于④，令

4=刨〃=3左，左eZ｝,4=„=2左，左eZ｝,结合新定义即可判断.

【详解】对于①，因为-2eM,-leM,但是一2+（-1）=一3eM,

所以“=｛-2,-1,0,1,2｝不是闭集合，故①错误；

对于②，对于正整数集N*,因为leN*,2eN*,

但是1-2=-leN*,所以正整数集不是闭集合，故②正确；

对于③，任取«i，n2&M,贝！]%=3kl,%=342，£，仅eZ,

则k、+k?£Z,k[—k?wZ,k?—k]£Z,

所以〃i+%=3（4+左2）£M,々一〃2二3（左i一左2）£〃，叼+〃i=3（左2—左）£〃,

所以W=｛〃|"=3左，左eZ｝是闭集合,故③正确；

对于④，由③可得4=徊"=3上水eZ｝是闭集合，4=｛巾=2左，左eZ｝是闭集合，

所以4口4=｛川〃=3左或〃=2左，左eZ｝,则有2,364U4,

但2+3=5e4U4,则不是闭集合，故④错误.

故答案为：②③.

【点睛】关键点点睛：解决集合知识和新定义的问题，在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定

性，与集合子集个数、子集构成的规律.

题型8复数的模问题

00日W!

向量应的模叫做复数Z=a+6ia,6e&）的模,记为|z|或|。+沅|

公式：\z\=\a+bi\=4^+^其中

复数模的几何意义：复数z=a+次在复平面上对应的点Z（a,b）到原点的距离；

特别的，6=0时，复数z=a+4是一个实数，它的模就等于|a|（。的绝对值）.

1.（2024•天津•一模）若复数z满足z（l_i）=1+石i|,则z=（）

A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i

【答案】B

【知识点】求复数的模、复数的除法运算

【分析】由复数的除法运算法则以及复数的模的概念即可得到结果.

【详解】•••z(l-i)=|l+V3i|=ViT3=2,

故选：B.

2.(2024•浙江•二模)若复数z满足：z+2z=3-2i,贝小为()

A.2B.72C.V5D.5

【答案】C

【知识点】复数的相等、求复数的模、共轨复数的概念及计算

【分析】利用共轨复数的概念及复数相等的充要条件求出z,进而求出目.

【详解】设z=a+6i,(a,6eR),贝l|z=a-历,

所以z+2亍=3a-6i=3-2i,即。=1,6=2,

所以国二^/7+方=^/5.

故选：C.

3.(2024•吉林长春•模拟预测)已知复数z=(l+2i)(i-l),则|z|=()

A.Jl0B.y/sC.y/3D.-^2.

【答案】A

【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算

【分析】根据复数的乘法运算和几何意义计算即可求解.

【详解】z=(l+2i)(i-l)=-3-i,

所以忖=J(-3y+(-l)2=屈.

故选：A

4.(2024•吉林三模)已知复数z=(l+2i)(i-l),则同=()

A.J10B.y/sC.VsD.^2

【答案】A

【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算

【分析】根据复数的乘法、加减法运算及复数的模即可求解.

［详解］z=(l+2i)(i-l)=-3-i,则忖=J(一3p+F=可,

故选：A

5.(2024・浙江•一模)已知复数z=l-i(其中i是虚数单位)，则()

A.2B.1C.V2D.710

【答案】C

【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、复数的乘方、共轨复数的概念及计算

【分析】利用共轨复数的定义、复数的四则运算化简复数z2+＞利用复数的模长公式求解即可.

【详解】因为z=l-i,则z?+z=+l+i=-2i+l+i=l-i,

所以产+目="+(_1)2=后.

故选：C.

题型9共辗复数

-立一.

0。0e

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共辗复数；虚部不等于0的两

1

个共轨复数也叫共辗虚数.1

I(2)表示方法

!表示方法：复数2的共轨复数用I表示，即如果z=a+加，则W=a一次.

I___________________________________________________________________

1-i

1.(2024•天津和平・二模)已知i为虚数单位，复数Z=TK，则z的共辗复数三=()

2+21

11.11.1.C1.

A.------1B.—+—1C.—1D.--1

222222

【答案】C

【知识点】共轨复数的概念及计算、复数的除法运算

【分析】先利用复数的四则运算求出z,再结合共辗复数的定义求解.

21.

【详解】复数z=昼=；蓝：2=))=2一为-+为=一

2+21(2+21)(2-21)821'

所以Z的共朝复数7=1i.

2

故选：C.

2.(2024,广东韶关•一模)若复数z满足zi=1+i,贝!]z•彳=()

A.1B.V2C.2D.4

【答案】c

【知识点】共轨复数的概念及计算、复数的除法运算

【分析】方法L根据复数除法运算求出z,然后共辗复数概念结合乘法运算可得；方法2：利用复数模的

性质求出国，然后由性质z与qz|2可得.

【详解】法1：因为zi=l+i,所以z=—=1-i,7=l+i,所以zN=(l+i)(l-i)=2.

法2：因为zi=l+i,所以同=|1+国,即目=虚,z衣=|z1=2.

故选：C.

3.(2024•四川德阳•一模)已知复数z满足(l+i)z=T，贝”=()

11.11.

A.------1B.—+—1C.l-iD,

2222

【答案】B

【知识点】共轨复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的模

【分析】利用复数除法法则和共轨复数的概念得到答案.

【详解】

故选：B

z

4.(2024•山东威海,一模)设复数z满足;一=i,则zN=()

【答案】C

【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共软复数的概念及计算

【分析】由题可得，=上，计算后可得z与7,即可得答案.

【详解】由5一=i，可得zKl+zKniYl-Dznzu/^n

故选：C

5.(2024•陕西商洛•一模)若复数z=(2+i)(l-i),则彳=()

A.l-iB.1+iC.3-iD.3+i

【答案】D

【知识点】复数代数形式的乘法运算、共朝复数的概念及计算

【分析】根据复数的乘法运算化简，即可根据共轨复数的定义求解.

【详解】因为z=(2+i)(l-i)=2-2i+i-i?=3-i,所以彳=3+i.

故选：D

题型10复数的四则运算

0O与©

（1）复数的乘法法则

我们规定，复数乘法法则如下：设Z]=。+加，Z2=C+由是任意两个复数，那么它们的乘积为

2/2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi~=(ac-bd)+(ad+bc)i,

即(a+bi)(c+(/z)=(ac-bd)+(ad+bc)i

（2）复数的除法法则

a+bi_(a+bi)(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)iac+bdbe-ad.

(a+bi)(c+di)=+—；----T-I

c+di(c+di)(c-di)c2+d2c2+d~c+d-

(c+力w0)

由此可见，两个复数相除（除数不为0）,所得的商是一个确定的复数.

1.（2024•陕西西安•模拟预测）已知复数z满足（2+i）z=2-4i,则2=（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

【答案】A

【知识点】复数的除法运算

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可.

,、2-4i（2-4i）（2-i）4-2i-8i+4i2

【详解】因为（2+i）z=2-4i,所以z=吃一=7。=-----------=-21.

故选：A

1-i

2.（2024•天津北辰•三模）i是虚数单位，复数Z=h下的虚部为_________.

3+41

7

【答案】~

【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算

【分析】根据复数的四则运算可得z=结合复数的有关概念即可求解.

C2_l-i_（l-i）（3-4i）_17.

【详解】3+4i（3+4i）（3-4i）2525'

7

所以复数Z的虚部为-

故答案为：-（7

3.（2024•天津南开•二模）i是虚数单位，复数4—=_________.

1-21

【答案】3+4i

【知识点】复数的除法运算

【分析】由复数除法法则直接计算即可.

【详解】由题卷

(11-21)(1+21)=15±20I=3+4I

(l-2i)(l+2i)5

故答案为：3+4i.

4.（2024•天津河北•二模）i是虚数单位，化简三二的结果为____________.

1-1

【答案】i

【知识点】复数的除法运算

【分析】利用复数的除法运算求解.

1+i(1+i)22i

【详解】解:

口一(l-i)(l+i)一万

故答案为：i

5.（23-24高一下•天津河北•期末）i是虚数单位，复数翌，=_____.

3-41

【答案】-l+2i

【知识点】复数的除法运算、根据复数乘法运算结果求复数的特征

【分析】根据复数的除法运算即可.

5+10i_(5+10i)(3+4i)_5(l+2i)(3+4i)_(l+2i)(3+4i)_-5+10i

【详解】

3-4i-(3-4i)(3+4i)-9-16i2-5一~5~

故答案为：-l+2i

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（2024•甘肃平凉•模拟预测）已知集合/={X，-2X-3>0},5={1,2,3,4},则/口8=（）

A.{1,2}B.{1,2,3）C.{3,4}D.{4}

【答案】D

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】先解不等式求出集合4再根据交集运算求出

【详解】由％2_2x_3>0,解得X>3或

所以/={x|x>3