解三角形 专项练-2025年高考数学一轮复习

解三角形专项练

2025年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.在VABC中，区上c分别为角A,3,C的对边，若tanA=3,B=~,左=2标，贝()

4

A.2B.3C.2A/2D.372

2.若VABC的三个内角A,5,C所对的边分别为a,b,c,B+C=60°,a=3,则吧勺然史二'土=

a+b-c

()

A.2月B.且C.-D.6

66

3.在VABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且a(cosB-l)-b(cosA—l)=0.若a=4,则

b=()

A.1B.2C.3D.4

4.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若面+c?_/)tanB=^c,则cos53=()

5.已知VABC中，角A,SC所对的边分别是a,b,c,若6cosc+ccosB=b,且。=。853,贝(JVABC

是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

6.已知VABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2«+b=2ccosB,且sinA+sin3=l,

则VA3c的形状为()

A.等边三角形B.顶角为120。的等腰三角形

C.顶角为150。的等腰三角形D.等腰直角三角形

JTQ

7.在VABC中，内角A3,C所对边分别为a,6,c若3=§,b2=—ac,则sinA+sinC=()

31-近D.B

A.yB.逝C.

22

8.设在VABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若满足a==九5=2的VABC不唯一,

6

则机的取值范围为()

A.性出B.

(0,V3)

口

0D.

二、多选题

9.已知VA3C内角A、B、C的对边分别是°、b、c,A=23,贝U()

A.a2=c(b+c)B.+的最小值为3

C.若VABC为锐角三角形，则：e(l,2)D.若a=2#,b=3,贝Uc=5

b

10.在VABC中，4,氏(7所对的边为〃,6,。，设M边上的中点为"，%4%的面积为5,其中“=26，

b2+c2=24,下列选项正确的是()

A.若A=1,贝US=3右B.S的最大值为3g

TT

C.AM=3D.角A的最小值为§

11.在VA3C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列命题正确的是()

A.若A=30。，b=4,a=3,则VABC有两解

B.若A=60。，a=2,则VABC的面积最大值为

C.若a=4,b=5,c=6,则VABC外接圆半径为场

7

D.若acosA=6cos3,则VABC一定是等腰三角形

三、填空题

TTI—b+C

12.在VA3C中，A,B,C的对边分别为a,b,c,若B==,c=2,5ABe=C，则-----二的

3csinB+sinC

值为.

13.在锐角三角形ABC中，角A,氏C所对的边分别为。，4c,若cos23+cos2C+2sinBsinC=l+cos2A,

则角A=.

14.VABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a?一廿=bc,且sinA=^sinB,则角A=

15.如图，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角

/M4N=45。，点C的仰角NC4B=60。，以及/M4c=75。.从点C测得/MCA=45。,已知山高

BC=300m,则山高A£V=m.

16.已知向量,7=IJ§sin：,l=(cos^,cos2:

(1)求附+|中的取值范围;

⑵记〃X)=〃Z-"，在VABC中，角43,。的对边分别为。,6,。且满足(2。-。卜0$3=反0$。，求函数

/(A)的值域.

17.已知函数=sin£-道sin5cos金+1.

(1)求函数y=〃x)的单调递减区间；

⑵在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足。?-/=accosB-gzJC,求/(3)的取

值范围.

18.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为a,沿倾斜角为夕的斜坡向上走。米到8,在B出测得山顶P

得仰角为7，

(1)若£=15°,求坡面的坡比.(坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值)

asinasin。一夕)

⑵求证;山高

sin(/-a)

19.记VABC的内角A,3,C的对边分别为a,b,c,已知acos5=)(l+cosA).

(1)证明：A=2B；

Q)若c=2b,a=#),求VABC的面积.

参考答案:

1.B

sin2A+cos2A=l

由tanA=3,可得A£(0q),根据<sinA进而求出sinA=3^/^,cosA=

=31010

cosA

由B=；可得sin5=，cosB=，

422

则sinC=sin(A+吁inAcosB+sin庆osA=^x泉零x*当,

由正弦定理可知9祟当

又因为仪:=2\/?6\解得=c=2^2,

「3湎

由正弦定理可得a=Wf=-*—=3.

sinB。2

方

2.B

在VABC中，B+C=60°,所以A=120。，所以效4变=3,

。36

,…TE心Hr,口

由正弦定理以7及T71比rA例y的性b质可得：s-i-n-A--+-s-i-n--B---s-in--C-=——sinA=丹J3.

a+b—ca6

3.D

tz(cosB—1)—Z?(cosA-l)=0,

a2+c2-b2J,b2+c2-5。,

:.a------------------1\-b'

2ac}2bc

a2+c2-b2

r+".+6=o,(a-b)=0.

2c2cc

a?_段_c(a_Z?)-0,即(a—/?)(〃+/?—c)—0.

a+b-c>G,:.a-b=Q,b=a=4.

4.D

(a?+/—/)tanB=y/3ac,2ac-cosB-tanB=y[3ac,

2

北（0,无），=W或胃，

。J

5兀1—IO714TI1

/.可得cos5B=cos-=cos一或cos=cos——二——

2332

5.D

bcosC+ccos3=Z?nsin5COSC+sinCcosB=sinB=>sin（B+C）=sinB,

BPsinA=sinB,故a=/7,

a-ccos3nsinA=sinCeosBnsin（B+C）=sinCeosB

=sinBcosC+cosBsinC=sinCcos5=sin5cosC=0,

因为5^（0^）,所以sinBwO,故cosC=0,

因为Ce（O,兀），所以C=1,

故VABC为等腰直角三角形.

6.B

由正弦定理可得2sinA+sin3=2sinCeosB,

因为A+B+C=7l,所以B+C=7l—A,

所以2sin（3+C）+sin5=2sinCeos8,即2sinBcosC+2cosBsinC+sin5=2sinCeosB，

即2sin3cosc+sin5=0,因为兀），所以sinBwO,

1Ojrnr

所以cosC=—5,因为Cc（o,7i）,所以c=（,所以B+A=q,

因为sinA+sinB=l,所以sinA+sin[]—A）=l,

所以sinA+^^cosA-'sinA=l，BP^^cosA+—sinA=1，

2222

即sin（A+[]=l,因为所以A+f=f,所以A=g,

I”13/326

jr冗

因为2+4.所以A=B=m，

36

所以VA3C的形状为顶角为120。的等腰三角形.

7.C

因为2=工廿=-ac,则由正弦定理得sinAsinC=±sin23=L

3493

9

由余弦定理可得:匕2="+C2—UC=—CLC,

4

131313

即:“2+c2=一ac,根据正弦定理得sin2A+sin2C=一sinAsinC=一,

4412

7

所以（sinA+sinC）2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=一,

4

因为AC为三角形内角，则sinA+sinC>0,贝！IsinA+sinC=且.

2

8.A

75m

b

解：由正弦定理一；即sinAj_，所以

sinAsin52sinA

2

jr54TT1

因为VABC不唯一，即VABC有两解，所以一<A(一且AW-,即±<sinA<l,

6622

所以1<2sinAv2,所以1v——T<1，即<根<小；

22sinA2

9.BCD

由A=25,得sinA=sin23=2sin3cos3,

722

由正弦定理得a=2/?cos5,由余弦定理得〃=2。----------，

lac

贝lj(c—Z?)(Q2—/—6。)=o,当bwc时，a2—b2—be=0fBPci2=b(b+c^,

当b=c时，B=C,又N=2B,所以A=90o,B=C=45。，

所以Q=①，所以(缶『一/一匕心二。，

所以/=b0+c),故选项A错误;

由则2+冬=2+"/=2+£+123,当且仅当6=c时，故选项B正确;

cbcbcb

csinCsin(2B+B)sin2BcosB+cos2BsinB

在VABC中，sinBwO,由正弦定理,

bsinBsinBsinB

2sinBcos2B+(2cos2B-l)sinB。

-----------------------L------=4cos2B-b

sinB

若VABC为锐角三角形，又A=2B,则Be0,?,C=TT-3B<J,故

I4/26

所以Be修,所以cosBe乌,则cos。Be,

<64J1221124)

所以4cos2B-le(l,2),故选项C正确;

在VA5c中，由正弦定理^一-=———=———f又A=26,a=2y/6,b=3,

sinAsinBsinC

32762娓

得,则cosB=

sinBsin2B2sinBcosB3

由余弦定理，b1=c^+C1-2accosB,得9=24+c?一2x2#x1

c，

3

整理得。2—8。+15=0,解得c=5,或c=3,

当c=3时，有C=3,又A=2B,所以B=C=45°,A=90°,

因为b?+c2Aq2,贝!|c=3不成立，故选项D正确.

10.ABC

jr

选项A,若A=§,由余弦定理/n/^+H-ZbccosA,得12=24—Z?c,所以bc=12,

则三角形面积S=工。csinA=^xl2x^=，A正确；

222

选项B,由基本不等式可得24=6?+26c,即bc«12,

当且仅当人c=2指时，等号成立，

^22_2

由余弦定理可得cosA=",6

be

则S=-besinA=-bcyll-cos2A=-J（bcY-36<-V122-36=3指，B正确；

222vv72

uuur1zUirnuum

选项C,因为5c边上的中点为Af,所以AAf=］（A5+AC）,

而〃2=/+/_2bccosA,BP12=24-2Z?ccosA,贝！JbccosA-6,

所以卜;+21AB||AC|COSA=；+c2+2Z?ccosA

=—124+2x6=3,故C正确;

2

选项D,因为24=/+。2z2Z?c,即仇”12,

又0<4<兀，且函数y=cosx在（0,兀）上单调递减，所以。D错误.

11.AC

对于A,因为》sinA=4sin3CT=2,所以bsinA<a<Z?,

所以如图VABC有两解，所以A正确，

bs\nA

A端、、JB?

___1'

对于B,因为A=60。，a=2,所以由余弦定理得/=4=/?2+02—2〃℃0560。=62+02一人。之人。,

当且仅当6=c=2时取等号，所以Z?cK4,

所以石，当且仅当6=c=2时取等号，

所以当VA3C的面积最大值为石，所以B错误，

对于C,因为。=4,6=5,c=6,所以由余弦定理得8$4=”+.一。二=25+36-16=3,

2x5x64

因为A£（0,兀），所以sinA=A/1—cos2A=

?R=a=一=3/万

所以由正弦定理得m万一万一〒，得氏=浮，所以C正确,

对于D,因为acosAW,所以由余弦定理得•三^

所以〃2.（〃+/一〃2）=b2m2+。2一加）,

所以a2b2+a2c2-a4=a2b2+b2c2-Z?4,

所以，（小-从）-（6+b1）（a2-Z?2）=0,

所以d+^ko,

所以Q2=》2,或02=〃2+。2,

所以VABC为等腰三角形或直角三角形，所以D错误，

12.处/±6

33

由可得gacsin3==豆，

解得。=2,所以V43c为等边三角形，

故VA3c外接圆直径为2R=上=1

sin53

二匚［、।b+c2RsmB+27?sinC,「4^/3

所以---------=---------------=27?=」一.

sinB+sinCsinB+sinC3

故答案为：逑.

3

13.-

3

因为cos2B+cos2C+2sinBsinC=1+cos24,所以

所以1-2sin2B+l-2sin2C+2sinBsinC=2-2sin2A,/.sin2A=sin2B+sin2C-sinBsinC,

“b2+c2-a21八4兀.兀

:.a9=b+c9-bei/.cosA=--------------=—.0<A<—,/.A=—.

2bc223

故答案为：y

1/兀

l4-3

〃一y=be,/.a2=Z?2+be，.■/=加+—2bccosA，

be=c2-2bccosA,:.b=c-2bcosA,

.\sinB=sinC—2sinBcosA,

sinB=sin（A+3）—2sin3cosA,

/.sinB=sinAcosB+sin5cosA—2sinBcosA,

sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin（A-B）,

因为A,3«0,7i）,所以A—（—兀,兀）,

:.B=A-B^B+A-B=TI（舍）,:.A=2B,

因为sinA=6sinB,sin2B=6sinB

即2sin3cos3=6sin3,sinBwO,

/.cosB=9

2

jr

:.A=2B=-

3

71

故答案为:~3

15.200

在VABC中，因为所以AC=32-=2004,

sin60°

在一AMC中，因为NMAC=75。，NMC4=45。，可得44MC=60。,

ACAMAC，Sm45

因为,^^AM=°=20072,

sinZAMCsinZACMsin60°

在直角一AMN中，可得脑V=AM.sin/MAN=20072xsin45°=200.

故答案为：200.

16.(1)[3,4]

⑵1]

x2x

(1)(1)因为m=，几=cos—,cos—

44

可得M+WI=3sin2—+1+cos2—+cos4—=3|1-cos2—|+1+cos2—+cos4X

444444

2

=cos4—%c2cos2—%+4/=cos2-^-lj+3,

44

因为cos[e[0,1],所以时+|n|e[3,4].

si22

(2)解：由题意得==cos—,cos2f=^sin—cos—+cos

444,4

A/3,x1x1.X71+：,可得〃A)=sinA711

=——sin—+—cos—+—=sin—+—―+―+2,

222222626

因为(2a-c)cos_B=Z?cosC,由正弦定理得(2sinA-sinC)cos_B=sinBcosC,

所以2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC,所以2sinAcosB=sin(B+C),

又因为A+3+C=7i,贝人皿(5+。)=51114,且sinAwO,所以cos3=；,

因为30,所以所以0<A<=,则+

336262

e1.A兀3

则2Vsm—+—<1,所以函数/(A)的值域是1,

26

27rTL

17.(1)-------1-2kji,—+2k7i,kGZ

-33

⑵pl

(1)/(x)=-^-smx--cosx+-=-sinx+-\+-

222I6)2

TTTTTT/