江西省上饶市余干县2025届高三年级下册第一次模拟考试数学试题（含答案解析）

江西省上饶市余干县2025届高三下学期第一次模拟考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合可=卜卜2-6日-7<0},"=53>0},若^=",则实数0的取值范围为（）

A.（-<»,14]B.（-oo,14）C.（-2,+oo）D.（-oo,-2]

A.—1—3iB.—1+3iC.1-3iD.l+3i

22

3.“别>1”是“椭圆C:二+」一=1的焦点在x轴上”的（）

m2-m

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.某统计数据共有13个样本匕（力=1,2,3,…,13）,它们依次成公差"=1的等差数列，若这组

数据的60%分位数是26,则它们的平均数为（）

A.25B.23C.21D.19

5.在平行四边形中，48=4,AD=2,ZA=60°,DM=3MC，则而.丽=（）

3

A.1B.-C.2D.3

2

6.将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球,

则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是（）

17517

A.-B.—C.—D.—

424824

22

7.已知双曲线C:1T-。=1（°>0）的左、右焦点分别为片,E，点尸在双曲线右支上运动（不

与顶点重合），设咫与双曲线的左支交于点。，AP空的内切圆与QR相切于点若

闾=2,则双曲线。的离心率为（）

A.73B.2C.V5D.76

8.利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数

试卷第1页，共4页

学知识，探究函数/（x）=x*,xe（O,+8）,下列说法正确的是（）

B.[（X）在[of]上单调递增

A./（X）有且只有一个极大值点

1

C.存在实数“40,+⑹，使得D./（尤）有最小值，最小值为下

eee

二、多选题

9.已知直线/:办+（。+1）了+2=0,圆。：/+必=9,则下列说法正确的是（）

A.存在实数〃，使圆。关于直线/对称

B.直线/过定点（2,-2）

C.对任意实数。，直线/与圆。有两个不同的公共点

D.当”=-;时，直线/被圆。所截弦长为2

10.已知函数/（x）=coso尤-sino尤（。＞0）,则下列说法正确的是（）

A.当0=3时，/⑺在0,：上单调递减

B.若函数/⑺的图象向左平移5个单位长度后得到函数g（x）=Vasins的图象，则。

的最小值为5

C.若函数/（x）|的最小正周期为：，则0=8

D.当。=2时，若关于x的方程/（x）=l的两个不相等实根为芯，x2,则上一工2上=1

numUULULILU__

11.在棱长为2的正方体中，点P满足。尸=彳。。]+〃。4,As[0,1],

[0,1],则下列说法正确的是（）

A.当a=4时，BP1.ACX

B.当〃=g时，三棱锥G-P3。的体积为定值

C.当九+〃=1时，PC+PB的最小值为J12+2瓜

D.当4=〃=0时，若点〃■为四边形431G2（含边界）内一动点，且加P=2,则

点M的轨迹长度为必兀

2

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.若[x-：；展开式中的常数项为-160,则实数。=.

13.已知函数〃x)=e2i-+sin[则不等式/(/+2x-3)+/(2-x卜2的

解集为.

14.已知S”为数列｛4｝的前〃项和，％=2,+则｛%｝的通项公式为____；

n2

+1

令2=2~",则6也一4&+…+(-1)"bnb„+1=.

四、解答题

15.已知V/3C的内角4B,C的对边分别为a,6,c,b=2

⑴求A；

(2)若6=3,8c边上的高为主包，求V4BC的周长.

7

16.如图，在正三棱柱/3C-4耳G中，N8=/4=8,N是44的中点，点尸，。分别是8C，

4N的中点，与平面CP。相交于点

(2)求二面角片-C"-P的正弦值.

17.已知函数/(x)=31--©R).

⑴若曲线了=/(x)在(1,/。))处的切线的斜率为求。的值;

(2)若x=0是/(尤)的极小值点，求。的取值范围.

试卷第3页，共4页

18.已知点A是直线x=T上的动点，。为坐标原点，过点A作y轴的垂线/,过点。作直

线。/的垂线交直线/于点8,记点B的轨迹为曲线C.

⑴求C的方程；

⑵过曲线C上一点尸化2)的直线乙,4分别交C于两点(异于点P),设乙4的斜率分别

为匕他.

4

(I)若上芯=-§，求证：直线跖V过定点；

(II)若尢+后2=。，且的纵坐标均不大于0,求APAW的面积的最大值.

19.2024年7月26日至8月H日在法国巴黎举行了夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大

学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛.

(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中

4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；

(2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖

励.奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，

中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次

中奖的概率均为且每次是否中奖相互独立.

(I)记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为/(P),求/'(P)的极大值；

(IDM大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不

小于1120元，试求此时P的取值范围.

试卷第4页，共4页

《江西省上饶市余干县2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DABADCCDBCDAB

题号11

答案ABD

1.D

【分析】解不等式求得集合〃，N,由M=可得求解即可.

【详解】由/-6x-7＜0,得(x-7)(x+l)＜0,解得一l＜x＜7,所以M=(-l,7),

N={x|2x＞a}=卜|x＞3,

由M=所以白-l,解得aW-2,所以实数。的取值范围为(-*-2].

故选：D.

2.A

【分析】先根据虚数单位i的运算性质化简分母，再对z进行化简，最后根据共辗复数的定

义求出

【详解】“，3；：+1=2=3i-1,其共辗复数彳=-1-3i.

1+1+11-1+1-1-1

故选：A.

3.B

【分析】根据椭圆的几何性质可求解焦点在％轴时1(加＜2,即可根据必要充分条件的定义

求解.

22

【详解】椭圆。：二+上一=1的焦点在工轴上，则加＞2-加＞0,解得1＜相＜2,

m2-m

22

故'加＞1”是“椭圆C:土+3^=1的焦点在X轴上”的必要不充分条件，

m2-m

故选：B

4.A

【分析】先根据百分位数的概念确定为的值，再根据等差数列的性质求其平均数.

【详解】因为数列{%}为公差为1的等差数列，且13x0.6=7.8,

所以该组数据的60%分位数为x8,由/=占+7=26=＞国=19.

根据等差数列的性质，它们的平均数为上手=19+4+12=25.

22

答案第1页，共16页

故选：A

5.D

【分析】以｛瓯而｝为基底,表示痂，两，结合向量数量积的概念和运算律可求而•瓦7

的值.

【详解】如图:

以｛/优/。｝为基底，则存2=]6，而2=4，28.2D=4X2COS60°=4.

且AM=AD+DM=a4B+力。，BM=BC+CM=——AB+AD,

所以

(3—►——A(1—►——A3--21—►-231

AMBM=—AB+AD•——AB+AD=-----AB+—AB-AD+AD=-----xl6+—x4+4

(4八4)162162

=3.

故选：D

6.C

【分析】利用排列组合，先求出将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个

凹槽中的放法数，再求出4个凹槽与其放入小球编号互不相同的放法数，再利用对立事件的

概率公式，即可求出结果.

【详解】将编号为123,4的4个小球随机放入编号为123,4的4个凹槽中，共有A：=24种

放法，

4个凹槽与其放入小球编号互不相同的有C；・C；=9种放法，

95

所以至少有1个凹槽与其放入小球编号相同的概率是尸=1-5=].

248

故选：C.

7.C

【分析】根据内切圆的性质与双曲线的定义，列式化简求解可得。=1,进而求得离心率.

【详解】

答案第2页，共16页

=2a

设尸耳，尸石分别切内切圆于43,则由双曲线的定义可得，即

。周一也可=2a

「四+阐|+以卜附一|陷|=2a

'\QM\+\MF2\-\QF,\=2a

根据内切圆的性质可得|，训=|尸却,\QA\=\QM\,\P^\=\PB\,

〕/0|+|。甲-|8£|=2a

故八二八！c，两式相加化简可得21。〃1=4%即|。河|=2。=2,故4=1.

\^QM\+\MF2\^QF\=2a

故双曲线的离心率为e=£=、=VL

a'I14

故选：C

8.D

【分析】根据对数恒等式将函数/(x)=xX变形转化为〃x)=eHn工，利用导函数研究

g(x)=xlnx的单调性，再由复合函数单调性得“X)单调性、极值与最值，再分别判断选项

即可.

【详解】由尤>0,贝I］/(无)=工工=9匠=eM*xe(O,+e),

令g(x)=xln尤，尤>0,贝ljg'(x)=l+lnx,令g'(x)=0,解得x=」，

e

当0<x<：时，g'(x)<0,g(x)在(0,J上单调递减；

当时，g'(x)>0,g(x)在(：,+e］上单调递增；

/(x)由函数y=e"与〃=g(x)复合而成，而y=e"在(-双+8)上单调递增；

故"X)在(0,；］上单调递减，在g,+x］上单调递增；

所以/(X)在X=工处取极小值/(-)=ee=F,且无极大值，

ee-

答案第3页，共16页

又/（x）1nHi=/（，]=£>e-=：,故不存在实数ae（O,+8）,使得了（“）=：.

故ABC错误，D正确.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：应用对数恒等式转化为复合函数/（x）=eHn，是解题关键.

9.BCD

【分析】根据直线是否过圆心判断A的真假；把点代入方程判断B的真假；根据B的结论

可判断C的真假；利用几何法求弦长可判断D的真假.

【详解】对A：因为圆。的圆心为（0,0）,因为ax0+（a+l）x0+2=2w0,所以不存在“,

使得直线/经过圆心，即不存在实数。，使圆。关于直线/对称.故A错误；

对B：因为2a-2（a+l）+2=0恒成立，所以直线/过定点（2,-2）,故B正确；

2

对C：因为22+（-2『=8<9,所以点（2,-2）在圆。：%+/=9^^，又直线/过定点（2,-2）,

所以直线/与圆。必有两个不同的公共点，故C正确；

对D：当a=时，直线/：_§x+[_]++2=0即x—y—4=0.

圆心O到直线/的距离为："=七=2后，所以弦长为：2曲彳=25亚=2,故D正

确.

故选：BCD

10.AB

【分析】根据辅助角公式化简/（X）=后cos（ox+3（o>0）,即可根据余弦函数的单调性判

〃，冗jr37r

断A,根据平移的性质，可得,+r=求出。即可判断B,根据周期公式即

442

JT

可求判断C,由题可求得方程的根石=-1+左兀/2=七兀，左WZ计算可判断D.

兀

【详解】由/(x)=cosGx—sin@x(0>0)可得/(x)二后cosCOXH-----0>0),

4

对于A,当①=3时，/(x)=V2cosl3%+^-当0,—时，3%+—G—,7TC[0,7ll,

444-LJ

故f（x）在0,；上单调递减，A正确；

对于B,将函数y（x）的图象向左平移5得（x+：|=0cos15+竽+：3>0）,

答案第4页，共16页

rr.IT（con兀）一r,口口兀兀3兀…，”

则V2sincox=•\/2coscoxH---1—,可*4W---1—=F2kn,kE.Z,

I44j442

解得0=5+8左4eZ,故。的最小值为5,B正确；

对于C,|/（X）|的最小正周期为；X肾，故;X*=：,解得①二4,故C错误；

对于D,当①=2时，/（x）=V^cos[2x+：）,由后cos[2x+：）=l可得cos（2x+：]二三,

.,_7171__7171_77r-y

ftx2/+—=——+274]兀,2/+——~+2742兀，左1,左2£/，

则&=-彳+左71户2=勾匹左,&eZ,故卜-引=，及eZ,因止匕卜-司面。=：，故D错

误.

故选：AB

11.ABD

【分析】当4=〃时，点尸的轨迹为线段证明平面4夕。即可判断选项A正确；

当〃=；时，点P的轨迹为线段E尸，由斯//平面25℃，得出三棱锥G-Pqc的体积为

定值，所以选项B正确；

当X+〃=l时，点尸的轨迹为线段/口，将三角形C/2旋转至平面D/8G内，由余弦定理

可得选项C错误；

当力=；,〃=0时，点P为。2的中点，由用=2,可得点”的轨迹为以。为圆心，厉为

半径的;圆，所以选项D正确.

【详解】对于A,如图所示，当4="时，点尸的轨迹为线段，连接/C、3D,可得/C」3D,

C,C1BD,

所以8。1平面/CG，所以同理可证得/C|_L4B,所以平面48。，所

以NG^BP，所以选项A正确；

答案第5页，共16页

对于B,如图所示，取49的中点£、F,当〃=：时，

点尸的轨迹为线段跖，“口心=%菖即=36久即/，5C,S1C=1^C1-CC1=1X2X2=2,

因为跖//平面80GC,所以尸到平面BgC的距离h=2G，

所以三棱锥G-Pqc的体积为定值，所以选项B正确;

可知尸C+P323C,

由余弦定理可得

BC=yjAC2+AB2-2AC-ABcosABAC=^（272）2+22-2x2A/2x2x一9=yJl2+4s/6,

所以选项C错误；

答案第6页，共16页

对于D,如图所示，当2=；,〃=。时，点尸为的中点，PR=1,MP=2,

所以0M=石，即点”的轨迹为以口为圆心，百为半径的;圆，所以点M的轨迹长度为

所以选项D正确.

【点睛】本题考查空间几何体的线面关系、体积、轨迹等知识，考查空间想象能力与运算求

解能力，考查直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养.

12.1

【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得『的值，代入列出方程即可求解.

【详解】由二项式(2龙-(I展开式的通项为=C[(2x)j(-(丫=(-426一()63,

令6-2厂=0,可得r=3,

代入通项公式可得4=(-。)323《=-160/=一160,解得a=l.

故答案为：1.

13.[-2,1]

【分析】先证明函数的对称中心，即/(x)+/(l-x)=2,化简不等式得到

/(X2+2X-3)</(X-1),然后由导函数得到函数单调性，然后由单调性得到不等式，就不

等式即可.

【详解】/(l-x)=e1-^-e2-1-sin(不一j+1,

则〃x)+〃lr)=2,即〃1一力=2-/(x),

.­.2-/(2-x)=/(x-l),

答案第7页，共16页

V/(X2+2X-3)+/(2-X)<2,

/./(X2+2X-3)<2-/(2-X)=/(X-1),

：尸(x)=2尸+2e~+工cos区-映2也门+2产_刍o,

v'2U4)22

即函数/(无)在R上单调递增，

x2+2x-3<x-1,即/+x-240,(x+2)(x-l)V0,

即-2<x<1.

故答案为：卜2,1].

【分析】根据S”,巴的关系即可求解｛%｝为等差数列，即可求解空1,根据等比数列的求和

公式即可求解.

【详解】由，=%+?可得

当“22时，S,T,

,,(\-n\n/、(2—力(〃一1)

故4=nan+------------(附T%-----------，

化简可得("22),

故｛%｝为等差数列，且公差为1,故。"=2+(〃-1)=〃+1,

3

故｛(-1广'她，+1｝为等比数列且公比为首项为

答案第8页，共16页

71

15.(D-

(2)5+>/7

【分析】(1)根据正弦定理结合二倍角公式求角A.

(2)根据6sinC=坦，可求sinC,根据正弦定理三二三可得的数量关系，再

7sinAsinC

结合余弦定理Q2=〃+C2—2ACOSZ,可求〃，。的值，进而可求V/BC的周长.

=b=bcos--A+1-asinB,

【详解】⑴由6=2(6J

所以bcos[W_4j=〃sin5.

由正弦定理可得：sinBcos(E—4]=sin4sinB,因为sinBwO,所以cos(E—4]=sinZ.

所以tan/=g,又/e(O,兀)，所以/=1.

(2)因为b=3,8c边上的高为之⑵

7

所以2贯=苧—心理.

根据正弦定理：士

sm/

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosAna2=9+c2-3c，

7

所以^。2=9+/-3。=，=2或。=一6(舍去)，所以°=行.

所以V/2C的周长为：°+6+c=5+3+2=5+".

16.(1)!

⑵®

44

【分析】(1)建立空间直角坐标系，求平面CP。的法向量。利用a7,［可确定M点的

答案第9页，共16页

位置，确定三m的值.

MB

(2)利用空间向量求二面角的余弦，再根据同角三角函数的基本关系求二面角的正弦.

【详解】(1)取8c中点。，连接。4,OP,因为三棱柱/8C-4耳G为正三棱柱，所以。4,

OB,O尸两两垂直.

故可以。为原点，建立如图空间直角坐标系.

因为三棱柱ABC-4耳。为正三棱柱，且=/4=8,

所以C（一4,0,0）,P（0,8,0）,修（4,8,0）,N（0,4,46）,N（0,0,46）,5（4,0,0）

因为。为用N的中点，所以0（2,6,2■

所以岳=（4,8,0）,西=（6,6,2石）.

设平面CP。的法向量为五=（西,必,向），

[cPln[（x1,y1,z1）.（4,8,0）=014%+8%=0

贝U_=><Z厂、=>vL，

[CQVn（西,M,4>（6,6,23）=016芭+6%+273^=0

取为=（2,_1-6）,

设M（Xo,O,Zo）,AM=AAB,即卜。，。丹-46）=2（4,0,-4/），

所以“（440,4同1一2））,屈=（4（2+1）,0,460-孙.

因为点M在平面。尸0内，所以a7,.=>（4（2+1）,0,46（1-2）>（2,-1,-6）=0,

所以8（2+1）-12（1-2）=0=

maAM1

所以---

MB4

（4___►（2416、►

（2）由（1）得：M不0,差，所以彳，°，十，又。⑸=（8,8,0）.

155JI55J

答案第10页，共16页

设平面耳CM的法向量为玩=优,%,Z2),

(74)作。，警>。=/+2属=0,取应二卜2,2,可

mlCM

则—.n<

所1cBi(x2,y2,z2)-(8,8,0)=0民+%=0

八\m-n\1-4-2-319亚

设二面角B.-CM-P的平面角为。，则由图cos6=方贷=।L

\m\-\n\Vllx^/844

所以sin0=31i

44

⑴-！

⑵si

【分析】(1)先对函数进行求导，根据导数值可求得结果;

(2)求导函数，根据极小值点得到原函数为先增后减，导函数值为零，则导函数再次求导

函数大于零，据此可求得取值.

QX+Q-X(f、

【详解】(1)已知〃X)=F--。1+*QeR)，

根据求导公式(e)=4,(b)'=_尸,(x")'=wx"T，

可得/，⑴=-----ax,

因为曲线y=/(x)在(1J。))处的切线的斜率为］,

_-11

所以"1)=1--a=?解得。=七;

(2)由(1)可得----ax,令g(x)=f(x)=-----ax

则/(加汨-，

若x=0是/(x)的极小值点，则r(o)=dJ-axO=O,

则/'(X)在x=0左侧附近小于0,在x=0右侧附近大于0,

这意味着/'3在x=0处的导数g'(x)>0,

0-0

把'=0代入g'(x)得g，(x)=——----a=l-a>0,解得。<1；

当a<1时，

答案第11页，共16页

因为e'+eT22Ve^e1=2，当且仅当炉=片3即x=0时，等号成立，

所以g，(x)=W二一“>0恒成立，则/'(X)在R上单调递增，

当x<o时，r(x)<r(o)=o,y(x)单调递减;

当尤>0时，r(x)>/,(0)=0-y(x)单调递增，所以x=o是“尤)的极小值点；

当a=l时，此时g'⑼=0,令力(x)=g1x)=±1,

则/卜)=三匚，此时〃(0)=0,

因为〃(%)=-----1>-----1=0，

当且仅当e'e,即x=0时，等号成立，所以g'(x"o恒成立，

则/'(X)在R上单调递增，

当x<o时，r(x)<r(o)=o,〃x)单调递减;当x>o时，r(x)>r(o)=o；

所以x=0是f(x)的极小值点；

当Q>1时，

令g'(x)=0,即h等一0=0,设e'=(>0),

!

贝/十?一小整理得〃一2m+1=0,

2

由一元二次方程求根公式t=2。±"/-4=°土,

2

因为。>1，所以v+J/-l>l，0<a-V«2-l<l>

存在％70(%=In。，使得在遍附近，当x在七到o之间或0到%之间时，g<x)<0,f'(x)

单调递减，

此时/'(x)在x=0两侧不满足左负右正，则x=0不是/⑺的极小值点；

综上。的取值范围是(-叫1].

18.(1)/=4尤

(2)(I)证明见解析，(II)6

【分析】(1)根据向量垂直的坐标运算即可求解，

答案第12页，共16页

（2）联立直线与抛物线方程可得韦达定理，进而根据斜率公式，化简即可求解（I）,根据

斜率关系可得加=-1,进而根据弦长公式以及点到直线的距离得面积的表达式，即可根据导

数，求解函数的单调性，即可求解.

【详解】⑴设5(x,y),则/(一4/),

根据04_L02可得。/=(-4,y)(x,y)=-4x+y、0,故j?=4x,

联立x=+"与j?=4x可得r_4,盯_4"=0,

JI+%=4机

则，M%=-4〃，

A=16m2+16〃>0

22

故项+%=加（必+%）+勿=斩2+3?丙々二""=n2'

16

将尸亿2）代入抛物线方程中可得?（1,2）,

rn兰…__4川~左=%—2%—2二%8一2（/+%）+4——4〃—8加+4.4

12-3’、12再一]%_]匹马_（再+%）+]/_卜加2+2〃）+13，

化简可得—4m2-5n-6m+4=0,

故（〃一2〃7—4）（"+2加-1）=0,故"+2加-1=0或"一2%-4=0,

当〃+2加-1=0时，直线的方程为x=%y+l-2加，故x-l=〃z（y-2）,此时直线经过点

（1,2）,不符合题意，故舍去，

当〃一24—4=0时，直线AGV的方程为x=my+2加+4,故工一4=机（了+2）,此时直线经过

点（4,-2）,故直线过定点（4,-2）；

答案第13页，共16页

%%=-4月20

(II)由于W,N的纵坐标均不大于0,则

A=16加2+16〃>0

由左+3o,则+铝二也乎用

一/一1x2-1XxX2-+x2J+1

故(必一2)卜2-1)+(%-2)(占-1)=0,

则5-2)(叩2+〃-1)+3-2)(町+M-l)=0,

故2加》为+(〃-1)(必+%)-4(〃-1)-2加®+%)=0,

贝(j-8mH+(w-l)(4m)-4(H-l)-2m(4m)=0,

可得一〃(加+1)=2m2+m-l,故(加+1)(2冽+〃-1)=0,

由(I)知〃+2加一1，0,故加=一1,

yy=-4n>0

12故一1<〃W0,

A=16+16〃>0

故=J1+/+弘)2—4j]