解题技巧：利用等腰三角形的三线合一作辅助线（3类热点题型）解析版-2024-2025学年北师大版八年级数学下册

利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线解题技巧

13类热点题型】

目录

【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】..................................................1

【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】....................................................15

【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】.........................................29

【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】

模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线

直接用“三线合一"，®AB=AC-,®ADLBC-®BD=DC-,@Z1=Z2.知2推2原则。

A

连中线用“三线合一”，若⑷?=NCIO=C〃.则4»_L5C,Z1=Z2.

4

例题：（23-24八年级下•全国•单元测试）如图，在中，ZACB=90°,AC=BC,。为4s边的中

点，点、E、尸分别在射线C4、8。上，且/现卯=90。，连接EF.

①证明：4AED3MFD.

②直接写出SMFC，SAEFD和邑ABC的关系是：

⑵探究：如图2,当点£、尸分别在边C/、8c的延长线上时，SAEFD，SbEFC和国ABC的关系是：

⑶应用：若/C=6,AE=2,利用上面探究得到的结论，求AEFD的面积.

【答案】⑴①见解析；②齐.皿=S&EFD+SAEFC

⑵就ABC+SwC=S^EFD

⑶5或17

【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定

【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角

形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。

(1)①连接CD,即可证明三△CF£)；②根据△ZED三△CFD,看图即可得出结论；

(2)连接CD,即同(1)可证明三△CED,根据三△CED看图即可得出结论；

(3)根据(1),(2)中的结论，代入求解即可。

【详解】(1)证明：①如图，连接8

在中，4C=BC,。为N8边的中点,

.■.CD1AB,ZA=ZB=45°,

.-.ZA=ZACD=45°,

△4DC是等腰直角三角形，

AD=CD,

・••ZDCF=ZA=45°f

•・•ZEDF=90°,

•-ZEDC+ZCDF=90°f

•・,ZADE+ZEDC=90。,

NADE=/CDF,

'=ZDCF

在△/£)石和△CD尸中，<AD=CD

ZADE=/CDF

.-.AAED^CFD(ASA).

②SAED三ACFD,

S&AED=S^CFD，

根据图中所示，

S—c_|_v

Q"z)c-3EFD丁Q^EFC>

为边的中点，

.c_J_v

,，kJ^ADC~2"BC'

2S^ABC=S^EFD+S&EFC­

(2)解：如图，连接CO

在Rt445C中，AC=BC,。为边的中点,

.♦.CDLAB,/CAD=/B=45°,

.-.ZCAD=ZACD=45°f

・•・△4DC是等腰直角三角形，

/.AD=CD,

；•/ACD=/BCD=45°,

.-.180°-ZACD=180°-/BCD,

即/EAD=/FDC,

•・•ZEDF=90°,

，/ADF+/EDA=90°,

-ZADF+ZFDC=90°f

/EDA=NFDC,

ZEAD=ZFCD

在E和△C。尸中，<AD=CD,

/EDA=ZFDC

"EQ丝△CFO(ASA).

■:△AED-CFD,

S&AED=SKFD/

根据图中所示，

CC_V

□"CD丁3EFC-n&EFD>

・・・。为边的中点，

.C—J_V

,•°A^Z>C-2"BC'

3S"BC+S^EFC=SAEFD•

(3)如(1)中结论，

vAC=6,AE=2,

1?19

.A.AHL.—2ZC=—2x6=18,"

S囱c=：C尸.CE=g/E"C_/£)=；x2x(6-2)=4,

..J_C—CIc

,24BC一口AEFDTDAEFCt

•••S△诙=；S“3C—SAEFC=；xl8-4=5.

②如(2)中结论，

vAC-6,AE=2,

11

**,ARCAC7=—x69=18,

SEFC=gcFCE=；/£，(/C+/E)=gx2x(6+2)=8,

..J_C_1_V—V

,2"BCT°AEFC一口AEFD/

S△Ljt1LJ——SARr+SPPr——x18+8=17

【变式训练】

1.（23-24八年级上,江苏宿迁,期中）如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论.

(1)已知AB=AC,Z1=Z2,贝！J；

(2)已知/2=/C,BD=DC,贝I]:

(3)已知刃C,AD1BC,贝U.

【答案】BD=CD,ADIBCZ1=Z2,ADYBCBD=CD,Z1=Z2

【知识点】三线合一

【分析】本题主要考查了三线合一定理：

(1)由等腰三角形的性质"三线合一"可求解；

(2)由等腰三角形的性质"三线合一"可求解；

(3)由等腰三角形的性质"三线合一"可求解.

【详解】解：(1)-：AB=AC,Zl=Z2,,

BD=CD,AD±BC,

故答案为：BD=CD,ADIBC；

(2)■：AB=AC,BD=DC,

：.Z1=Z2,ADLBC,

故答案为：Z1=Z2,AD±BC；

(3)■.-AB=AC,ADIBC,

：.BD=CD,Z1=Z2,

故答案为：BD=CD,Z1=Z2.

3.(2024八年级上•全国•专题练习)如图，在△NBC中，AB=AC,NB4c=120°,。为3c的中点，DE±AC

于点E,AE=\,求CE的长.

【答案】CE=3.

【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、三线合一

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含30。的特殊直角三角形的性质.连接力。，利用等边

对等角得N8=NC=30。，在RtA/OE中，得40=16,在RtANDC中，得/C=4,即可求出CE的长，熟练

运用三线合一的性质是解题的关键.

【详解】解：连接

A

BDC

VAB=AC,ZBAC=120°,。为5C的中点，

/.ADIBC,/Z）平分/5/C,ZB=ZC=30°,

・•.ADAC=-ZBAC=60°,

2

•••DE1AC,

・•.AAED=90°,

/./ADE=30°,

在RtaZDE中，4E=1,ZADE=30°,

•**AD=2AE=2,

在RtMOC中，AD=2,ZC=30°,

：.AC=2AD=4,

.\CE=AC-AE=4-1=3.

4.（24-25八年级上•四川绵阳,期中）如图，A4?C是等腰直角三角形，AB=AC,。为斜边3c的中点，E,

尸分别为“8/C边上的点，且。E_LZ）F.若BE=5,CF=12.求E尸的长.

【答案】EF=13

【知识点】全等的性质和ASL4(AAS)综合(/S4或者44S)、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形

【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与

判定是解题的关键；连接4。，根据等腰直角三角形的性质，易证AE£%经AFZJC,得到NE=CF=12,得

到4F=BE=5,然后利用勾股定理，即可求出

【详解】解：如图，连接4D.

B

AB=AC,ABAC=90°,BD=DC,

.•・AD1BC.AD=BD=DC,/BAD=ZC=45°,

♦；DE1DF,

/.ZEDF=ZADC=90°,

；"ADE=/FDC,

丝△尸。C（ASA）,

/.AE=CF=\2,

vAB=AC,

BE=AF=5,

EF=y/AE2-AF2=A/122+52=13・

5.（24-25八年级上•福建厦门•期中）如图，在△NBC中，AB=AC,ZBAC=120°,点P为8c边的中点,

尸D14C于点。.

⑴求NC的度数；

⑵求证：CD=3AD.

【答案】⑴30。

⑵见解析

【知识点】三线合一、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、等边对等角

【分析】本题考查等边对等角，三线合一，含30度角的直角三角形的性质：

(1)根据等边对等角，利用三角形内角和定理进行求解即可；

(2)连接的，根据三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可。

【详解】⑴解:-.■AB=AC,ZBAC=nO°,

ZC=Z5=1(180°-ZA)=30°；

(2)证明：连接加，则/P15C,

由(1)知，ZC=30°.

•••PDVAC,

.■.ZCPD+ZC=90°,

又•••//F£)+/CPD=90°,

ZAPD=ZC=30°,

,-.AP=2AD,AC=2AP,

AC=4AD,

；.CD=AC-AD=44D-AD=34D,

即CD=3AD.

6.(24-25八年级上,江苏泰州,期中)如图，在△4BC中，NA4c=90。,/8=/(7,点。是8c的中点，点E

在A4的延长线上，点尸在4c的延长线上，ED工DF.

⑴求证：AE=CF；

⑵连接E尸，若N8=4,B=2,求的值.

【答案】⑴见解析

(2)40

【知识点】根据三线合一证明、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、全等的性质和"S综合

(&4S)

【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质：

(1)连接/D,根据题意可得NDCF=135。，再由等腰三角形的性质可得N/OC=90。，从而得到

NDAE=ZDCF,再由包＞_L。尸，可得NEDA=NFDC,可证明IxADEQACDF,即可求证；

(2)在RtZ\E4尸中，利用勾股定理解答，即可求解.

【详解】(1)证明：如图，连接40,

E

ZBAC=90°,AB=AC,

；,NB=ZACB=45。,

/.ZDCF=135°,

•・,点。是5C的中点，

/.ADIBC,即N4DC=90。，

.'.ZCAD=ZACD=45°f

/.AD=CD,ZDAE=135%

；./DAE=/DCF,

•••EDLDF,

"EDF=/ADC=9。。,

/EDA=NFDC,

在△AOE和△C。尸中，

vZEDA=ZFDC9AD=CD,/DAE=/DCF,

.”ADE%CDF（SAS）,

AE=CF；

（2）解：由（1）得：AB=AC=4,AE=CF=2,

AF=AC+CF=6,

•••ABAC=90°,

/.ZEAF=9Q°,

在RtA"厂中，EF2=AE2+AF2=22+62=40.

7.（23-24八年级上•浙江杭州•期中）如图，△45。是等腰直角三角形，ZC=90°f。是的中点,

DELDF,点E,尸在4C,BC±.

y-j.*-*

F

⑴求证：DE=DF.

⑵连接"，则8尸、AE、斯之间有什么数量关系？请说明理由.

【答案】⑴见解析

(2)BF2+AE2=EF2,理由见解析

【知识点】全等的性质和S/S综合(MS)、等边对等角、用勾股定理解三角形

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，证得

△CDE三^BDF成为解题的关键.

(1)如图：连接8,根据等腰直角三角形的性质可得乙4=N2=45。，进而证明△(7£>£三△6。尸，最后

根据全等三角形的性质即可证明结论；

(2)由全等三角形的性质可得CE=3尸，进而得到4E=W；由勾股定理可得(7炉+0尸=£尸，最后根据

等量代换即可解答.

【详解】(1)证明：如图：连接8,

・・•△/2C是等腰直角三角形，ZACB=90°,

AC=BC,

.•.//=/8=45°,

•.•0是48的中点,

:.CD上AB,ZACD=ZBCD=-ZACB=45°,CD=BD=AD=-AB,

22

/.ZECD=ZB,/BCD=90。,

•：DE1DF,

ZEDF=90°,

ZCDE=/BDF=90°-ZCDF,

在△CD£和ABDF中,

ZCDE=/BDF

<CD=BD,

/ECD=NB

:./\CDE2/\BDF(ASA),

:.DE=DF.

(2)解：BF2+AE2=EF2,理由如下:

•・♦△CDEQABDF,

/.CE=BF,

:.AC-CE=BC-BF,

AE=CF,

■：CE2+CF2=EF2,

：,BF2+AE2=EF2.

8.（23-24七年级下•山东•期末）【探究1】

图①图②图③

如图①，在△48C中，AB=AC,4D是中线，若NC=72。，则/胡。的度数为°；

【探究2】

如图②，在△48C和△/£1尸中，AB=AC,AE=AF,AD,/G分别为a/BC和△/班的中线，若

ZBAF=no°,NCAE=16°,则ZD/G的度数为-°；

【探究3】

如图③，在△42C和中，AB=AC,AB=AE,AD,4F分别为△4BC和的中线，AD与BE

交于点。，若NAOF=17°,则，。的度数为°.

【答案】【探究1】18；【探究2】63；【探究3】26

【知识点】三角形内角和定理的应用、三线合一

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三线合一性质，

［探究1］根据等腰三角形的性质得48=/C,由三角形内角和定理求得NR4C,利用"三线合一"性质即可求

得答案；

［探究2］由等腰三角形的性质和三线合一性质得NDAC=|NA4c和ZEAG=|ZEAF,结合角度之间的关系

即可求得答案；

［探究3］由等腰三角形的性质和三线合一性质得N84D=NC4D和ZBAF=ZEAF,结合三角形内角和定理得

ZDAF和Z0DB,再次结合三角形内角和定理得到NCAE=2ZOBD即可求得答案.

【详解】解：［探究ir.Y2=4c,

ZS=ZC=72°,

ABAC=1800-Z5-ZC=36°,

是中线，则40是/2/C的角平分线

.-.ZBAD=-ZBAC=1S°,

2

故答案为：18.

［探究2］＜4B=/C,AE=AF,AD./G分别为△4BC和△/£1厂的中线，

ZDAC=-ABAC,AEAG=-NEAF,

22

ZDAC+ZEAG=^(ZBAF-ZCAE)

=1x(110°-16o)=47°,

ZDAG=ZDAC+NEAG+ZCAE

=47°+16°

=63°；

故答案为：63.

[探究3]r/2=/C,AB=AE,

△4BC和“BE是等腰三角形，

■■AD、AF分别为AABC和“ABE的中线，

；.NBAD=NCAD,ZBAF=ZEAF,ABDA=ABFA=90°,

•••AAOF=NBOD=77°,

.­.ZDT1F=90°-77°=13°,

NODB=13°,

又/BAE=180°-2ZABE,ABAC=180°-2NABC,

ZCAE=ZBAE-ABAC=180°-2NABE-(180°-2/ABC)=2(NABC-AABE)=2NOBD,

ZCAE=2NOBD=2xl3°=26°.

故答案为：26.

9.（24-25八年级上•江苏苏州•阶段练习）如图，已知锐角中，CD、BE分别是边48、NC上的高,

M、N分别是线段。£、3C的中点.

⑴求证：MNLDE■,

⑵连接DN、EN,猜想-4与NDVE之间的关系，并说明理由.

【答案】⑴见解析

⑵/DA"=180。-244,理由见解析

【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三

角形的内角和定理，

（1）连接DN、NE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得。N=；8C,NE=；BC,从而得

到DN=NE,再根据等腰三角形三线合一的性质证明；

（2）根据三角形的内角和定理可得//3。+//尊=180。-44,再根据等腰三角形两底角相等表示出

ZBND+ZCNE,然后根据平角等于180。表示出NCWE,整理即可得解；

【详解】（1）证明：如图，连接ZM/、ME,

：CD、8E分别是4B、/C边上的高，”是8c的中点，

.-.DN=-BC,NE=-BC,

22

DN=NE

又为DE中点，

:.MNVDE；

(2)解：在ZUSC中，ZABC+ZACB^1SO0-ZA,

•：DN=NE=BN=NC,

ZBND+ZCNE=(1SO°-2ZABC)+(1SO°-2ZACB)

=360°-2(ZASC+ZACB)

=360°-2(180°-//)

=2ZA

:.NDNE=18Q0-2ZA；

10.(23-24七年级下•四川成都•阶段练习)在RtZ^/BC中，AB=AC,5=45。且4DE尸的顶点E在边

2c上移动，在移动过程中，边DE,E尸分别与48,/C交于点M,N,

/D

AjAM)

⑴当8£=CN且M与4重合时，求证：AABE%4ECN

⑵当£为8c中点时，连接MN,求证：NC=AM+MN

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、根据三线合一证明

【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，

（1）根据等腰直角三角形的性质可得N/2E=NECN=45。，利用三角形外角的性质与等量代换可得

/BAE=/CEN,在根据全等三角形的判定即可证明；

（2）连接4E,在ZC上截取/M=CG,根据等腰直角三角形的性质可得/E=EC,

ZMAE=ZCAE=ZACE=45°,证得A/Affi^ACGE（&4S）,可得Affi=GE,ZMEA=ZGEC,利用等量代

换可得NMEN=NGEN=45。，证得丝AGEN（"S）,可得MN=GN,即可得证.

【详解】（1）证明：•••48=/C,ZBAC=90°,

/.NABE=ZECN=45°,

ZAEC=ZAEN+ZCEN=45°+ZCEN,

又•••NAEC=NABE+NBAE=45°+ZBAE,

ZBAE=ZCEN,

又;BE=CN,

；.AABEAECN（AAS）；

（2）证明：连接/E,在/C上截取/M=CG,

AB=AC,ABAC=90°,E为3C中点，

.-.AE1.BC,AE=EC,

ZMAE=NCAE=NACE=45°,

在△/ME和ACGE中，

'AM=CG

<ZMAE=ZGCE,

AE=CE

：.AAME知CGE（SAS）,

.-.ME=GE,ZMEA=ZGEC,

■：ZAEG+ZGEC=90°,

；"MEA+NAEG=90°,即NAffiG=90。，

•••ZDEF=45°,

:.NMEN=NGEN=45。,

又•：NE=NE,ME=GE,

：.AMENaGEN（SAS）,

：.MN=GN,

■：CN=CG+GN,

：.CN=AM+MN.

【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】

例题：（2023上•福建厦门•八年级厦门一中校考期中）如图，已知405=60。，点P在边。/上，。尸=12,

点、M、N在边上，PM=PN,若（W=5,求MV的长.

dMNB

【答案】2

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含30。角的直角三角形的性质.作尸。，。8交03于C,由等腰三

角形的性质可得C"=CN,由含30。角的直角三角形的性质得出OC=；OP=6,计算出CM即可得到答

案.熟练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中30。所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键.

【详解】解：如图，作尸交。8于C,

•••PM=PN,PCOB,

CM=CN,

在“ZPC中，APCO=90°,ZPOC=30°,。尸=12,

OC=-OP=6,

2

,;0M=5,

CM=OC-OM=6-5=1,

:.CN=CM=\,

:.MN=CM+CN=1+1=2.

【变式训练】

1.（23-24八年级上•吉林•阶段练习）有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120。，腰长为

12m,则底边上的高是m.

A

【答案】6

【知识点】三线合一、含30度角的直角三角形、等边对等角

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等.作

4D上BC于点D,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得NB=NC=1（18O0-Z5/1C）=30°,再根

据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：如图，作4D18C于点。，

ZB=NC=；（180。-ABAC）=30°,

又；AD1BC,

.•./O=；AB=；xl2=6（m）,

故答案为：6.

2.（22-23九年级上•四川成都•阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=6,。为/C上一点，连接AD,

且3。=5c=4,则。C为.

A

【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一

【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，

属于中考常考题型.作于E.设EC=DE=x,则有：BE2=AB2-AE2=BC2-EC2,由此构建方程

求出x即可解决问题.

【详解】解:如图，作于E.

EC=DE,设EC=DE=x,

贝府BE2=AB2-AE2=BC2-EC2,

62=42—x2,

4

解得：x=g,

Q

:.CD=2EC=-,

3

故答案为：|.

3.（24-25八年级上•重庆长寿•阶段练习）如图，已知A8=/C=OC=OE=3,44+/。=180。，△4BC与

ACDE的面积和为10,则BE的平方=.

【答案】76

【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、全等的性质和N&4(AAS)综合G4&4或者44S)

【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

作DKVCE,证明也A/AD,推出N〃=CK,CH=DK,设4H=CK=x,

CH=DK=y,利用完全平方公式求出x+了，可得结论.

【详解】解：如图，过点/作5c于点〃，过点。作。KLCE于点K.

2222

•••ZBAC+NCDE=180°,

:.NC4H+NCDK=90。.

ZCAH+ZACH=90°,

：.ZACH=ZCDK,

又：NC=CD,NAHC=ZCKD=90°,

:.AAHC知CKD（AAS）,

AH=CK,CH=DK,

设AH=CK=x,CH=DK=y,

BC=1y,CE=1x.

与ACAE的面积和为10,

即gBC///+：C£\DK=gx2a+；x2a=10,中=5,

在Rtacz>K中，魔+云=R,

即X2+「=9,

:.x+y=^x2+2xy+y2=V19,

.­.BE=BC+CE=2（CH+CK）=2（x+j）=2719,

BE2=76.

故答案为：76.

4.（23-24九年级下,四川遂宁,阶段练习）如图，等腰三角形ZUBC中，AB=AC=5,BC=8,点尸是底边

8c上一动点，PD、PE分别与4B、/C两边垂直，垂足分别为。、E,则PD+PE的值为.

A

E

D//\

BPC

24

【答案】y

【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一

【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，根据题意画出图形，然后过/点作/尸」8c于尸，连

接/尸，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得/尸的长，由图形得S-BC=S-BP+SMCP代入数值，

解答出即可.

【详解】如图所示，过/点作/尸18c于尸，连接矛，

BF=-BC=4,

2

.•.在Vi^ABF中，”=yjAB2-BF2=3，

-S^ABC=S^ABP+S^ACP=-x8x3=-x5xPr>+—X5XPE1,

即12=；x5x（尸Q+P£）

24

；.PD+PE=——

5

24

故答案为：—.

5.（23-24八年级上•浙江宁波,期末）⑴如图1所示，在△4BC中，ZD=20°,ZABC=50°,

NCBD=1。。,求证/5=CD.

（2）如图2所示，在△/8C中，ZA=100°,ZACB=30°,延长NC至。使CD=/8,求NCDB.

AA

cc

B^==^-----------------------DB^===^-----------------------D

图1图2

【答案】（1）见解析；（2）20°

【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、根据三线合一证明

【分析】（1）作/8CE=10°交于£,过点5作AF2/C交C/的延长线于尸，过点£作由

题意得8E=CE和/DEC=20。，利用等角对等边可得CE=DC,利用三线合一的性质得CH=8〃，结合含

30。角的直角三角形性质得8尸=8〃=S,可证明尸2AEC//,即可证得结论；

（2）在/C上取/E=4E,连接BE,作/月平分/A4C,交BE于H,交5c于尸，根据题意得

ZABF=ZBAF=50°,利用等腰三角形两腰上的高相等得NG=,结合含30。角的直角三角形性质得

AC=BE,由题意得NC=DE,即可求得乙4匹=40。，即可求得答案.

【详解】解：（1）作/BCE=10。交8c于E,过点5作AF//C交C/的延长线于尸，过点E作EHJ.BC,

如图，

VZBCE=10°,ZCBD=10°,

BE=CE,ZDEC=20°,

■;ND=20°,

CE=DC,

-：EH±BC,

：.CH=BH,

;/ACB=NCBD+ND=30°,BF1AC,ZL45c=50°,

BF=BH=CH,/4BF=10°,

ZAFB=ZEHC=90°

在44BF和AECH中，＜NABF=ZECH=10。

BF=CH

:.AABFAECH（AAS）,

AB=EC,

AB=CD.

（2）在4C上取=连接成，作4方平分NA4C,交BE于H,交BC于F,如图,

•.•4F平分/A4C,ABAC=100°,

:"BAH=/EAH=50。,BH±AF,

•・・N/Cg=30。，

:./ABF=/BAF=50。,

即4/8尸是等腰三角形，

作ZGL5C,则=（等腰三角形两腰上的高相等），

ZACB=30°,

/.2AG=AC,

・/2BH=BE,

・•.AC=BE,

vCD=AB=AEf

.・.AC=DE,

:.AC=BE=DE,

•••NAEB=1（180°-/BAE）=40°,

ND=20°,

【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三线合一的性质、全等三角形的判定和性质和含30。角的

直角三角形性质，解题的关键是添加辅助线并找到对应边角之间的关系.

6.（22-23八年级上•湖北武汉•期中）如图，点。，E在△48C的边5c上，AB=AC,AD=AE.

⑴如图1,求证：BD=CE；

⑵如图2,当4D=CD时，过点C作于点M,如果。河=2,求CD-AD的值.

【答案】⑴见解析

（2）4

【知识点】全等的性质和/SN（AAS）综合（NSN或者44S）、根据三线合一证明

【分析】（1）过A作/41BC于点根据三线合一可得：BH=CH,DH=EH,即可证明;

(2)过A作于点H,易证也△CMC,可得地=。〃，即可求解.

【详解】(1)证明：如图过A作3c于点〃，

VAB=AC,AH1BC,

:.BH=CH,

vAD=AE,

：.DH=EH,

；,BD=CE；

(2)解：过A作4"18c于点

A

ZCDM=ZADH

<ZCMD=ZAHD=90°

CD=AD

.-.^AHD^CMD(AAS),

DH=MD,

CD-BD=(CH+DH)-(BH-DH)=2DH=2MD=4.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质"三线合一"，熟练掌握全等三角形的判定

方法是解题的关键.

7.(24-25八年级上•辽宁大连•期中)如图，在等边△4BC中，点。在8C边上，点E在NC延长线上，且

AD=ED.

⑴求证：/BAD=/CDE；

⑵若等边△N5C的边长为6,8。=2,求的长；

⑶求证：BD=CE；

⑷如图，当点。在C2的延长线上，点E在C/延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立?

若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【答案】⑴见解析

（2）AE=8

⑶见解析

⑷（3）中的结论仍然成立，证明见解析

【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、三线合一、含30度角的直角三角形

【分析】（1）根据等边三角形的性质，等边对等角，结合三角形的外角，即可得出结论；

（2）过。作。尸，NE于尸，利用等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，以及三线合一，进

行求解即可；

（3）过。作。“〃/C交48于点“，易得AADM是等边三角形，得到证明泾ADCE,

得到。Af=CE,等量代换即可得出结论；

（4）过。作ZW〃/。交的延长线于N,证明是等边三角形，得到3D=DN,证明

AAND沿ADCE,得到DN=CE,等量代换即可得出结论.

【详解】（1）证明：•・•△/3C是等边三角形，

ABAC=ZACB=60°,

•：AD=ED,

ZDAE=ZE,

ZBAC=ZBAD+ZDAE,ZACBZCDE+ZE,

ABAD=NCDE；

（2）如图，过。作DF_!_/£■于尸，

AD=DE,

AF=EF=-AE.

2

•••等边△48C的边长为6,

BC=AC=6,

BD=2,

:.CD=BC-BD=6—2=4,

•・•ZDCF=60°,

ZCDF=30°,

:.CF=-CD=-x4=2,

22

AF=AC-CF=6-2=4.

/.AE=2AF=8；

A

(3)证明：如图2,过。作功〃〃力。交于点

ZBMD=ABAC=60°,

又・・・NB=60。,

是等边三角形.

/.BD=MD,

•・•ZBMD=60°,

：.AAMD=nO0,

又•.•NZC5=60。，

:.ADCE=nO0,

ZAMD=NDCE.

由(1)得，NBAD=/CDE,

又YAD=ED.

「.△/MD四△QCE(AAS).

:.MD=CE.

•・・BD=MD,

BD=CE；

A

（4）（3）中的结论仍然成立.证明如下：

如图，过。作QN〃/C交45的延长线于N,则/N=/A4C=60。,

.•.△BDN是等边三角形.

BD=DN,AN=60°.

•「DA=DE,

NE=ZDAE,

/DAE+ZDAB+NBAC=180。，

・•.ZDAE+NDAB=120。，

•・•NE+ZEDC+NC=180。，

.•・/E+/£DC=120。，

:"DAB=/EDC.

又・.・NN=NC,AD=DE,

：AAND%DCE（AAS）,

:.DN=CE.

•：BD=DN.

:.BD=CE.

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等边对等角，三线合一，含30度角的直角三角形，全等三角

形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和等边三角形，是解题的关键.

8.在中，AB=AC,过点C作射线C9,使44C夕=NZCB（点玄与点B在直线/C的异侧）点、D

是射线。夕上一动点（不与点。重合），点E在线段上，且NZM£+N4CQ=90。.

'B'IB1

AA

D

C(£)C

ffll图2

⑴如图1,当点E与点C重合时，4。与C8'的位置关系是_,若BC=a，则CD的长为_；（用含a的式子

表示）

⑵如图2,当点£与点C不重合时，连接。£.

①用等式表示/A4C与NZME之间的数量关系，并证明；

②用等式表示线段班，CD,OE之间的数量关系，并证明.

【答案】⑴互相垂直；|a

⑵①NB4C=2ND4E,证明见解析；@BE=CD+DE,证明见解析

【知识点】全等的性质和S4S综合（MS）、全等的性质和（AAS）综合（4X4或者44S）、根据三线合

一证明

【分析】（1）根据三角形内角和定理可得4D与C9的位置关系是互相垂直，过点/作//L8C于点“，根

据等腰三角形性质得到。屈=8河=；8。=9,利用AAS证明根据全等三角形性质即可

得出CD=C”=；a；

（2）当点£与点C不重合时，①过点/作于点M、AN1CB，干武N,利用AAS证明

△ACD^ACM,根据全等三角形性质即可得到ABAC=2ZDAE；

②在8C上截取8尸=5,连接//，利用SAS证明△NB尸也△NC。，根据全等三角形性质得到4F=40,

NBAF=ACAD,根据角的和差得到AFAE=NDAE,再利用SAS证明AFAEGDAE,根据全等三角形性

质及线段和差即可得到BE=CD+DE.

【详解】（1）解：当点E与点C重合时，NDAE=NDAC,

•••ZDAE+ZACD=90°,

・•.ZDAC+ZACD=90°f

/.ZADC=90°,

.・.AD1CB',

即AD与CB'的位置关系是互相垂直，

若BC=a,过点4作NMLBC于点跖如图:

B

A

则/AMC=90°=/ADC,

vAB=AC,

:.CM=BM=—BC=—a,

22

在“CO与△/CM中，

AADC=ZAMC

<ZACD=AACM

AC=AC

^ACD^AACM(AAS),

CD=CM=-a,

2

即CD的长为,

2

故答案为：互相垂直；

2

(2)解：①当点£与点C不重合时，用等式表示，"C与ND4E之间的数量关系是：NBAC=2NDAE,

证明如下：

过点/作4Af_LBC于点M、AN1CB'于点、N,如图：

则ZAMC=NANC=90°,

:./CAN+ZACB'=90°,

■：ZDAE+ZACD=90°,

即ZD/E+//C3'=90°,

ZDAE=ZCAN,

•••AB=AC,AMLBC,

：.ABAC=2ZCAM=2ZBAM,

在.44CN与AACM中，

ZANC=NAMC

<ZACN=ZACM,

AC=AC

.•.△4CN%/CM（AAS）,

・•.ZCAN=ZCAM,

・•.ABAC=2ZCAM=2ZCAN=2ZDAE；

②用等式表示线段成，CD,。石之间的量关系是：BE=CD+DE,证明如下:

在3C上截取=连接4月，如图：

.・./B=ZACB,

•・•NACB'=ZACB,

.・./B=/ACB'=ZACD,

在尸和△/CD中，

AB=AC

</B=/CD,

BF=CD

AABF^AACD（SAS）f

:.AF=AD,ZBAF=ACAD,

NBAF+/CAE=/CAD+/CAE=/DAE,

由①知：/BAC=2/DAE,

即=

/.ABAF+ZCAE=-NBAC,

2

ZFAE=ABAC-1/BAF+ZCAE）=|ABAC,

ZFAE=/DAE,

在^FAE和2AE中，

AF=AD

<ZFAE=/DAE,

AE=AE

.•.A"E&AD/E（SAS）,

・•.FE=DE,

:.BE=FE+BF=CD+DE.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、

垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关

键.

【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】

模型解析：：如图，AABC中X。平分48人6人口_186由“4^”易得△ABD三△ACD,从而得

AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.

例题：（24-25八年级上•广东肇庆•期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如

图1,OP平■分NMON.点A为。“上一点，过点A作/CLOP,垂足为C,延长/C交CW于点8,求证:

AAOC^ABOC.

（2）【问题探究】如图2,在（1）的条件下，过点A作4DLON,垂足为交。尸于点£.若

AD=OD,试探究/C和OE的数量关系，并证明你的结论.

（3）【拓展延伸】如图3,ZUBC中，48=",/氏4。=90。，点。在线段如上，且/8。£=」乙4口,8£，。£

2

于E,DE交AB于F,试探究班和。尸之间的数量关系，并证明你的结论.

图1图2图3

【答案】（1）见解析；（2）OE=24C,见解析；（3）BE^DF-见解析

2

【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定

【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识,

（1）根据"ASA"证明△/OC^ABOC即可得出结论；

（2）先证/8OC=/D/2,再证△DOE也△D/3得出=,进而即可得解；

(3)如图：过点。作。G〃/C,交成的延长线于点G,与4歹相交于X,证出△3GH丝△。方H和

△BDE知GDE,然后进行线段的等量代换即可得解；

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

【详解】(1)在△ZOC和小OC中，

ZAOC=ZBOC

<OC=OC,

ZOCA=ZOCB=90°

.•.△40。名△5OC(ASA)；

(2)0E=2AC,理由如下：

由(1)得，△/OC也△3OC,

：.AC=BC,BPAB=2AC,

•・•NBC0=NADB=9。。,

ZBOC+ZOBC=/DAB+ZOBC=90°,

/./BOC=/DAB,

在gOE和△D/5中，

ZDOE=/DAB

<OD=AD,

NODE=/ADB=90°

也△ZUB(ASA),

OE=AB,

:.OE=2AC；

(3)BE=；DF.理由如下：

如图：过点。作0G〃4C,交8E的延长线于点G,与4尸相交于a,

ZGDB=ZC,ABHD=NA=90°,

■：ZBDE=-ZACB,

2

ZEDB=ZEDG=-ZACB,

2

•;BELED,

/BED=90°,

/BED=/BHD,

•/ZEFB=ZHFD,

:.ZEBF=ZHDF,

'：AB=AC,ABAC=90°,

/.ZC=/ABC=45°,

•・•DG|HC,

:"GDB=/C=45。,

:"GDB=/ABC=45。,

:.BH=DH,

在△5GW和aFH中,

AHBG=ZHDF

<BH=DH,

/BHG=/DHF=90°

:.ABGH^Z\DFH(ASA),

/.BG=DF,

在/\BDE和AGDE中，

ZBDE=ZGDE

<DE=DE

/BED=/GED=9。。

.-.△5D^AGDE(ASA),

:.BE=EG,即=

:.BE=-BG=-DF.

22

【变式训练】

1.（23-24七年级下•陕西西安•期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，"平分

NMON.点A为。河上一点，过点A作/CLOP,垂足为C,延长4。交ON于点3,可证得

则AC=BC.

图④

【问题提出】

（1）如图②，在△N8