解题技巧：巧用幂的运算法则（5类热点题型）解析版-2024-2025学年北师大版七年级数学下册

巧用塞的运算法则解题技巧(5类热点题型)

目录

【考点一逆用哥的相关公式求值】...........................................................1

【考点二先化为同底数，再灵活运用塞的公式计算】..........................................4

【考点三利用塞的逆运算简便运算】.........................................................6

【考点四利用累的运算比较大小】..........................................................12

【考点五与幕的运算有关的新定义型问题】.................................................14

【考点一逆用募的相关公式求值】

例题：(24-25八年级上•重庆万州•期中)解决下列有关哥的问题:

⑴若26=Q3=4",求Q+6值；

⑵若〃为正整数，且X2"=2,求国3")2-的值.

【答案】⑴7

(2)32

【知识点】积的乘方的逆用、哥的乘方的逆用

【分析】本题考查幕的乘方以及积的乘方，

(1)根据幕的乘方法则进行计算即可；

(2)根据幕的乘方、积的乘方进行计算即可.

【详解】(1)解：•••26="=4",

.*.(22)3=6z3,26=22b，

a=22=4,2b=6,

；.b=3,

••・a+b=4+3=7；

(2)解：・・・”=2,

”(3针丫一101广

=9(X2")3-10(X2")2

=9X23-10X22

=9x8-10x4

=32.

【变式训练】

1.(23-24八年级上•广东湛江・期末)(1)已知2,=6,2y=3,求2*4的值.

(2)已知1(T=5,10"=2,10P=4,求吁+2»p的值.

【答案】(1)54；(2)125

【知识点】同底数幕除法的逆用、塞的乘方运算、同底数幕乘法的逆用

【分析】本题考查幕的运算法则.

(1)逆用同底数累相乘以及累的乘方即可解答；

(2)运用同底数幕的乘除法则以及黑的乘方即可解答.

【详解】解：(1)-2X=6,2〉=3,

原式=2*-(2>)2=6-3?=6x9=54；

(2)•■•iom=5,10"=2,10"=4,

原式=(1(T。(10"7+10。=5r22+4=125.

2.(23-24七年级下•江苏泰州•阶段练习)①若一=2,求(2钟)2一(3/)2的值.

②已知x=-5,y=1,求/・铲'・⑶向A的值.

【答案】①14；@1.

【知识点】积的乘方的逆用、募的乘方的逆用

【分析】本题考查了积的乘方与嘉的乘方，熟练掌握嘉的混合运算是解题的关键.

①根据积的乘方与幕的乘方，进行计算即可求解；②根据积的乘方与幕的乘方，进行计算即可求解;

【详解】解：①(2针)2_(3/)2

=4(铲)3_9”，

当一=2时，原式=4x23-9x2=32-18=14；

=x2-x2n-y2n-y2

=3)2.(孙)2"

二(/孙\2+2)n，

1(i、2+2〃

当x=-5,y=时，原式=-5x(=(-i)2+2n,

•••2+2〃为偶数，

原式=1.

3.(23-24八年级上•福建莆田•期中)(1)已知2泡=%32"=*=瓦加、”为正整数，求233^的值;

(2)己知2"=3,4〃=5,8。=7,求8雌出的值.

【答案】(1)空;(2)襄

4125

【知识点】同底数幕除法的逆用、同底数暴乘法的逆用

【分析】(1)逆向运用同底数幕的乘除法法则以及利用塞的乘方运算法则计算即可；

(2)逆向运用同底数幕的乘除法法则以及利用塞的乘方运算法则计算即可；

【详解】(1)解:•••2"=凡32"=25"=上加、"为正整数，

.>2^m+10n-2

=(2"yd"

=03.3+4

_a3b2_

=丁；

(2)-.-2°=3,4Z，=22A=5,8f=23f=7,

=(2"丫◎匕邛了

=33X74-53

=27x7+125

189

一茂；

【点睛】本题考查了同底数幕的乘除法以及塞的乘方，掌握幕的运算法则是解答本题的关键.

4.(23-24七年级下•全国•课后作业)1)已知a"=2,心=3.求①/广的值；

(2)已知59=。，95=b.用a,6表示4545的值；

(3)己知力为正整数，且无2'=7.求(3/丫_13卜2r的值.

59

【答案】(1)5184；(2)ab;(3)2450

【知识点】积的乘方的逆用、幕的乘方的逆用

【分析】本题考查了积的乘方法则与塞的乘方法则的逆用.

(1)逆用积的乘方法则，即(。6)"=。"少(其中〃为正整数)，则问题解决;

(2)逆用积的乘方法则和幕的乘方，即(a»"=优"、am-=(am)"=(an)m(其中小〃均为正整数)，则问

题解决；

（3）逆用积的乘方和嘉的乘方法则，即（"）"=优£:amn={a"y=（any,其中加、〃均为正整数，则问

题解决.

【详解】解：（1）a"=2,户=3,

'=产/="丫仅2"『=26:34=5184；

（2）va5=（59）5=545,/=伊）9二乡，，，

4545=（5x9）45=545x945=a5b9；

⑶•.•一=7,

・・・（3/y-131r

=9/-13/

=9（X2"）3-13（X2"）2

=9X73-13X72

=2450.

【考点二先化为同底数，再灵活运用幕的公式计算】

例题：(24-25八年级上•福建厦门,期中)若暧=优(。＞0且awl,加、〃是正整数)，则机=".利用上面的结

论解决下面的问题：

⑴如果2x4"x8'=2与，求x的值；

⑵如果3"2.6。+2=18?”,求a的值.

【答案】⑴x=4

⑵a=6

【知识点】同底数塞相乘、积的乘方的逆用、塞的乘方的逆用

【分析】本题考查幕的运算，熟练掌握累的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键：

(1)先将等式左边化为底数为2的同底数哥的运算，根据题干给的结论得到关于x的方程，进行求解即可;

(2)逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可.

【详解】(1)解：v2x4xx8x=221,

.­■2X22A'X23X=221,

.21+2X+3X_221

l+2x+3x=21,

x=4；

（2）v3a+2.6a+2=182fl-4

.-.(3x6)a+2=182a-4,

••-18fl+2=182^4,

a+2=2a—4,

a=6.

【变式训练】

1.(23-24六年级下•山东济宁・期中)(1)已知""=3,"=2,求个-2"的值.

(2)已知2x4加xl6=32,求x的值.

27

【答案】(1)—；(2)x=-l

4

【知识点】幕的乘方的逆用、同底数幕除法的逆用、同底数幕乘法的逆用

【分析】本题考查的是同底数募的乘法的逆运，幕的乘方，同底数幕的除法的逆运，掌握运算法则是解本

题的关键；

(1)把/”-2"化为,加)3+(优)2,再整体代入计算即可；

(2)由2、4，+以16=32可得27+2，=25,可得7+2x=5,从而可得答案.

【详解】解：(1)a'"=3,屋=2,

.../叫-2“="叫十02"二卜加丫武优丁=33+22=?；

(2)V2X4X+1X16=32,

.•.2x(22p'x24=25,

•••2x22x+2x24=2\

21+2X=2s,

7+2x=5,

解得：x=-l.

2.(24-25八年级上•福建厦门•期中)(1)已知2"=50=1,求产源的值.

(2)若2x8，又16工=2汽求x的值.

(3)已知p=5‘，q=15,用含夕、0的式子表示35".

【答案】(1)40；(2)x=3；(3)pk

【知识点】同底数幕乘法的逆用、积的乘方的逆用

【分析】本题主要考查同底数易乘法与积的乘方及其逆用，熟练掌握同底数幕的乘法与积的乘方及其逆用

是解题的关键；

(1)由题意易得2。・2〃=2"〃=5,然后可代入进行求解；

(2)由题意易得2*23、2公=27m=2%则有加+1=22,然后问题可求解;

(3)由题意可知3535=(5x7)35=5汽735=(5,丫.(75)7,然后代入求解即可.

【详解】解：⑴•••2"=5,2~,

2a+b+i=2ax26x23=5x8=40；

（2）vZxS'xie'=2X23IX24%=27x+1=222,

7x+l=22,

解得：x=3；

（3）,:p=S,q=7',

3535=（5x7）35=535-735=（57）5-（75）7=pW.

3.（23-24七年级下•江苏连云港,期中）幕的运算性质在一定条件下具有可逆性，如优7/"=（9户，贝|

（ab）"，=”.（a、6为非负数、加为非负整数）请运用所学知识解答下列问题：

⑴已知：2-3.3工+3=36i,求x的值.

⑵已知:3x2x+1x4x+1=192,求x的值.

【答案】⑴7

（2）1

【知识点】募的乘方运算、积的乘方的逆用、同底数事相乘

【分析】本题主要考查了事的乘方、积的乘方的逆用、同底数幕的乘法，熟练掌握运算法则、正确计算是

解题的关键.

（1）利用幕的乘方、积的乘方的逆用变形，得到67=62（＞2）,即》+3=2（尤-2）,求解即可；

（2）利用幕的乘方、同底数幕的乘法法则变形，得到3（x+l）=6,求解即可.

【详解】（1）解：：2A+3-3X+3=36x-2,

・•.（2x3广3=（62广,即产=62），

x+3=2（%-2）,

解得：x=7,

.•.x的值为7；

（2）解：•.•3义2'+'尸=192,

.•,3X2J:+1X（22）X+1=192,

.­.2X+Ix22（x+1）=64»

...23（X+1）—26,

3（x+1）=6,

解得：x=\,

・・.x的值为1.

【考点三利用塞的逆运算简便运算】

例题：（23-24八年级上•全国•课后作业）用简便方法计算:

⑵0.25迎*（_42。22）.

【答案】⑴、Q

【知识点】含乘方的有理数混合运算、积的乘方的逆用、幕的乘方的逆用

【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握逆用积的乘方和幕的乘方运算法则简便计算是解题的关键.

（1）先逆用塞的乘方运算法则，变形为,再逆用积的乘方法则计算，最后根据乘法

法则计算即可;

（2）先逆用幕的乘方运算法则，变形为,再逆用积的乘方法则计算，最后根据乘法

法则计算即可.

【详解】（1）解：原式=X—xf--X』

（7J7157）19

x——57x——3

719

573

719

=-lx^x±

719

9

7

<1、2022

(2)解：原式=1力xix(-42022)

-flx4Fxi

(4J4

二（-叱

【变式训练】

1.（2024七年级上•上海・专题练习）用简便方法计算:

⑴(_5)32)、

⑵(一8户"X(-0.125)2必；

(3)QX105^|X(9X103)3.

【答案】⑴-5x10-

(2)-0.125

⑶2.7x1025

【知识点】积的乘方的逆用

【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用.

先将式子拆分成同次数的形式，再利用优〃=(。»"进行求解即可.

【详解】⑴解：(-5「x(-2厂

=(-5)x(-5)"2广

=(-5)x[(-5)x(-2)]15

=-5x1015；

(2)解：(-8)2024X(-0.125)2025

=(-8)2024x(-0.125)2024x(-0.125)

=[(-8)X(-0.125)]2°24X(-0.125)

=lx(-0.125)

=-0.125；

(3)解：QxlO5^x(9xl03)3

=QX105X9X103^

=(3xl08)3

=27x1()24

=2.7x10%.

2.(24-25八年级上•江苏南通•阶段练习)下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下

列问题.

东东的作业

计算：45X(-0.25)5.

解：原式=(-4x0.25)5=(—以=_「

⑴计算：

①82。22*(-0.125产；

(2)若3X9"X81"=325,请求出〃的值.

【答案】⑴①1;②£

6

⑵4

【知识点】同底数幕相乘、积的乘方的逆用、塞的乘方的逆用

【分析】本题考查了同底数暴的乘法法则，积的乘方，累的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是

解题的关键.

(1)①根据积的乘方及事的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及累的乘方的运算法则即可得到

正确结果；

(2)利用幕的乘方运算法则的逆用及同底数幕的乘法法则即可得到n的值.

【详解】⑴解：①82°22x(-0.125产=[8x(-0.125)了侬=(-以期=1；

125

6

(2)解：•••3X9"X81"=325

...3x(32)"x(3j=325,

■­.3x32,,x34"=325

6〃+1=25,

解得：n=4.

3.(22-23七年级上•江苏扬州•期中)阅读下列各式：(岫丫,(ab)3=a3b3,(^)4=aV...

回答下列三个问题：

⑴验证：(5x0.2)10=_；5loxO.2lo=_.

⑵通过上述验证，归纳得出：(帅)"=_;(。儿)"=_.

⑶请应用上述性质计算：

04lolx(O.25)lo°；

@(-0,125)2021X22020X42022.

【答案】(1)1,1

{2}anbn；anbncn

⑶①4；②-2

【知识点】积的乘方的逆用、积的乘方运算

【分析】本题考查了积的乘方公式及其逆运算，正确理解积的乘方等于乘方的积是解题的关键.

(1)积的乘方公式及其逆运算计算即可；

(2)由(")3=//,(ab)4=a%4..,归纳可得，(%)"=〃％%"；

(3)逆用公式(")"="〃，即0*"=(仍)"容易求出答案.

【详解】(1)解:(5xO.2)1O=llo=l,

lolo1Olo

5xO.2=(5xO,2)=l=l:

故答案为：1,1;

(2)(aby=a2b2,{ab)}=a3b3,(aZ))4=a4Z>4...

.■\ab)"=a"b",(abc)"=anbncn；

故答案为：anbn;anbncn;

(3)①4KHx(0.25-°

=4loox(O.25)1O°x4

=(4x0.25*x4

=l100x4

=4；

@(-0,125)2021X22020X42(,22

3

4.(24-25八年级上•河南周口•阶段练习)阅读下列各式：(中)2=的？，(xy)=xy,(孙)4=x>4

⑴发现规律：3)"=，(xyz)"=.

⑵应用规律：

①填空：5looxO.2loo=,QJX57X^|J=；

②计算：(-0.25)2°24X0.52025X82023.

【答案】⑴xnynz"

⑵①1，1；②J

16

【知识点】积的乘方的逆用、积的乘方运算

【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算：

(1)根据题意计算求解即可；

(2)①利用积的乘方的逆运算求解即可；

②把原式变形为0.25x0.52x(0.25x0.5x8『⑼，进而求解即可.

【详解】(1)根据题意得,(孙)”=,(中z)"=x"y"z"；

(2)(1)5100xO.2100=(5xO.2)100=1,

IQ、"“丘-

@(-0.25)2°24X0.52025X82023

=0.25x0.52x(0.25x0.5x8产

_1X1

16

5.(23-24七年级下•广东茂名•阶段练习)阅读下列各式：(a-b)2=a%2,g.6)3=0363,5.6)4=//,

请回答下列问题：

⑴计算：上丁=——，2吗出、——•

⑵通过上述规律，归纳得出：(。电)〃=;(Q-b,c)〃=.

⑶请应用上述性质计算：(-0.125)2°25X22024X42023.

【答案】⑴1;1

{2}anbn,anbncn

【知识点】积的乘方的逆用、积的乘方运算

【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算：

(1)根据题目所给公式，计算求解即可；

(2)根据题意进行求解即可；

(3)把原式变形为(-0.125)x(-0.125x2)x(-0.125x2x4)2°23,据此求解即可.

100

2x1100

【详解】(1)解:I=l=1,

100100

2100x2x1I=1，

2

故答案为：1;1;

(2)解：由题意得，=a"b",(<7'/>'£)"=a"b"cn,

故答案为：anb",anbncn;

(3)解：(-0.125)2°25X22024X42023

=(-0.125)2x(-O.125)2023x2x22023x42023

=(-0.125)x(-0.125x2)x(-0.125x2x4)2023

=(-0.125)x(-0.25)x(-l)2023

--321

【考点四利用塞的运算比较大小】

例题：(23-24八年级上•全国•课后作业)阅读下列解题过程:

若/=10,Z)3=4,比较0,6的大小.

解:因为=1()3=1000,

/)15=(z>3)5=45=1024,

1024>1000.

所以收户.

所以。<b.

依照上述方法解答问题：

已知x'=2,)9=3,试比较x与y的大小.

【答案】x<y

【知识点】积的乘方的逆用、暴的乘方的逆用

【分析】本题主要考查幕的乘方和积的乘方以及实数比大小，灵活运用塞的乘方和积的乘方运算法则是解

题的关键.

根据塞的乘方和积的乘方已知条件可得/=仁丫=29=512,/3=(/)7=37=2187,结合512<2187即可

解答.

【详解】解：TX63=29=512,谬=(力7=3,=2187,512<2187,

x63<y63.

.-.x<y.

【变式训练】

1.(24-25八年级上•吉林白城,阶段练习)阅读下列材料，回答问题.

下面是底数大于1的数比较大小的两种方法.

①比较2"和2"的大小.

当a>6时，2a>2h,即当底数相同时，指数越大值越大.

②比较35°和275的大小.

解：3、=(32==925,275=(23)25=825,9>8,.-.925>825).■,350>275.

即指数相同时，底数越大值越大.

⑴比较32。和的大小;

⑵已知a=34，6=433,贝！b.(选填">""="或"<")

【答案】(1)32°<9卜

(2)>

【知识点】累的乘方的逆用、幕的乘方运算

【分析】本题主要考查了实数的大小比较以及乘方的运用，解题关键是熟练掌握暴的乘方法则.

(1)先把底数9写成底数是3的幕，然后比较指数的大小，从而比较这两个数的大小；

(2)先逆用哥的乘方法则，把神写成指数相同的神，然后根据底数越大，幕就越大，进行比较即可.

【详解】(I)解：⑴-.^15=(32)'5=33°,30>20,

.••320<33%

.••320<915；

⑵解：”=344=(34『=81”,6=433=(4邛=64”,

又81>64,

.•・81”>64",

即344>433

:.a>b,

故答案为：>.

2.（22-23七年级下•江苏盐城•阶段练习）阅读下面的材料：

材料一：比较3发和4口的大小

解:因为4"=（2）"=222,且3>2,所以322>2%即322",

小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幕的大小，

材料二：比较丁和82的大小.

解：因为82=（23）2=2>且8>6,所以2'>26,即28>82,

小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个累的大小

解决下列问题：

⑴比较3*、433、622的大小:

（2）比较8产、2741>的大小:

（3）比较412x51°与41°*512的大小.

【答案】⑴344>433>622

（2）8131>2741>961

（3）412x510<410x512

【知识点】积的乘方的逆用、曷的乘方运算、积的乘方运算、有理数大小比较

【分析】⑴根据344=（34）"=81”,433=（43）"=64”,622=（62）11=36",再比较底数的大小即可;

⑵根据8产=（34丁=3咒2741=（33）4'=3123,961=（32）6'=3122,再比较指数的大小即可；

（3）»412X510=（4X5）10X42,410x512=（4x5）10x52,再由不<52,即可得出结论.

【详解】（1）解：•••344=（34『=81",433=（43『=64",622=（62）"=3611,

■.-81>64>36,

81">64">36”,

344>433>622,

■.-124>123>22,

.•.3⑵>3⑵>严，

.-.8131>2741>961；

（3）••-412X510=（4X5）10X42,410x512=（4x5）,°x52,

42<52,

412X510<410X512.

【点睛】本题考查幕的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法.

【考点五与嘉的运算有关的新定义型问题】

例题：(23-24八年级上•福建泉州•期中)对于整数°、6定义运算：。※人=，)'"+(")"(其中〃?、〃为常

数)，如3派2=(32户+(23)”.

⑴填空：当加=1,“=2023时，2W)=；

⑵若照4=10,2X2=15,求什+"-的值.

【答案】⑴3

(2)81

【知识点】同底数幕除法的逆用、同底数暴乘法的逆用、幕的乘方运算

【分析】(1)根据新定义的运算方法计算即可；

(2)根据条件结合新定义的运算方法判断出4"=9,4'"=6,可得结论.

【详解】(1)解：2派1=(2>+。2严

=2+1

=3,

故答案为：3；

(2)•.型4=10,2X2=15,

(l4)m+(41)"=10,(22)m+(22);,=15,

整理得：4"=9,4"+4"=15,解得：4"'=6,

42W+M-1-42Wx4W4-4

=(4叫yx4"+4

=62X9+4

=81.

【点睛】本题考查新定义运算和塞的运算法则，包括幕的乘方，同底数嘉相乘的逆用，同底数塞相除的逆

用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幕的运算法则解决问题.

【变式训练】

1.(23-24七年级下•贵州毕节,阶段练习)对于整数a,6定义新运算；族6=(叫(其中〃?，〃为常

数)，如3派2=(329+(23)".

⑴当根=1,"=100时，2X1的值为；

(2)若4”"=3,俅4=7,求2X2的值.

【答案】⑴3

⑵24

【知识点】同底数幕除法的逆用、基的乘方运算

【分析】本题考查的是新定义运算的含义，幕的运算的含义，理解新定义运算的含义是解本题的关键；

（1）根据新定义运算法则可得2X1=Q1+（F『°,再计算即可；

（2）由阿4=7可得4"=6,结合42=3,可得4”=18,再计算即可.

【详解】（1）解:根据运算法则，2^1=（21）1+（12）100=2+1=3.

（2）•.•照4=7,4"'一"=4"'+4"=3,

=7,即1+4"=7,

•••4〃=6,

.­-4W=18,

；型2=（22『+（22）”

=4初+4"

=18+6

=24.

2.（22-23七年级下•陕西渭南•期末）定义一种哥的新运算：尤。㊉请利用这种运算规则解决

下列问题.

⑴求2?㊉2,的值；

（2）加"=4,mg=8,4g=64,求加0㊉加17的值；

（3）若运算（9㊉9'）-9*的结果为9?,则t的值是多少？

【答案】⑴96

⑵96

（3）2

【知识点】有理数的乘方运算、幕的乘方的逆用、同底数幕乘法的逆用

【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解；

（2）根据同底数嘉的乘法以及累的乘方进行计算即可求解；

（3）根据新定义得出9'=92,即可求解.

【详解】（1）解：依题意，22®23=22k3+2**3=26+25=64+32=96

（2）vmp=4,mq=8,=64,

•••加0㊉加夕=mpq+mp+q=（mp）"+加0xmq

=4"+4x8

=64+32

二96.

(3)因为(9㊉9)-9*=92,

1+z1+,2

即9'+9-9=9，

即9'=92,

所以t=2.

【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数塞的乘法以及赛的乘方，熟练掌握运算法则

是解题的关键.

3.(22-23八年级上•广东东莞•期中)我们给出以下两个定义:

①三角形②*的方格图

=zx(y"xy)

b

请你根据上面两个定义，解答下列问题:

2

⑴填空:

⑵填空:

⑶若=1的值

【答案】⑴16

(2)48

(3)18

【知识点】幕的乘方的逆用、同底数幕相乘

【分析】(1)根据①中所给公式直接进行求解即可;

(2)根据②中所给公式直接进行求解即可；

(3)根据题中所给公式直接代值求解即可.

【详解】(1)解：由题意得:

x2'=16；

故答案为16；

(2)解：由题意得:

x2）=3xl6=48；

故答案为48；

（3）解：由题意得：3xx32v=3，

：.x+2y=l,

.•.2x（9"x8F）=2x9x+2y=2x9=18.

【点睛】本题主要考查同底数暴的乘法及暴的乘方，熟练掌握哥的运算及题中所给新定义运算是解题的关

键.

4.（2024七年级下•江苏•专题练习）在形如d=N