解直角三角形知识归纳与题型训练（4类题型清单）原卷版-2024-2025学年浙教版九年级数学下册

解直角三角形知识归纳与题型训练(4类题型)

01思维导图

02知识速记

一、锐角三角函数

1、Na的三角函数：锐角a的正弦、余弦和正切统称/a的三角函数

如图，NA是Rt^ABC的一个锐角，则有:

乙4的对边乙4的邻边乙4的对边

sinJ=cosA=tanA=

斜边斜边//的邻边

2、特殊角的三角函数值

asinacosatana

30°]_出旦

2~T

45°V2V21

60°V3j_V3

~T2

要点诠释:

(1)锐角三角函数的增减性:

sin/、tan/的值随着NA的增大而增大；cos/的值随着NA的增大而减小；

(2)锐角三角函数值的取值范围：

OVsin/Vl；0<cos^4<l；tanA>0；

(3)锐角三角函数间的转化：

若乙4+/B=90°,则sinA=cos5；tanA•tanS=1；

二、锐角三角函数的计算

1、在RtZXABC中，若NC=90。,AB=c,BC=a,AC=b,则

.」八。4cb,anb

SIIL4=cosn=—.cosA=smB=—,tan4=—,tan5=—

ccba

2、锐角三角函数的计算公式：

,sina.21

tana=----；sm2a+cosa=1

cosa

三、解直角三角形

定义：在直角三角形中，由己知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形；

解直角三角形的问题必须在直角三角形中应用，但如果对应角不在直角三角形中，可以通过添加辅助

线，化归为解直角三角形问题来解决

要点诠释：

(1)坡角问题：

坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,i=tana

(2)仰角俯角问题：

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.

俯角：视线在水平线下方的叫俯角

(3)解直角三角形常做辅助线：作垂线；

注意事项：作垂线时，不能破坏题目中已知信息的角。

03题型归纳

题型一锐角三角函数的定义与增减性

例题:

1.如图，在RtZXZBC中，ZA=90°，AB=8,8C=10,则cosB的值是()

ABc.3_D.j4

-i-3?T

2.在△48C中，ZC=90°,则coS等于()

A.ACB.BCc.ACD.BC

ABAB而而

3.若//是锐角，且siih4=工，则（）

3

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°

C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

4.已知tanA="|"，则cosA=()

A,迈B.岖3V132V13

C.D.

551313

巩固训练

5.在RtZ\/8C中,ZC=90°,AC=6,sinA=—_—4,则AB的值为（)

5

A.8B.9c.10D.7.5

6.如图，在RtZ\45C中，ZC=90°，BC=3AC,则sin5=()

7.下列不等式成立的是（）

A.sin30°<cosl5°<cos45°

B.cos45°<sin30°<cosl5°

C.sin30°<cos45°<cosl5°

D.cosl5°<sin30°<cos45°

8.已知//为锐角，cos4=1_,则taM的值为（）

3

A.B.2近C.2^2-D.近

334

9.如图，在△/8C中，ZC=90°,定义：斜边与//的对边的比叫做//的余割，用“esc/”表示.如设

该直角三角形的三边分别为Q,b,C,贝％SCA=£，那么下列说法正确的是（

a

Rr»b

A.csc5*siiL4=1cscB=-

22

C.CSCA9COSB=1D.CSC24+CSC5=1

题型二锐角三角函数的计算

例题:

1.在锐角A/BC中，(tanC-a)2+|亚-2sinB|=0，则2/=()

A.30°B.45°C.60°D.75°

2.若cosN=」＞,则锐角//=.

2

3.计算：

(1)sin60°*cos30o-tan45°；

(2)3tan30°-tan60°+2cos60°.

巩固训练

计算：2o

4.cos60°-2sin45°+.?_^an230-sin30

4

5.2sin260°-tan45°+4cos60°.

6.如图，在△45。中，BC=4,ZA=90

(1)求>3；

(2)求tanC.

题型三解直角三角形

例题:

1.如图，在△N8C中，AB=3Q,ZA=37°,/C=33°,则点/到直线2c的距离为（）

30cos70°C.30tan70°

2.如图，小明想利用"/N=30°,AB=6cm,3C=4c加”这些条件作△48C.他先作出了//和N8,在

用圆规作2c时，发现点C出现。和C2两个位置，那么QC2的长是（）

C.2A/5CWD.25/7cm

3.如图，在中，ZACB^90°,以其三边为边向外作正方形，记△/2C的面积为反，三个正方

形的面积和为S2,过点C作CM±FG于点M,连结CG交48于点N,设N/8C=a,ZMCG=^,若

（会■）2=tana,tanB，贝”1：，2为（）

D.-1+遍

88

4.如图，边长为1的小正方形网格中，点N,B,C,E在格点上，连接8C,点。在上且满足

LBC,贝I]tan/NEZ）的值是（）

E

A.2娓B.2C.近D.A

552

已知NC=90°,3CD=BD.若COS/ABCN^

5.如图，在Rt△ABC中，则sinZBAD

6.如图，在等腰中，ZACB=90°,若点。是边上一点，£是CD的中点，C关于直线

对称的点为C',CC交N8于点尸.

（1）若//CF=a,则NEBC'=度（用含a的代数式表示）.

（2）若tan/ACF.，贝1Jtan/尸8C，=----------------------

7.如图，在△4BC中，ADLBC,/£是2c边上的中线，48=10,4D=6,tan//C2=l.

(1)求8c的长；

(2)求sin/D/E的值.

巩固训练

1.如图，圆规两脚CM,08张开的角度为a,。/=。8=10,则用此圆规所能画出圆的半径为()

AB

A.1OsinaB.lOcosaC.20sin----D.20cos—―

22

2.如图，在△4BC中，已知cosB=$，点尸，。在边/C，2C上，PQ//AB.设4P=x,尸。=y,若y=-

x+14,则2C=()

A.7B.14C.8A/6D.20

3.如图，BC是o。的直径，点/为o。上一点，。在C2的延长线上，且2C=2DB,若tan/DAB」

4.如图，在△N3C中，ZABC=90°，AB=5,8c=12,点。在边NC上，且8。平分△48C的周长，则

tanZADB=_____________________

5.在口/BCD中，E,尸分别是48,CD的中点，于点G,FHLBD于点、H,连接GREH.

(1)求证：四边形EAFG是平行四边形.

(2)当乙4BD=45°,tan/£7/G=L,EG=1时，求ND的长.

B,C

G

题型四解直角三角形的应用

例题:

1.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得N4=88°,ZC=42°,AB

=60,则点4到5C的距离为（）

A.60sin50°B.―皿一C.60cos50°D.60tan50°

sin50°

2.如图是遮阳伞撑开后的示意图，它是一个轴对称图形.若//。8=130°,。/=。8=1.6米，与地面

垂直且（W=3米，则"N的长为（）

C.（3-1.6cos65°）米D.（3-1.6sin65°）米

3.图1是某款篮球架，图2是其部分示意图，立柱OA垂直地面OB,支架CD与OA相交于点A,支架CG

J_CD交。/于点G,NC=0.5米，0G=1.8米，ZAGC=a,则立柱的高。N为（）米.

图I图2

A.-°，5_

+1.8B.

sinCI.cosa

C.—9-5-

+1.8D.0.5sina+1.8

tana

4.某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时,如图1,四边形4BCD为矩形，49长3米，长1米,

点C与点N重合.道闸打开的过程中，边4D固定，连杆CD分别绕点4,D转动,且边2C始终

与边ND平行.

（1）如图2,当道闸打开至//DC=45°时，边CD上一点尸到地面的距离PE为1米，求点尸到

的距离尸尸的长.

（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米，当道闸打开至//DC=36°时，轿车能否驶入小

区？请说明理由.（参考数据：sin36°仁0.59,cos36°^0.81,tan36°«0.73）

5.【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如图①所示，它的侧面可视作如图②,

N3为底板，NC为支撑杆，CD为电脑托板，分别可绕/,C转动,测得NC=16CM,CD=20cm.

【实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据，数学推算.

任务1：若/B4c=30°,ZACD=75°,求此时电脑托板的最高点。离底板A8的距离（精确到

0.1cm,.

【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究.

任务2：陈老师工作时习惯于把电脑打开成大于120。角（如图③，ZCD£>120°.现小甬同学为陈老

师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕垂直于底板N8,量得//CD=40°,点C到底板的距

离C8是4c〃z,问这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由.

（参考数据：sinl4.48°-0.25,cos75.52°七0.25,tanl4.04°-0.25）

E

①②

巩固训练

6.使用可调节双层鞋托架能大大提高鞋柜空间利用率，一种可调节双层鞋托架示意图如图所示，当打开最

大时，NABC=70°,AB26cm,BD=9CM,则此时点/到DE的距离为()

A.(26sin70°+9)cmB.(26cos70°+9)cm

C.(——26。+9)errD.(——a)cm

lsin70°yJCir\os700+”

7.如图，一把梯子48斜靠在墙上，端点/离地面的高度ZC长为1%时，N4BC=45°.当梯子底端点2

水平向左移动到点8，端点/沿