两条直线平行和垂直的判定（3种常见考法归类）-人教版高二暑假专项复习

第13讲两条直线平行和垂直的判定3种常见考法归类

----------------------

学习目标

------------------------

能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

1第基础知£

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知识点1两条直线平行

对于两条不重合的直线/l，h，其斜率分别为内，人2,有/1〃/2+1=如

注：（1）/1〃/2+1=依成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在.②与/2不重合.

（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，乙与6的倾斜角都是90。，贝必IIL

（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：4||%=42或4，4斜率都不存在.

知识点2两条直线垂直

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于一1；反之，如果它们的斜率之积

等于一1,那么它们互相垂直，即/」，小142=-1.

注：（1）饱=一1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在.②%1切且无加.

（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直.

（3）判定两条直线垂直的一般结论为：

6=匕•&=-1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零.

||豳解题策略

---------------------UII1IIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

1、两条直线平行的判定及应用

公=近今/1〃/2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注

意利用图形.

2、利用斜率公式来判定两直线垂直的方法

(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点

的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步.

(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式.

(3)三求：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨

论.

3、利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤

l|Q考点剖析？

------------------lllllllllllllillllllillllllllllllllllllll-----------------------

考点一：两条直线平行的判定及应用

(一)两条直线平行的概念辨析

例1.(2023・高二课时练习)下列说法正确的是()

A.两条直线的斜率相等是这两条直线平行的充要条件

B.两条直线的倾斜角不相等是这两条直线相交的充要条件

C.两条直线平行是这两条直线的倾斜角相等的充要条件

D.两条直线平行是这两条直线的法向量平行的充要条件

【答案】B

【分析】根据直线平行和相交的条件依次判断即可.

【详解】当两条直线的斜率相等且截距也相等时，两直线重合，故A错误;

的倾斜角不相等，则两直线必定相交，反之也成立，故B正确；

倾斜角相等时，两直线可能重合，故C错误；

法向量平行时，两直线可能重合，故D错误.

故答案为：B

变式1.（2023秋•北京•高二人大附中校考期中）若4与6为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为四，%，

斜率分别为左，k2,则下列命题

①若1、〃1，则斜率匕=e；②若斜率尤=心，则4〃小

③若4〃,则倾斜角=«2；④若倾斜角％=%，则4〃，2，

其中正确命题的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断.

【详解】由于4与4为两条不重合的直线且斜率分别为K，"所以41%=《=占，故①②正确；

由于4与4为两条不重合的直线且倾斜角分别为四,%,所以4=%=%，故③④正确，

所以正确的命题个数是4.

故选：D.

变式2.【多选】（2023秋・新疆喀什•高二新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）若乙与4为两条不重

合的直线，则下列说法中正确的有（）

A.若〃则它们的斜率相等B.若4与4的斜率相等，则

C.若I川2,则它们的倾斜角相等D.若4与4的倾斜角相等，则

【答案】BCD

【分析】由两直线斜率不存在可知A错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD正确.

【详解】对于A,当4和4倾斜角均为|■时，但两直线斜率不存在，A错误；

对于B,若4和4斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知〃〃2,B正确；

对于C,若可知两直线倾斜角相等，C正确；

对于D,若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知4/%，D正确.

故选：BCD.

(二)两条直线平行关系的判定

例2.(2023•江苏•高二假期作业)判断下列各题中直线4与4是否平行.

(1)4经过点A(-l,—2),8(2,1),'经过点”(3,4),7V(-1-1)；

(2)4经过点A(-3,2),8(-3,10),'经过点M(5,-2),N(5,5).

【答案】(1)不平行

⑵平行

【分析】(1)求出勺、纭，即可判断；

(2)求出4、4的方程，即可判断.

-2-1

【详解】(1)因为4经过点4-1,-2),5(2,1),所以勺=_^=1,

-1—2

-1-45

又4经过点河(3,4),M-1,-1),所以儿=-4=?，

因为先产醺，所以4与4不平行；

(2)直线4经过点A(-3,2),8(-3,10)的方程为％=_3,

直线4经过点M(5,-2),N(5,5)的方程为工=5,

故直线乙和直线4平行;

变式1.(2023秋•高二课前预习)根据下列给定的条件，判定直线4与直线4是否平行或重合:

(1)4经过点4(2,3),3(T,0)；4经过点〃(-3,1),N(-2,2)；(

4的斜率为-;，4经过点A(4,2),以2,3)；(

)

(3)4平行于y轴，4经过点尸(0，-2),<2(0,5)；()

(4)4经过点E(O,1),F(-2,-l),4经过点G(3,4),H(2,3).()

【答案】不平行平行或重合平行重合

【分析】根据过两点的直线的斜率公式，计算直线的斜率，根据斜率的关系，并注意直线是否重合，可判

断(1)(2)(4)；当两直线斜率都不存在时，看它们是否重合，即可判断(3).

3-012-1

【详解】(1)kAB==1,

2-(-4)-2'-2-(-3)

kAB*kMN>所以4与4不平行.

13-21

(2)/］的斜率《=-彳，4的斜率右=丁==-不，即匕=%2,无法判断两直线是否重合,

22—42

所以4与4平行或重合.

(3)由题意，知4的斜率不存在，且不是y轴，4的斜率也不存在，恰好是y轴，

所以“4.

-1-13-4

(4)由题意，知原尸=不==1,kGH=^—=l,所以4与4平行或重合.

—2—02—3

4-(-1)

需进一步研究E,F,G,H四点是否共线，k=)=1.所以E,F,G,H四点共线，所以《与

FG3-(-2)

6重合.

变式2.【多选】(2023秋•高二课时练习)满足下列条件的直线4与&一定平行的是()

A.4经过点4-L-2),8(2,1),4经过点M(3,4),M-1-D

B.乙的斜率为1,4经过点ACM),8(2,2)

C.乙经过点AQ1),8(1,0),4经过点M(-l,3),N(2,0)

D.4经过点4一3,2),3(-3,10),/2经过点/(5,-2),N(5,5)

【答案】CD

【分析】求出设直线4的斜率为左，直线4的斜率为心.根据斜率是否相等，即可判断直线的位置关系；

【详解】设直线4的斜率为左，直线4的斜率为质.

,1-(-2)-1-45_

对于A.=-一m=l，h=—,k\手k?,/］与4不平行.

对于B,k=1,k=—-=1,k=k,故/J/4或4与6重合

22—1x2

0-10-33-1

对于C，K=-=~^&=不丁X=T，则有又KM==-2力一1,则A,B,M不共线.故

1—02—(—1)—1—0

I川2.

对于D,由已知点的坐标，得4与4均与x轴垂直且不重合，故有“4.

故选：CD

变式3.(2023秋.高二课时练习)过点4(1,2)和点3(-1,2)的直线与直线广3的位置关系是()

A.相交B.平行C.重合D.以上都不对

【答案】B

【分析】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可.

【详解】过点4。,2）和点3（-1,2）的直线方程为y=2,斜率为0,

又因为直线'=3斜率为0,所以两直线平行.

故选：B

变式4.（2023・全国•高二专题练习）判断出1,3）,8（3,7）,C（4,9）三点是否共线，并说明理由.

【答案】共线，理由见解析.

【分析】根据直线斜率公式进行求解即可.

【详解】这三点共线，理由如下：

由直线斜率公式可得：kAB=^=2,kAC=^-=2,

直线AB,AC的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点41,3）,

所以这三点共线.

（三）已知两条直线平行求参数

例3.（2023秋・广东广州•高二广州市培正中学校考期中）已知直线4的倾斜角为30。，直线〃上，

则直线4的斜率为（）

A.73B.-73C.BD.-也

33

【答案】C

【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可.

【详解】因为直线4的倾斜角为30。，所以勺=tan30o=3，

43

又“4,所以号=勺=走.

l2n3

故选：C.

变式1.（2023•江苏•高二假期作业）已知过4-2,加）和8Q”,4）的直线与斜率为一2的直线平行，则机的值

是（）

A.-8B.0C.2D.10

【答案】A

【分析】由两点的斜率公式表示出直线AB的斜率右B，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案.

4—m

【详解】由题意可知，KB=Y=-2,解得加=-8.

m+2

故选：A

变式2.（2023•江苏•高二假期作业）已知直线4的倾斜角为45。，直线4的斜率为左=m2-3,若h〃％,则

m的值为.

【答案】±2/2或-2/-2或2

【分析】由直线倾斜角由斜率的关系可知直线4的斜率为匕=tan450,再由两直线平行，斜率相等列出等式，

即可求出答案.

【详解】由题意知加-3=tan45。，解得加=±2.

故答案为：±2

考点二：两条直线垂直的判定及应用

（一）两条直线垂直的概念辨析

注21例也【多选】（2023秋•高二课时练习）下列说法中，正确的有（）

A,斜率均不存在的两条直线可能重合

B.若直线乙，％则这两条直线的斜率的乘积为T

C.若两条直线的斜率的乘积为-1,则这两条直线垂直

D.两条直线心4,若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，贝必，4

【答案】ACD

【分析】利用直线重合与垂直的性质，同时考虑直线斜率不存在的情况，对选项逐一分析判断即可.

【详解】对于A,若4：x=O，：2x=O,贝I"，斜率均不存在，但两者重合，故A正确；

对于BD,若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线互相垂直，但此时乘积不为-1,

故B错误；D正确；

对于C,根据直线垂直的性质可知，两直线的斜率存在，且乘积为-1时，这两条直线垂直，故C正确.

故选：ACD.

变式1.【多选】（2023秋•高二课时练习）下列说法中正确的有（）

A.若两直线平行，则两直线的斜率相等

B.若两直线的斜率相等，则两直线平行

C.若两直线的斜率乘积等于-I,则两直线垂直

D.若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于-1

【答案】BC

【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可.

【详解】对于A,两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误；

对于B,若两直线的斜率相等，则两直线平行，所以B正确；

对于C,若两直线的斜率乘积等于-1,则两直线垂直，故C正确；

对于D,若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于

-1,故D错误；

故选：BC

变式2.（2023・高二课时练习）下列说法中，正确的是（）

A.每一条直线都有倾斜角和斜率

B.若直线倾斜角为a,则斜率为tana

C.若两直线的斜率左，心满足尢&=-1,则两直线互相垂直

D.直线4:尤-2>-1=0与直线4：x-2y+m=0（meR）一定互相平行

【答案】C

【分析】根据直线的倾斜角与斜率的定义及关系，以及两直线的位置的判定方法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，每条直线都有倾斜角，当倾斜角为90。，直线的斜率不存在，所以A错误；

对于B中，当直线倾斜角为a=90。，此时直线的斜率不存在，所以B错误；

对于C中，若两直线的斜率分别为左，k2,当上的=-1，则两直线互相垂直，所以C正确；

对于D中，当，"=一1时，直线4：x-2y-l=O与直线/2：x-2y+"?=0为重合直线，所以D错误.

故选：C.

（二）两条直线垂直关系的判定

例5.【多选】（2023秋・浙江杭州•高二杭师大附中校考期中）下列直线4,4互相垂直的是（）

A.4的斜率为-：，4经过点A（l,l）,B[Q,I

B.4的倾斜角为45。，'经过点尸（-2,-1）,。（3,-6）

C.4经过点M(L0),N(4,-5),6经过点R(-6,O),S(-1,3)

D.乙的斜率为2,4经过点U(1，2)V(4,8)

【答案】ABC

【分析】由倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，由两点坐标求出直线斜率，分别判断两直线斜率之积是否

为-1,从而可选出正确答案.

_J__i23

【详解】6的斜率为2_3,因为_；x：=T,所以4成立，故A正确；

0-12

4的斜率为区=tan450=1,Z2的斜率为k2=4/=?=[=-1,由柩2=-1,

则乙，/2成立，故B正确；

-5573-03

4的斜率为勺=/=—；,4的斜率为％2=1(芯=:,由％的=一1

4-13-1一(一”3

则4,4成立，故c正确；

4的斜率为％===2,由2x2w—l,所以《工/?不成立，故D错误.

4-1

故选：ABC.

变式1.(2023・江苏•高二假期作业)判断下列各组直线是否垂直，并说明理由.

(1)4经过点A(-3,-4),8(1,3)4经过点/(T,-3),N(3,1)；

(2乂经过点43,4),8(3,10),右经过点川(-10,40),N(10,40).

【答案】(1)不垂直，理由见解析

(2)垂直，理由见解析

【分析】(1)由题知直线4，4的斜率存在，分别计算出乙、4的斜率，即可判断(1)组直线不垂直；

(2)由题知4,无轴,6II无轴,即可判断(2)组直线垂直.

【详解】(1)由题知直线4，乙的斜率存在，分别设为匕，月，

3-(-4)7

左一匚b"

1-(-3)4

..k、*k?=1,

二/1与4不垂直.

(2)由题意知4的倾斜角为90。,

则4_Lx轴;

由题知直线4的斜率存在，设为小，

40-40

=0,

10-(-10)

则，2吐轴,

/11/2.

变式2.(2023秋•广东•高二校联考阶段练习)判断下列直线4与是否垂直：

(1)4的倾斜角为g,4经过M(-4,一百)，N,2石)两点；

(2)4的斜率为6经过“3,-2),。(-6,4)两点；

13

(3)4的斜率为-针4的倾斜角为a,a为锐角，且tan2a=-“

【答案】(1)4,4

(2)4与6不垂直

(3)4，4

【分析】(1)4的斜率为tang=-石，根据过两点的斜率公式可求右的斜率，判断斜率的乘积是否为-1即

可；

(2)根据过两点的斜率公式可求4的斜率，判断斜率的乘积是否为-1即可；

(3)根据二倍角的正切公式求出tan夕的值，判断斜率的乘积是否为-1即可.

(1)

因为4的倾斜角为2三7r，所以《的斜率为tan2兀^=-右I~.

所以，2的斜率为2•-卜石)=B.

5-(-4)3

因为-gx3=-1,所以口儿

3

(2)

因为乙经过尸(3,-2),。(一6,4)两点，

所以/，的斜率为上七9=二.

-6-33

因为4的斜率为-1,且＞T,

所以4与4不垂直.

(3)

3

记，2的斜率为上，因为tan2a=-“

所以Dk=3解得左=3或女=一1：

1-k43

因为。为锐角，所以左=3.

因为4的斜率为-g,且3x[-.=-!,

所以㈠和

变式3.(2023秋・福建三明•高二校联考期中)已知直线4经过A(-3,2),8(1,-2)两点，直线'倾斜角为45。，

那么4与'()

A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直

【答案】B

【分析】根据两点求出直线4的斜率，根据倾斜角求出直线'的斜率，可知斜率乘积为-1,从而得到垂直关

系.

【详解】由题意可得：直线《的斜率勺=三=1=-1,直线。的斜率L=tan450=l,

-3-1

kxk2=-1,则《与12垂直.

故选：B.

变式4.【多选】(2023•江苏•高二假期作业)以A(-U),5(2,-1)C(1,4)为顶点的三角形，下列结论正确的

有()

2

kAB=~~

B.kBC=-^

C.以A点为直角顶点的直角三角形

D.以8点为直角顶点的直角三角形

【答案】AC

【分析】对于AB,利用斜率公式计算判断，对于C,通过计算七丁心c判断，对于D,通过计算第/左吹判

断.

【详解】对于A,因为8（2,7）,所以砥^=上甘=-],所以A正确，

—1—23

-1-41

对于B,因为8（2,-l）,C（l,4）,所以=所以B错误，

21-4322

对于C,因为=--=-＞所以配此。=-££=-1,

所以AB工AC,所以AABC以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，

2

对于D,因为左钻=一§,kBC=-5,所以G,原c^T，所以D错误，

故选：AC

变式5.（2023秋•上海奉贤•高二校考阶段练习）已知直线44的斜率是方程x2-px-2=0的两个根,则（）

A.l}1/2B./J4

C.4与4相交但不垂直D.4与4的位置关系不确定

【答案】C

【分析】由左右=-2可知两直线不垂直，且左尸公知两直线不平行，由此可得结论.

【详解】设直线hk的斜率为《&，则匕心=-2,

•.飞人2W一1，，/112不垂直，A错误；

若占=取,则左/2=620,与左向=一2矛盾，.•.（工后2，，/112不平行，B错误；

，2不平行，也不垂直，4相交但不垂直，C正确，D错误.

故选：C.

变式6.【多选】（2023春.广西柳州•高二校考阶段练习）（多选）若A（T,2）,3（6,Y）,C（12,6）,£＞（2,12）,

下面结论中正确的是（）

A.AB//CDB.AB±ADC.|AC|=|BD|D.AC//BD

【答案】ABC

【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可.

【详解】-4工-了2=一3£，kcD=122^-E6=~3T且。不在直线A3上，・・・AB〃CD，故A正确;

12-25心

又•^AD=2+4=§，***AB•^AD=-1,,,AfiJ_AD,故B正确；

VAC=(16,4),而=(T,16),

.,.|AC|=4A/17,|BD|=4^7,A\AC\=\BD\,故C正确；

T7••76—21j12+4.jj_.

又•'c=12+4=4'%B0=o—6=Y''•卜卷'^BD=一1

AAC±BD,故D错误.

故选:ABC.

（三）已知两直线垂直求参数

例6.（2023春•甘肃兰州•高二兰州五十九中校考开学考试）已知经过点A（-2,0）和点B（l,3o）的直

线4与经过点P（0,-l）和点。的直线6互相垂直，则实数。的值为（）

A.0B.1C.0或1D.一1或1

【答案】C

【分析】求出直线4的斜率为左=。，分。/0、。=0两种情况讨论，在awO时，由两直线斜率之积为-1可

求得实数。的值；在。=0时，直接验证4,4.综合可得结果.

,3a—0

【详解】直线4的斜率K=匚d=".

①当aw0时，直线的斜率公=—（T）=….

a-0a

因为/口/,,所以张，=-1,即分上2=一1,解得a=i.

a

②当a=0时，F（O,-1）,<2（0,0）,此时直线6为V轴，

又4（-2,0）、5（1,0）,则直线4为x轴，显然切

综上可知，。=0或1.

故选：C.

变式1.（2023秋•高二课时练习）已知直线4经过点A（3,a）,3（。-2,3）,直线&经过点C（2,3）,D（-l,a-2）,

若（J.%则a的值为.

【答案】。或5

【分析】分类讨论直线4斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解.

【详解】因为直线4经过点C（2,3）,D（—l,a-2）,且22—1,所以'的斜率存在，

而4经过点A（3,o）,B（o-2,3）,则其斜率可能不存在，

当4的斜率不存在时，a-2=3,即。=5,此时4的斜率为0，贝必，4，满足题意；

当4的斜率存在时，a-2H3,即aw5,此时直线4%的斜率均存在，

由口6得他=-1,即f3—ci¥a—2—3=_!,解得。=o；

a—2-3-1-2

综上，a的值为0或5.

故答案为：。或5.

变式2.（2023秋•高二课时练习）已知直线/的倾斜角为135。，直线4经过点43,2）,B（a,-1）,且4与/

2

垂直，直线/,：y=-；x+i与直线4平行，贝以+匕等于（）

b

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】B

【分析】由直线/的倾斜角为135。，4与/垂直可得勺，再由直线4与直线4平行求得人由4过A，8求得。，

进而求。+少.

【详解】由题意知：^,=tanl35°=-l,而4与/垂直，即勺=1,

92

又直线4：y=-不X+1与直线4平行，贝『7=1，故b=—2,

bb

又4经过点43,2）,B（a-1）,则勺=土2=1,解得。=0,

1a-3

所以〃+/?=-2.

故选：B.

变式3.（2023・江苏•高二假期作业）已知AABC的顶点为A（5,-l）,B（l,l）,C（2,⑼，是否存在相"使疑。

为直角三角形，若存在，求出根的值；若不存在，说明理由.

【答案】存在，加=-7或机=3或加=±2

【分析】对AABC的直角进行讨论，利用两直线垂直的斜率关系即可求出结果.

若A为直角，则

**-kAC,kAB=T，

,m+11+1-

Q即rq---=-h斛得根=一7；

2—31—5

若8为直角，则3CLAB,

,•%BC，^AB=-1，

m—11+1rh-n/X=ic

a即ri-—-----=-1,解得力2=3；

2-11-5

若。为直角，则AC15C,

kAC,kjBC=一'，

m+1m—1

即--------------=-1解得MI=i2.

2-52-1

综上所述，存在“=-7或%=3或机=±2,使AABC为直角三角形.

变式4.（2023秋•青海海东•高二校考期中）已知点人（-2,2）,8（6,4）,打（5,2）,”是“1SC的垂心.则点

C的坐标为（）

A.（6,2）B.（-2,2）C.（工一2）D.（6,-2）

【答案】D

【分析】先设点C的坐标，再求出直线3”，AH的斜率，则可求出直线AC的斜率和直线3c的倾斜角，联

立方程组求出C的坐标；

2—?

【详解】设C点标为（x,y）,直线48斜率须H=o=。，

BCLAH,而点2的横坐标为6,则无=6,

匕=2,

直线5"的斜率须”二

6-5

>-2

二直线AC斜率3c=

6+221

y=-2,

•••点C的坐标为（6,-2）.

故选:D.

变式5.（2023•江苏•高二假期作业）已知两点42,0）,8（3,4）,直线/过点8,交〉轴于点C（O,y）,。是坐

标原点,且0,A,B,C四点共圆，那么y的值是.

%75

【答案】

【分析】由题易知OC_LQ4,即AC为圆的直径，即ABL3C,由阳B«BC=T列出方程，即可求出答案.

【详解】由题易知OCLQ4,即AC为圆的直径，^ABIBC,

,,'&BC=-1>

即「4—0岩4—V=7,解得y=19

T

19

故答案：—.

4

变式6.（2023・江苏•高二假期作业）已知N（2,2）,P（3,0）.

（1）求点。的坐标，满足PQLMN,PN〃MQ；

⑵若点。在x轴上，旦2NQP=NNPQ,求直线的倾斜角.

【答案】（1）。（0,1）

(2)90°

【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果;

（2）根据条件可得3Q=-左稗即可求出结果.

【详解】（1）设Q（x,y）,

由已知得配v=与早=3,

2—1

又PQ1MN,可得3N•怎°=T，

即一-—x3=—1(%W3).①

x-3

由已知得怎N=g=-2,

又PN〃MQ,可得%v=32，

即出=-2(尤wl).②

联立①②解得x=O,y=l,

：.2(0,1).

(2)设。(x,0),

,/ANQP=ZNPQ,

9

又,."N2=—'%=一2,

解得X=1.

2（1,0）,

又：

/.MQ1x轴，

故直线V。的倾斜角为90。.

变式7.【多选】（2023秋•广西贵港•高二校考阶段练习）已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C（3,3）,

点A的坐标为（0,4）,则点8的坐标可能为（）

A.（2,0）B.（6,4）C.（4,6）D.（0,2）

【答案】AC

【分析】根据三角形ABC为等腰直角三角形列方程组，即可求解.

【详解】设3（%V）,由题意可得

Hx二-1?

3%-y-6=0?

x-30-3,可化为

(X-3)2+(J-3)2=10

解得：｛；［；或［；］：，即3（2,。）或84,6）.

故选：AC

考点三：两直线平行与垂直的综合应用

小^例7.【多选】（2023秋•广西钦州•高二浦北中学统考期末）已知两条不重合的直线/仆=%》+4,

l2:y=k2x+b2,下列结论正确的是（）

A.若4〃4，则&=&B.若左严修,贝必〃4

C.若桃2=1，则D.若H则秘2=-1

【答案】ABD

【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断.

【详解】对A,若1,〃％,则左=心，故A正确;

对B,若h=右,又两直线不重合，贝必〃，2,故B正确;

对C,若匕&=1，贝也与4不垂直，故C错误;

对D,若则她=-1,故D正确.

故选:ABD.

变式1.【多选】（2023秋・山东济南•高二校考期中）若乙与4为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是%,%，

斜率分别为尢，%,则下列命题正确的是（)

A.若斜率匕=网,则B.若上的=T，贝以14

C.若倾斜角a,=a2,则k//12D.若%+a2=7i,贝必_L12

【答案】ABC

【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC,举反例可判断D.

【详解】对于A,若两直线斜率匕=履，则它们的倾斜角%=%，则正确;

对于B,由两直线垂直的条件可知，若左1履=-1,则4_LZ2,正确;

对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角多=%,则4〃和正确；

、712兀

对于D,若%+a?—兀，不妨取％=1，％=9

则左］=tan%=百，攵2=34=-百，不满足左1左2=-1，4,4不垂直，D错误,

故选：ABC

小2|例8.（2023秋•全国•高二期中）已知A（5,-1）,B（1,1）,C（2,3）三点，则AABC为三角形.

【答案】直角

【分析】根据直线斜率关系即得.

【详解】如图，猜想是直角三角形,

由题可得边AB所在直线的斜率kAB=-1，边BC所在直线的斜率kBC=2,

由kABkBc=T，得AB，sc,即ZABC=90。，

所以AABC是直角三角形.

故答案为：直角.

变式1.（2023秋・河南商丘•高二校联考期中）若A（5,-l）,网1,1）,C（2,3）,则AASC的外接圆面积为.

【答案】彳25万

4

【分析】由斜率得AB13C,从而可得AC是直角三角形的斜边，也是AABC的外接圆的直径，求得AC长

后得圆半径，从而得圆面积.

-1-113-1

【详解】A《=^^=一彳，k=—=2,k-k=-l,J.AB1BC,AC是直角三角形的斜边，也是AABC

5-12BC2—1ABBC

的外接圆的直径,

|AC|=7(5-2)2+*4(-l-3)2=5,外接圆半径为厂=用=|,

圆表面积为S=4»/=4»X§)2=25».

故答案为：子25万.

4

变式2.(2023秋•高二课时练习)以A(-2,-1)](4,2),。(2,6),D(-3,1)为顶点的四边形是()

A.平行四边形，但不是矩形B.矩形C.梯形，但不是直角梯形D.直角梯形

【答案】D

【分析】先在坐标系内画出A8CO点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形A8CD的形状.

【详解】

1+16-2

在坐标系中画出A8CD点，大致如上图，其中您n=-2、k=-2,=k,AD/IBC,

-3+2BC2-4BC

2+11

^AB------=—,k,„*k=_1,AB_LBC,

4+22BCc

\AD\=J(-2+3)2+(-l-l)2:底忸C|二J(4—2『+(2—6)2;而w\AD\,

所以四边形ABCD是直角梯形;

故选：D.

变式3.(2023•高二课时练习)已知A(1,3),B(5,1),C(3,7),A,B,C,。四点构成的四边形是平行四边形,

求点D的坐标.

【答案】(7,答或(-1,9)或(3,-3).

【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点。的坐标.

【详解】由题，A(1,3),B(5,1),C(3,7),

所以AAC=2,kBC=~3,

设。的坐标为(尤，y),分以下三种情况：

①当BC为对角线时，有kCD=kAB,kBD=kAC,

x—5x-3

得47,y=5,即。(7,5)

②当AC为对角线时，有kCD=kAB,kAD=kBC,

1

所以，KAD=T=_J，KCD=------=--

x-ix-32

得x=-1,产9,即£>(-1,9)

③当AB为对角线时，有kBD=kAC,kAD=kBC

所以即0=^4=2，kAD==-3,

x—5x-1

得x=3,y=—3,即Z)(3,-3)

所以。的坐标为(7,5)或(-1,9)或(3,-3).

变式4.(2023•江苏•高二假期作业)己知四边形MNPQ的顶点坐标为M(l,l),N(3,-l),P(4,0),Q(2,2),求证：

四边形脑VP。为矩形.

【答案】证明见解析

【分析】先利用斜率的关系证明两组对边分别平行，可得四边形为平行四边形，再由一组邻边所在的直线

的斜率乘积为-1,可得一组邻边垂直，从而可得结论.

【详解】因为尸(4,0),。(2,2),

rrpi>_1一(_1)_1I_2_0__1—2__-1-0_

所以《MN--"；~丁__l，kpQ-1，"M2一"i__、_\，kpN->

N

所以%=,kMQ=kPN,

所以脑V〃P。，MQ//NP,

所以四边形MNP。为平行四边形，

因为%犷右。=T，

所以

所以四边形MNP。为矩形.

变式5.(2023秋・广东广州,高二广州市培正中学校考期中)已知四边形MNP。的顶点

M(l,l),N(3,-l),P(4,0),e(2,2).

⑴求斜率与斜率心°;

(2)求证：四边形MNPQ为矩形.

【答案】(1)L=T，%=一1

(2)证明见解析

【分析】(1)利用斜率公式求解即可;

(2)利用直线平行与垂直的性质依次证得MN//P。，MQ//NP,MNA.MQ,从而得证.

【详解】(1)因为M(l,l),N(3,-l),P(4,0),Q(2,2),

_1_19_0

所以上_7=_l，kpQ=\―7=_］，即&WN=_1/PQ=-1

J—1Z—4

(2)因为七N=T，⑥°=T，所以MN//PQ.

2-1-1-0

又因为%"2===1,%稗=^^=1,所以MQUNP,

2—13—4

所以四边形MNPQ为平行四边形,

又因为j“2=一1，所以

所以四边形"NP。为矩形.

变式6.(2023•高二课时练习)(拓广探索)在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺

序依次为0(。，。)，P(U),e(l-2Z,2+f),火(-2r,2),其中f>0.则四边形0尸。底的形状为.

【答案】矩形

【分析】根据点的坐标计算斜率，利用斜率相等得到直线平行，再根据矩形的判定，即可得到答案;

【详解】由斜率公式得心,=f军-0=乙％RQ2-(2+r)_-t2-0_1

1—0-2t-0t

.2+f—t2_1

2匚耳I

~~2tt

所以卜3=卜股,kQR=kPQ,从而OP//RQ,ORHPQ.所以四边形OPQR为平行四边形.

又如k%R=-l,所以OP，。?，故四边形OPQR为矩形.

故答案为：矩形.

V

变式7.(2023•全国•高二专题练习)用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.

【答案】证明见解析

【分析】建立坐标系，根据得出的C"B0=T，从而证明菱形的对角线互相垂直.

【详解】以AB为无轴，过A作AB的垂线为y轴，如图，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为

A(0,0),B(b,0),D(a,c),C(a+b,c),k=—,k,

ACa+bBDa-b

因为四边形是菱形|AS|=|AD|,所以/+°2=62

所以AC/BD,菱形的对角线互相垂直.

|］总过关检测门:

-------------------lllllllllllillllllllllllllllllllillllllll------------------------

一、单选题

1.(2023・全国•高二专题练习)下列说法中正确的是()

A.若两条直线斜率相等，则它们互相平行

B.若4〃4，则勺=醺

C.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交

D.若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行

【答案】C

【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.

【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；

若4〃4,则4="或4，4的斜率都不存在，B错误;

若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，c正确;

若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误.

故选：c.

2.（2023•高二课时练习）“直线4与4平行''是"直线乙与4的斜率相等''的（）条件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分又非必要

【答案】D

【分析】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.

【详解】充分性：直线4与平行，但是4和4都没有斜率，即当4和4都垂直于无轴时，4与4仍然平行,

但是，此时不满足直线4与4的斜率相等，故充分性不成立;

必要性：直线4与、的斜率相等，则直线4与4平行或重合，故必要性不成立；

综上，“直线4与12平行”是“直线4与k的斜率相等”的既非充分又非必要条件.

故选：D

3.（2023・全国•高二专题练习）已知443）,2（2,5）,C（6,3）,3（-3,0）四点,若顺次连接A,B,C,3四点,

则四边形的形状是（）

A.平行四边形