平面向量及其应用 （单元重点综合测试）解析版-2024-2025学年高一数学（北师大版必修第二册）

平面向量及其应用（单元重点综合测试）

考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分

第一部分（选择题共58分）

_、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列说法：

①零向量是没有方向的向量；

②零向量的方向是任意的；

③零向量与任意一个向量共线.

其中，正确说法的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【知识点】零向量与单位向量

【分析】根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可.

【详解】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误,

②③正确；

故选：C

2.在矩形"CD中，AB=3,4D=2,石为2C的中点，则麻+砺卜（）

A.VsB.VHC.713D.V15

【答案】C

【分析】利用阿+赤卜河+司=|画可得答案.

【详解】在矩形"CD中，AB=3,AD=2,E为"的中点,

所以BE=EC,AC=NAB；AD?=而,贝U

^AE+BE\=^AE+EC\=TAC\=413

故选：c.

3.如图所示，在正方形/BCD中，E为N8的中点，尸为CE的中点，则而=()

1—.—►3—»1—►

c.-AB+ADD-AB——AD

244

【答案】B

【知识点】用基底表示向量

【分析】由平面向量的线性运算逐步表示即可得解.

【详解】由题可知近=就，BE=^BA,CF=^CE,

贝|丽=就+而=诟+；元=诟+；(砺_丽=赤+诟］

=AD--AB--AD=-AD--AB

4224,

故选：B.

4.已知加工0,向量°=(加,〃),坂=(-2,〃?)，^\a+b\=\a-b\,则实数”=()

A.±V2B.V2C.-2D.2

【答案】D

【知识点】垂直关系的向量表示、已知模求参数

【分析】由3+年|"加，可得晨5=0,用坐标表示数量积，即得解

【详解】由F+冲”加

可得(〃+3)2=(。_杨2

—2-►—―2—2——-.2-►一

/.a+2a-b+b=a-2a-b+ba-b=0

a-b=—2m+mn=0,因为加w0,所以几=2.

故选：D

5.已知人18。，点G、V满足第+方+品=6,AG=3AM,则()

——»7—►1—>----►7—-2―►

A.BM=-BA+-BCBBM=-BA+-BC

9999

c~BM=-^A+-~BCDBM=--BA+-^C

3636

【答案】A

【知识点】根据向量关系判断三角形的心、向量的线性运算的几何应用

【分析】由已知可知G为△/水?的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的

性质可求.

【详解】G满足第+方+品=6,.\G为A/BC的重心，

21—►―►1—-——►

：.AG=^^(AB+AC)=-(AB+AC),

yi"."AG=3AM,

BM=BA+AM=BA+-AG=BA+-x-(AB+AC)=BA--BA+-AC

33399

^BA+LIBC-BA^^BA+LBC

99、/99,

故选：A.

6.与向量》=(12,5)平行的单位向量是()

【答案】D

【知识点】利用坐标求向量的模、平行向量(共线向量)、零向量与单位向量

【分析】与向量，平行的单位向量是±』，即可求解.

【详解】因为与向量)平行的单位向量是±』，同=标要=13,

所以土京=士借》

故选：D

7.已知[=],-闺，|*1"「斗6’则力在5上的投影向量为()

A.-邑B.一1C.斗D.与

2222

【答案】B

【知识点】求投影向量

【分析】由"，可得问=1,再由=两边平方可得力=1,由投影

向量计算公式即可得到“/在书上的投影向量.

【详解】因为好：力，所以1。“©+卜寺=i，

又W=i,,-口=6,

所以'-4=a-2a-b+^b=3,得=

(a-b\-bKa-b-b2b3-

所以向量力在让的投影向量为%二#/幺4=等.

HM\b\Pl2

故选:B.

8.在44BC中，点。在线段2c上，且满足丽=g抗，过点。的直线分别交直线相、

NC于不同的两点M、N,若加=冽刀，AN=nAC,则

A.〃+3加是定值，定值为4B.〃+2加是定值，定值为3

Cm.n是定值，定值为4Dmn.是定值，定值为3

【答案】c

【知识点】平面向量基本定理的应用、向量减法的法则

【解析】由3。=；。。可得+MD=tDN?AD=^-AB+-^—AC,根

J■iJ.IvJIIv

据平面向量基本定理可得结果.

【详解】因为而=:皮，所以近-在=:k-;赤，即石€在+;灰,

依题意设施=，而，贝U益-戒=，赤-看屈，

贝UND=+AM=mAB,AN=nAC?

所以心言方+2就，

m3

根据平面向量基本定理可得卜了:,消去何得机+3〃=4*即L2=4.

tn_1nm

j+7-4

故选：c

【点睛】本题考查了平面想向量的线性运算，考查了平面向量基本定理，属于中

档题.

第二部分（非选择题共92分）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的

得0分.

9.如图，在四边形中，若存=诙，则图中相等的向量是（）

A.而与前B.无与历C.衣与丽D.Jd与灰

【答案】AD

【分析】由京=就可得四边形是平行四边形，从而结合平行四边形的性质

对选项逐一判断即可.

【详解】对A,由京=成，四边形是平行四边形，所以诙=数，选项A正确;

对BD,平行四边形/BCD对角线4C与m互相平分，得痂=一而，Ad=OC,选项B

错误，选项D正确；

对C,显然k与而相交，他们不是相等向量，选项C错误；

故选：AD

10.如图所示，四边形/BCD为梯形，其中/8//CA,4B=2CD,M,N分别为相，CD

的中点，则下列结论正确的是（）

AMB

AAC=A15+-ABBMC=-AC+-BC

224

cMN=AD--ABD5C=AD+-345

42

【答案】AC

【知识点】向量的线性运算的几何应用

【分析】根据向量的线性运算分别判断各选项.

【详解】A选项：AC=AD+DC=AD+^AB,A选项正确；

B选项：MC=MA+AC=^BA+AC=^^BC+CA^+AC=^AC+^BC,B选项错误；

C选项：MN=MA+A15+DN^-^AB+Ai5+^AB^Ai5--AB,C选项正确；

D选项：BC=BA+AD+DC=^AB+AD+^AB=AD-^AB,D选项错误；

故选：AC.

11.U5C是边长为2的等边三角形，已知向量/满足育=2入AC=2a+b,则下列

结论不正确的是（）

A.|4=1B.a±b

C.a-b=\D.（即+5），打

【答案】ABC

【知识点】垂直关系的向量表示、用定义求向量的数量积、向量的模

【分析】由前=太-万=2£+否-2£，可判断A;计算a%=NWcosl20。的值可判断B,

C错误；计算（40+可灰=（4"3=4力+麻的值可判断D.

【详解】在△N8C中，由前=就一焉=2々+3-224,得|可=2,故A错误；

又运=2Z且画=2,所以同=1,所以£%=忖性0$120。=一1,故B,C错误；

因为（4々+叶贰=（4£+可%=4£%+恸2=4x（—l）+4=0,所以（42+5），苑，故D正确.

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量£=(1,2),3=(0,4),则:在£的方向上的数量投影为___.

【答案】塔/步

【知识点】平面向量数量积的几何意义

【分析】利用数量投影的定义可求答案.

【详解】向量”(1,2),『0,4),否在。的方向上的数量投影为中*二号

故答案为：学

13.如图，在正方形中，加=4,£为DC上一点，且52=3无，则瓦.赤=,

【答案】12

【知识点】向量的线性运算的几何应用、用定义求向量的数量积

【分析】利用平面向量的线性运算以及数量积运算进行求解.

【详解】在正方形N88中，AB-AE=AB-(AD+DE^~AB-~AD+JB-DE,

又N£>=4,£为DC上一点，且无=3反，

AB-AE=AB-AD+AB-DE=0+4x3=12.

故答案为：12.

14.三国(220年〜280年)是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、

东吴三个政权.元末明初的小说家罗贯中依据这段历史创作了《三国演义》全名

为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成

合作经常派使臣往来，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰能走3。公里,

一天最多能跑1。个小时，十天能到达.如果吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的

都城在蜀国都城的北偏东30。，相距约1000公里，那么吴国都城一叛徒要向魏国都

城告密大约需要（填整数）天能达到魏国都城.（行会.65）

【答案】9

【知识点】余弦定理解三角形

【解析】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为A、B、C,可得出48=1000公里,8c=1500

公里，ZABC=60\利用余弦定理求出/C,再除以150可得结果.

【详解】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为A、B、C,

由题意可知，48=1000公里，2C=1500公里，/ABC=60。，

由余弦定理可得NC=^AB2+BC2-2AB-BCCOSZABC=50077~1325公里,

•••尉、8.8（天），故叛徒大约需要9天才能到达目的地.

1DX1U

故答案为：9.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.(13分)已知内=分|=5,当(1)a//b;(2)a-Lb;(3)7与5的夹角为60。时,

分别求值与5的数量积.

【答案】(1)-30；(2)0；(3)15.

【知识点】用定义求向量的数量积

【分析】(1)就&与5同向或反向分类讨论，结合数量积的定义可求两者的数量

积.

(2)若打5,则两向量的夹角为直角，从而可求两者的数量积.

(3)利用数量积的定义可求两者的数量积.

【详解】设a与5的夹角为。.

(1)若方与5同向，贝(1=0。,a-b=\a^b\-cos00=6x5=30；

若万与5反向，则。=180。，a-b-\a\-\b\cos180°=-6x5=-30.

(2)若〃5,贝心与5夹角为90。，7g=|£||g|cos9(F=0.

(3)万与5的夹角为60。，a-b=\a\\b\cos60°=6x5x^-=15.

16.(15分)已知向量。与B的夹角且忖=3,%2后.

(1)求2%,卜+q；

(2)求°与办5的夹角的余弦值.

(3)若札(2,2),求“在B上的投影向量.

【答案】(1)a-b=-6,|<2+^|=A/5；(2)g;(3).

【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、平面向量数量积的几何意义、向

量的模

【分析】（1）直接利用数理积公式求解2%即可，由于P++同斤=庐前后,

然后代值求解即可;

（2）利用向量的夹角公式直接求解即可;

（3）利用投影公式直接求解即可

【详解】（1）由已知，得H=，H*OSO=3X2后x—-=一6,

,+++21.3+片=小?+2x（-6）+（2后）=45;

（2）设£与入石的夹角为。，

++a-b_9-6_y[5

贝Ucosa====

\a[\a+b\^^3^5~

因此，z与Z+B的夹角的余弦值为g

(3)因为B=(2,2),

所以Z在B上的投影向量为同cosdg=3x（一争x（孚争=（一I，一|）

17.（15分）在ZU5C中，内角4,B,。的对边分别为a,b,c,已知

(sirk4+sinC)(sinC-sirk4)=sin5(sinC-sin8).

（1）求角力的大小；

（2）若6=2,A45C的面积是孚，求。的大小.

【答案】（1）N4=600;（2）a-y/1.

【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的

应用

【分析】（1）本小题先运用正弦定理角化边，再运用余弦定理求角4即可；

（2）本小题先运用面积公式求。，再运用余弦定理求。即可.

【详解】解：⑴在ZUHC中，由正弦定理得：sin/=V，sin8=9sinC=1,

ZAZAZA

■:(sirL4+sinC)(sinC-sirk4)=sinS(sinC-sinB),

A2A+2A2A-2^-2A2A-2AJ整里倚：b+c~a=bc,

由余弦定理得：cos//,+、―=.=；,

2bc2bc2

・・・N4=60°

(2)•••在中，b=2,A18C的面积是孚，

S=^bcsinA,解得：c=3

由余弦定理得：a2=〃+c2_26ccos/即/=22+32-2X2X3X；=7,

a-y/1

【点睛】本题考查正弦定理角化边、面积公式、余弦定理求边角，是基础题.

18.(17分)如图，在“8C中,角43,C所对的边为+,6,c,已知csinC+lsinB=asin/+csin8,

。是边5c上的点，满足加=2丽，AD=2.

⑴求角A大小；

(2)求三角形面积s的最大值.

【答案】⑴方

⑵孚

【知识点】基本不等式求积的最大值、数量积的运算律、三角形面积公式及其应

用、正弦定理边角互化的应用

【分析】(1)根据正弦定理和余弦定理可求出结果；

（2）根据平面向量知识得到36-2bc=〃+4c2,再根据基本不等式求出A的最大值,

最后根据三角形面积公式可求出结果.

【详解】（1）由csinC+6sinB=asin/+csin8及正弦定理可知,c2+b2=a2+bc,

由余弦定理知，又北（0㈤，力=1

2bc23

（2）因为函=2丽，所以近-就=2（次-屈），

所以诙=；就+g而，又府|=2,

西丁，就+：刀］所以府就+：方［=1|IC|2+1|ZB|2+^|^C|.|A8|cos^,

即4=*+#+|历,

36-26c=〃+4c2N2飞4bW=46c，解得6c",当6=2c=26时等号成立,

:.S=-bcsinA<-x6x^-=373

222—

即三角形面积S的最大值为号.

19.（17分）已知a,b,C分别为△N8C三个内角A,BC的对边，且

2b=c+2QCOSC.

⑴求角A；

（2）若cos3=*,求sin（25-/）的值；

⑶若UBC的面积为胃，。=3,求ZUBC的周长.

【答案】⑴三

ZQ\2V2+V3

（）-6-

（3）3+回

【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公

式及其应用、余弦定理解三角形

【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用内角和定理与和角的正弦公式