平面向量及其应用 章末题型归纳总结（培优篇）（10大题型）解析版-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第二册）

平面向量及其应用章末题型归纳总结

（培优篇）

【题型归纳目录】

题型一：向量的线性运算

题型二：向量的数量积运算、夹角、模长

题型三：向量范围与最值问题

题型四：余弦定理、正弦定理

题型五：平面向量的实际应用

题型六：解三角形范围与最值问题

题型七：图形类问题

题型八：三角形形状判断与多解问题

题型九：解三角形的实际应用

题型十：中线、角平分线、高问题

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点1:向量的有关概念

(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)向量的模：向量在的大小，也就是向量下的长度，记作|而

(3)特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于1个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：6与任一向量平行.

④相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量.

知识点2：向量的线性运算

(1)向量的线性运算

运算定义法则(或几何意义)运算律

①交换律

求两个向量和的a+b=b+a

加法厂丁

运算aa②结合律

三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=a+(b+c)

求@与B的相反

向量的和的

减法ci—b=6Z+(~b)

运算叫做I与Ba

的差三角形法则

(1)|Aa|=|21|51

4(4万)=(2//)3

求实数X与向量(2)当几>0时，23与万的方向相同；当

数乘(A+/Li)a=Aa+jLta

@的积的运算2<0时，25与万的方向相同；

4(万+B)=Aa+Ab

当2=0时，23=0

知识点3：平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果方=痛（力€幻，贝Ui/区；反之，如果//区且BwO,则一定存在唯一的实数；I,使@=/.（口

诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.

2、平面向量基本定理

如果1和易是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量3,都存在唯一的一对

实数4,使得@=41+々尾，我们把不共线向量I，尾叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为

{—e?},+^62叫做向量3关于基底{乌勺}的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1与最不共线，平面内的任一向量G都可以分解成形如

方=4q+402的形式，并且这样的分解是唯一的.4华+402叫做q,e2的一个线性组合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.

推论1：若N=4q+4e?=4弓+402,则4=4，%=4.

推论2：若1=41+4最=0，则4=4=0.

3、线段定比分点的向量表达式

如图所示，在△N8C中，若点。是边3c上的点，且丽=彳友（47-1）,则向量

方+2就

~AD=.在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”

1+2

之功效，建议熟练掌握.

4、三点共线定理

平面内三点N,B,C共线的充要条件是：存在实数使反=2a+〃砺，其中彳+〃=1,。为

平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

A.B、C三点共线

O存在唯一的实数;I,使得就=几而；

o存在唯一的实数X,使得云=刀+4万；

o存在唯一的实数；I,使得云=（1-㈤刀+2砺;

O存在2+〃=1,使得皮=疝+〃砺.

5、中线向量定理

如图所示，在△NBC中，若点。患边2c的中点，则中线向量方=；(荏+*)，反之亦正确.

知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算

(1)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与X轴，》轴正半轴方向相同的两个单位向量7,7作为基底，那么由平面向

量基本定理可知，对于平面内的一个向量万，有且只有一对实数%/使5=%:+百，我们把有序实数对(XJ)

叫做向量)的坐标，记作5=(%/).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

向量(x,y)、对应)向量CM、=.布废)点A(x,y).

(3)设值=(再,必)，b=(x2,y2),贝！J。+(=(占+%2，%+%)，a-b=(xx-x29yl-y2),即两个向量的和

与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若不=(%/),2为实数，则=即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应

坐标.

(4)设4(再,必)，5(x2,y2),则45=。3-04=(芯-%2，%一%),即一个向量的坐标等于该向量的有向

线段的终点的坐标减去始点坐标.

(5)平面向量的直角坐标运算

22

①已知点4(不，必)，B(X2,y2),则45=(%2-再，歹2-必)，|AB|=^/(x2-xj+(j2-y^

②已知N=(%i，必)，b=(x2,y2),贝！J=(玉±々，乂士%)，4万=(九%1，%必)，

a-b=xrx2+yxy2,|a|=Jx；+y；.

a//box1y2-x2y1=0,aLb<=>xxx2+yxy2=0

知识点5：平面向量的数量积

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量G与人我们把数量miiBicosd叫做）与彼的数量积（或内积），记作。石，即

a-b=\a^b\cos0,规定：零向量与任一向量的数量积为0.

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|2|cosd叫做向量）在3方向上的投影数量，当。为锐角时，它是正数；当。为钝角时,

它是负数；当。为直角时，它是0.

②24的几何意义：数量积2%等于,的长度|2|与Z在日方向上射影|Z|cos。的乘积.

③设3,3是两个非零向量，它们的夹角是。力与3是方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,过万

的起点4和终点8,分别作画所在直线的垂线，垂足分别为4,耳，得到丽，我们称上述变换为向量3

向向量行投影，病叫做向量万在向量B上的投影向量.记为旧|cos在.

知识点6：数量积的运算律

已知向量石、Z、2和实数X,贝I」：

@a-b=b-a；

(2)(Aa)-b=2(5-b)=a'(Ab)；

@(a+b)-c=a-c+b-c.

知识点7：数量积的性质

设方、1都是非零向量，"是与Z方向相同的单位向量，e是日与"的夹角，则

(T)^-a=a-?=|a|cos6.@a1b<^>a-b=Q.

③当方与Z同向时，a-b^a\\b\；当方与Z反向时，a-b^-\a\\b\.

特别地，鼠或值|=后房.

④cos6="'(\a\\b|^0).⑤[Z]W]&|向.

\a\\b\

知识点8：数量积的坐标运算

已知非零向量2=（西，乂），b={x2,y2）,6为向量方、6的夹角.

结论几何表示坐标表示

模a\=yja-a1a\=y]x2+y2

数量积

a-b=\a\\b\cos0a-b=x1x2+yxy2

COS”,中2+22

cos0=

夹角Wg西+才•收+式

\a\\b\

的充要

a-b=0西工2+其力=0

条件

a//b的充要

a=AbCbw0)x,y2~x2yt=0

条件

a-^<|a5（当

I与

1项，+yty2氏

且仅当3〃3时等号成；+＞；,也；+

|初,|的关系Jxy2

立）

知识点9：正余弦定理

（1）正余弦定理：在八42。中，角B,C所对的边分别是a,b,c,R为A43C外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

，上=上=2a

公式b2=c2+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC.

,b2+c2-a2

cosA=---------------；

(1)Q=2Rsin/,b=2RsinB,c=2RsinC；2bc

ahcnc2+a2-b2

常见变形(2)sin/=——,sinB=——,sinC=——；cosB=---------------；

2R2R2Rlac

-a2+b2-c2

cosC=---------------.

lab

（2）面积公式:

S.ABC=—absinC=—Z>csin^=—acsinfi

222

&/8。=笔=；（°+6+°）"。•是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,八）

知识点10:正余弦定理的相关应用

（1）正弦定理的应用

①边化角，角化边oa:6:c=sin/:sing:sinC

②大边对大角大角对大边

a>bo4>5osin/>sinBocosA<cosB

a+b+ca+bb+ca+cab

③合分比:=2R

sin4+sin8+sinCsinZ+sin5sinB+sinCsin4+sinCsin/sinBsinC

(2)△ZSC内角和定理：A+B+C=TI

①sinC=sin(/+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccos4+QCOSC.

②-cosC=cos(4+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，一tanC=tan(A+B)=t&n'+tan'=tanA+tanB+tanC=tanA-tanB•tanC

J1一tan/•tanB

,--x..A+BCA+B.C

出sin(---)=cos—；cos(---)=sin—

⑤在ZU2C中，内角4B,。成等差数列o3=2,/+C=^

知识点11:解三角形的实际应用

1、仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）.

铅

垂

线

2、万位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如8点的方位角为a（如图②）.

3、方向角：相对于某一正方向的水平角.

（1）北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.

（3）南偏西等其他方向角类似.

4、坡角与坡度

（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角。为坡角）.

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，z.为坡度）.坡度又称为坡比.

【典型例题】

题型一：向量的线性运算

【例。如图，已知点G是△N8C的重心，过点G作直线分别与42,4C两边交于"，N两点，设

AM=xAB>AN=yAC则x+9y的最小值为（）

23

【答案】C

如图，延长/G交BC于点。，因点G是的重心，

—>2—.21—.—>1—.1—>„

因M,G,N三点共线，贝1]小>0,使恁=1疝7+（1-/）丽，

因而=x刀，AN^yAC，代入得,AG=txAB+（l-t）yAC,②

1

tx=-]]]

由①，②联立，可得，3,,消去r即得，力一+一）=1,

八、13x歹

贝仃+9>=（工+9>）.：（工+~!"）=：（10+±+红）2；+?.2囱=?,

3xy3yx333

当且仅当x=3y时等号成立，

4416

即x=§/=5时，x+9了取得最小值，为?

故选：C.

【变式1-1]如图，在平行四边形/3C〃中，M是的中点，DM与AC交于氤N,设9=£,AD^b，

则丽=（）

2-1

B.—a——b7

33

1-271-27

C.——a+—bD.—a——b

3333

【答案】A

【解析】依题意在平行四边形NBC。中，AM//CD,

又M是N5的中点，则==

又DM与AC交于点、N,

所以&ANM~ACND,则四=处=1,

CNCD2

所以诉=#,

y.AB=a,AD=b,

所以丽=诉-方△就-万=1（方+词-方=-22§+工近=一马+）

33、'3333

故选：A.

【变式1-2］如图，42是以CD为直径的半圆圆周上的两个三等分点，AN=^AB,点M为线段NC中点,

1―►2—►

B.-DC+-DN

3223

1—►1—►2—►1——►

C.-DC+-DND.-DC+-DN

2332

【答案】D

【解析】因42是以。为直径的半圆圆周上的两个三等分点，易知=

——►2—►?1—►1—►—►——►—►——►——►—►1—►?——►—►

由题设M4=—B4=—x—OC=—,CA=CD+DN+NA=-DC+DN+-DC=——DC+DN,

332333

-----►—►—»—►1—►—»1(9—►—A2—►1—»

由题意OM=DC+CN=℃+—G4=OC+—X--DC+DN\=—DC+—DN,

22I3J32

故选：D

【变式1-3］如图，在△A8C中，点。是2C的中点，AC^3MC^4NC，分别连接MO、NO并延长，与边

N8的延长线分别交于尸，0两点，若刀=-2质,则。=()

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】B

【解析】因为跖。*三点共线，所以布=彳而+〃N"+〃=i,

又因为O是8c中点，所以汨=g就+；方，因为太=3就，所以京

—►»—►1—►1—►2—»—»31

所以40=+==尸，贝lJ4=a，〃=a，

所以,刀」衣，衣二2万,

24

因为N。,。三点共线，所以加=4芯+从而，4+4=1,

又因为0是8c中点，所以屈=!■就+；方，因为刀=4而，所以而

所以前=4赤+%而=方=14%+从而，则4=g，〃i=1,

1—,1—►—►3—►

所以==

所以闻=而一方=5万-2万=_/万，万=一2所,

所以4=1.

故选：B.

题型二：向量的数量积运算、夹角、模长

【例2】已知向量4与B的夹角。=与，且同=3,问=2.

⑴求M+4；

(2)3在苕上的投影向量；

⑶求向量2与日+B夹角的余弦值.

【解析】(1)由向量a与B的夹角。=会，且同=3,问=2,得小B=3x2x(-g)=-3,

la+^|2=a2+P+25-6=9+4-6=7,所以归+可="

Z7•A-I

(2)b在M上的投影向量为*。=-：屋

⑷3

(3)a'{a+b}=a2+a-b=9—3=6,则cos〈扇子+6)二一(——=---j==~~~,

|a||a+b|3x，77

所以向量5与2+B夹角的余弦值为二.

7

【变式2-1］在平行四边形45c。中，4B=3,AD=2,若M,N分别是边5C,CO所在直线上的点，且

满足嬴=k反,CN=kCD^^e(-l,l).

n__________厂c

(1)当4048=90。，4=g时，求向量介和诉夹角的余弦值；

(2)当-048=60。时，求初.丽的取值范围.

【解析】⑴当4、时，AM=AB+-BC=AB+-AD,同理=

(2)AM=AB+kBC=AB+kAD,AN=AD+^-k)AB,

故AN•AM=［(而+(1-斤)洞］.(刀+后码

=kAI)+(l-k)A^B2+(\+k-k2)AD-AB

=4/C+9(1-^)+(1+/C-^2)X2X3X-

=-3左2-2左+12=-31后+gj+y,

-------37

因为一1〈左<1,W<AN-AM<—,

故而•新的取值范围为卜,斗,

【变式2-2】已知非零向量2,B满足同=1,且（23+孙（2”B）=3,b-（a-b]=--.

⑴求W的值；

（2）证明：3_1_（4-2彼）；

⑶设B与"3的夹角为。，求归叫及cos。的值.

【解析】⑴因为侬+孙侬-9=3,

所以4/-庐=3,故4同2卡1=3,

又问=1,

所以问=1,

(2)因为3@_石)=_；,

所以》Z-必=-g,又问=1,

一1

所以方年=7,

2

所以a-(d_2B)=/_27B=]_2xg=0,

所以3“1-25)；

(3)因为归一同==不(@-B)=^a-1a-b+b~=1,

所以口_.=1,

b-(a-b)

因为8$。=闩^~

又B•(万-B)=-W=L归-q=1，

所以cosp=-g.

【变式2-3］已知|码=&,扬|=1,4与B的夹角为45。.

⑴若2G+36与位-不共线，求实数/的值；

（2）求11+23|的值;

⑶若向量（21-花）与（府-33）的夹角为锐角，求实数A的取值范围.

【解析】（1）因为2,+33与应-彼共线，

所以存在实数加使得23+3彼=m（ta—b}=mta-mb,

（cfm=-3

\mt=22

所以，，解得2,所以"-彳；

-m=3t=——3

I3

（2）因为|引=正，出|=1,方与B的夹角为45。，

所以苕石=|苕卜|豆「COS45O=Qxlx-^-=1,

所以历+2讨=片+405+4川=2+4+4=10,

贝1］团+2"=厢：

（3）向量（2々-4）与（府-3坂）的夹角是锐角，

可得（23-文3>（24-3B）>0,且（21-几可与（23-3句不同向共线，

即为2A52+32庐-（6+A2）a-b>0,

即有74-（6+万）>0,解得1<彳<6,

由（2）-4）与（X3-3B）共线，可得2.（-3）=-2,4,

解得彳=±6，当2=灰时，两者同向共线，

则实数2的取值范围为（1,n）5八,6）.

题型三：向量范围与最值问题

【例3】如图，在方格纸（每个小方格边长为1）上有4,B,C三点，已知向量々以/为始点.

⑴试以8为始点画出向量g,使］在£方向上的投影向量为力，且网=26，并求鼠g的值

（2）设点。是线段/C上的动点，求丽.丽的最大值.

【解析】（1）由图知，d=（2,0）,同=2,

因为刃在Z方向上的投影向量为无，所以否在£方向上投影数量为2同=4,

设B=(x,y),则■^■=整=4，即x=4,

又W3+/=2行,所以〉=土2,所以分=（4,±2）,

故以2为始点的向量g如图，

(2)易知，5C=(3,-l),C3=(-2,3),

设丽=40,(0工/141),贝I」丽=(一24,3/1),而=前+丽=(3-24,3/1-1),

所以丽•丽=-24(3-24)+3/1(3/1-1)=131-94,

由二次函数性质可知，当4=1时，左方•丽取得最大值4.

【变式3-1］如图，四边形48。是正方形.E在边48上运动，尸在边BC上运动，力尸与DE交于点G.

⑴若E是48的中点，BC=3BF,AG=AAF,求实数几的值；

（2）若AE=BF,DG=mDA+itDF.求一的最大值.

m

【解析】（1）如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6,

则40,6),尸(6,4),D(0,0),E(3,6),所以方=(6,-2),方=(3,6),

设点G(x,y),则/G=(x,y-6),

由就=4万，得(%/-6)=2(6,-2),

x=6Ax=62

所以,即得到G(646-24),

y-6=-2Ay=6-2A,

设丽=〃诙，贝1)(646-24)=〃(3,6),

6A=3〃3

所以解得力=7

6—24=6〃

（2）因为4G,尸三点共线，且而=优万2+”而，

所以加>0,〃>0,加+〃=1,

设正方形的边长为1,AE=BF=x(Q<x<\),

则应0,1),5(1,1),C(1,O),£>(0,0),£(x,l),尸(1,1-x),

所以方=(0,1),DF=(l,l-x),反=(x,l),

所以DG=mDA+nDF=(n,m+n-nx)=(n,l-nx),

又方己//无，所以〃=X

所以〃=%2'm=1一〃=-——

1+x21+x2

X

1+/X

所以一=

m1X?—X+1X2—X+1

1+x2

V!

若x=0,贝！J—=0,

m

n_x

若x£(0,1],贝!J加%2-x+1

当且仅当x=L,即X=1时，等号成立,

X

综上所述：2的故大值为1.

m

【变式3-2］如图1所示，在△4BC中，点。在线段BC上，满足3函=丽,G是线段上的点，且满足

3AG=2GB，线段CG与线段4D交于点。.

(^AD^xAB+yAC，求实数x,y的值;

⑵若刀=力而，求实数/的值；

(3)如图2,过点。的直线与边/瓦NC分别交于点E,F,设存=4诟，万=〃衣，(九>0,〃>0),求丸+〃的

最小值.

—.1—■

【解析】(1)因为3①=丽所以CD=：CB,

4

所以诟=%+而=衣+，赤=

4444

13

所以

,__k,___,__o______„__,

(2)由题意可知：GC=AC-AG=AC--AB=--AB+AC,

GO=AO-AG=tAD-AG=tAD--AB=t-AB+-AC]--AB=(---)AB+—AC,

5U4J5454

又因为G,O,C三点共线，所以存在实数左使得诙=左衣，

(^-^)AB+^AC=k(-^AB+AC)=-^AB+kAC,

t2_Ik8

t=——

45-5

所以：解得：

k=§

—=k

14〔ii

o

所以

(3)易知9次=刀」左=就，

Z〃

_.8—►81—►3—►2—►6—►21—►61—►2—►6—►

由(2)知40=—/。=—(—45+—4C)=—/B+—4C=—x—4E+—x—力方=——/£+——AF,

方111144111111211//1U11〃

又因为瓦。,厂三点共线，所以11r已=1,又彳

6、/o、82〃628.12//6A8\叵8+473

所以:!+//=(—+——)(4+//)=—+^^+——>—+2A—x——+2=

11211〃111U11〃11\11213TTVTF^^

=奇，即好巾，八空时取等号,

当且仅当言

iIX

所以"+"的最小值为驾g

【变式3-3］如图，在菱形4BCD中，AB=2,E是CD的中点，且万.就=9.

(1)求cos/ZEB；

(2)以A为圆心，2为半径作圆弧，点尸是弧DB上的一点，求定.丽的最小值.

【解析】⑴因为衣=荔+石，^E=AD+DE=^AB+AD,

所以元.亚=(万+存+而]=；而+|而•近+通2=|zs.2o+6=9,

所以瓦•万=2，

,n.DAD■AB1兀

所以COS4M8=^W=5,又/D/8e(O,7i),所以ND43=§.

・•.△5CD为等边三角形，又「E是C。中点，

向

.•.8£_LCD,.-48£是直角三角形，BE=2x—=>5,AB=2,

2

I---------BE拒历

.,./£=也+后=V7，•■■cosZAEB=—=-^==—；

(2)以A为坐标原点，/B所在直线为x轴，垂直于48的直线为了轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

则3(2,0),C(3,g),设尸(2««425.6)[0^夕4])

所以丽=(2-2cos0,-2sm0),PC=(3-2cos26-2sin6»),

所以尸8.PC=(2-2cos^,^sin0)-^3-2cos6),^3-2sin0j=10-lOcos。一2V§sind=10-4^7sin(6(+^?),

10

其中sm展正，

故当e+°=|•时，及?.而取最小值，

所以丽.无=10-4近，此时sin(19+0)=l.

题型四：余弦定理、正弦定理

JT9

【例4】在△45。中内角4瓦。所对边分别为。也。，若5=§万=^。。，贝usiiL4+sinC=()

A.-B.V2C.—D.-

222

【答案】C

TT941

【解析】因为3=鼻万=：ac,则由正弦定理得sirUsinC=gsin28=3.

9

由余弦定理可得：b1=a2+c2—etc=—ac,

4

22131313

即：a+c=—acf根据正弦定理得sin2z+sin2c='siii4sinC=」，

4412

7

所以（siih4+sinC）2=sin?/+sin2C+2siiL4sinC=—,

4

因为4。为三角形内角，则siib4+sinC>0,贝Usiih4+sinC=五.

2

故选：C.

a/

【变式4-1]△/BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,△45C的面积为二，且6=1,C=^~,

43

则边c=（）

A.7B.3C.V7D.V13

【答案】C

【解析】由S《Be=！a6sinC=Lqxlxsin¥=Y^a=*亘，解得。=3,

c22344

由余弦定理得c?=a2+/-2abcosC=32+12-2x3xlxcosm=7,所以c=V7.

故选：C.

【变式4-2]在△48C中，a,6,c分别是角4民。的对边，若云0$。+（<?-24）«）$2=0,

⑴求角8的值；

⑵若方•数=-2，且满足siiU+sinC=2sia8,求△4BC外接圆的半径R.

【解析】（1）由正弦定理得sin8cosc+（sinC-2sin/）cos5=°,

z.sinBcosC+sinCcos5=2sincosB,则sin（8+C）=2sin/cos3,

又sin（B+C）=sin（兀-4）=sin/,贝!!sint=2sinZcos8,

17r

,「sin/wOncost=5,又§£（0,兀），故B=

（2）由ABBC=ac,cos（7t-3）=—;ac=-2=>ac=4.

由余弦定理得：b2=/+。2-2QCCOS5,又sinZ+sinC=2sin5=>Q+c=26,

所以（"=（Q+c）2-3ac

3（<:。）=12=>（42+c）2=16na+c=4,b=2,

揖=工=」=巫,・.R=空.

sinBsin60°33

a

【变式4-3】已知△/5C的内角4尻。的对边分别为。也。，且ccosB+bcosC=

2cosZ

（1）求角/的大小;

(2)若MBC的面积为4右,.=34，求△ABC的周长和外接圆的面积；

0sm/

【解析】(1)由ccosB+bcosC=---------,由正弦定理得sinCeos5+sin5cosC=----------

2cosA2cosA

sin/4sin/t1

从而有sin(5+C)=---------=sin/=---------,sin/wO,贝Ucos4=一,

2cosA2cosA2

兀

由0<4<兀=4=1；

(2)因为S=」bcsin4=工6(>^^=4\^,所以bc=16,

222

由余弦定理得：a2=b2+/-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA,

即27=0+0)2—3x16,解得6+0=56，

所以周长为〃+6+。=3用56=85

a_36

设外接圆半径为凡由嬴一^一，得R=3,

sin—

3

所以外接圆面积旅2=32兀=9兀.

题型五：平面向量的实际应用

【例5】一条河的两岸平行，河宽600m,一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的

大小为4km/h,水流速度的大小为2km/h.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）

为（）

A.0.17hB.0.15hC.0.13hD.0.1Oh

【答案】A

【解析】设一艘船从岸边/处出发到河的正对岸，设船的速度同=4km/h,水流速度归|=2km/h,

要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度恐必须垂直于对岸,

故选：A.

【变式5-1］如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度司的大小为10km/h,水流的速度E的

大小为4km/h,则游船要从/行到正北方向上位于北岸的码头B处，其航行速度的大小（）

A.2后km/hB.2历km/hC.2而km/hD.14km/h

【答案】A

【解析】设］与E所成的角为伏°＜。＜兀），

由题意得，（V1+V2）-V2=V1-V2+^=10X4XCOS0+16=0,

2

则cos0=~—

2

（Vj+V2）+片+2?西=100+16-2x10x4x1=84,,+口=2技.

故选:A

【变式5-2】有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的大小为15km/h,方

向为北偏西30。，河水的速度为向东7.5km/h,求小船实际航行速度的大小与方向（）.

A.当JSkrn/h正北B.£6km/h与水流方向夹角为63.4。

C.5Vykm/h与水流方向夹角为41。D.J瓜m/h垂直于河岸

【答案】A

【解析】如图，冠为河水速度，就为小船航行速度，设近为小船实际航行速度.

D

设E为渡口A在对岸对应的点，则Z4EC=90。，NC4E=30°,

在A/CE中，•.,"=］狗=15,...CE=；NC=7.5=国|,

:.E和D重合，|石|=NE=一防2=加S=yV3（km/h）.

二小船实际航行速度的大小为♦瓜m/h,方向为正北方向.

故选：A.

【变式5・3】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为

G＞作用在行李包上的两个拉力分别为耳，耳，且园=|司，耳与耳的夹角为凡给出以下结论：

①"越大越费力，d越小越省力；②。的范围为［0,可；

③当时，行园=同；④当夕三时，园=同.

其中正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】A

【解析】根据题意,得恂=|耳+园，园=园,耳与瓦的夹角为6,

所以恸2=同2+同2+2园X园Xcos。=2同2（1+cos0）,

解得同2=—H-，

I।2（1+cos0）

对于①，因为。目0,兀）时，y=cos。单调递减,

所以"越小越省力，e越大越费力，故①正确；

对于②：由题意知©的取值范围是［o,兀)，故②错误;

对于③：因为庐M_,所以当时，庐「=同，