平面向量中的最值问题-2025年高考数学一轮复习专练

平面向量中的最值问题专题练

2025年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,以C为圆心作与直线2D相切的圆，P为圆C上且落在

四边形ABCD内部任意一点，AP=AAB+^AD,若4+则角A的范围为（）

2.点尸是边长为1的正六边形ABCDE5边上的动点，则西.丽的最大值为（）

1113

A.2B.—C.3D.—

44

3.如图，圆。|和圆。2外切于点P,A,B分别为圆。।和圆。2上的动点，已知圆。]和圆。2的半径都

为1，且丽・丽=-1，则国+而]的最大值为（）

A.2B.4C.2点D.2A/3

4.已知向量满足|万+田=4,|£-B|=3,则向+出|的范围是（）

A.[3,5]B.[4,5]C.[3,4]D.[4,7]

5.在AABC中，BC=2,ZBAC=^,。为8C中点，在AABC所在平面内有一动点尸满足丽.丽=

PC'PD，则Q.而的最大值为（）

A.回B.毡C.V3D.正

333

6.己知施工是平面向量，且"是单位向量，若非零向量£与工的夹角为向量B满足入4独+3=0,

则卜-可+忸-同的最小值是（）

A.亚-2B.75-1C.2D.垂

7.在VABC中，”是边8C的中点，N是线段的中点.若NA=}VABC的面积为g,则刘乙丽

O

取鬟小值时，贝!J25C=（）

A.2B.8g-12C.6D.4

8.已知尸3MN是半径为5的圆0上的两条动弦，|①1=6,WM=8,则|而+的最大值是

A.7B.12C.14D.16

二、多选题

9.已知向量2，b，2为平面向量，卜|=1，|@=2,>刃=0，p-4=g，则（）

A.l<|c|<|B.（］孙仅用的最大值为号1

C.-l<b-c<1D.若c=X〃+〃Z?，则丸+4的最小值为1一

10.已知点0（0,0）,A（2,l）,B（l,2）,p（cosa,sina）（0<a<2K）,则下列结论正确的是（）

TT

A.若&=不，则福_L丽B.若丽〃丽，贝1」&=不

4

—,—124

C.若A3•。尸=-二，sin2a=不D.|而|的最大值为君+1

11.“圆幕定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆

内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆。的半径2,点P是圆。内的定

点，且。尸=应，弦AC，班>均过点尸，则下列说法正确的是（）

A.西.卮为定值

B.市•历的取值范围是［-2叫

C.当ACL3。时，荏.赤i为定值

D.|*N画的最大值为16

12.在△Q45中，04=1,08=2,408=120。，点p是等边VABC（点。与C在A3的两侧）边上的

一动点，^OP=xOA+yOB,则有（）

19

A.当x=；时，点P必在线段AB的中点处B.尤+＞的最大值是；

22

_'77'

C.OPOA的最小值是-1D.丽.丽的范围是一

三、填空题

13.如图所示，8是AC的中点，丽=2砺，尸是平行四边形3CDE内（含边界）的一点，且

OP=xOA+yOB（x,y&'R）,则当y=2时，x的范围是.

14.己知圆。：/+.y2=i6,点P（l,2）,M、N为圆。上两个不同的点，S.PM.PN=O^PQ=PM+PN,

则忸耳的最小值为.

15.在中，AB=2A/3,ZAPB=1,点Q满足而=2（7+①），则丽•诙的最大值为.

16.在VABC中，ZA=60。，BC=1,点。为的中点，点E为CD的中点，若2/=耳2（7,则荏.通

的最大值为.

17.已知向量乙、很满足：|”@=4,忖=后代.设m一5与Z+B的夹角为e,贝Usin”的最大值

为.

―.7—■

18.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，AD=§AC,且点尸在以AD的中点。为圆心、OA

为半径的半圆上，若丽会丽+隹心，则下列说法正确的是.

@BD=—BA+—BC②x+y的最大值为1+

333

③丽.瓦;最大值为9®BODO=1

19.等边VABC外接圆圆心为。，半径为2,00上有点M,丽=尤丽+y册.

⑴若M为弧AC中点，求x+y；

⑵求说.血最大值.

参考答案:

1.B

由衣=2瓶+〃正，当尸在直线50上时，％+〃=1,

当圆。与的切点在。8延长线上时，圆。落在四边形ABC。内部部分与直线。5没有公共点，此时

X+〃>1,

当恰好切于点8时，则408c=],又CD=AB=2,BC=AD=1,

所以cosNBCr>=或=L,贝！|NBCD=百，

CD23

所以ZDBC>],则0<N8Cr><4，故Ae10,；

2.C

分别取A3,DE中点。，R,连接尸。，QR,

贝U由题QA=；,BD2=DC2+BC--2DCxBCxcosZBCD=1+1-2x1x1xcos1200=3,即BD=6，

所以QD/QB-BD?=卜^=后=警,

作图如下，由图可知当尸运动到。或E时PQ最大,

所以丽.丽=（丽+私）•（而+/）=（而+诬）-（而-诬）

——-2——-2——-21---21

=P……°___尸,

所以西•丽的最大值为3.

3.D

西.闻=（可+印）.（屈+型）=西.他+西•◎+用・构+印.孽

所以|印.◎『曰胸『+|印『一2四.孽，即|席.④『+2印.◎_2<0,

解得一1一取•孽W—1+G.

|PA+PB|2=西+帝+啊+期2=|泵+期?二钢?+取1+2场.孽

=2+2QA-^B<2+2X(-1+73)=2A/3.

4.B

|a|+|5|>max||a+5|,|a-Z?||=4,

由于：婀+利=/+片+2用年

I—,■—>12I—»—»|2/—*2f2\—*2,—*2.—*2.~*2—»2—»2I—»||—»|

25=〃+〃+〃_)=2(〃+5\=a+b+a+b>a+b+2叶。,

当且仅当口=M时等号成立.

所以(，卜忖)2W,+@+1_目=25,

所以问+帆45,

所以4V问+忖45.

5.D

由丽・丽=丽•丽，得丽•(丽一丽)=0，即丽•前=0，

所以布-~BC=(AD-PD)-~BC=AD-~BC-~PD-~BC^AD-~BC.

设8AC所在圆的圆心为"，连接M3、MC、MD,

““八BDA/3.BD2yf3

则Affl_LBC,/BMC=一，可得8£)=1,一^一H，'.n

3tan-sin-

33

以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系,

4

可得C（2,0）,D（L0）,M,圆M的方程为（x-l『

3

设A（MVZ）,则赤=（1一肛一同，结合配=（2,0）,

可得莅屈=2(1-切)+0=2-2〃2,

<J-\2

因为A点在圆M：（X-1）-+y--1=^上运动，

所以1一2叵4m41+2包,可得当加=1_2叵时，2-2根=2-2（1-士叵）=隹，达到最大值.

33333

综上所述，当机=1-型时，：W.配有最大值逑.

33

6.B

由庐-4*5+3=0n52-4*5+3e2=0n(5-@)@-3e)=(V.(5T_L(5-3e),

设况="9=及反=£,以。为原点，砺的方向为》轴正方向，建立如图所示的坐标系，

由e-可乂5-3司，得点8在以。（2,0）为圆心，以1为半径的圆上，

又非零向量Z与2的夹角为:，设a的起点为原点，则的终点在不含端点O的两条射线V=±x（x>0）

上，设C（x,-x）,

则卜/+区_@=|明+|因的最小值为四-1+|明=印+|码一1

西+“=+，(尤-2)2+.=，2Y-2X+I+J2/-4X+4

、

7

表示点(x,0)到U

和(1,1)的距离之和的最小值的6倍,

22

则最小值为VIx+r1

+AC-1=拓-1

।)min

7.D

在VABC中，由=gVABC的面积为如，得g=《AB?ACsin$,贝i」AB?AC46,

o26

___.1―»-»

由M是边BC的中点，N是线段的中点，MAM=-(AB+AC),

—.1—.___.1—.1—.1―.3—■1--

AN=-(AB+AM)=-(AB+-AB+-AC)=-AB+-AC,

222244

___,__.1__3__________.1__.3__.1__.1__.__.

贝|」画7.丽=；(而+0).(工通+]/)=&|研+-|AC|2+-ABAC

=-|AB|2+-|AC|2+-|AB||AC|cos->—|AB||AC|+—|AB||AC|=—|AB||AC|=6,

8826442

当且仅当6|而|=|/I,即|荏|=2,|/|=2百时取等号,

在VABC中，由余弦定理得：BC=VAB2+AC2-2AB.ACcosA=^4+12-2x2x273x^=2,

所以28c=4.

如图，连接MO,OQ,OP,ON,作PQLOE,MN1OD,

易知E是。尸的中点，D是"N的中点，由勾股定理得OE=4,0D=3,

^PM+QN=OM-OP+ON-OQ=(OM+ON)-(OP+OQ)=2(OD-OE),

^\PM+QN\=2\OD-OE\<2(|OD|+|OE|)=14,当配赤反向时等号成立，故C正确.

9.BCD

对A,^a=(1,0),b=(O,2),c=(x,y),根据1一司=1■有—了+y=；,

即(元-l『+y2=；,为圆心为(1,0),半径为万的圆，又同的几何意义为原点到圆

(x7)2+y2=：上(x,y)的距离，则gw同4?故A错误；

对B,(c-a)-^c-5j=(x-l)x+y(y-2)=x2-x+y2-2y

j+(y-叶,则转化为求圆(%-I)2+V=；上的点至1J&1)的距离最大值,

故B正确;

对C,b-c=2y,因为-耳工丁工5，故故C正确;

91cos3y

对D,因为(x-iy+y2=w故X=—+l,y

illy

又因为C=XQ+〃Z?,故4==5,

【cosd,[.sin。A/5(245q石.小1E\.

✓I+//=--------F1H-------——------cos0H-----sin0+1——sin(。+0)+t1.

244(55J

故当sin(e+o)=-1时，取最小值4+〃取最小值1-手，故D正确.

10.ACD

由题意可知，AB=(-1,1),OP=(cosa,sina),

jr__k

对于A,当a=5时，P(0,l),所以丽=(-l「l),

即荏・丽=1-1=0，故福_L而，故A正确;

对于B,因为荏//9,

-l=2coscr

所以存在实数X,使得通=4万，即

1=4sina

解得tana=-l,故。=:或。=丁，故B错误；

44

—,—.1

对于C,因为A9OP=-cosa+sina=-y,

124

所以(—cosa+sina)2=—,解得sinZau；^,故C正确;

对于D,因为A尸=(cosa-2,sina-1)，

所以|AP|二J(cosa-2)2+(sina_=j6-4cosa-2sina

=—2-\/5sin(a+°)，其中sin(p--,cos(p=,

所以当sin(a+°)=-l时，|丽1m&+2君=/1+后=有+1,故D正确.

11.ACD

对于A,如图，过QP作直径EF,

由题意可.定=-|西||定卜-|而||屈|=-|赤-而||砺+而|,

所以西.定=一|而一丽卜(赤+丽)=一|丽一丽1丽+丽]

=-(|OF|-|OP|)(|OF|+|OP|)=-(|OF|2-|OP|2)=-2为定值，故A正确；

对于B,若M为AC中点，连接OM,则

OA-OC=(OM+MA^-(OM+MC^

=OM2+OM-(MA+MC^+MA-MC=OM2-{4-OM2^=2OM2-4,

由题意04词'2(而2=2，则次•反目-4,0],故B错误；

对于C,若AC，BD,^PBCP=APPD=0,

则荏固=(而+网.5+珂=而存+丽.丽+丽.丽+两两，

X7MPC=-2,则»-屈=-2,同理可得丽.丽=-2，故骸•①=-4,

故C正确；

对于D,因为“|<4,|西<4,则当弦AC,3D均与EF重合时，

此时|国H国有最大值，为16,故D正确.

12.BCD

如图，过CM中点作。3的平行线与VABC的三边有两个交点，所以x=1■时，点P有两种情况，故A

错;

在三角形。4B中由余弦定理得cos120。=°A--AB-=1+=_J_

解得AB=币，则cosZABO="午差二广

2-AD•(JD

1012百有1

cosZ.CBO=cos(ZABO+ZCBA)=___x______x__—___

m24币2—2币

以。为原点，03为x轴，过点。垂直08向上的方向为X轴建系,

0（0,0）,彳-3（2，。），＜%=，。8=（2，。），AC=（2，⑹,

士地],xE+y丽』-L+2y,3;

BC=

22)I22J

当点尸在A3上时，x+y=l,

当点尸在AC上时，设*=彳*=（2尢&）,2e[0,l],

OP=OA+AP=\--+2A.,—+y5A\=\--x+2y,—x

[22JI22

37

则x=1+24,y——A,x+y=\-\—A,

22

9

所以当a=1时，工+y最大为万,

-►—►|13x/3|「■,

当点尸在BC上时，设BP=〃BC=一J”,--”，〃e[O,l],

I22）

___________（13A/3W1用）

OP=OB+BP=2一一x+2y,^-xj,

l2-2J2

则〃11।7

x=3,y=l+-jLi,x+y=l+-jLif

9

当〃=1时,犬+y最大为a,

9

综上可得,当点尸在点。处时％+y最大为二,故B正确；

根据数量积的几何意义可得，当点P在点B处时历.西最小，

此时•瓦5=而•瓦？=-1,故c正确；

取中点O,贝u丽・丽=（而+次）•（而—次）=|而『一|次『=|两

__「77-

因为|所心0%，所以可k•而e,故D正确.

13.[-1,0]

如图，过P作PM//AO,交OE于M,作PN//OE,交49的延长线于N,

则：OP=ON+OM，

又因为0?=xE+y砺，，=2,则点"为BE中点，

又8是AC的中点，所以CN〃O4,则点P在。0上，

由图形看出，当尸与C重合时：OP=-OA+2OB，此时x取最小值一1,

当尸与M重合时：OP=0-OA+2OB，此时讨取最大值0,

所以》的范围是[一1,0]

故答案为：[一1,0]

14.373->/5/-A/5+3A/3

解法1：如图，因为两.丽=0,所以尸N,故四边形尸MQN为矩形,

设MN的中点为S,连接OS,则OSLMN,

所以|os『=\OM^-\MS^=16-|MS|2,

又APMN为直角三角形，所以|MS|=|PS|,故3「=16-网2①,

设s(x,y),则由①可得x2+y2=16-[(x-l『+(y-2)1,

整理得：3一;：+(yT)'=今，

从而点s的轨迹为以为圆心，手为半径的圆，

显然点p在该圆内部，所以风“=乎一附=孚4,

因为国=2网,所以向L=36-拈；

解法2：如图，因为两.而'=(),所以尸■尸N,

故四边形PM2N为矩形,由矩形性质，\OM[+\ON[=\OPf+\O^,

所以16+16=5+|。。『，从而|00=3百，

故。点的轨迹是以。为圆心，3石为半径的圆，

显然点P在该圆内，所以|叫讪=38-|0尸|=36-6

故答案为：3色-4.

设A3中点为M,则迎=2（5+诙）n/=4距，则函=：丽,

西二网2+网2_2网.网COS/APB=网2+网2_网.网=12,

有网2+|丽卜网.阀+12,

即网.网+12=网2+网222网网，

即国H网（12,当且仅当网=网时，等号成立，

贝“画2=：（网+叫+|叫丽卜；（12+2网阀）4：（12+2xl2）=9,

即M函=或时-研$x9—3=-1|.

故答案为：一^!.

在VABC中，NA=60。，|就|=1,点。为A5的中点，点E为CD的中点，

设=a,i4C=b，则AE=—（AD+AC）=—AB+—AC=—a+—b,

24242

^|AB|=X,|AC|=y,

由余弦定理可得l=/+y2—孙，

因为炉+产之？孙，可得1=炉+>2一孙之孙，即移Ki,当且仅当x=y时取等号，

__,1___.________1___,___,1___.__.2___,1____71

又因为麻=§能，贝U衣=存+§宓=荏+耳（"_荏）=§通+耳1?=§£+36,

贝UAEAF=(^a+-^b)-(^a+^b)=^(2a2+5a-b+2b2)=+2y2+^xy)

19c、/1户c、13

二—(z—xy+2)<—(—F2)=—,

12212224

13

即荏•赤的最大值为9.

24

13

故答案为:

24

设卜=/,则忖=",设向量1、石的夹角为a,

若卜—勾=4,则J一2〃.石+不=3/cosa=16,可得cosa=?也金,

由题意可得-"兴谭VI,解得4(血-1)VY4(万+1),

所以，\a+b\=7+227+方2=3/+2®/cosa=6〃-16,L+^1=^6t2-16,

cos0=1+4("词=/=[=]

所以，\a+b\]a-b\4诟=40.后:4夜J8mj+j

当1=3时，即当/=递时，cos。取得最小值：，此时sin6取得最大值，

产1633

且⑸⑼1n「「用=孚

故答案为：逆.

3

18.①③

对于①，因为而=§/，且点尸在以AD的中点。为圆心，Q4为半径的半圆上，

所以OA=OD=OC=』AC=1,贝I」丽=前+丽=/+!西=而+!(丽一丽=』丽+2/,

33333

对于④，W=BC+W=BC+-CA=BC+-(BA-BC)=-BA+-BC,W=W-BD

2—1►(1.2—1,1—►

=-BA+-BC-\-BA+-BC\=-BA——BC,

33(33J33

贝[J加.前二仕丽」元](2丽+!就]=2丽2」患2」丽沅=2_I_J_X3X3XLJ_,

(33八33)999922

对于③，如图，以点。为原点建立平面直角坐标系,

则A(-1,O),B,C(2,0),

因为点P在以的中点。为圆心，为半径的半圆上,

2=1,且在X轴的下半部分,

设尸(cosa,sina)aG[万,2TT],

9、

1.33⑻

则BP=