求数列的通项公式（解析版）-2024-2025学年高二数学同步训练（人教B版选择性必修第三册）

拓展提升02求数列的通项公式

归纳法

累加法

累乘法

题

型已知Sn=f(n)求通项

求数列的通项分

类已知Sn=f(an)求通项

角度1构造等比数列

构造法角度2构造等差数列

角度3倒数构造

01题型清单

1.归纳法

由数列的前几项求数列的通项公式

①各项的符号特征，通过(-1)"或(-1)用来调节正负项.

②考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系.

③相邻项(或其绝对值)的变化特征.

④拆项、添项后的特征.

⑤通过通分等方法变化后，观察是否有规律.

2.累加法

累加法适用于4+1—0〃=/(〃)或4—0+1=/(〃)型，其解题恒等式为an=a1+(a2—a1)+(a3—a2)+...+(an-

an_i)(n>2,〃£N*)求解

3.累乘法

累乘法适用于4旦=/(〃)或2=/(")型，通常利用g=〜0-1•…匕・4,求出通项4.

anan-\On-1On-2C/l

4.已知Sn=f(n)求an

已知S,=/(〃)求通项，步骤可分为三步：(1)当"22时a"=s「s,T；(2)当〃=1时，%=E；

(3)检验能否合写，即”=1和"±2两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式.

5.已知S”与4的关系求的

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

(1)利用an=Sn—5"_1(n>2)转化为只含5”,S.T的关系式,再求解；

(2)利用5n—5"-1=%(n>2)转化为只含(7-1的关系式，再求解.

6.用“待定系数法”构造等比数列

形如%+1=左许+夕(匕P为常数，kp#O)的数列，可用"待定系数法”将原等式变形为

a

n+\+m=k(an+ni)(其中：加=:J),由此构造出新的等比数列｛%+机｝,先求出｛%+a｝的通项,从而

K-1

求出数列｛%｝的通项公式.

7.倒数法

形如册+1=*^(p，g为常数，pq十0)的数列，通过两边取"倒"，从而构造出新的等差数列

Pa„+q[an\

先求出的通项，即可求得

题型01归纳法

【典例1】(24-25高二上•甘肃酒泉•期中)己知数列1,百，垂，近，3,72^1,则该数列的第

25项是（）

A.7B.276C.572D.5

【答案】A

【分析】根据数列的规律及通项可得数列的项.

【详解】由已知数列1,6，6，币,3,J2I,....

即,2x1-1,J2x2-1，J2义3-1,J2x4-1,12x5-1，…,J2"-1‘…’

则数列的第"项为

第25项为J2x25-1=7,

故选：A.

【变式1](24-25高二上•山东青岛•阶段练习)数列1,_克」,_正」，…的一个通项公式%=()

2244

1-1

A.((B.当/yvc.(-1)-(/7Y-D.(-If(彳/?Y

【答案】D

【分析】由数列中每一项的特点可分析得到通项公式的结构.

【详解】由于数列的符号正负项间隔出现，故符号为(-1)用，

且每项为与，故数列的一个通项公式为%=（-1）向?.

I2JV2J

故选：D.

【变式2］（24-25高二上•甘肃金昌•阶段练习）若数列｛〃/的前四项依次为2,12,112,1112,则｛%｝的一

个通项公式为（）

A.tz=10^+2二(〃—1)(45〃—80)+2

10〃一810〃+8

99

【答案】D

【分析】通过规律即可求解.

【详解】由2=10—8,12=100—88,112=1000—888,1112=10000—8888,可得｛%｝的一个通项公式为

10〃+8

^=10«--x(10«-l

9

故选：D.

【变式3】（23-24高二下•江西景德镇•期末）数列1,-；，!，-；［,--的通项公式可能是（）

【答案】D

【分析】将数列前5项改写为统一格式即可发现规律得到数列的通项公式.

【详解】由题数列的前5项可改写为nw

其中负号交替出现在偶数项，分母为从1开始的奇数，

故数列的通项公式为%=上工上.

故选：D.

【变式4】（23-24高二下•北京•期中）数列｛%｝的前四项依次是4,44,444,4444,则数列｛%｝的通项公式

可以是（）

A.Q〃二4〃C.D.%=4xll”

【答案】C

【分析】根据题意，分析可得数列｛4｝的前四项与"的关系，综合即可得答案.

【详解】根据题意，数列｛%｝的前四项依次是：4,44,444,4444,

4444

234

则有％=3(1。|-1)=4,a2=-(10-1)=44,a3=-(10-1)=444,«4=-(10-1)=4444,

4/、

则数列缶“｝的通项公式可以是。“=3(10"T),

故选：C.

题型02累加法

【典例21(24-25高二上•吉林•阶段练习)已知数列｛%｝，满足％=2,an+l=%+2"(〃eN*),贝|a„=

若数列也｝的前〃项和为S“，且4=1也M+(-1)电=logM，则S66=.

【答案】2-1123

【分析】利用累加法求解即可得出见;先求出6用+(-1)*,=",进而得到

b2k+/+2=4左+1也I+b2M=1keN*),分组求和得到S66.

【详解】因为an+l=a„+T,

所以%-%T=2"T(”N2),所以

a“an_x)+(a„_j-an_2)+-•-+(a3-a2)+(a2-a1)

=2"T+2々+…+2?+2=2("二1)=2"-2,

1-2"T

又因为4=2,

所以%=2〃，n>2,几£N*,

当麓=1时也适合上式，

所以%=2〃.

由〃+i+(T)电=l0g2%=〃，

因为4=1,所以仇-4=1,解得仿=2

当篦=2k时，砥+i+b2k=2k

当”二2左一1时，b2k-b2k_x=2左一1

当〃=2左+1时，b2k+2-砥+i=2左+1

所以砥+砥+2=4左+1,砥T+砥+1=1(左WN*)

所以%=(4+A+4+…+。65)+(。2+”+。6+…+%)

=]+]6+2+16(9+129)=]]23

2

故答案为：2";H23.

【变式1】(24-25高二上•上海•期中)在数列｛%｝中，%=6,且%=%_|+lg—、("22),则即)。=

n-l

【答案】8

【分析】利用递推公式累加即可求解.

【详解】由题意可得%-%T=lg—7，

n-l

…।213,100

所以〃2-。1=想,，。3一。2=怆5'……'400一。99=坨亚~'

…I2I31100」23100、1。

累力口何〃100—%=lg-+lg-+---+lg—=lg-x-x---x—=lgl10A0A=2,

L乙yy\A乙77j

所以〃ioo=2+%=8,

故答案为：8

2

【变式2】(24-25高三上•天津•阶段练习)已知数列｛%｝满足：％=1,%=:，且%+2="川(”eN*),则

a

2。〃+n+\

数列｛%｝的通项公式是

【答案】a„=-

n\t

【分析】由题意可构造数列［子卜得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解.

2

【详解】由a/2=T^(〃eN*),则詈^=7%，

a+a

%+%'%+1nn+\

।史」=2

==%+。向=4+1

即八。用*又4=1,%=T>则a1

22I

故数列是以2为首项，1为公差的等差数歹U,

即一^=2+(〃_1)=〃+1,

an+\

则有也=〃，吆=〃-1,"=2,且"？3,

anan-\a2

故也x—x…X幺=幺=疝，即。=3=4，显然“=1,2均满足.

故答案为：

n\

【变式3】(24*25高二上•河南信阳•阶段练习)已知数列｛叫满足%+2=3a”+「2a”(〃eN*),且q=1,

/

。2=4,其前〃项和为s,,若对任意的正整数”，5“+2"+”2^0恒成立，则加的取值范围是.

【答案】-|,+：|

【分析】由已知氏+2=3。用-2%可证数列｛a„+i-an］为等比数列，结合等比数列通项公式及累加法可得见,

再利用分组求和可得S,,即可将不等式转化为(切+3>2'-330,分离参数，结合数列的单调性可得最值及

参数范围.

【详解】由己知an+2=3a“+i-2a”("eN"),

a

则n+i-«„+i=22+i-=2(%一%),

则数列｛。，皿-%｝是以%-4=4-1=3为首项，2为公比的等比数列，

所以见+「a,=3-2"T,

则an-a,,T=3-2"2，…，o2-a,=3-2°,

31,11

所以见一%=3.2"-2+3.2"-3+~+3.2°=(-^)=_3+3,2-，

则(=-3+3-2"T+q=3-2"--2,

贝！Js“=3.2°-2+3"-2+…+3.2'T-2=3"2,-2〃=3.2”-3-2〃,

"1-2

又$,+2〃+”2"20恒成立,

即3・2"-3+"2"=(m+312"-320,

3

BPw+3>—,nEN*,

3

=^GN*,单调递减，

33

则当〃=1时，V取得最大值为5，

33

即加+32—,m>——,

22

-3、

即加£--,+ccI,

故答案为：一［什00］

【变式4】(24-25高二上•福建•期中)已知数列｛%｝满足%=1,%=；，

/X,11

an-xan+3%%+1=0(〃22,〃£N)二己2.

⑴证明:数列也｝是等比数列.

(2)求｛与｝的通项公式.

【答案】⑴证明见解析

(2)an=97

J—1

【分析】(1)由递推关系式结合等比数列的定义即可得证；

(2)由等比数列求和公式以及累加法即可求解.

134

【详解】(1)因为%.1%+3%%―4%_1%=0,所以---+-------=0,

an+\an-\an

11(11'

所以-------二3-----------,所以,=3b_1.

aaan

n+ln1%n-\)

711r,、

因为4=---------=3,所以｛4｝是首项为3,公比为3的等比数列，

ci?ct^

所以a=3".

(2)由(1)知"=-------=3",

4+1an

所以^----=3,-----=32,--------=33,---------=3"-1(«>2),

^>2dyCL3d?^^4Cl、d〃“〃-1

累加可得，=3+32+33+3+3〃T/(I)二匕2(心2)

册%1-32v7

2

因为％=1,所以%=不一^(“22),

3—1

2

因为q=1符合上式，所以％=二.

3—1

题型03累乘法

【典例3】(24-25高二上•全国•课后作业)已知数列｛%｝中％=[4=七]。,1(〃22),求数列｛%｝的通项公

式.

1

【答案】%=(小

nyn+\)

【分析】利用累乘法求解即可.

【详解】解：因为。“=二

n+1

H-1

所以当〃22时，---,

%〃+1

所以》中凶士,•・•,*&="

an_xn+i.an_2na24ax3

以上〃-1个式子相乘得马-,也_a3a2_n-\n-221

4,3

an-\an-2a2a{n+\n

a1Ic1

BP—n=--x-x2xl,

ax〃+1n

I

所以“〃=（i•

111

当〃=1时，a=---=-,也与已知相符，

x1x222

、1

所以数列｛r%｝的通项公式为4=而百.

【变式1】（24-25高二上•全国•课后作业）（1）对于任意数列｛%｝,等式：

q+（。2…+（《-区1）=《（《22,”eN"）

都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列｛%｝满足：%=1,%包-%=2,“eN*,求通项与;

（2）若数列｛见｝中各项均不为零，则有《子亍……子=%（"22,"eN*）成立.试根据这一结论，完成问

/、an—i

题：已知数列｛%｝满足：a\=1,~^=-----

an-\〃

（〃22/EN*）,求通项％.

【答案】（1）G〃=2〃-1,〃£N*（2）a=—,weN*

nn

【分析】（1）利用累加法的思想求通项公式；

（2）利用累乘法的思想求通项公式.

【详解】（1）当〃22时，

a“=q+（%-。1）+（。3-----—"“-J=1+2+2H-----------F2

=2(〃-1)+1=2〃_1,

q=1也符合上式，所以数列｛%｝的通项公式是%=2"-1,”6N,.

n—11

(2)当“22时，2=l」xZxx-----=—

a

axa2n-\23nn'

q=1也符合上式，

所以数列｛%｝的通项公式是%=L"eN*.

n

【变式2】（23-24高二下•福建厦门・期末）设S“为正项等比数列｛.“｝的前"项和，35=%+2%,%=16.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵数列低｝满足4=1,"=屋:",求低｝的前"项和小

【答案】（1）%=2"

【分析】（1）根据等比数列的性质，列出关于4的方程，即可求解.

（2）先利用累乘法求出｛或｝的通项公式，再利用裂项相消法求出色｝前〃项和人

【详解】（1）因为｛%｝是正项等比数列，所以％>0,公比4>0.

因为3s2=%+2。3,所以3（。1+电）=+2。3,

贝（J2%—3。2—24=0,即2%/_3%夕-=0,

则2/_3q_2=0,得q=_g（舍）或4=2,

又因为&=%/=8%=16,所以为=2,所以｛%｝的通项公式为%=2”.

（2）依题意得里log?%=噫2"=“

n+2

log2an+2log22〃+2‘

，仇b12n-11x2x…x-1)2h2

当“22时,2。-«_=_x_x…x----=--------------=-------即广祈£

4b?bn_x34〃+13X4X---X(H+1)〃(〃+1)

所以“J

因为4=1,

当〃=1时，4=1符合上式，所以抄,｝的通项公式为，=一用.

2

因为“=

所以7；=2（1-

题型04已知§"=/（〃）求an

【典例4】（23-24高二下•北京大兴•期中）己知数列｛4｝的前〃项和S“="+l,则数列｛%｝的通项公式为

（）

A.an=n+lB.an=2n-l

[2,〃=1,

C.a=2n+\D.^=\

nn\2n-\,n>2

【答案】D

【分析】当〃=1时，求得％;当〃22时，根据%=S〃-Si化简得％,再检验得出通项公式即可.

【详解】当〃=1时，％=百=1+1=2；

当〃之2时，an=Sn-Sn_x=2n-l,

经验证，％=2不符合上式，所以。，=。1

\2n-\n>2.

故选：D.

【变式1】（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）已知数列｛%｝的前“项和S"="-2〃，贝1%+%+%等于

（）

A.12B.15C.18D.21

【答案】B

【分析】利用析-$2即可求得的+&+%的值.

【详解】因为数列｛。,｝的前"项和E,=n2-2〃，

以4++%=&—，2=5~—2x5—（2~—2x2）=15.

故选：B.

【变式2】（24-25高三上•辽宁,期中）数列｛《｝中，已知对任意自然数〃吗+的+%+…+。“=2"-1,则

a；+H-----^端等于（）

【答案】C

【分析】根据条件，利用S“与。“，求得a“=2"T,进而得到M=4"。再利用等比数列的前〃和公式，即可

求解.

【详解】因为为+%+。3+…+。”=2"—1（1）,

当"22时，%+电+%+…+an-\=2"1-1@,由①一②得=2"-2"一=2"“,

又见=2】一1=1,满足*=2"、所以a"=2"i,

由%=2"、得到。：=（2"T）2=4"T,

1_4"4"-1

所以+…+d=1+4+…+4"-1=14=-~，

故选：C.

【变式3】（24-25高二上•天津红桥•阶段练习）已知数列｛%｝的前"项和为S”，且S“=2/+3"-l,则数列

的通项公式为.

、_14,〃=1

'[An+1,7?>2

【分析】利用前〃项和与第"项的关系，分段求解即可.

22

【详解】当〃22时，«„=5„-S„_1=（2n+3n-l）-（2（«-l）+3（77-l）-一1)=4〃+1,而4=E=4不满足上式,

4,H=1

所以数列的通项公式为%=

4n+l,n>2

4,几二1

故答案为:

4H+1,/I>2

【变式4](24-25高二上•黑龙江牡丹江•阶段练习)设数列｛%｝的前〃项和是S”，如果它的前〃项和

2

Sn=n-2w+3,那么%=

【答案】见工一4

【分析】利用。"与S”的关系式求通项即可.

[详解]当〃=1时，«,=5,=1-2+3=2,

2

当〃之2时，Sn=n-2n+3,

所以S.i=(Ip-2(〃-1)+3=〃2_4〃+6,

所以〃—〃—3,

2,n=l

2n-3,n>2

2,H=1

故答案为：氏

2n—3,n>2

【变式5】(24-25高二上•天津东丽•阶段练习)在数列｛%｝中，％=6,且“Sm-(〃+2)S"="("+l)(〃+2),

则册=_____________

【答案】3/+3〃

【分析】由3,+「("+2电="(〃+1)("+2)化简可证数列著不为等差数列，即可得

1个+1〃

S„=H(«+1)(H+2),再利用退一相减法可得明.

【详解】由科+「(1+2)S.=〃(〃+1)5+2),

VV

人(〃+1)(〃+2)n(<n+1)'

则数列7J是以2=3为首项，1为公差的等差数列，

[Z2(w+l)j1x2

S

BP/-=3+(«-1)=»+2,

〃(〃+1)

所以=〃(〃+1)(〃+2),

当〃之2时，sn_x=(〃-1)•及(〃+1),

an=Sn-Sn_x=〃(〃+1)(〃+2)-(〃一1>〃(〃+1)=+=3H2+3〃，

当〃=1时，4=6满足上式，

综上所述an=3/+3n,

故答案为：31+3〃.

题型05已知an与S„的递推式求通项

【典例5](24-25高二上•甘肃酒泉•期中)设S“为数列｛%｝的前〃项和，若S"=2a,-1,则当詈的值为

%0+"]2

()

11

A.8B.4C.-D.—

48

【答案】D

【分析】易知数列前〃和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果.

【详解】当〃=1时，％=S[=2%-1,a,=1,

当〃22时，%=2a-1,贝I]g=S“-S_i=2an-2”,

・9=2%,即数列｛%｝是首项%=1,公比4=2的等比数列，

即a,=2"T,

%+为_%(1+4-)_1_1

"«io+«i2%o(l+q2)q38

故选：D.

【变式1】(2024高二•全国•专题练习)数列｛对｝的前"项和为S"，若％=1,a„+1=3S„(«>l),则与=

()

A.3x4"B.3X44+1C.43D.43+1

【答案】A

【分析】利用退位相减法可得数列从第2项起，是以电=3为首项，4为公比的等比数列，故可求&，或者

利用结论可求6.

【详解】方法一：已知。“+|=35“，则当〃上2时，an=3Sn_｛,

两式作差，得«„+1-«„=3(S„-)=3%,

即。用=4。,，也即数列从第2项起，是以&=3为首项，4为公比的等比数列，

从而为=34-2,心2.

Il,n=l,

由于。I=1。=3%=3,则、。于是4=3x4.

13•4,n之Z,

方法二：因为为+i=3S“，所以。2=3q=3,5“=+“+],

-+1

根据左栏结论我们可以知道数列｛«„｝从第二项开始是以5一=4为公比的等比数列，

3

则4=3x4）

故选：A.

【变式2】（24-25高二上•全国,课后作业）已知数列｛%｝的前"项和S"满足S"=2-a"，则｛。”｝的通项公式

为.

【答案】见=[1

[S],n=l

【分析】利用%=c、.来求得正确答案.

5-Sc.,n>2

【详解】由题设得q=H=l,所以a“=S0-S,T=2-a"-2+%T（〃22）,化简得。，小；对一

n—1n-\

所以数列｛%｝是首项%=1，公比为：的等比数列，所以。,=1X

2I

1-1n-\

当〃=1时，％==1依然成立，所以%=

n—\

故答案为：见I

【变式3】（24-25高二上•全国•课后作业）已知数列｛%,｝的前〃项和S“=2〃2+%-〃-1,且％=5,则数列｛%,｝

的通项公式为.

【答案】a„=4n+l

【分析】借助%与S“的关系计算即可得.

2

【详解】S^S„-2W+a„-/7-l0,

则当"22时，ST=2（«-1）-+an_x-（7?-1）-1（2）,

①-②得%=4"-3,则a“=4〃+l,

当”=1时，%=4xl+l=5,符合上式，

故%=4/7+1.

故答案为：an=4«+1,

【变式4】(23-24高二下•广东汕头•阶段练习)设数列｛与｝的前"项和为S0，%=2,2Sn=nan+l,„eN,,

则an=-

【答案】In

【分析】根据题意，由为与S”的关系可得央=鳗(〃22),从而求出即可.

n+1n

【详解】因为2S“=〃%+],当时，25„_1=(«-1)«„,

两式相减可得2%=〃a“+i-("T)%,即+="%+i।

所以今.=%(心2),又出=2SI=4,所以多=2,

所以冬=冬=2(心2),

n2

所以。"=2"("22),且％=2也符合上式，

所以。“=2〃(〃eN*),

故答案为：2n

【变式5】(24-25高二上•陕西榆林•阶段练习)已知数列｛%｝的前"项和为S"，满足2s“=3a“-l(〃eN*).

⑴求｛%｝的通项公式：

⑵若“=(2n-l)a„,求数列也｝的前n项和北.

【答案】①a〃=3"T

(2)7；=(〃7)X3"+1

【分析】(1)当〃=1时，求出q=1,当"22时，判断出数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求

得结果；

(2)将(1)中的通项公式代入，根据错位相减法可求得结果.

【详解】(1)当"=1时，2%=2s1=34T,解得%=1,

当〃22时，2S._]=3a-1,

贝l]2an=2Sn-2S“T=3a„-31,

化简得%=3%,

所以｛叫是以首项为%=1,公比4=3的等比数列，

所以

(2)由(1)可得4=3"T,则“=(2"-1"，=(2"-1卜3'1,

12n1

7；,^^+^2+^+---+^=lx3°+3x3+5x3+---+(2«-l)x3-(l),

37；=1x31+3x3?+5x33+…+(21)x3"②，

Q-（2）ff-27；,=1+2x3'+2x32+---+2x3^-（2«-1）x3"

=1+2（31+32+---+3"-1）-（2H-1）X3"

=l+2x3^-^^-（2M-1）X3B=-2-（2w-2）x3n■

所以Z,=（〃-l）x3"+L

题型06构造法

角度1构造等比数列

2

【典例6】（2024高二•全国•专题练习）已知数列｛%｝满足4+1=§%+4,且q=l,则｛%｝的通项公式为

（）

A.…小…田

【答案】c

【分析】给%M=：%+4两边同时加一个数x,构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解｛见｝的

通项公式即可.

'221

【详解】设%+i+x=］（〃〃+x），即%=铲〃一

所以-;x=4,解得工=-12,

2

所以=-12）,

所以｛%-12｝是首项为%-12=-11,公比为:的等比数列,

所以a=12-llx（|）.

故选：C.

2

【变式1］（2024高二•全国•专题练习）已知数列｛%｝满足%M=w。“+4,且％=1,则｛。“｝的通项公式为.

【答案】a„=12-llx

【分析】给。用=§%+4两边同时加一个数X,构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解｛见｝的

通项公式即可.

2?11

【详解】设%+i+x=](a.+x),即a,,+i所以-§x=4,解得x=-12,

9

所以。用一12=§m一12),

□

所以｛%-12｝是首项为％-12=-11,公比为:的等比数列,

所以a“-12=_1,

所以为=12-llxg).

故答案为：°,=12-1

【变式2】(2024高二•全国•专题练习)在数列｛6｝中，已知q=2,且%=4a“-3”+l("eN*),则该数列

的通项公式为.

l

【答案】an=4-+n

【分析】借助待定系数法构造等比数列后可得数列｛«„-«｝为等比数列，结合等比数列性质即可得解.

【详解】令％-/("+1)-2=4(%-4-2),

则%+i=4%—3An+A—3B,

-3A=-3A=1

由条件得,解得

4—35=1B=0

即“”+i-（n+l）=4（an-n）,

故数列｛%-〃｝是首项为%T=1，公比为4的等比数列,

从而a*-〃=4"T,故%=4"T+〃.

故答案为：%=4"一+〃.

【变式3】(24-25高三上•重庆■阶段练习)在数列｛%｝中，a,=l,a„+1=3a„+4,若对于任意的

nGN*^(«„+2)>3"-5恒成立，则实数k的最小值为.

【答案】三4

27

【分析】利用构造法分析得数列｛%+2｝是等比数列，进而求得%+2,从而将问题转化为人上下恒成立,

令/(〃)=(〃eN*),分析数列｛〃叫的最值,从而得解.

【详解】由%=3%+4,得%+2=3（%+2）,又％+2=1+2=3,

故数列｛《+2｝为首项为3,公比为3的等比数列,

所以%+2=3x3".=3",

贝I不等式左(。“+2)23〃一5可化为后2筝，令/(〃)=筝(〃eN*),

当"=1时，/(«)<0；当“22时，/(«)>0；

又/(〃+1)-/⑺=掌3〃一5_13-6几

3〃OH+1

则当〃=2时，/(3)>/(2),当时，/(«+!)</(«),

5444

所以了(〃)W"3)=中上=/，则羟为即实数上的最小值为福•.

4

故答案为：—.

角度2构造等差数列

【典例7](24-25高三上,天津•阶段练习)已知数列｛%｝满足：%=1,%=；，且%+2=%"则

数列｛%｝的通项公式是

【答案】一

%

【分析】由题意可构造数列,得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解.

a

n+l

【详解】由％+2N*)则巴出=4角

见+14+%+1

"='=2

即_^1

=+又1=1,2=万，则的一;，

an+2an+\an+\

2

故数列[子，是以2为首项，1为公差的等差数列,

gp—^=2+(n-l)=n+l,

an+\

则有*=〃,『7…，/2,一日,3,

故也x%^x…x"=3=加，即。=4=-1,显然〃=1,2均满足.

an%a2a,〃！n\

故答案为：a„=—.

n\

【变式1】(2024高二•全国,专题练习)已知数列｛%｝满足a,+i=3a“+3"(〃eN*),且％=1,则数列｛%｝的

通项公式为:

【答案】an=n-y-'

【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列｛去｝,利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通

项公式，进而得解.

【详解】将%=3%+3"两边同时除以3同，得,喙+；,即猾-&=；.

由等差数列的定义知，数列，三是以卜;为首项，g为公差的等差数列，

所以fH；+(I)xg=g,故%=〃3T.

l

故答案为：an=n-3"-.

【变式2】(24-25高二上•江苏镇江•开学考试)数列｛%｝满足q=2,%M=2q,+2向，则数列｛%｝的通项公式为

an=•

【答案】n-T

【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将翁=益+1，经化简可知新的数列是等差数列，在变

形可求得.

【详解】由题意知。用=2%+2日将等式两边同时除以2"+i,

可得翁喙+1，因为%=2,所以可知三=1,

则数列[墨｝是以会为首项，1为公差的等差数列，

所以蜃•=1+(77-1)=〃，所以。"="-20.

故答案为：n-2n

【变式3](23-24高二下•湖南郴州•期末)已知数列｛%｝满足：4=1,“。向-(〃+1”“=〃(〃+1).若％,

则数列也｝的前"项和S,=.

【答案】

【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出见，再利用裂项相消法求和即得.

【详解】数列｛%｝中，由〃。用-("+1)为="(〃+1),得9一%=1,

因此数列｛5｝是以?=1为首项，1为公差的等差数列，"1,即%=*,

n1n

n111

于是b.

(ji+l)an〃(〃+l)n72+1

所以s〃=(1_；)+(g-；)+(；_；)+•••+f=n

nn+1n+1n+1

故答案为：-

n+\

角度3倒数构造

3a

【典例8］（23-24高二下•吉林长春•期中）已知数列｛%｝中，%=1且%+1=，二（〃€z），则可3=

)

1111

A.-B.-C.-D.一

8765

【答案】D

【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到。“，得解.

3凡1+311

【详解】由。用=飞得：——=■=一+£,

%+34用3%a”3

又工=1,.••数列是以1为首项，（为公差的等差数列，

111/八〃+2

—=l+-(„-l)=——

an33

3.

""K'"eN，

3£

155

故选：D.

【变式1］（23-24高二上•广东湛江•阶段练习）在数列｛%｝中，％=1