空间向量与立体几何（4题型+高分技法+限时提升练）学生版-2025年高考数学二轮复习提升

热点09空间向量与立体几何

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年棱锥的体积、直线与平面所成的角异面直线及其所成的角，空间中直线

与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系、空间两条直线的位置关

系，二面角的平面角及求法、直线与平面垂直

空间关系与空间角

2023年棱锥的结构特征，二面角的平面角及求法、直线与平面平行、异面直线

的判定，直线与平面所成的角、点、线、面间的距离计算

2022年圆柱的侧面积，空间中直线与直线之间的位置关系，棱柱、棱锥、棱台

的体积，直线与平面所成的角

热点题型解读

逊1空间几何体的结构

醒2空间几何体的表面积与体积

空间向量与立体几何

型3点、直线、平面之间的位置关系

避4空间向量与立体几何

题型1空间几何体的结构

00混

空间几何体的结构特征

（1）多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

S

>D'

图形

AB

ABAB

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点

侧面形状平行四边形三角形梯形

（2）旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

[0

图形Aa1

互相平行且相等，

母线相交于一点延长线交于一点

垂直于底面

轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆

侧面展开图矩形扇形扇环

1.（2025•上海•模拟预测）如图，是正四棱台,则下列各组直线中属于异面直线的是（）.

ac

AB

A.和G2；B.44］和CC］；C.瓦和耳。；D.4。和

2.（2023・上海虹口•模拟预测）在圆锥尸。中，已知高尸。=2,底面圆的半径为4,M为母线尸8的中点，根

据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正

确的个数为（）

PPP

/\M/

①圆的面积为4兀；

②椭圆的长轴长为历；

③双曲线两渐近线的夹角正切值为；；

④抛物线的焦点到准线的距离为丫

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2024・上海•模拟预测）己知正方体/BCD-44。。和点尸，有两个命题：

命题甲：存在加条过点尸的直线/,满足/与正方体的每条棱所成角都相等；

命题乙：存在"个过点尸的平面a,满足a与正方体的每个面所成锐二面角都相等；

则下列判断正确的是（）

A.m>nB.m=n

C.m<nD."八〃的大小关系与点尸的位置有关

4.（2023•上海）空间中有三个点/、B、C,且4B=BC=C4=1,在空间中任取2个不同的点D,E

（不考虑这两个点的顺序），使得它们与/、8、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有

种.

5.（2023・上海崇明•一模）用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品.如图，是某品牌的易拉

罐包装的饮料.在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的

质量最小.某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证.为了建立数学模型，他们提出以下3个假设:

（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度

和材质都相同.

你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写"相符";若不相符,

请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线.

6.（2024•上海闵行•二模）已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多

的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三

角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形.

7.（2024・上海崇明•二模）已知底面半径为1的圆柱，。是其上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同

的点，8c是母线.若直线。4与所成角的大小为W，则8C=.

8.（2024・上海•三模）已知点C在以48为直径的球面上，若BC=2,则次.反.

9.（2023,上海宝山•一模）如图，在圆锥S-O中，/C为底面圆。的直径，SO=OC=1,点3在底面圆周

上，且=若E为线段42上的动点，则ASEC的周长最小值为

10.（2024•上海•三模）日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱

柱/BCD-48cA的底面/BCD是正方形，且⑷?=3,AAX=\.

（A）（B）

店员认为在彩绳扎紧的情况下,按照图/中H-E-g-月-F-G-&的方向捆扎包装盒会比按照图

8中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图N比图8最多节省的彩绳长度

为.

11.（2024・上海青浦•二模）如图，在棱长为1的正方体/BCD-43cA中，P、0、R在棱BC、8片上,

且尸=（脑=；,以《尸。尺为底面作一个三棱柱尸。尺-勺0圈，使点6,0,与分别在平面

AADD^DQCCJ44GA上，则这个三棱柱的侧棱长为.

12.（2023•上海嘉定•一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根树干而制

为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示.

材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数少来刻画梁的承重能力.对于

两个截面积相同的梁，称少较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下

表所列,

圆形截面正方形截面矩形截面

条件厂为圆半径a为正方形边长〃为矩形的长，6为矩形的宽，h>b

1

抗弯截面系数%=-r3W2=%%=%bh?9

14

⑴假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；

⑵宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点.考虑梁取材于

圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数。，如下图所示，请问〃力为何值时，其抗弯截面系数取

得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理.

题型2空间几何体的表面积与体积

1.旋转体的侧面积和表面积

(l)Sg1梗例=2兀“，Sg|"=2m(F+/)(r为底面半径，/为母线长).

(2)S9W=nrl,S国4Mt=w(r+/)&为底面半径，/为母线长).

(3)S求表=4成2(尺为球的半径).

2.空间几何体的体积公式

(1)叱£=S〃(S为底面面积，〃为高).

1

(2)%隹=/S/?(S为底面面积，〃为高).

1.______

(3)嗅=](S上+上6下+S/(S上,5下分别为上、下底面面积，〃为高).

4

⑷产球=1R3(R为球的半径).

1..(2022•上海5已知圆柱的高为4,底面积为9万，阮「圆柱的侧面积为

2.（2024・上海长宁•一模）已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则该圆锥的体积是（结果保留兀）.

3.（2024・上海青浦•一模）已知圆柱”的底面半径为3,高为百，圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱

M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为.

4.（2024•上海杨浦•一模）已知一个正四棱锥的每一条棱长都为2,则该四棱锥的体积为.

5.（2024・上海普陀•一模）若圆锥PO的体积为逆E,它的母线与底面所成的角的余弦值为?，则圆锥尸O

33

的表面积为.

6.（2024・上海宝山•一模）将棱长为2的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体积为.

7.（2024•上海杨浦,一模）将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最

大值为.

8.（2024・上海徐汇•一模）徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往

观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上、下底面直

径分别为30cm和26cm,下面圆台的上、下底面直径分别为24cm和18cm,且两个圆台侧面展开图的圆弧所

对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm,则该花盆上、下两部分母线长的总和为cm.

9.（2024•上海奉贤•一模）上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2）,风吹

铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃

的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一

些合理的假设：

假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；

假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；

假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计.

截面图如下（图3）,其中O03=2Ocm,aa=18cm,^5=16cm,则制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少

需要千克铜.（铜的密度为8.9g/cn?）（结果精确到个位）

图3

10.(2025•上海•模拟预测)在三棱锥尸-/BC中，平面尸NC_L平面/8C,PA=AC=CP=2,

B

(1)若。是棱/C的中点，证明：8。/平面尸/C,并求三棱锥2-。?/的体积;

⑵求二面角8-尸C-N的大小.

11.(2024・上海静安•一模)如图的封闭图形的边缘由抛物线「和垂直于抛物线对称轴的线段组成.已知

AB=4,抛物线的顶点到线段所在直线的距离为2.

(1)请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘；

(2)在该封闭图形上截取一个矩形CDEV,其中点C、。在线段上，点瓦尸抛物线「上.求以矩形CDE尸为

侧面，CF为母线的圆柱的体积最大值；

⑶求证：抛物线「的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上.

12.(2024・上海嘉定•一模)如图所示，在三棱柱中，AB=AC,侧面夕斗弓。，底面23C,点

瓦F分别为梭BC和4G的中点.

(1)若底面A/BC为边长为2的正三角形，且CG=2C,侧棱CO与底面/8C所成的角为60。，求三棱柱

的体积；

(2)求证：E///平面444瓦

13.（2024•上海静安•一模）如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形.

C

（1）求正三棱锥A-BCD的体积/；

⑵设E、F、G分别是线段NC、/Z）WC的中点.

求证：①CD//平面跖G；②若平面E-G交2。于点“，则四边形EFHG是正方形.

14.（2024•上海）如图为正四棱锥尸-/BCD,。为底面4BCD的中心.

（1）若4P=5,AD=342,求APCM绕尸。旋转一周形成的几何体的体积;

（2）若幺P=4D,£为尸8的中点，求直线8。与平面/EC所成角的大小.

15.（2022•上海）如图所示三棱锥，底面为等边ZU2C,。为/C边中点，且尸。，底面NBC,

AP=AC=2.

⑴求三棱锥体积腺一”c；

（2）若“为8C中点，求PK•与面尸/C所成角大小.

题型3点、直线、平面之间的位置关系

I-W

1.判断空间直线、平面位置关系的常用方法

（1）根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.

（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型观察线、面的位置关系，并结合有关定理进

I行判断.

2.证明线线平行的常用方法

!①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理.

（2）证明线线垂直的常用方法

i①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质证线线垂直.

1.（2023•上海）如图所示，在正方体4BCD-4耳GR中，点尸为边4cl上的动点，则下列直线中，始终

与直线8P异面的是（)

C.ADXD.BXC

2.（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,

则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）

A.0B.2C.4D.12

3.（2022•上海）如图正方体/BCD-45cl2中，尸、0、R、S分别为棱BC、BBX>CD的中点,

连接4S,BXD.空间任意两点M、N,若线段上不存在点在线段4S、片。上，则称两点可视,

C.点RD•点0

4.（2024•上海）空间中有两个不同的平面a,分和两条不同的直线冽，n,则下列说法中正确的是（）

A.若a_L月，mLa,nL/3,贝U冽_L〃B.若a_L夕，m-La,m-Lnf贝6

C.若a//〃，加//a,〃///7,则冽//〃D.若a//尸，mIla,mlIn,则〃//夕

5.（2024•上海）已知四棱柱45CD—451GA底面45cz）为平行四边形，441=3,5。=4且

ABtBC-AD,DC=5,求异面直线与3。的夹角.

6.(2022•上海)如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为。、。「为圆柱的母线，底面半径长为1.

(1)若441=4,M为/4的中点，求直线与上底面所成角的大小；(结果用反三角函数值表示)

(2)若圆柱过OQ的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积.

7.(2024•上海)如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB=AC.

(1)证明：PAVBC-,

(2)若圆锥侧面积为岳,8C为底面直径，BC=2,求二面角2-尸/-C的大小.

8.（2023•上海）已知直四棱柱43co-/4G。，AB1AD,AB//CD,AB=2,AD=3,CD=4.

（1）证明：直线48//平面DCCQi；

（2）若该四棱柱的体积为36,求二面角4-加-/的大小.

9.（2023•上海）己知三棱锥尸一48c中，P/_L平面48C,AB±AC,PA=AB=3,AC=4,M为BC

中点，过点M分别作平行于平面尸48的直线交/C、PC于点E,F.

（1）求直线PMr与平面N5C所成角的大小；

7T

10.（2024・上海・三模）如图，在四棱锥中，平面尸平面48c。，ADHBC,NABC=—,

2

PA=PB=3,BC=1,AB=2,AD=3,点。是48的中点.

(1)求证：POLCD-,

(2)求直线CP与平面POD所成角的正弦值.

11.(2024•上海普陀•一模)图1所示的平行四边形中，CA=CB=1,CD=收现将AD/C沿/C折

起，得到如图2所示的三棱锥P-/8C,记棱PC的中点为M,且.PB=^.

P

⑴求证：AMLBC-

⑵记棱48的中点为E,在直线CE上作出点N,使得PNH平面MAB，请说明理由，并求出二面角P-NB-A

的大小.

12.(2024・上海宝山•一模)如图，四棱锥尸-N5CO中，底面为矩形，PA=PB=AD=3,4B=4,

且该四棱锥的体积为46.

(1)证明：平面P/8,底面N8CD；

(2)求异面直线PC和AB所成角的余弦值.

13.(2024・上海杨浦•一模)如图，在正方体/BCD-中，点石、尸分别是棱8C的中点.

AEB

(1)求证:EF1BD、；

(2)求二面角4-斯-2的大小.

14.(2024・上海奉贤•一模)如图为正四棱锥尸-ABC。。为底面/BCD的中心.

⑴求证：CD〃平面尸48,平面尸/C_L平面P5D；

—2—

⑵设£为年上的一点，BE=-BP.

在下面两问中选一个，

①若AD=AP=3g，求直线EC与平面BE。所成角的大小.

②已知平面ECD与平面4BCD所成锐二面角的大小为arctan",若AD=3母,求/尸的长.

2

15.（2024•上海奉贤•三模）如图，四棱锥P-N2CD的底面是梯形，AD//BC,AB1BC,AB=BC=1,

P/_L平面48CD,CDVPC.

⑴求证：CD_L平面尸NC

7[

（2）若二面角尸-CD-4的大小为求尸。与平面P/C所成的角的大小.（结果用反三角函数值表示）

16.（2024・上海崇明•一模）如图，在直三棱柱N5C-4圈G中，£、尸分别为4G、2C的中点,

(1)求证：GF〃平面48E；

(2)求点C到平面ABE的距离.

17.(2024•上海长宁•一模)如图所示，四棱柱/BCD-44G2的底面488是正方形，。是底面的中心,

4。-L平面ABCD,AB—AA1=-\[2.

(1)求证：4。，平面。0。4；

(2)求直线与平面443所成角的正弦值.

18.(2024•上海徐汇•一模)如图，在四棱锥尸-48co中,

ADHBC,ZADC=ZPAB=],8C=CO=；ND.E为棱N。的中点，异面直线PA与CD所成角的大小为].

（1）求证：CZ）//平面PBE；

TT

⑵若二面角。-CQ-4的大小为二，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

4

19.（2024・上海黄浦•二模）如图，在四棱锥P-48CD中，底面N3CD为矩形，点E是棱尸。上的一点，PB//

平面AEC.

BC

⑴求证：点E是棱阳的中点；

⑵若尸平面/BCD,AP=2,40=2百，尸C与平面ZBCD所成角的正切值为g,求二面角。-ZE-C

的大小.

20.（2024•上海闵行•一模）在直三棱柱NBC-481G中，AB=AC=2,AAt=3,ZBAC=90°,连接4C,

M、E分别为4c和8C的中点.

A

G

(1)证明：直线EM〃平面4/84;

⑵求二面角4-8C-月的大小.

21.(2024・上海宝山・二模)如图，已知点尸在圆柱。。的底面圆。的圆周上，为圆。的直径.

(1)求证：BP1AXP-

(2)若04=2,NB0P=60°,圆柱的体积为16近万，求异面直线/尸与4^所成角的大小.

题型4空间向量与立体几何

!00O0

1.用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

II

（1）建立空间直角坐标系.

（2）用坐标表示两异面直线的方向向量.

（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.

j（4）注意两异面直线所成角的范围是（o,1,即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝

对值.

II

2.解决立体几何中探索性问题的基本方法

:（1）通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据

或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.

1।

（2）探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用.

~（2624^^$）"品又二不集答67集吝克素息至荷丙菽篌',臂敲不7豆：「荐茬元荃痴0询聚£

4，4，4，使得4函+4漉+4西=0.已知（1，o,o）eQ,则（0,o,1）e。的充分条件是（）

A.（0,0,O）eQB.（-1,0,O）eQC.（0,1,O）eQD.（0,0,-l）eQ

2.（2023•上海宝山•二模）在空间直角坐标系。-平中，已知定点/（2,1,0）,8（0,2,0）和动点

C（0,O+2）（/>0）.若.OAC的面积为S,以0,48,C为顶点的锥体的体积为嗫则5的最大值为（）

A.—V5B.—y[5C.—"^5D.—y/s

155155

3.（2024・上海虹口•一模）已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）

的球心为O,若空间中的动点尸满足丽=》无+>砺+z历,X、了、ZG[0,1],则点尸的轨迹所形成的几何体

的体积为（）.

A.41B.走C..2A/3D.回

33

4.（2024・上海静安•一模）在四棱锥中，方=（4,-2,3）,通=（-4,1,0）,万=（-6,2,-8）,则该四棱

锥的高为（）

A.4B.3C.2D.1

5.（2024•上海宝山•一模）如图，正四棱柱48co的底面48CD边长为1，£为上任意一点，F

为CG中点，若棱G2上至少存在一点尸使得PEL尸尸，则棱长44的最大值为（）

A.—B.1C.V2D.2

2

6.（2024・上海徐汇•一模）已知向量Z=（2,5,l）［=（4,私5）,若＞各=3，则实数机的值为.

7.（2024・上海崇明•一模）在空间直角坐标系中，点（1,2,3）关于xQy平面的对称点的坐标是.

8.（2023•上海奉贤•一模）在四面体尸-ABC中，若底面/8C的一个法向量为拓且屈=（2,2,-1）,

则顶点P到底面N3C的距离为.

9.（2023•上海）己知方、OB＞云为空间中三组单位向量，且砺、OA1OC,用与肉夹角为

60°,点尸为空间任意一点，且|砺|=1,满足|存•］向方•历万•方|,则|9•云|最大值

为.

10.（2024・上海嘉定•一模）已知空间向量函，函,两两两垂直，若空间点A满足|福|=|砾|=|五瓦|=1,

记历=西+西+西，且网＜1,则网的取值范围为.

11.（2024,上海虹口•一模）如图，已知正三角形N8C和正方形BCL见的边长均为2,且二面角

的大小为m则元•丽=

12.（2024・上海虹口•一模）如图，已知在四棱柱288-斯中，及4J_平面NBC。，N、M分别是

EF、的中点.

⑴求证：如〃平面如物；

⑵若底面NBC。为梯形，4B〃CD,4B=EA=2,AD=DC=1,异面直线与助所成角为;IT.求直线/N

与平面/尸N所成角的正弦值.

13.（2023・上海长宁•三模）已知△N8C和所在的平面互相垂直，AD1AE,AB=2,AC=4,

/A4c=120。，。是线段BC的中点，AD=^3.

（1）求证：AD±BE；

⑵设NE=2,在线段/£上是否存在点尸（异于点A）,使得二面角4-8尸-C的大小为45。.

14.（2023,上海闵行•二模）己知正方体N8CD-481GA，点E为4。中点，直线4G交平面CDE于点尸.

⑴证明：点厂为5G的中点;

⑵若点.为棱的上一点，且直线叱与平面所成角的正弦值为吟’求工的值.

15.（2022•上海崇明•二模）如图，正方体/BCD-4片G。的棱长等于4,点E是棱。。的中点.

⑴求直线4月与直线8c所成的角；

⑵若底面上的点P满足尸2，平面4EG，求线段。尸的长度.

16.（2023•上海虹口•一模）如图，在三棱柱/8C-44G中，底面/8C是以/C为斜边的等腰直角三角形,

侧面A4CC为菱形，点4在底面上的投影为/C的中点。，且A8=2.

⑴求证：BDLCC1；

（2）求点C到侧面AA.B.B的距离；

⑶在线段4用上是否存在点E，使得直线。E与侧面44出内所成角的余弦值为如？若存在，请求出耳£的

7

长；若不存在，请说明理由.

17.（2024・上海・三模）如图，在直三棱柱48C-&B|G中，AAt=AB=2,AC=1,ZACB=90°,。是棱

上的一点.

W^AD=DB,求异面直线耳。与4G所成的角的大小;

（2）若COL5Q,求点2到平面4。的距离.

18.（2024•上海•模拟预测）如图，多面体/BCD及1是由一个正四棱锥/-BCDE与一个三棱锥尸拼

接而成，正四棱锥的所有棱长均为3亚，曳AFHCD.

⑴在棱DE上找一点G,使得平面ABC，平面//G,并给出证明;

⑵若/尸求直线。尸与平面/8C所成角的正弦值.

19.（2024•上海•模拟预测）如图，PA、PB、尸C为圆锥三条母线，AB=AC.

⑴证明:尸

（2）若圆锥侧面积为百私8C为底面直径，BC=2,求二面角2-P/-C的大小

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、填空题

1.（2024•上海杨浦•二模）正方体/BCD-481G，中，异面直线42与。G所成角的大小为.

2.（2024•上海•三模）如图，矩形4BCD中，£为的中点，AB=1,BC=2,连接£8,EC,若4BEC

绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的表面积为.

3.（2024•上海•三模）底面半径长为1cm,母线长为亚cm的圆柱，体积为

4.（2023•上海崇明•一模）己知圆锥的母线与底面所成角为45。，高为1,则该圆锥的母线长为.

5.（2024•上海・三模）已知空间向量2=（1,TO）,S=（0,1,1）,工=（1,2,加）共面,则实数羽=

6.（2024•上海徐汇・一模）己知见〃为空间中两条不同的直线，44为两个不同的平面，若

机uc,an夕=",贝1］加〃"是m〃夕的条件.（填："充分非必要"、"必要非充分"、"充要"、"既非充分

又非必要”中的一个）

7.（2023・上海普陀•一模）设圆锥的底面中心为。，PB,PC是它的两条母线，且8c=2,若棱锥O-P2C

是正三棱锥，则该圆锥的侧面积为.

8.（2024・上海静安•二模）正四棱锥P-42。底面边长为2,高为3,则点A到不经过点A的侧面的距离

为.

9.（2025•上海,模拟预测）已知尸是一个圆锥的顶点，P/是母线，PA=2,该圆锥的底面半径是1.B、C

分别在圆锥的底面上，则异面直线PA与BC所成角的最小值为.

10.（2024•上海奉贤•三模）如图，已知三角形为直角三角形为直角），分别连接点B与线段。4的力

等分点4，4,4T得到〃个三角形依次为7,勺，…，将。43绕看08所在直线旋转一周，记

、，勺，…，△“旋转得到的几何体的体积依次为匕，V2,....V„,若匕=1匕=49,则三角形048旋转得

到的几何体的体积V=.

B

O444-2An.\A

11.（2023・上海•模拟预测）空间内存在三点4B、C,满足/8=NC=8C=1,在空间内取不同两点（不

计顺序），使得这两点与/、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为.

12.（2024・上海奉贤•三模）已知正方体43CO-48cA的棱长为3,用，E2,心为正方形/BCD边上

的《个两两不同的点.若对任意的点耳，存在点约亿，e{l，2,…，得/力