人教A版高二数学讲义：圆的方程（七大题型）

2.4圆的方程

目录

【题型归纳目录】...............................................................2

【思维导图】...................................................................2

【知识点梳理】.................................................................2

【典型例题】...................................................................4

题型一：圆的标准方程...........................................................4

题型二：圆的一般方程...........................................................7

题型三：点与圆的位置关系.......................................................9

题型四：二元二次曲线与圆的关系................................................11

题型六：轨迹问题..............................................................15

题型七：与圆有关的对称问题....................................................19

【题型归纳目录】

题型七：与圆有关的对称问题

题型归纳

题型四：二元二次曲线与圆的关系7

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点一：圆的标准方程

(x—a)2+(丁一瓦)2=/，其中c(a㈤为圆心，r为半径.

知识点诠释：

(1)如果圆心在坐标原点，这时4=0,6=0,圆的方程就是必+丁2=/.有关图形特征与方程的转

化:如：圆心在x轴上:6=0；圆与y轴相切时：|。|=厂；圆与x轴相切时：\b\=r\与坐标轴相切时：|a|=|Z?|=r；

过原点：a2+b2=r2

(2)圆的标准方程(x—ar+(y—6)2=r=圆心为(°,与，半径为厂，它显现了圆的几何特点.

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要

a、b.厂这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.

知识点二：点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为（尤-”）2+（,-加2=产，圆心为C（a,。），半径为r,则有

（1）若点M（x（）,%）在圆上o|CM卜r。（豌）—-bp=r*2

（2）若点加00,%）在圆外白。^|>厂0（尤0—4）2+（%-6）2>/

-22

（3）若点M（Xo，%）在圆内<=>|CM|<r<=>（x0-a）+（j0-Z?）<r

知识点三：圆的一般方程

当犷+人装〉。时，方程f+V+Dx+Ey+BuO叫做圆的一般方程.为圆心，

-y/D2+E2-4F为半径.

2

知识点诠释：

由方程V+^+m+硝+尸=o得（x+]y+g：="+

（1）当Z>2+E，-4/=0时，方程只有实数解尤=-《f=-1.它表示一个点（一~—,-■—）.

（2）当犷+石2_”<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.

（3）当£>2+彦_4/>0时，可以看出方程表示以1-为圆心，^也。+E?—4F为半径的圆.

知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤

求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

（1）根据题意，选择标准方程或一般方程.

（2）根据已知条件，建立关于a、b、厂或。、E、尸的方程组.

（3）解方程组，求出a、枚r或D、E、b的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.

知识点五：轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于

变量x,y之间的方程.

1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定

义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点

法）.

2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.

3、求轨迹方程的步骤：

（1）建立适当的直角坐标系，用（羽丁）表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标；

（2）列出关于的方程；

(3)把方程化为最简形式；

(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；

(5)作答.

【典型例题】

题型一：圆的标准方程

【典例11](2024•高二•河南南阳•阶段练习)已知圆M经过P(U),Q(2,-2)两点，且圆心M在直线

l:x-y+l=O,则圆”的标准方程是()

A.(x-2)*2+(y-3)2=5B.(x-3)2+(y-4)2=13

C.(x+3y+(y+2)2=25D.(x+3)2+(y-2)2=25

【答案】C

【解析】设圆心M的坐标为(。,匕).

因为圆心M在直线/：X-〉+1=0上，所以。-6+1=0①，

因为尸,。是圆上两点，所以WP|=|M2],根据两点间距离公式，有

J(a-以+(6-=J(a-2)2+(6+2)2,即a-3b-3=O@,

由①②可得a=-3,6=-2.所以圆心M的坐标是(-3,-2),圆的半径r==1(1+3]+(1+2『=5.

所以，所求圆的标准方程是(x+3了+(y+2)2=25.

故选:C.

【典例12](2024.高二.河北张家口•阶段练习)圆C:尤2+丁+6x-12y=0关于直线l:x-y+13=0对称的圆

C的标准方程为()

A.(x+7)2+(y-10)2=45B.(x+7)2+(y+10)2=45

C.(x-7)2+(y-10)2=45D.(x-7)2+(j+10)2=45

【答案】A

【解析】圆C：Y+丁+6x—12y=0的标准方程为(x+3)2+^_6^=45)

所以圆心为C(-3,6),半径厂=J45=3收.

设圆C'的圆心为C(a,〃)，

人-少+13=。

则广2(2，解得。=-7/=10,

b-611

------xl=-I

、〃+3

圆C的半径为3石，所以圆C'的标准方程为(x+7)2+(y-l0)2=45.

故选：A

【方法技巧与总结】

确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于纵反r的方程组，求。、6、/■或直接求出圆心

(°,6)和半径厂，一般步骤为：

(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(X-a)?-切2=/；

(2)根据已知条件，建立关于人氏厂的方程组；

(3)解方程组，求出a、b、厂的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.

【变式11](2024•高二・四川成都•期末)已知圆C的圆心在直线x+y=0上，且圆C与》轴的交点分别为

A(0,4),B(0,-2),则圆C的标准方程为()

A.(x-l)2+(y+l)2=10B.(x+l)2+(y-Ip=10

C.(x-l)2+(y+l)2=A/H)D.(x+l)2+(y-l)2=V10

【答案】B

【解析】由题意设圆心坐标为

再由圆C与y轴的交点分别为4(0,4),矶0,-2),可得一°=专1=1，解得。=-1,

则圆心坐标为(—1,1),半径r=J(o+i『+(4-l『=如.

,该圆的标准方程是(无+1丫+(y-1)2=。

故选：B.

【变式12](2024•高二.四川成都•阶段练习)已知圆C的圆心C在直线上，且与x轴正半轴相切，点

C与坐标原点。的距离为&，则圆C的标准方程为()

A.(x+l)2+(y+l)2=lB.(x+l)2+(y+l)2=2

C.(x-l)2+(j-l)2=lD.(x-l)2+(j-l)2=2

【答案】C

【解析】由已知设圆心C(a,a),半径r,再根据已知得|CO|=&/=历,从而求出圆心和半径，进而

得到圆的标准方程.因为圆心C在丁=%上，设圆心C(a,a),半径r

又点C与坐标原点0的距离为亚，|CO|=JX+q2=应,解得：。=±1

又圆C与x轴正半轴相切，可知：。=1,r=l

所以圆C的标准方程为(XT)?+(k1)2=1.

故选：C.

【变式13](2024•北京•模拟预测)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A,圆心在直线y=2x上，若点A在

直线x-y-4=0的左上方且到该直线的距离等于&,则圆C的标准方程为()

A.(%-2)2+(y+4)2=4B.(x+2>+(y+4)z=16

C.(无一2y+(y-4)2=4D.(%-2)2+(y-4)2=16

【答案】D

【解析】•..圆C的圆心在直线y=2x上，则可设C(a,2a),

•圆C与x轴正半轴相切与点A,，a>0且圆C的半径r=2a,A(a,O).

，心陪什=拒，解得:

A到直线x_y_4=0的距离[=应,。=6或a=2,

V1+1

..A(2,0)或4(6,0),

A在直线x-y-4=0的左上方，，A(2,0),:.C(2,4),r=4,

.•.圆C的标准方程为：(x-2)2+(y-4产=16.

故选：D.

【变式14](2024•高二.内蒙古包头•期中)已知圆C的圆心是直线x-y+l=0与y轴的交点，且圆C与直

线x+y+3=0相切，则圆C的标准方程为().

A.(x-iy+G+l)?=8B./+(y+l)2=2

C.x2+(j-l)2=8D.x2+(y-l)2=2

【答案】C

【解析】圆c的圆心是直线x-y+i=。与y轴的交点，.•.c(o,l).

|0+l+3|r-

又圆C与直线x+y+3=0相切，r=1,1=2V2.

Vl2+12

圆C的标准方程为/+"-丁=8.

故选：C.

【变式15](2024.高三.重庆.阶段练习)若圆C与'轴相切于点尸(0」)，与x轴的正半轴交于A,3两点,

且|AB|=2,则圆C的标准方程是()

A.(x+V2)2+(y+l)2=2B.(x+1)2+(y+^)2=2

22

C.(x-y/2)+(y-l)=2D.(x-lf+Cy-伪2=2

【答案】C

【解析】根据题意画出图形，结合图形求出圆的半径和圆心坐标，即可写出圆的标准方程.如图所示，

由题意，圆C的半径为

22

r=Vl+l=A/2>

圆心坐标为(四,1),

•••圆C的标准方程为(x-伪2+(―；

故选：C.

y,

题型二：圆的一般方程

【典例21］（2024.高一.浙江.期末）圆心为（1,-1）且过原点的圆的一般方程是（）

A.尤?++2x-2y+1=0B.x?+—2x+2y+1=0

C.x?++2x-2y=0D.x?+-2x+2y=0

【答案】D

【解析】原点与（I,」）的距离为夜,

则圆心为1）半径为&的圆的方程为（尤-I,+（y+iy=2,

则该圆的一般方程是d+歹-2x+2y=0

故选：D

【典例22］（2024•高二・浙江宁波・期中）过三点4（4,-2），以1,-1）,C（l,4）的圆的一般方程为（）

B.尤2+y?+7x+3y+2=0

C.y~—7x+3y+2=0D.x2+y2-7x-3y+2=0

【答案】D

【解析】设圆的方程为无2+/+0》+4+尸=0,将A,8,C三点的坐标代入方程,

D-E+F=-2?。=一7

整理可得D+4E+F=-17?,解得.E=-3,

4D-2£+F=-20F=2?

故所求的圆的一般方程为Y+/_7x-3y+2=0,

故选：D.

【方法技巧与总结】

（1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件》+炉一4尸＞0,解题时，应充分利用这一隐含

条件.

（2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之

间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程,

此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件.

【变式21］（2024•高二.广东佛山•阶段练习）已知A（2,0）,B（3,3）,C（-l,l）,则VABC的外接圆的一般方程

为（）

A.尤2+丁-2x+4y=0B.x?+y?—2x+4y+2=0

C.x2+y2-2x-4y=QD.x2+y2-2x-4y+l=0

【答案】C

22

【解析】设VABC外接圆的方程为：x+y+Dx+Ey+F=O,

22+02+2D+0£+F=0D=-2

由题意可得:<32+32+3Z)+3E+F=0,解得:E=-4,

(-1)2+12-D+E+F=oF=0

即VABC的外接圆的方程为：r+/-2x-4y=0.

故选：C.

【变式22］（2024.高二.全国.课后作业）经过点A（l,6）和8（2,-2形），且圆心在x轴上的圆的一般方程为

（）

A.x2+y2-6y=0B.x2+y2+6y=0

C.无?+y~+6尤=0D.x?+y2-6x=0

【答案】D

【解析】设圆的方程为Y+y2+m+份+/=0（。2+片2-4/>。）,

P

因为圆心在无轴上，所以一一=0,即E=0.

2

又圆经过点A（l,百）和8（2,-2应），

F+(舟+。+尸=0,。+尸+6=0,D=-6,

所以《即2£>+歹+12=0,解得

22+(-2A/2)2+2D+F=0,F=0.

故所求圆的一般方程为炉+/-6彳=0.

故选：D

【变式23］（2024.高二.全国.课后作业）已知圆£（过三点A（L2）,矶1,-2）,C（2,@,点网6,2）,则圆。

的一般方程为，点尸在圆。（内/上/外）.

【答案】x2+y2-2x-3=0外

【解析】设圆。的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F^0,（D2+E2-4F>0）,

5+D+2E+F=0

因为圆。过A瓦C三点，可得5+O-2E+尸=0,解得。=-2,£=0,歹=一3,

7+2D+>/3£+F=0

满足£>2+n_4尸>0,所以圆。的方程为f+y2-2x-3=0,

将点尸（后2）代入方程得（石『+22一2石-3=4-2代＞0,所以点P在圆。外.

故答案为：尤?+/-2x-3=0；外.

【变式24】（2024.高二.安徽合肥・期中）已知点4（0,5）,B（1-2）,C（-3,Y）,O（2,a）四点共圆，则

a=.

【答案】1

【解析】设过A,B,C的圆的方程为/+必+.+4+尸=0,。2+5一4尸＞0）,

'25+5E+F=0

贝川5+D-2E+P=0,

25-3D-4E+尸=0

D=6

解得£=-2,

F=-15

所以过A,B,C的圆的方程为无2+丁+6*一2,-15=0,

又点。在此圆上，

所以4+。2+12-2。-15=0,

即々2-24+1=0,

所以4=1,

故答案为：1

题型三：点与圆的位置关系

【典例31］（2024.高二.全国•随堂练习）对于圆C：x2+y2-4x+l=0,下列说法正确的为（）

A.点A（L-l）圆C的内部B.点A（L-l）圆C的外部

C.圆C的圆心为（-2,0）D,圆C的半径为3

【答案】A

【解析】对于A,B,将点A（1,T）代入圆C中，得12+（_l）2_4xl+l=-l＜0,所以点A（1,T）圆C的内

部，故A正确，B错误；

对于C,D,由犬+丫2-©+1=0得（x-2）2+V=3,所以圆C的圆心为（2,0）,半径为r=石，故C,D错

误.

故选：A.

【典例32］（2024.高二.河北石家庄•期末）点尸（1,1）与圆/+/=1的位置关系为（）

A.点尸在圆外B.点尸在圆上C.点尸在圆内D.无法确定

【答案】A

【解析】因为圆f+V=l的圆心为：(0,0),半径为：1.

由点(U)与圆心(0,0)的距离为：^(1-0)2+(1-0)2=V2，

又应>1.

所以点(1,1)在圆/+9=1外.

故选：A

【方法技巧与总结】

如果圆的标准方程为(x-a)2+(y-加2=产，圆心为C(a,“，半径为r,则有

(2

1)若点在圆上<=>|CM|=r<=>(x0-af+(%-6)~=r

(2)若点M(Xo，%)在圆外o|CM|>r。(不—<7)一+(%->r

(3)若点A/(x(),%)在圆内o|CM|<ro(%o—a)?+(%-/?)一<r2

【变式31](2024•高二.全国•课后作业)已知圆(x-ay+(y-l)2=2a(O<a<l),则原点。在()

A.圆内B.圆外C.圆上D.圆上或圆外

【答案】B

【解析】由圆的标准方程(x-of+bT=Za,知圆心为(a/)，

则原点与圆心的距离为Jq2+],因为

所以=即原点在圆外.

故选：B.

【变式32](2024.江西.模拟预测)若点。,1)在圆％2+V—%—。=0的外部，则〃的取值范围为()

A.C.(-8,1)D.(l,+oo)

【答案】A

【角星析】因为％2+丁2一工一〃=0可化为+y2=a+J_,则〃+所以〃>一9.

12)444

又点(1,1)在圆炉+/一%一^二。的外部，所以r+V—i—a,。，故avl,

综上，一■-<a<1.

4

故选：A.

【变式33](2024・高三,全国・专题练习)已知两直线>与y=2x+k+l的交点在圆/+,2=4的内

部，则实数攵的取值范围是().

A.--<k<-lB.--<k<l

55

C.—<kD.—2<女<2

3

【答案】B

【解析】圆f+y2=4的圆心为（0,0）,半径为2,

y=x+2k\x=k-l

由y=2x+左+1解得［y=3左一1

则直线>=尤+2左与y=2x+Al的交点为

依题意，伏一1了+（3左一I）?<4,解得

所以实数k的取值范围是-巳<k<l.

故选：B

题型四：二元二次曲线与圆的关系

【典例41］（2024,［Wj—^全国,课后作业）若方程炉+J—3+2〉+2=0,无2+J—2%—4y+〃=0均表不圆,

则实数。的取值范围为（）

A.1<-2或〃>2B.a<5

C.aV—2或2<av5D.。<-2或2vav5

【答案】C

【解析】由题知方程％2+/一双+2y+2=0,/+/-2%-4丁+。。均表示圆,

4/2+4—8>0_

则，解得aV—2或2va<5.

4+16-4。>0

故选：C.

【典例42］（2024•高二・江苏南通・期中）若方程%2+/+4加x-2y+4加2一机=。表示一个圆，则实数机的取

值范围是（）

A.m<-lB.m<lC.m>-lD.///>-1

【答案】C

【解析】由。2+£2_4/>0，

得（4m）2+（—2）2-4（4m2-m）>o,

即4m+4>0,

解得功>-1.

故选：C.

【方法技巧与总结】

待定系数法

[变式41]（2024・高二・江苏徐州•阶段练习）方程/+V一2mx-4y+2m2-4m-l=0所表示的圆的最大面

积为（）

A.4兀B.9兀C.8兀D.16几

【答案】B

【解析】由题意整理可得：（%-机）2+（,一2）2=一疗+4根+5,

则一环+4根+5>0,解得一1<根<5,

且圆的半径r=，-疗+4%+5=J-（*2）2+9<3,

当且仅当加=2时，等号成立，

即圆的半径最大值为3,所以圆的最大面积为97t.

故选：B.

【变式42]（2024・高二・全国•课后作业）若方程无2+9+2以+2©+2/+。_1=0表示圆，则。的取值范围

为（）

A.RB.<2<1C.a<lD.a>l

【答案】C

【解析】根据题意，若方程表示圆，

贝情（2ay+（2a『-4（2/+。-1）>0,解得a<l.

故选：C.

【变式43]（2024•高二・福建厦门•期中）若ae1-则方程/+丁+办+2今+2a?+。一1=。表示

的圆的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】若方程/+/+依+2纱+2/+。一1=0表示圆，

贝lja2+（2〃y—4（2/+々-1）=一3〃2-4q+4>0n（3a-2）（a+2）<0,

解得

又a£2,—,所以〃=—1或a=0,

即程x2+y~+ax+lay+2a~+<7—1=0表不的圆的个数为2.

故选：B

【变式44]（2024•高二.广东.期末）已知方程/+；/+2彳-2冲+2。+4=0表示一个圆，则实数。取值范围

是（）

A.（-oo,-l]u[3,+oo）B.[-1,3]

C.（-oo,-l）u（3,+oo）D.（-1,3）

【答案】C

【解析】因为方程f+丁+2_¥-2冲+2〃+4=0表示一个圆,

所以展+日）?-4x（2a+4）＞0,

BPa2-2a-3＞0,所以。＞3或“＜一1,

故选：C.

题型五：圆过定点问题

【典例51］（2024•高二•河北沧州•期末）已知点A为直线2x+y-10=0上任意一点，。为坐标原点.则以

（M为直径的圆除过定点（0,0）外还过定点（）

A.（10,0）B.（0,10）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】D

【解析】设OB垂直于直线2x+y-10=0,垂足为B,则直线08方程为：y=^x,

由圆的性质可知：以。4为直径的圆恒过点B,

-2x+yT0=0屋=4

4

由=］_x得：.=2，，以。为直径的圆恒过定点（42）・

y~2x

故选：D.

【典例52］（2024•高二•上海徐汇•期中）对任意实数施，圆/+丁_3〃a-6/+97〃-2=0恒过定点，则定

点坐标为

【答案】（L1）或匕3

【角星析】X2+y2—3mx-6my+9m-2=0,BPx2+y2-2-(3x+6y-9)m=0,

：

-2=01Tl7

mx=\y=l,或x=m，y=-

、13x+6y-9=0

所以定点的坐标是（LI）或

故答案为:

【方法技巧与总结】

合并参数，另参数的系数为零解方程即可.

【变式51］（2024•高二.江西南昌•阶段练习）已知圆C:f+y2=4,点河（1,1）,平面内一定点N（异于点

\AN\,

M),对于圆C上的任意动点A,都有H寸为定值，定点N的坐标为.

【答案】(2,2)

【解析】设A(Xo，%),N(〃z,〃)，且考+y：=4,

222

|AZV|(x0-m)+(y0-n)l^—2m^xQ+^—2n^yQ+m+n+4

AM

1iv5-1)2+(%-1)2\(-2)x0+(-2)y0+6

因为曾为定值,设(-2加”(-22y：疗y+4”.

\AM\(_2)/+(-2)%+6

化简得：(22—2〃7)工0+(2/1—2〃)%+〃/+“2+4-64=0,与A点位置无关，

22—2m=0

所以22-2〃=0,

m2+/12+4-62=0

解得：祇=〃=1或〃?=〃=2,

因为异于点所以定点N为(2,2).

故答案为：(2,2).

【变式52](2024・高三・上海徐汇・期末)已知二次函数/(x)=/+2x+b(xeR)的图像与坐标轴有三个不同

的交点，经过这三个交点的圆记为C,则圆C经过定点的坐标为(其坐标与6无关)

【答案】(0,1)和(-2,1)

【解析】二次函数/(x)=/+2x+6(xe&的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为

M(m,0),N(n,0\B(0,b),易知Z?w0,满足〃z+〃=-2,〃?中及，加2+2m+6=0，rr+2n+b=0设圆

C方程为无2+丁+。.丫+4+尸=0,则

m2+Dm+F=00

<n2+Dn+F=0②,

b2+Eb+F=0®

①一②得"z2-〃2+。(加一")=0，。=一("?+”)=2,“2+2〃+p=o,从而R=

代入③得E=-6-1,

...圆C方程为炉+/+216+1)>+6=0,

整理得尤2+丁2+2尤-y+b(一y+l)=0,

,[x2+y2+2x-y=0[x=0,(x=-2

由々1八得41或11・

[-y+l=0[y=l[y=l

.•.圆C过定点(0,1)和(一2,1).

题型六：轨迹问题

【典例61](2024.高二.江苏徐州.阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0),若点"满足

AM2+MO2=10，则点M的轨迹方程是—.

【答案】%2+/-2X-3=0

【解析】设”(x,y),则有"一2)2+(＞一0)2+尤2+/=10,

化简得%2+/-2X-3=0,即点M的轨迹方程是%2+/-2X-3=0.

故答案为：X2+/-2^-3=0.

【典例62](2024.高二・全国・随堂练习)长度为6的线段A3的两个端点A和B分别在龙轴和V轴上滑动，

则线段A3的中点用的轨迹方程为.

【答案】x2+y2=9

【解析】当A(或8)中有一个在原点处时，则|OM|=：|A@=3.

当AB均不在原点处时，AB,。三点构成以。为直角顶点的直角三角形.

由M为线段的中点，则|OM|=：|AB|=3

所以|。闾=3,则M的轨迹是以。为圆心，2为半径的圆，其方程为：无2+丁=9

故答案为：x2+y2=9

【方法技巧与总结】

用直接法求曲线方程的步骤如下：

(1)建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M(x,y)；

(2)几何点集：写出满足题设的点〃的集合尸={M|P(M)}；

(3)翻译列式：将几何条件尸(M)用坐标x、y表示，写出方程〃x,y)=0；

(4)化简方程：通过同解变形化简方程；

(5)查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，

曲线上是否有遗漏的点.

求轨迹时常用的方法：代入法

对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方

法.代入法是先设所求轨迹的动点坐标为(尤,y),在已知曲线上运动的点的坐标为(x',y')，用x,y表示x',

了，即无，=/(尤,H，y，=g(x,y),并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程.一般情况下，

证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解.

【变式61](2024•高二.北京大兴.期中)已知等腰三角形A3C的顶点为44,2),底边的一个端点为

8(5,3),则底边的另一个端点C的轨迹方程为.

【答案】炉+：/-8E-4丫+18=007-2*0或除去点(3,1),(5,3))

【解析】设底边的另一个端点C的坐标为(x,y),则J(4一■+但一犷=J(4一5『+(2一3『,

化简可得炉+9-8%-4、+18=0,

因为A,且C三点构成三角形，所以三点不共线且反C不重合，

当A,民C三点共线时，左加=泮=1,

由直线的点斜式可得y-2=1X(X-4),化简可得x-y-2=0,

所以点C的轨迹方程为犬+丫2_8工-4〉+18=0(尤-、-2r0或除去点(3,1),(5,3)).

故答案为：/+丁-8%-4>+18=0(左-、-2-0或除去点(3,1),(5,3)).

【变式62](2024・高二•河南南阳•阶段练习)已知圆O：/+丁=4,A,B是圆上两点，点「。,0)且

PAYPB,则线段AB中点R的轨迹方程是.

【答案】

【解析】如图所示，R(x,y)是线段A3的中点，则ORLAB,

因为出，尸3,于是|PR|=；|AB|=|R8],

2

在RSORB中，|。回=2,网=&+y,1^=\RP\=^x-iy+y,

由勾股定理得2?=人+》+(%—1)2+丁,

整理得R(x,y)的轨迹是+/=1.

故答案为：[彳-g]+'2=：.

【变式63](2024.高二.广东佛山.期末)已知点A(2,0),圆O：/+产=10上两动点3、C满足ABL3C,且

四边形ABCD是矩形.

(1)当点8在第一象限且横坐标为3时，求AD边所在直线的方程；

(2)求点。的轨迹方程.

1-0

【解析】(1)设点3(3,，)J>0,由32+产=10,得，=1,直线A3的斜率上=三3=1,而AD2A5,

所以直线AD的方程为y-0=-L(x-2),即x+y-2=0.

(2)由于线段3c是圆。：/+>2=10的弦，则线段BC的中垂线必过圆心0,

又线段BC的中垂线是矩形ABCD的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段A。，即冲=2,

显然民C不重合，当反C重合时，点A,。重合，则点。的轨迹是以。为圆心，2为半径的圆(除点A

外)，

所以点。的轨迹方程是/+丁=4(xw2).

【变式64](2024•高二・全国•课后作业)已知圆办-3=0,圆心坐标为(1,0).

(1)求圆C的一般方程；

(2)若点尸为圆C上的动点，定点。(-1,4),求满足条件=0的点M的轨迹方程并判断它的形状.

【解析】(1)因为圆C的圆心为(1,0),

所以-•!=：!,即a=-2,

则圆C的一般方程为x2+r-2-r-3=0.

(2)设”的坐标为(x,y),P(x0,y0)>

易得PM=(x——=

=

X—XQ—1—X,x=2x+l,

由=0得解得0

=4-y,%=2y-4.

因为点POo,%)为圆C上的动点,

所以满足X；+y：-2x0-3=0,

所以(2尤+l>+(2y-4)2—2(2尤+1)—3=0,

化简得点”的轨迹方程为炉+丁-分+3=0.

因为。2+(-4)2-4x3=4>0,

所以点M的轨迹为圆.

【变式65](2024.高二.全国.专题练习)如图，已知点5的坐标为(2,0),尸是以点。为圆心的单位圆上的

动点(不与点CD重合)，/PQB的角平分线交直线必于点。，求点。的轨迹方程.

【解析】由三角形的角平分线的性质，可得蕾=.=2,所以=

设点。(无,y),尸(%,%)(%*0),则(尤-2,y)=2(x0-x,y0-y),

x-2=2尤0-2x_3尤一2_3>

所以>所以也一一-一，%-可

y=2y0-2y

因为%片0,所以ywo,

又因为点尸在圆。上，所以(与遂y+(g)2=l,即(无一$2+y2=1(yw。)，

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即点Q的轨迹方程为(x--)2+V=0).

【变式66](2024•高二•全国•课后作业)如图，已知点4(1,0)与点8(1,0),C是圆力+/勺上异于4B

两点的动点，连接BC并延长至。，使得|C0=|8C|,求线段AC与。。的交点P的轨迹方程.

【解析】设动点P(x,y),由题意可知尸是△ABD的重心，由A(l,0),8(1,0),

令动点C(xo,yd),则。(2加1,2yd),

一1+1+2%-1

A-

由重心坐标公式得c

v=M