立体几何-2025年高考数学复习易错题（新高考）

专题05立体几何

考点01空间几何体

1.（24-25高三上•河北唐山・期末）如图，在三棱柱N5C-4耳。中，CC］，平面/Bq,AB=BC=CA=2,

cq=&,则三棱柱/8C-44G的体积为（）

A

A.苧B.V2C.272D.30

【答案】B

【分析】根据条件求出A/BG的面积，把求三棱锥C-/2C的体积转化成求三棱锥C-48。的体积，再根

据嚏棱柱aBC-dqq=3匕棱雒q_«6c的关系进行求解.

【详解】•••。。1平面/35

CClA.ACl,CClA.BCl,

•;AB=BC=CA=2,CQ=V2,

AQ=BCX=V4^2=V2,

.•.A/G8是等腰直角三角形，

■■-^CI=1^C1.5C1=1XV2XV2=1!

.,“k棱锥G-ZBC=棱锥C-Z8C1=gxCC/S.啊=；x后xl=#,

所以Q棱fe«C-4BiG=3喔棱链G-4BC=3X—=也，

故选：B.

易错分析：求几何体的体积时，若几何体是规则图形可直接利用公式求解，若几何体是不

规则图形，可考虑用“割补法”求解.

2.（24-25高三上•北京顺义•期末）某同学在劳动实践课中，用四块板材制作了一个簸箕（如图1）,其底面

挡板是等腰梯形，后侧挡板是矩形，左右两侧挡板为全等的直角三角形，后侧挡板与底面挡板垂直.簸箕

的造型可视为一个多面体（如图2）.若/8=24cm,CD=30cm,AE=\5cm,48与8之间的距离为

28cm,则该多面体的体积是（）

C.5460cm3D.5670cm3

【答案】C

【分析】将几何体的体积转化为四棱锥和三棱锥的体积后可得正确的选项.

【详解】

因为四边形48尸E为矩形，故而平面N3FEJ_平面N3CZ),

ABFEAABCD=AB,AEABFE,

故"E_L平面N8CD,

在平面/BCD中过A作4sl_L_DC,垂足为S,则/S_L/8,

同理可证NSJ■平面48匹£,

而万=28,^^=-xl5x-x28x30=2100Cm3,

1R

V4RFF=-x28x24xl5=3360cm3,

Cc—ADre,3

故几何体的体积为5460cm3,

故选：C.

3.（24-25高三上・江苏•阶段练习）若在长方体N5CO-44G2中，23=3,8C==4.则四面体/班©

与四面体4G3。公共部分的体积为（）

【答案】C

【分析】先确定两个四面体的公共部分，再利用锥体的体积公式求体积.

【详解】如图：

取/用与/田的交点为E,取AD中点G,连接4G,交NG于点尸,

则三棱锥斤G即为四面体N34G与四面体4c田。的公共部分.

11____3八7

因为邑叫《x/BxBC]=-x3x71+16=^—.

AFAG11_22，—

又FC]=4C=5'所以S./BF=]S/BCJ所以S.BFQ=§S/BG=§X[=后，

过用作甲l/L8G于点M,

因为N81,平面8CG4，平面8CC£,所以

因为NB,BGu平面所以用ML平面/BQ.

1x444后

所以片M为名到平面ABC,的距离，其值为

71+42"V17'-IT-

点E为/片的中点，所以点£到平面N8G的距离为：：1、处=巫

21717

所以％BFC=」xgx3叵=2-

EM3173

故选：C

【点睛】方法点睛：几何图形的公共部分和体积计算：通过分析两个几何体公共部分的几何位置，逐步构

造关键点，利用三角形面积和锥体体积公式，最终得出公共部分的体积，此方法清晰有效，能充分展示逻

辑推理与代数运算等解题技巧.

4.（24-25高二上•贵州遵义・阶段练习）如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中

AB=AA^4,4〃=2,则该几何体的体积为（）

C.26而D.26V14

【答案】A

【分析】由正四棱台的性质，可求得正四棱台的高，从而可得正四棱台的体积.补全图中几何体可知截去的

三棱锥的底面为三角形4耳高为正四棱台的高从而可得截去的三棱锥的体积.两者做差即可得到

题目中几何体的体积.

AB

因为/5=44=4,an=2,根据正四棱台性质，其高为

2

MO=AXE=y]AA^-AE=^AA；-（AO-AXM^={16-（272-可=5，

则该正四棱台的体积为厂=上+S下+Js上S=g（4+16+j4xl6bV14=池外.

又由图可知截去三棱锥底面积为',MG=2x2=2,

所以三棱锥体积为LSaBc4£=」x2x«=R@,

3]33

即所求几何体体积为生且-3但=生恒.

333

故选：A

5.（24-25高三上•吉林长春・期末）若圆台上、下底的面积分别为兀，4TI,高为2,则圆台的侧面积为（）

A14n7兀r-3A/571

A.—nB.—C.3A/5兀D.--------

332

【答案】c

【分析】利用给定条件结合圆台侧面积公式求解即可.

【详解】因为圆台上、下底的面积分别为兀，4兀，设上底半径为彳，下底半径为2,

所以说=兀，nr；=4n,解得4=1,々=2（负根舍去）,

设圆台母线为/,由勾股定理得/=万彳=石，且设圆台侧面积为S,

故5=屈（1+2）=36兀，故C正确.

故选：C

易错分析：空间几何体的面积问题要注意区分表面积和侧面积的区别.

6.（24-25高三上•重庆・期末）在正四棱台/BCD-中，AXB{=2,AB=A,且正四棱台存在内切球,

则此正四棱台外接球的表面积为（）

【答案】A

【分析】由内切球切点的截面性质，确定内切圆的圆心与半径，从而结合勾股定理得四棱台的高度，再由

外接球几何性质建立关系得外接球的半径，从而得所求.

【详解】因为正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形〃LN的内切圆，圆心为£,

设上下底面的中心分别为a,a.

过E作EFLNL于F,连接EN,EL,

由图可知。E=M=£a，

则⑶=液+也=0囚+02£=：（小+x（2+4）=3,

过N作NK1JL于K,Oa=NK=JjVZ?—Ki}=3?土3=2啦,

即四棱台的高为2拒,

设外接球球心为。，设外接球的半径为R,

则on=Q。+°°2={4。-4。；+1OA2-AO；

=也j+,_（2用=2后,

解得屋=当,

O

则外接球表面积为4成2=手

故选：A.

【点睛】关键点点睛：关于正四棱台的内切球问题，关键是要通过截面法确定内切圆的圆心与半径，从而

转换为几何体的内切球，由几何性质确定正四棱台的高度，从而再根据外接球的性质求解外接球半径，即

可得所求。

7.（2025高三•全国•专题练习）如图，圆台内有一个表面积为1的球。，该球与圆台的侧面和底面均

相切，则该圆台的表面积的可能取值为（）

【答案】A

【分析】设圆台的下底面半径为4,上底面半径为弓，球。的半径为尺,根据几何体的特征可得笈=斗弓,

根据基本不等式可得邑=；,从而可得正确的选项.

【详解】不妨设圆台的下底面半径为外，上底面半径为2,球。的半径为太，

如图，作出圆台的轴截面4BCD,过点。作。尸1BC于点、F,

由题意知圆。与梯形ABCD的四条边均相切，则。C=+。夕=2+6，

又DC=yjDF2+CF2=,4&+化_力,

1

故«R2+(4=4+2,化简可得R=rxr2,

设圆台与球的表面积分别为H，S?，

贝1之二可］+马+伍［々）（外+々）］=厂；+&2+5（外＞々，故取不到等号）

S24兀氏22V］々2斗弓2

故3邑=3:.由3于:，:Tl，?4都不大3于7［i＞3:,故圆台的表面积的可能取值为兀

222332222

故选：A.

【点睛】思路点睛：解决几何体与球相切问题的基本逻辑是找空间关系或找一个特殊截面，将问题转化为

平面问题进行解决.求内切球半径的两种方法：①等体积法，先将几何体的内切球球心与几何体各个顶点

113V

用线段连接，运用等体积法就有忆=14厂+三邑厂+…（岳石2,…为几何体各表面的面积），于是就有，=

其中r为几何体内切球的半径，修为几何体的体积，S为几何体的表面积；②平面化，通过找特殊截面（一

般为球的截面刚好与几何体截面相切的截面），将立体几何问题转化为平面问题，从而通过求得某几何图形

的内切圆半径，求出原问题中内切球的半径.

8.（24-25高三上•广东茂名•阶段练习）已知圆台GO?的上、下底面圆的半径分别为1和3,母线长为6,且

该圆台上、下底面圆周上的点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.24兀B.36兀C.48兀D.54兀

【答案】D

【分析】求出圆台的高，球心在上、下底圆心的连线上，利用勾股定理建立等量关系，求出球心位置，即

可得到球的半径，从而解出球的表面积.

【详解】取圆台的一条母线43,连接/Q、BO2,

过点A在平面/台外。内作么£，8。2,垂足为点E，如图：

由题意可知，四边形为直角梯形，且BC）2=3,AB=6,

因为40］//BO2,AE_LBO2,OXO2_LBO2,

所以四边形力七。2。1为矩形，所以。2七="。1=1，则5£=3。2-。2七=3-1=2,

所以/£=yiAB--BE2=A/62-22=472，

设OOI=x,则Oa=4收-x,

因为圆台的上、下底面圆周上的点都在同一个球面上,

故选：D.

易错分析：空间几何体的外接球问题要注意先确定球心位置，然后根据截面圆半径、球半

径'球心距组成的直角三角形求解.

9.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）已知三棱锥S-/BC的侧棱长相等，且所有顶点都在球的球面上，

其中M=2,N8=l,NC=2,/8/C=60°,则球的表面积为（）

A.――B.16TIC.3KD.4n

3

【答案】A

【分析】由三棱锥的所有顶点都在球。的球面上，结合余弦定理可得8C的长，从而得

于是可得△/8C截球。所得的圆4的半径「，由此能求出球。的半径，从而能求出球。的表面积.

【详解】

如图，三棱锥S-4BC的所有顶点都在球。的球面上，

二标

\\\b/

s

vAB=1,AC=2,ABAC=60°,

由余弦定理得BC=yjAC2+AB2-2AC-AB-COS60°=^4+l-2x2xlx1=>/3,

AB2+BC2=AC2,则4B_L8C,

:.“BC截球。所得的圆Q的圆心Q为/C的中点，半径r=g/C=1,

由于三棱锥S-Z8C的侧棱长相等，所以Q,。,s共线，且SQL/C,

sox=6

设球的半径为尺,由尺2=（力一区）?+/得：R=年.

•••球0的表面积S=4nR2=—.

3

故选：A.

10.（24-25高三上•湖南株洲•期末）已知长方体的长，宽，高分别为。，43,连接其各面的中心，得到一个

八面体.已知该八面体的体积为8,则该长方体的表面积的最小值为.

【答案】80

【分析】由已知条件作出示意图，可以把八面体分成两个同底等高的四棱锥，并且得出四棱锥的底面积和

高与长方体的关系，，从而可求得仍=16,再由长方体表面积公式，利用基本不等式，即可求得长方体表面

积的最小值.

【详解】

如上图所示，

八面体分成两个同底等高的四棱锥-。2。3。4。5和四棱锥Q-。2。3。4。5，

=

所以％-O2O3O4O5⑵-。2。3。4。5=5%=2、8=4,

因为四棱锥Q-。2。3。4。5的底面面积是长方体底面面积的一半，高是长方体高的一半，

113

所以5.。必。皿=§*（5仍）*5=4,化简得：仍=16,

所以长方体的表面积为：

S=2（ab+36+3a）=2x[16+3（a+6）]=32+6（。+6）232+6x2疯=32+12*而=80

当且仅当。=6=4时，取等号，所以长方体的表面积的最小值为80.

故答案为：80.

11.（24-25高三上•山东淄博・期末）己知三棱锥S-N8C的底面N3C是边长为2的正三角形，点/在侧面

SBC上的射影H是4SBC的垂心,三棱锥S-ABC的体积为Q，则三棱锥S-ABC的外接球半径等于.

31

【答案】R

【分析】做辅助线，根据题意结合垂直关系可证8。，/6,同理可得/。，86,/2，。6,可知点6为4/8。

的垂心，即可知点G为△/SC的中心，根据体积可得PG=3,结合外接球的性质列式求解即可.

【详解】延长阳交8c于点。，连接

因为点〃是△S8C的垂心，则SDL5C,

又因为N“_L平面5BC,5Cu平面5BC,则

且SDn//f=H,SO,/Xu平面1s40,可得8C_L平面£4。，

由SWNOu平面S4D,可得8C_L&4,BC1AD,

且底面/8C是边长为2的正三角形，则点。为5c的中点，

过点S作SGL平面N8C,垂足为点G,

且2Cu平面/8C,可得SG_L8C,

且/SnSG=S,45,SGu平面”G,可得8CL平面"G,

由/Gu平面514G,可得8c

同理可得AC1BG,AB±CG,可知点G为"C的垂心，

因为△ABC为等边三角形，可知点G为△ABC的中心，

则Ge/。，且/G=2/D=幽，

33

因为三棱锥S-42C的体积为:SGX；X2X6=VL可得SG=3,

可知三棱锥S-ABC的外接球的球心0wSG,设三棱锥S-ABC的外接球的半径为R,

贝1［尺2=+（3-灭）2,解得尺=

31o

31

所以外接球的半径为3.

Io

31

故答案为：.

Io

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把

空间问题转化为平面问题求解；

2.正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

3.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；

4.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置,

弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

考点02点线面的位置关系

1.（24-25高三上•天津•阶段练习）已知〃?，/是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，则尸的一

个充分条件是（）

K.m工I,mu（3,I工aB.mil,ac/3=l,mua

C.mlII,mLa,IL/3D.ILa,mlH,mlIp

【答案】D

【分析】对A,&与£相交或平行；对B,a与6可能相交但不垂直；对C,可推出&//4；对D,可得

mla,结合加〃夕，得到答案.

【详解】对于A,由则a与/?相交或平行，故A错误；

对于B,由加_L/,aC/3=1,mua,则a与4可能相交但不垂直，故B错误；

对于C,由加///,/，夕，则故C错误；

对于D,由/_La,m//l,则加la,又加//力，则1_1〃，故D正确.

故选：D.

易错分析：利用空间中的平行、垂直问题时，一定要注意判定定理成立的前提条件.

2.（2025•云南昆明•模拟预测）设加，”是两条不同的直线，名£是两个不同的平面，则下列说法正确的是

（）

A.若加///加〃力，则々〃月B,若则”?〃£

C.若加J_〃,加_La,"_L/，则a_1_夕D.若a加///〃//£,则〃?

【答案】C

【分析】利用空间中线线，面面的位置关系判断即可.

【详解】对于选项A：若mlla,ml1/3,当机，〃都平行于a,/?的交线时.满足条件，此时两个平面a,分相交.

故A错误.

对于选项B：若机//%□//£,则有可能加<=尸，故B错误.

对于选项C：若加_1_”,加_La,则〃//々或〃ua,又因为〃1",如果"ua根据面面垂直的判定定理可得

；如果”//a,假设过〃作平面/与［相交于直线/,由"//&,可得//〃,因为〃，力，所以■尸,

而/ua,根据面面垂直判定定理即可得到a，/?,故C正确

对于选项D：若/，则机，〃可能平行或异面.故D错误.

故选：C

易错分析：平行关系的辨析问题，容易忽略直线在平面内这一特殊位置而致错.

3.（24-25高三上•天津河北•期末）已知a,/?是两个平面，I,〃?是两条不同的直线，则下列说法正确的是

（）

A.若Z±«,则加〃/B.若a，0,则机_L/

C.若nj_La,I±m,则/〃aD.若a〃尸，mLa,则加_L/?

【答案】D

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一判断四个选项得答案.

【详解】对选项A,若"?//a,/JLa,则加故A错误；

对选项B,若加//a,aljB,则羽//尸，mua,或小与a相交，故B错误；

对于C,若机_La,I,贝!J///c或/ua,故C错误；

对于D,若a〃/?,m_La,则加_L4，

即一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，D正确.

故选：D

4.（24-25高三上•天津北辰•期末）已知见方是空间中的两个不同的平面，I,m,〃是三条不同的直线.下列

命题正确的是（）

A.若加ua,"ua,/_1_加1_1_"，贝!|/_LaB.若mua,nup,mIn,则a_L分

C.若IUm,mua,贝！］///aD.若///加,掰//〃,/1c,贝!］〃_Lar

【答案】D

【分析】对于A：根据线面垂直的判定定理分析判断；对于B：根据面面垂直的判定定理分析判断；对于

C：根据线面平面的判定定理分析判断；对于D：根据平行关系可知///〃，再结合线面垂直的性质分析判断.

【详解】对于选项A：根据线面垂直的判定定理可知：需保证〃?，〃相交，故A错误；

对于选项B：根据面面垂直的判定定理可知：需推出线面垂直，现有条件不能得出，故B错误;

对于选项C：根据线面平面的判定定理可知：需保证/<za,故C错误；

对于选项D：/lm,mlIn,则///〃，

且/_La,所以〃J,a,故D正确；

故选：D.

5.（2024•山东•模拟预测）设1是空间中的一个平面，/,也〃是两两不重合的三条直线，则下列命题中，真

命题的是（）

A.若机uua,/_L加，/-L〃，贝!!/_!_a

B.若/_La,〃则加//a

C.若///旭，m_La,"_La,贝!]/_!_〃

D.若I"m,mlIn,IA_a,则〃_La

【答案】D

【分析】利用线面垂直判定定理可判断A；结合线面垂直与线线垂直的性质分析可判断B；由线面垂直性质

可判断C、D.

【详解】对于A,由muc,〃uc,机,力，只有直线加与〃相交时，可得/La,故A错误；

对于B,由加，知加//a或加utz,故B错误；

对于C,由///私机_La,"_La,贝lj〃/力，故C错误；

对于D,由可得又因为心//〃，所以"J.c,故D正确.

故选：D.

6.（24-25高三上•河北邢台•阶段练习）已知a,力是两个互相平行的平面，I,加，“是不重合的三条直线,

且/_1&,"ZUa,77U^,则（）

A.Z±nB.mLnC.11InD.机〃〃

【答案】A

【分析】根据空间线面位置关系的有关判定、性质定理，可得正确结论.

【详解】因为a〃尸，所以

又加ua,〃u£,所以/_1,心，/!«,

m,n平行或异面.

故选：A

7.（24-25高三上•天津和平・期末）已知加,〃为两条不同的直线，a,〃为两个不同的平面，则下列说法

中正确的是（）

A.若加//a,〃ua,则加//〃B.若加_La,mlI/3,则a_L/?

C.若m_La,mLn,则〃//aD.若〃?//a,a11/3,则加〃力

【答案】B

【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.

【详解】对于A：若加//a,〃ua,则机〃力或加与"异面，故A错误；

对于B：在内任取一点P,设点尸与直线机确定一个平面7,且£cy=左，

由加〃尸，由线面平行的性质定理，可得加//左，

因为"?_La,所以左_Le,因为左u〃，所以a_L〃，故B正确；

对于C：若机_La且加_1_〃，则〃//a或〃在a内，故C错误；

对于D：若m//a,al1/3,则m〃夕或故D错误.

故选：B.

8.（24-25高三上•山东•阶段练习）己知见分为两个不同的平面，/,加为两条不同的直线，则加，夕的一个

充分不必要条件可以是（）

A.加与〃内所有的直线都垂直B.a1/3，=mil

C.根与£内无数条直线垂直D.ILa,I上B,mla

【答案】D

【分析】A项由线面垂直定义可知；BC项在长方体中举反例可知；D项由推证可得充分性，必要性显然不

成立.

【详解】A项，由直线与平面垂直的定义可知小与〃内所有的直线都垂直是机，尸的充要条件，选项A错;

B项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件加ua,

如图长方体ABCD-/4GQ中，

设平面4名。。1为平面a,设平面440〃为平面/，直线为加，

则==/,满足a_L〃，aP\/3=l,mH,

但加u〃，不与平面£垂直，故不能推出机JL",

故条件“a，〃，aCp=l,加，/”也不是小，£的充分不必要条件，选项B错；

D\G

c项，如图长方体ABCD-4与G。中，

设平面4gGA为平面B，直线3c为加，

则直线加与平面力内无数条与BC垂直的直线都垂直，但加〃力，不与平面广垂直，

故由机与/内无数条直线垂直不能推出加，/，所以不是机，尸的充分不必要条件，选项c错;

D项，由/_La,/1■£,得fz〃?，又因为加la,所以加_L〃；

反之，由加，方推不出/_La,/J-Q,加la,

所以/La,机La是“，尸的一个充分不必要条件，选项D正确.

故选：D.

9.（24-25高三上•河北张家口•期末）已知a是一个平面，6是两条不同的直线，bcza,p:a1a,q:alb,

则。是夕的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由线面垂直的性质定理及空间中直线与平面的位置关系，结合充分条件与必要条件定义判定即可

得.

【详解】若a_La,由bua,则"_L^；

若之则。与&可能垂直、可能相交也可能平行，还有可能au平面a；

故。是4的充分不必要条件.

故选：A.

10.（24-25高三上•天津河西•期末）设机，〃是两条不同的直线，/夕是两个不同的平面，则下列说法中正确

的是（）

A.若"2//a,机///，则a//〃

B.若仅_La,m±n,则〃_La

C.若al_况加_La,则加//月

D.若7〃_La,比///，则a_L/?

【答案】D

【分析】根据各项给定的线面、面面的位置关系，结合平面的的基本性质及空间想象判断正误即可.

【详解】A：若加///加//〃，则"、/可能平行或相交，故A错；

B：若"2_La,，〃_L〃，则"〃a或"ua,故B错；

C：则"z//6或加u〃，故C错；

D：若比加//4，则存在直线"u万，使得m//r?,

又加_La,所以〃_La,所以aJ■4.故D对.

故选：D

11.（2025・上海•模拟预测）如图，/BCD-4月GA是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是

（）.

A.和CQ；B.和C£；C.2〃和耳，D.4。和A8.

【答案】D

【分析】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断.

【详解】因为/8C。-44GA是正四棱台，所以/8//44//G2,故A错误，

侧棱延长交于一点，所以44与C。相交，故B错误，

同理84与。，也相交，所以3,综9,0四点共面，所以8"与耳。相交，故C错误，

4。与48是异面直线，故D正确.

故选：D

12.（2025高三・全国•专题练习）在正方体/BCD-4瓦G2中，下列选项错误的是（）

C

A./4与2c异面B.B{D±4i

C.平面NC，//平面48GD.平面与RC

【答案】D

【分析】根据异面直线的性质即可求解A,根据线面垂直的性质可判断B,根据线线平行可证明线面平行判

断D,根据面面平行的判定求解C.

【详解】由于而2c与。G相交，结合正方体的性质易知44与2c异面，所以A正确；

因为。。，平面AxBxcxDx,4。U平面4月GA,所以。2_L4。，

又在正方体中易知14G,BRnDtD=D,,

BR,DQu平面4DD1,所以4G，平面4DD1,

又"Du平面BQ。，所以所以B正确；

因为4G///C，/Cu平面/c，，4。/平面4CD1，所以/©//平面/c。，

又BC\UAD\,/"u平面NCR,8^/平面AC%,所以8C"/平面NCR,

因为4G，8Gu平面42C1,

所以平面/CD"/平面所以C正确；

因为48//2C,，。＜=平面。啰。，43,平面，80,

所以48//平面。0C，所以D错误.故选D.

故选:D

考点03空间角

1.(24-25高三上・甘肃白银•期末)若-为正方体，则异面直线8G与C。所成角的大小为

()

A.-B.-C.-D.2

3428

【答案】A

【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线夹角的定义，可得答案.

【详解】连接/，，AC,如下图:

易知所以/4DC为异面直线与C0所成的角（或其补角）,

冗

易知△/C〃为等边三角形，所以442c=§.

故选：A.

易错分析：求异面直线所成角的方法一般有两种：一是几何法，即平移作角、通过解三角

形求解；二是向量法，即通过空间向量进行求解，无论何种方法都要注意异面直线所成角的范

围为心.

2.（23-24高三上•江苏南京•期中）己知矩形中，N5=1,8C=板,E是边5c的中点./£和2。交于

点M,将沿NE折起，在翻折过程中当43与垂直时，异面直线胡和CO所成角的余弦值为

（）

,1152

A.-B.-C.—D.一

64123

【答案】D

【分析】证明三角形相似得到/ELM）,进而证明出线面垂直，面面垂直，作出辅助线，得到NB'/B或其

补角即为异面直线夕/和CD所成角，结合余弦定理求出答案

【详解】如图1,在矩形48co中，N8=1,5C=后,£■是边8C的中点，

,,V2,,BEAB

故B£=J，故七=不，

2ABAD

又/BAD=NABE=90。,故"BE〜ADAB,所以NB4E=N4DB,

则NBAE+ZABD=NADB+NABD=90°>故ZE_LMD.

图①图②

如图2,将沿4&折起，点3的对应点为夕，在翻折过程中，当工"与"D垂直时，

因为/Ec/"=A,AE,u平面ABE,所以MD_L平面AB'E,

因为"Du平面4ECD,所以平面4B，E_L平面NECD,

因为B'M±AE,B'Mu平面AB'E,平面AB'EPl平面AECD=AE,

所以B'M_L平面NEC。，

连接8Z，因为48//。，

所以ZB'AB或其补角即为异面直线8N和C。所成角，

11A

因为一AB-BE=—AE-BM,所以=火，

223

故B'M=g,则BB'=yjBM。+B'M?=坐,又AB'=AB=1,

故cos/B,AB='+34-8郎=1+=2,即所求角的余弦值为-,

2AB-AB'233

故选：D.

3.（24-25高三上•吉林•期末）正三棱台/8C-DEF中，AB=2AD=2DE,G,〃分别为OE的中点,

则异面直线G〃，B尸所成角的余弦值为（）

【答案】C

【分析】先做ET//G",得出/TBE=m，再得出昉=6,进而应用空间向量的线性表示及数量积公式

计算，最后应用异面直线所成角的向量法求解.

【详解】

设AB=2AD=2DE=2,过点E做ET〃G8,7是G3中点,

因为G,"分别为48,的中点，所以所以£7^/8,

因为BT=g,BE=l,所以GH=ET=、U=也,

2V42

7T

所以/以£=],因为正三棱台N3C-DEF中，三个侧面是全等的等腰梯形，

2兀

所以NBEV=亍，BF2=l+l-2xlxlxcosZBEF=3,BF=^3

所以瓦•丽=-丽・丽=-IxlxcosNBEF=—,BE-BG=MxcosZGBE=~,

22

EFBG=-BCBG=lxlxcosZABC=-

22

又因为丽=花=而-的=而_:数，BF=BE+EF，

2

所以曲•丽=（屉+而）＜砺数）=屁2_3前,屁+屁,而数,而=]_；+g_；=l,

设异面直线G〃，B尸所成角为e

M.研

12

所以cos。1曲,互斗

故选：C.

4.（2024・四川绵阳一模）三棱柱N8C-44G，底面边长和侧棱长都相等.ZBAA,=ZCAAt=60°,则异面

直线/月与3G所成角的余弦值为（）

A.eB.yC.—D.—

2236

【答案】D

【分析】由题意设48=a,AC=b,AAl=3同=|^|=|c|=1,a,b-b,c-c,a=60°,ABX-a+c,BCl=-a+b+c,

由数量积的运算律、模的运算公式以及向量夹角的余弦的关系即可运算求解.

【详解】

£

设AB=a,AC=b,AAt=3,同=问=同=1,

由题意扇彼=尻3=，而=60°,ABt-a+c,BCX=-a+b+c,

|葩卜7a*2+c2+2a-c=Vl+l+2-llcos60°=,

西卜＞Ja2+b2+c2-2a-b-2a-c+2b-c=&,

22

yCAB}-~BCx={a+c\(-a+b+c=b-a+b-c+c-a=-+-+1-1=1,

22

设异面直线/月与3G所成角为0,贝Ijcosd=cos

V3-V2

故选：D.

5.（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）在三棱锥尸-/8C中，平面P/8_L平面NBC,AP48是边长为2省的

等边三角形，△NBC是直角三角形，且/C=8C,则以与8c所成角的余弦值为（）

41V14

.V

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得上4与8c所成角的余弦值.

【详解】设。是N8的中点，连接。尸,。。，则OP

由于平面平面4BC且交线为N3,OPu平面尸48,

所以。尸_L平面45C,由于OCu平面45C,所以。P_L。。,

由于△ZBC是直角三角形，^AC=BC,

所以OC_L/B,且0c=5

由此以。为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

尸（0,0,3）,0,0）,川-6,0,0）,C（0,6,0）,

A4=(V3,0,-3),5C=(V3,A/3,0),

PA-BC3y/2

则PA与BC所成角的余弦值为

HR273x76-4

故选：A

6.（24-25高三上•四川宜宾•阶段练习）在平行六面体力5CQ-45c中，

7T

/DAB=/A,AB=/A、AD=小=3,AB=AD=2,则ZQ与平面48CZ）所成角的正弦值为（）

AR

V6V22rV22nV6

11112233

【答案】B

【分析】证明而是平面N8CD的法向量后，可得直线NG与平面/8C。所成角的正弦值即为苑与而所

成角的余弦值，借助空间向量夹角公式计算即可得.

连接/08。/(7门助=0,。为8。的中点,

AB-AD=2x2xcos—=2x2x—=2,

32

AB-AA.=2x3xcos—=2x3x—=3,

132

AD-AA,=2x3xcos—=2x3x—=3,

132

AC^AC+CC^AC+AA^AB+AD+AA^

2AB-AD+2AB-AAX+2AD-AAt

=74+4+9+4+6+6=V33：

AO=Ad-AA.=-AB+-AD-AA,,

11221

又在.而=方.［而+：而_而）,可+!■荏.而一方〃

=2+1—3=0,

1―►1―►

又ADAQ=AD,-AB+-AD-+-AB-AD-AD-AA.

2221

=2+1—3=0,

故4O_L45,4。：。

又AD、平面/8C。，且=

故4。，平面45C。，即好是平面/BCD的法向量,

ACAO={AB+H5+AA^

ei河w

=；|西2+存.近-；刀.怒+；|近『-；筋.布；-|布；

=2+2—3+2—9=—6

=^AB^+^AD\+^-AB.AD-AB.AAx-AD.AAx

=71+1+9+1-3-3=V6

设g与平面ABCD所成角为e

Afi-AQ642V22

所以同同一而酒一万一F

故选：B.

m-ri一一

易错分析：利用空间向量求线面角的公式是sin9=尸而，也〃是异面直线的方向向量，不

网W

要误认为公式求出的是余弦值.

7.（24-25高三上•云南昆明•期中）在正方体/BCD-44G2中，下列说法错误的是（）

A.孙，4。B.与2。所成角为方

c.40,平面助GD.与平面/CG所成角为1

【答案】D

【分析】设正方体N2CD-4瓦G2的棱长为1，以点。为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为X、

了、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.

【详解】设正方体的棱长为1,以点。为坐标原点，DA.DC、所在直

线分别为X、7、z轴建立空间直角坐标系，

则4(1,0,0)、3(1,1,0)、C(0,1,0),£>(0,0,0),4(1,0,1)、.(1,1,1)、G(0,1,1)、。(0,0,1),

对于A选项，疝=(一1,0,1),4C=(-1,1,-1),

贝！］期•苹=1+0-1=0,所以，ADxYAf,A对;

AD、DB-i_i

则cosAD^DB

对于B选项,丽=。,1,0）,HRV2x72-2

所以，与2。所成角的大小为1jr,B对;

对于C选项，设平面的法向量为而=（无”％zj,DG=（0,1,1）,

m•DB=x,+y,=0、

则一一，取乂=一1,贝U成=z（1,一1,1）,

m-DCt=乂+Z[=0

贝I]西•云=一1+0+1=0,所以，AD.Lm,

又因为“4仁平面跳又；，所以，〃平面8DC，C对:

对于D选项，设平面/CG的法向量为五=（%，%，z?）,西=（0,0,1）,G4=（l,-l,0）,

HCC=z=0一/、

贝匹一.9，取％2=1，则乃=（14，0），

n-CA=x2-y2=0

一、AD,n

所以，虫/-叫ryr"”阿Xri1

所以，与平面/CG所成角为为J,D错.

O

故选：D.

8.（2024・河南•模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平

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