锐角三角函数（讲义）解析版-2025年中考数学一轮复习

专题20锐角三角函数的核心知识点精讲

o复习目标O

1.通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练应用sinA,cosA,tanA表示直角三角

形中两边的比，熟记特殊角30°,45°,60°的三角函数值；

2.理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，锐角三角函数的有关知识来解某些简

单的实际问题，从而进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识；

3.会用锐角三角函数的有关知识来解决某些简单的实际问题。

O考点植理O

考点1:锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,/A所对的边BC记为a,叫做/A的对边，也叫做/B的邻

边，NB所对的边AC记为b,叫做NB的对边，也是/A的邻边，直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.

.，NZ的对边a

锐角A的对边与斜边的比叫做/A的正弦，记作sinA,即BnsinA=————二—

斜边c

/NZ的邻边b

锐角A的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记作cosA,即mcosA=———-——二—

斜边c

日子.的对边a

锐角A的对边与邻边的比叫做/A的正切，记作tanA,即tanA=---,,人二—

N4的邻边b

的对边bN8的邻边N8的对边b_

同理sinB二cos8=tan5二

斜边斜边N8的邻边a

考点2：特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下:

锐角asinacosatana

.717

30°

yr

45°1

，丁

60°后

考点3：解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在RtZ\ABC中，ZC=90°,NA、ZB,NC所对的边分别为a、b、c,则有：

①三边之间的关系：a2+b?=c2(勾股定理).

②锐角之间的关系：ZA+ZB=90°.

③边角之间的关系：

.a.b.a

sinA=—cos=—tan/S=—t

f-,u，

r=—cosE=-tan0二一

④-,h为斜边上的高.

注意：

(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°),是已知值.

(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).

(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.

考点4：解直角三角形的应用

(1)坡度坡角

在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念:(1)坡

角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母比表示.坡度

?=-=t<ina

(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离「的比叫做坡度，用字母，表示，则,如图,坡度通常

写成7:卜:'的形式.

(2)仰角俯角问题

仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如

图.

视线

冰平线

视线

(3)方位角问题

方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA,PB,

PC的方位角分别为是40°,135°,245°.

（2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向

线0A,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如：东

南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北

偏西45°.

G3典例引领

【题型1:锐角三角函数的概念】

【典例1】（2023•新疆•中考真题）如图，在RtZ\48C中，以点2为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F,

交2C于点E,分别以点E,尸为圆心，大于软F长为半径作弧，两弧在NB2C的内部交于点G,作射线4G交

BC于点D.若2C=3,BC=4,贝UCD的长为（）

A.-7B.1C.3-D.2

oZ

【答案】c

【分析】过点n作DHIAB于点H,勾股定理求得力B,根据作图可得AD是ABAC的角平分线，进而设

CD=DH=x,贝ijBD=4-x,根据sinB=黑=*，代入数据即可求解.

DUAD

【详解】解：如图所示，过点。作于点H,

B

A'C

E

在RLABC中，AC=3,BC=4,

■■AB=VxC2+BC2=732+42=5，

根据作图可得AD是ABAC的角平分线,

.-.DC=DH

设CD=DH=x,BD=4-x

.„HDAC

__3

J，==5

解得：x=l

故选：C.

【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正弦的定义，勾股定理解直角三角形，熟练掌握基

本作图以及角平分线的性质是解题的关键.

即时检浦

1.（2022•吉林长春•中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起

重机的变幅索顶端记为点/,变幅索的底端记为点2,4。垂直地面，垂足为点D,BC1AD,垂足为点

C.设N4BC=a,下列关系式正确的是（）

【答案】D

【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可.

【详解】■.BCLAC,

.•△ABC是直角三角形,

UBC=a,

.AC

•••sma-,

故选：D.

【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义.在直角三角形中任意锐角乙4的对边与斜边之比叫做乙4的正

弦，记作sin4.掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键.

2.(2024・江苏无锡•中考真题)如图，在菱形力BCD中，乙48C=60。，E是CD的中点，贝Ijsin/EBC的值为

(

A,且

B

5-T

【答案】C

【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅

助线，构造直角三角形求解.

延长BC,过点E作BC延长线的垂线，垂足为点“，设BC=CD=x,易得乙48C=NDCH=60。，贝。

CE=\cD=\x,进而得出EH=CE-sin60o=^c,C”=CE.cos6(F="再得出=BC+C"="最

Z2444

后根据sin/E8C=喋，即可解答.

DC,

【详解】解：延长BC,过点£作BC延长线的垂线，垂足为点”，

•・・四边形ZBCD是菱形，

：.BC=CD,ABWCD,

：.^ABC=^DCH=60°,

设BC=CD=x,

•••E是CD的中点，

'-CE=|C£)=|x,

-EH1BH,

；.EH=CE•sin60°=&CH=CE-cos60°=

44

；.BH=BC+CH=3X,

4

BE=yjBH2+EH2=^-x

&

-等

.-.sinzFBC--S2-

故选：C.

0

3.(2023•四川•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知点4(1,0),点8(0,-3),点C在%轴上，且点C在

1

点4右方，连接AB,BC,若tan乙4BC=§,则点C的坐标为

【答案】(》)

【分析】根据已知条件得出乙4B0=N2BC,根据等面积法得出含=黑，设CgO),贝函=m—1,进

而即可求解.

【详解】解：•••点4(1,0),点8(0,-3),

•・.。4=1,08=3,

tanZ-OBA=

,：tanZ-ABC=

.，/ABO=Z.ABC,

过点A作/D18C于点。，

-AO1BO,ADIBC,ZB是乙。的角平分线，

：.A0=AD=1

S^ABO^OAxOB^OBxOA

,,"c=1=1

^^ABC-ACxOB^BCxAD

AC_CB

"'OA~'OB

设C(m,0)，则M。=m—1,BC=V32+m2

.m-1-V32+m2

..--------________

13

解得：TH=：或771=0(舍去)

--cG-°)

故答案为：G，o).

【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关

键.

典例引领

【题型2：特殊角的三角函数】

【典例2】（2024,黑龙江大庆•中考真题）求值：|百—2]—（2024+ir）°+tan60。.

【答案】1

【分析】本题主要考查了实数运算.直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幕的性质、绝对值的性

质分别化简即可得出答案.

【详解】解：|百一2|-（2024+ir）°+tan60°

=2-V3-1+V3

=1

即时检测

1.（2024•江苏宿迁•中考真题）计算：（ir—3）°—2sin60。+|—.

【答案】1

【分析】此题考查了实数的混合运算，根据零指数幕、特殊角三角函数值、绝对值计算即可.

【详解】5—3）°—2sin6（r+|一百|

V3广

=1-2X——F~\[3

=1-V3+V3

=1.

2.（2024.内蒙古呼伦贝尔.中考真题）计算：一（一段）3+tan60°+|^3-2|+（TT-2024）0.

【答案】11

【分析】本题考查实数的混合运算.根据零指数幕，负整数指数幕，特殊角的三角函数值计算即可得

出答案.

【详解】解：+tan60°+|V3-2|+（it-2024）0

=8+V3+2-V3+l

=11.

3.（2024・广东深圳•中考真题）计算：—2,cos45。+（兀-3.14）°+|1—+G）.

【答案】4

【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幕，绝对值以及负整数指数幕.先将各项化简，再算

乘法，最后从左往右计算即可得

【详解】解：一2"cos45°+(7T—3.14)°+|1—V2|+Q)

V2厂

=-2x—+1+V2-1+4

--+1+—1+4

=4.

级置典例引领

【题型3：解直角三角形】

【典例3】(2024・浙江・中考真题)如图，在△4BC中，AD1BC,AE是BC边上的中线，AB=10,XO=6,tan

⑴求8C的长；

(2)求sinzZME的值.

【答案】⑴14

⑵亘

''37

【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解Rtaaoc与Rt

△ADB,得出DC=6,DB=8是解题的关键.

(1)先由三角形的高的定义得出乙4DB=NADC=90。，再利用1211乙4。8=1得出。。=6；在Rt

△4DB,根据勾股定理求出。B=8,然后根据8C=BD+DC即可求解.

(2)先由三角形的中线的定义求出BE的值，则DE=BD-BE,然后在Rt△4DE中根据正弦函数的定义

即可求解.

【详解】(1)解：在中，AB=10,AD=6,

■BD-y/AB2-AD2-V102-62=8,

An

在RgADC中，tan乙4cB=而=1,

..DC—6,

'.BC=BD+DC=8+6=14；

(2)•・・/£是BC边上的中线，

；.BE/BC=7,

，DE=BD-BE=8—7=\,

•ME=VxD2+DE2=762+l2=V37,

‘sin皿9=*焉=等

33即时检测

1.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，菱形2BCD中，点。是BD的中点，AMA.BC,垂足为M,AM

交BD于点N,OM=2,BD=8,则MN的长为（）

\-----#

/2木/

RMC

A.V5B.—C.—D.—

555

【答案】c

【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半.

先由菱形性质可得对角线力C与B。交于点O,由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得

OA=OC=OM=2,进而由菱形对角线求出边长，由sinNM4C=sinN。BC=5解三角形即可求出

MC=ACsmZ-MAC=—,MN=BMX.anz.OBC=—.

55

【详解】解：连接4C,如图，

•.•菱形4BCD中，4C与BD互相垂直平分,

又•••点。是BD的中点，

以、。、C三点在同一直线上，

：.OA—OC,

•••OM=2,AMIBC,

：.OA=OC=OM=2,

•:BD=8,

.-.OB=0D=^BD=4,

-BC=VOB2+OC2="+22=2V5,tanzOBC=第=[=],

UD4Z

■：^ACM+/.MAC=90°,^ACM+zOBC=90°,

,■,^MAC=乙OBC

.,.sinzMXC=sinzOBC=染=

BC2V55

：.MC=ACsin^MAC=等

：.BM=BC-MC=2"一号=嗒

■,MN=BMtan^OBC=迪x：=幽

故选：C.

2.（2024•四川乐山•模拟预测）如图，在地面上的点4处测得树顶B的仰角为a,AC=7米，则树高BC为

（）.

-------a

A.(7+a)米B.7sina米C.7cosa米D.7tana米

【答案】D

【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是根据题意，则tana=箓，根据4C=7,即可求出

BC.

【详解】解：•.2B4C=a,AC=7,

.,•tana=—,

.'.BC=7tana(米).

故选：D.

典例引领

【题型4：解直角三角形的应用】

【典例3】（2024・海南•中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是

海南岛东北部最重要的航标.某天，一艘渔船自西向东（沿2C方向）以每小时10海里的速度在琼州海

峡航行，如图所示.

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60。方向上的/处.

记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔尸北偏西45。方向上的8处.

记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，

会出现异常海况，点C位于木兰灯塔尸北偏东15。方向.

请你根据以上信息解决下列问题:

（1）填空：NPAB=°,^APC=0,AB=海里；

（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明.

（参考数据：经=1.41,百一1.73,V6-2.45）

【答案】⑴30；75；5

⑵该渔船不改变航线与速度，会进入"海况异常"区

【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理：

（1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计

算出对应线段的长度；

（2）设P。=x海里，先解Rt△PDB得到BD=x,再解Rt△力PC得到4。=a=序海里,4P=鸟=2x

ran/isin/i

海里，据此可得x+5=百x,解得2P=2x=（5V3+5）海里；证明NC=/-APC,则4C=2P=（5V3+5）

海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论.

【详解】（1）解：如图所示，过点P作PD1AC于。，

由题意得，^APD=60°,4BPD=45。,^CPD=15°,

:/PAB=90°-^APD=30°,/-APC=/.APD+乙CPD=75°；

・•・一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从4出发到上午8

时30分到达8,

.-.AB=10x0.5=5海里.

在RtZiPDB中，8。=P。-tanNDPB=%海里，

在RtaAPD中，4。=乌=打工海里，AP=~^=2x海里,

tan/isinzi

'.'AD=AB+BD,

：.x+5=\[^x,

解得“=总=宇,

•­AP=2x=（5V3+5）海里，

•.zC=180°-AA-^APC=75°,

：.Z-C=Z-APC,

■■AC=AP=（5V3+5）海里；

上午9时时，船距离/的距离为10X1=10海里，

■,-5V3+5-10=5V3-5-5x1.73-5=3.65<5,

•••该渔船不改变航线与速度，会进入"海况异常"区.

1.（2024•内蒙古,中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验装

置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽

象成右侧示意图，己知试管力8=2451方^=%8,试管倾斜角乙486为12。.

⑴求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度;（结果用含非特殊角的三角函数表示）

⑵实验时，导气管紧靠水槽壁MN,延长BM交CN的延长线于点尸，且MN1CF于点N（点C,D,N,

尸在一条直线上），经测得：DE=28cm,MN=8cm,^ABM=147°,求线段ON的长度.（结果用含非

特殊角的三角函数表示)

【答案】(l)8cosl2°cm

⑵(8cosl2。+20-8sinl20)cm

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的

边角关系是解题关键.

(1)先求出BE=8cm,再在RtZXBEG中，利用余弦的定义求解即可得；

(2)过点B作BP1CF于点P,过点M作MQ1BP于点Q,先解直角三角形可得EG的长，从而可得DP,BQ

的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得QM,PN的长，最后根据DN=DP+PN求解即

可得.

【详解】(1)■.AB^24cm,BE=^AB,

・•.BE=8cm,

由题意可知，BGIDE,

在由△BEG中，AABG=12°,

'.BG=BE-cosZ-ABG=8cosl2°cm,

答：试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度8cos12Ocm.

(2)解：如图，过点B作BP1CF于点P,过点M作MQ1BP于点Q,

则四边形BPDG和四边形MNPQ都是矩形，

.-.Z.PBG=90°,DP=BG=8cosl2°cm,BP=DG,PQ=MN=8cm,PAZ=QM,

在由△BEG中，N4BG=12。，BE=8cm,

.•.EG—BE-sinNABG=8sinl2°cm,

■.-DE-28cm,

-BP=DG=DE-EG=(28-8sinl20)cm,

-BQ=BP-PQ=(20-8sinl2°)cm,

=147°,ZXSG=12°,^PBG=90°,

"MBQ=45°,

••.Rt△8MQ是等腰直角三角形，

■■-QM=BQ=(20-8sinl2°)cm,

■■DN=DP+PN=DP+QM=(8cosl2°+20-8sinl2°)cm,

答：线段D/V的长度为（8cosl2。+20-8sinl2°）cm.

2.（2024・四川巴中・中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示，斜坡BE的坡度

i=l：0,BE=6m,在B处测得电线塔CD顶部。的仰角为45。，在E处测得电线塔CD顶部。的仰角为

60°.

⑴求点B离水平地面的高度4B.

⑵求电线塔的高度（结果保留根号）.

【答案】（l）AB=3m：

⑵电线塔CD的高度（6百+9）m.

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用.

（1）由斜坡BE的坡度i=l:®求得*=/=g利用正切函数的定义得到NBEA=30。，据此求解即

AEV33

可；

（2）作BF1CD于点F，设=先解得到=解Rt△DCE得到EC=枭；+3）米，进

而得到方程3向+亭（％+3）=%，解方程即可得到答案.

【详解】（1）解：••・斜坡BE的坡度i=l:百，

竺_2__百

••有一百一可，

,：tanZ-BEA=4?=—

AE3

：.^BEA=30°,

;BE=6m,

■.AB=^BE=3(m);

(2)解：作BF1CD于点F,则四边形4BFC是矩形，AB=CF=3m,BF=AC,

设。F=xm,

在RSDBF中，tanzDBF=

在Rt^ABE中，AE=^BE2-AB2=3V3.

DC

在Rt△£)(?£中，DC=OF+CF=(%+3)m,tanzDEC=—,

cc兄+3Vs

・回=嬴如=掌＞+3)，

.■.BF=AE+EC,

•'•3^3+~^(x+3)=x，

：.x=6V3+6,

.■.CD=6V3+6+3=x=6V3+9

答：电线塔CD的高度（6百+9）m.

3（2024・广东广州•中考真题）2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为"着上组合体"）

成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图,

该模拟装置在缓速下降阶段从4点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C,从B点测得地面。点的俯角

为36.87。，4。=17米，BD=10米.

⑴求CD的长；

⑵若模拟装置从4点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从4点下降到8点的时间.（参考数

据：sin36.87°-0.60,cos36.87°-0.80,tan36.87°-0.75）

【答案】（1）。。的长约为8米；

⑵模拟装置从4点下降到B点的时间为4.5秒.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用一一仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键.

(1)过点B作BEIICD交2D于点E,根据余弦值求出CD的长即可；

(2)先由勾股定理，求出4C的长，再利用正弦值求出BC的长，进而得到的长，然后除以速度，即

可求出下降时间.

【详解】(1)解：如图，过点B作BEIICD交4D于点E,

由题意可知，=36.87。，

.­.乙BDC=36.87°,

在△BCD中，NC=90。，BD=10米，

CD

•・,cosZ-BDC=—,

DL)

CD=BD-cos36.87°«10x0.80«8米，

即CD的长约为8米；

(2)解：•••4。=17米，。。=8米，

•••AC=yjAD2-CD2=15米，

在△BCD中，ZC=9O°,BD=10米，

sinz.BDC=骼,

DU

BC=BD-sin36.87°«10x0.60~6米，

AB=AC-BC=15-6=9米，

模拟装置从4点以每秒2米的速度匀速下降到B点，

模拟装置从2点下降到B点的时间为9+2=4.5秒，

即模拟装置从4点下降到B点的时间为4.5秒.

4.(2024•广东•中考真题)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新

能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形4BCD是其

中一个停车位.经测量，^ABQ=60°,AB=5.4m,CE=1.6m,GH1CD,GH是另一个车位的宽，所

有车位的长宽相同，按图示并列划定.

根据以上信息回答下列问题：(结果精确至UO.lm,参考数据百=1.73)

⑴求PQ的长；

⑵该充电站有20个停车位，求PN的长.

【答案】(l)6.1m

(2)66.7m

【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用：

(1)先由矩形的性质得到“=”=90。，再解Rt^aBQ得到力Q=^m,接着解直角三角形得到

BC=—m,进而求出4P=i^m,据此可得答案；

(2)解RtaBCE得到BE=3.2m,解Rt^AABQ得到8Q==2.7m,再根据有20个停车位计算出QM的长

即可得到答案.

【详解】(1)解：••・四边形PQMN是矩形，

:zQ=NP=90°,

在RSABQ中，/-ABQ=60°,AB=5.4m,

：.AQ=AB-sm^ABQ=甯m,“AB=30°,

•.•四边形48CD是矩形，

：.AD=BC,^BAD=乙BCD=4ABC=乙BCE=90°,

.-.ZCBE=30°,

--BC-

"0=4；

-Z-PAD=180°-30°-90°=60°,

：.AP=AD-cos^PAD=Wm,

.-.PQ=AP+AQ=膂«6.1m

PDGq

QBEM

⑵解：在RMBCE中，BE=-^=3.2m,

在RtZkABQ中，BQ=AB•cosZ-ABQ=2.7m,

•・,该充电站有20个停车位，

；.QM=QB+20BE=66.7m,

・・・四边形/BCD是矩形，

,PN=QM=66.7m.

o好题冲关o

乞码基础过关

1.（2024・湖南•模拟预测）爬坡时坡面与水平面夹角为a,则每爬1m耗能（1.025-cosa）J，若某人爬了

1000m,该坡角为30。，则他耗能（）（参考数据：百~1.732,1.414）

【答案】B

【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键.根据特殊角三角函数值计

算求解.

【详解】解：1000（1.025-cosa）=1000（1.025-cos30°）

=1025—500打«1025-500x1.732=159,

故选：B.

2.（2024,河北保定•一模）如图，为了测量空中某点4离地面的高度，小敏利用测角仪在点8、。分别测得4

的仰角乙4CD为37°,44BD为45°,地面上点B、C、。在同一水平直线上，BC=20m,

度2D长为（）

—L______________

DBC

A.30mB.80mC.60mD.50m

【答案】C

【分析】本题考查三角函数解直角三角形.根据题意可设4。=BD=x,再利用△47。中tan/aCD即可

得到本题答案.

【详解】解：由题意可知，AD1CD,

：./LADC=90。，

•••ZJU5O为45。,

.'.DAB=90°-45°=45°=乙ADB,

・・・设40=8。=%,

,；BC=20m,

・•.DC=20+x,

.•.在Rt2\"D中，tan37°^^=^«0.75,

解得：x«60,

点4离地面的高度长为60m

故选：C.

3.（2024・湖南•模拟预测）如图，将矩形4BCD直线2C折叠，使得点B落在点E处，4E交CD于点F,若

AB=5,AD=3,贝ijtanNECF的值为(

343

A-iB-5D-3

【答案】C

【分析】首先根据题意证明出aaDF三△CEF（AAS），得到EF=DF,设DF=EF=X,则

CF=CD-DF=5-x,根据勾股定理求出”然后根据正切的概念求解即可.

【详解】解：••・四边形力BCD是矩形

.-.AD=BC=3,4»=NB=90°,CD=AB=5

由折叠可得，NE=NB=90。，CE=BC

.■.AD=CE=3,Z-D=乙E

又“DFA=AEFC

△ADF=△CFF(AAS).

：.EF=DF,

设DF=EF=x,贝iJCF=CD-DF=5-x

在RtzXCEF中，32+X2=(5-X)2

解得：%=|

*„„„EF28

.•.tanzFCF=-=|=-.

故选C.

【点睛】此题考查了勾股定理、矩形的折叠问题、全等三角形的性质和判定、正切的定义等知识，熟练

掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键.

4.（23-24九年级下•陕西西安•期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1.若点4B,C都在格点

上，贝UsinB的值为（）

A.匹B.邈C.巫D.吞

5552

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键.

连接DE,先证明△BDE为直角三角形，即可求解.

【详解】解：连接DE,

-DE=Vl2+12=五,BD=V22+22=2VLBE=Vl+32=V1U，

DE2+BD2-BE2,

.-.^BDE=90°,即△BDE为直角三角形，

.nDE五近

•，,sinB==—=—―9

BEV105

故选：A.

5.（2024•陕西渭南•一模）在aaBC中，ZC=9O°,tanA=§,贝|cos4的值为.

【答案】嚼

【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；如图，由题意易得ac=3BC,则

有48=V10BC,然后根据余弦的定义可进行求解.

【详解】解：如图，

A

vZ.C=90°,tanX=

,/iBC1

：.AC=3BC,

■■AB=YJBC2+AC2=屈BC,

••.cosA.=^AC=誓3V10；

故答案为嚼.

6.（2024・广西贵港•模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得

N4=88。，NC=42。，AB=50,则点/到BC的距离为（结果精确到0.1）（参考数据：sin

40°~0.64,cos40°«0.77,tan40°«0.84)

【答案】38.5

【分析】本题考查了解直角三角形的应用.根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题

的关键.

过点/作力垂足为D,根据垂直定义可得乙4DB=90。，再利用三角形内角和定理可得

NB=50。，从而可得NB4D=40。，然后在Rt△力BD中，利用锐角三角函数的定义求出2D的长，即可解

答.

【详解】解：过点/作4D1BC,垂足为D,则乙4DB=90°,

B-：ABAC=88°,ZT=42°,

.­.Z.B=180°-Z.BAC-Z.C=50°,

.­.ABAD=90°-z5=40°,

在RCBD中，AB=50,

•••AD=AB-cos40°=50x0.77=38.5.

点A至IJBC的距离约为38.5.

故答案为：38.5

1

7.（2024・山西•模拟预测）如图，在中，AB=AC,ABAC=120°,分别以点4C为圆心，大于RC的

长为半径作弧，两弧分别相交于点MF,连接EF交边于点。，连接ZD.若8。=8,则△ACD的周

长为.

A

【答案】8+4V3/4V3+8

【分析】由作图知DE是4C的垂直平分线，则。4=GA=GC,角度推导得到乙8=30。，继

而求出2D,再解RtaADG求出4G,即可求解.

【详解】解：由作图知DE是2C的垂直平分线,

•・.£M=DC,DE1AC,

：.Z-ACD=Z.DAC,

-AB=AC,ZFXC=120°,

180°-120°

，乙B=Z-ACD==30°,

2

.•.ZDT4C=30°,

：.^BAD=^BAC-^DAC=90°,

-，AD=^BD=4,

在RtaZDG中，AG=AD-cosZ.DAC=2V3，

：.AC—2AG—

・•.△ACO周长为：ZD+CD+ZC=8+4百，

故答案为：8+4百.

【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形等知识

点，熟练掌握知识点，发现30。是解题的关键.

8.（2024・湖北武汉•模拟预测）某广场中心建有雕塑，某课外实践小组为测量雕塑的高度，利用测角仪及皮

尺测得以下数据：如图，AE=10m,NBDG=30°,ABFG=6Q°.已知测角仪。/的高度为1.5m.则

雕塑BC的高度是m.

【答案】（5百+1.5）

【分析】本题考查解直角三角形实际应用.根据题意可知4E=DF=BF=10m,利用正弦函数值即可

求出BG=BF-sin60°=10X*=5百，继而求得本题答案.

【详解】解：,•"£1=10m,ZBDG=3O°,^BFG=60°,

；"BF=30°,

：.AE=DF=BF=10m,

：.BG=BF-sin60°=10x苧=5百，

「DA的高度为l.5m,

.'.BC=BG+CG—5V3+L5（m），

故答案为：（5V3+1.5）.

9.（2024・湖北武汉•模拟预测）无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图所示，某人利用无人机测量大

楼的高度BC,无人机在空中点尸处，测得点尸距地面上点N为80米，点/处的俯角为60。，楼顶C点

处的俯角为30。，已知点/与大楼的距离48为70米（点N,B,C,尸在同一平面内），则大楼的高度8c

为（结果保留根号）.

P

【答案】30百米

【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用一仰角俯角问题，过P作PH14B于

H,过C作CQ1PH于。，而CB1AB,则四边形CQHB是矩形，先解Rt△求出得到CQ的长

度，再解Rt^PQC,得到PQ的长，即可解决问题.

【详解】解：如图所示：

过P作PH14B于H,过C作CQ1PH于Q,而CB1AB,

则四边形CQHB是矩形，

•••QH=BC,BH=CQ,

由题意可得：力P=80米，/.PAH=60°,NPCQ=30。，AB=70米，

.­.PH=力Psin60°=80X等=40百米，AH=APcos60°=40米，

.•.CQ=B"=70—40=30米，

•••PQ=CQ-tan30°=10百米*

BC=QH=40V3-10V3=30百米，

■大楼的高度BC为30百米.

故答案为：30百米.

10.（2024•湖南衡阳•二模）如图，四边形力BCD内接于。。，2C为。。的直径，BD平分~1BC.若48=8

cm,BC=6cm,则［4。的长为cm.

【答案】5V2

【分析】根据圆周角定理结合角平分线性质可推出△2C0是等腰直角三角形，先根据勾股定理求出力C

的长，再根据锐角三角函数即可求出4。的长.

【详解】解：•••四边形4BCD内接于。0,4c为。。的直径，

zXSC=zX£）C=90°,

•••BD平分NABC,

.­./.ABD=/-CBD=45°,

­•1AD=AD,

.­.乙4BD=/-ACD=45°,

.­./.CAD=900-AACD=45°=/.ACD,

.•.△4CD是等腰直角三角形，

在RtzXZBC中，AB=8cm,BC—6cm,

■■■AC=yjAB2+BC2=10cm,

在Rtaac。中，

AD-AC-cos450=5V^cm,

故答案为：5V2.

【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线性质，勾股定理，等腰三角形性质和判定，解直角三角形

三角函数，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识.

11.（2024・贵州遵义•三模）如图，。。是aaBC的外接圆，连接04OB.若。。的半径为5,AB=8,则

cos乙4cB的值为.

【答案】|/0.6

【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，勾股定理.正确作出辅助线是解题的关键.

作直径BO,连接力D,根据勾股定理求出力D,根据圆周角定理求出入4cB=ND,4DAB=90。,解直角

三角形求出cosNACB的值.

【详解】解：作直径BD,连接4D,则30=2x5=10,贝!=ZDXB=90°,

在RS£MB中，

•••O。的半径为5,48=8,

由勾股定理可得：AD=弋BD2—AB2=JIO2"=6,

・••cosZ-ACB=cos乙ADB=绘=2="

DD11)5

故答案为：

12.（2024・湖北宜昌•三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长CD与交于E点，已知坡道48

的坡比i=124是指坡面的铅直高度CE与水平宽度4C的比，2C的长为7.2米，CD的长为0.4米.

⑴请求出。E的长？

(2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值(即点。

到4B的距离).

【答案】⑴2.6米

(2)该车库入口的限高数值为2.4米

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线.

(1)根据i=l:2.4,得出tanNC4B===K，即益=K，求出CE=3米，得出DE=3—0.4=2.6(米)；

(2)过点。作。41AB于H,证明NEDH=NC4B,得出tan/EDH=tanzCXB=设EH=5x,DH=12%,

根据勾股定理求出。E=VDH2+EH2=V(12x)2+(5x)2=13x,根据DE=2.6米，得出x=0.2,最后

求出结果即可.

【详解】(1)解：如图，由题意可知，ACVCE,

,:i=1:2.4,

•,.tanZ_C48=—=IN―,

CE_5

"AC~12'

■.-AC=7.2米，

：.CE=3米，

■：CD=0.