锐角三角函数与解直角三角形（含答案）-2025年中考数学考点专项训练

专题17锐角三角函数与解直角三角形

考情聚焦

课标要求考点考向

考向一正弦

1.探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA,tanA）,知道30°,

考向二余弦

45°,60。角的三角函数值；

锐角三

2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角考向三正切

角函数

函数值求它的对应锐角；

考向四特殊角的三角函数

3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些

简单的实际问题.考向五三角函数的综合

解直角考向一解直角三角形

三角形考向二解直角三角形的应用

真题透视A

考点一锐角三角函数

A考向一正弦

1.（2024.四川泸州.中考真题）宽与长的比是叵1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的

2

美感.如图，把黄金矩形ABC。沿对角线AC翻折，点8落在点"处，49交C。于点E,贝IJsinNZME的值

为（）

2.（2024.吉林长春・中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在

黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为。千米，仰角为

0,则此时火箭距海平面的高度的为（）

C.acosO千米D.借千米

cost/

3.（2024.江苏扬州•中考真题）如图,已知两条平行线4、儿点A是4上的定点，于点2,点C、

。分别是4、，2上的动点，且满足AC=3Z）,连接CO交线段AB于点E,BH工CD于点H,则当/B4H最

大时，sinNA4H的值为

4.（2024・广西・中考真题）如图，在VABC中，ZA=45°,AC>BC.

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线/,分别交43,AC于点DE：（要求：保留作图痕迹，不写作法,

标明字母）

⑵在⑴所作的图中，连接8E,若AB=8,求8E的长.

5.（2024.上海・中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数y=。（左为常数且左片0）上有一点A（-3,m）,

且与直线y=-2x+4交于另一点8（〃,6）.

⑴求k与m的值；

⑵过点A作直线/〃x轴与直线y=-2x+4交于点C,求sin/OC4的值.

6.（2024•四川眉山・中考真题）如图，在矩形中，AB=6,BC=8,点E在。C上，把V45E沿AE折

叠，点。恰好落在2C边上的点F处，贝UcosNCEF的值为（）

FC

B不

3

7.（2024•上海・中考真题）在平行四边形ABCZ）中，ZABC是锐角，将C。沿直线/翻折至43所在直线，

对应点分别为C',ZX若47:钻：3。=1:3:7,贝hosNABC=.

8.（2024•四川雅安・中考真题）如图，把矩形纸片A2CD沿对角线8。折叠，使点C落在点E处，BE与AD

交于点£若A3=6,BC=8,贝hosNAB/的值是.

A.__FL

9.（2024.河南.中考真题）综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.

①②④

图1

（1）操作判断

用分别含有30。和45。角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有

（填序号）.

⑵性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.

如图2,四边形ABC。是邻等对补四边形，AB=AD,AC是它的一条对角线.

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若BC=m,DC=*/BCD=29,求AC的长（用含见n,9的式子表示）.

（3）拓展应用

如图3,在Rt^ABC中，?B90?,AB=3,BC=4,分别在边2C,AC上取点M,N,使四边形ABAGV

是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出&V的长.

A考向三正切

10.（2024・云南・中考真题）在VABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,贝IJtanA的值为（）

4433

A.—B.—C.—D.一

5354

11.（2024•山东淄博・中考真题）如图所示，在矩形ABC。中，BC=2AB,点/，N分别在边BC,AD上.连

接MN,将四边形CMND沿翻折，点C,。分别落在点A,E处.贝Utan/AMN的值是（）

A.2B.V2C.73D.V5

12.（2024.四川内江.中考真题）如图，在矩形ABC。中，AB=3,AD=5,点E在DC上，将矩形ABCD沿

AE折叠，点。恰好落在BC边上的点尸处，那么tan/EFC=.

AD

13.（2024•江西・中考真题）将图1所示的七巧板,拼成图2所示的四边形A3CD,连接AC,则tan/ClS=

A考向四特殊角的三角函数

14.（2024・天津・中考真题）收0$45。-1的值等于（）

A.0B.1C.也-1D.72-1

2

15.（2024•山东青岛.中考真题）计算：+-2sin45°=.

16.（2024.安徽.中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，

经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角戊=36.9。，点B到水面的距离BC=1.20m,点A处

水深为1.20m,到池壁的水平距离AD=2.50m,点B,C,。在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面

内.记入射角为夕，折射角为九求吧幺的值（精确到0.1,参考数据：sin36.9。。0.60,cos36.9°»0.80,

sin/

tan36.9。p0.75）.

池底

17.（2024•青海・中考真题）计算：718-tan45°+^0-|-V2|.

18.（2024.北京・中考真题）计算：（万-5）°+而-2sin3（F+卜四

A考向五三角函数的综合

a

19.（2024.江苏宿迁.中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线H。上，且点A的横坐标为4,

直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A,另一条直角边与直线Q4交于点5当点C在

尤轴上移动时，线段A8的最小值为.

20.（2024•四川成都・中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个

顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片A3C和ADE中，

AB=AD=3,BC=DE=4,ZABC=ZADE=90°.

【初步感知】

⑴如图1,连—，在纸片A0E绕点A旋转过程中，试探究工的值.

【深入探究】

（2）如图2,在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点。恰好落在VABC的中线3M的延长线上时，延长ED交

AC于点b，求CP的长.

【拓展延伸】

（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有

直角三角形CZJE的面积；若不能，请说明理由.

图1图2图3

考点二解直角三角形

解题技巧/易错易混

1.分清直角三角形中的斜边与直角边.

2.正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1）,在求三角函数值的过程中约

去k.

3.正确应用勾股定理求第三边长

4.应用锐角三角函数定义，求出三角函数值.

5.锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.

A考向一解直角三角形

21.（2024・海南・中考真题）如图，在口ABCD中，AB=8,以点。为圆心作弧，交AB干悬M、N,分别以

点M、N为圆心，大于：为半径作弧,两弧交于点尸,作直线DF交AB于点E,若ZBCE=ZDCE,DE=4,

22.（2024•重庆・中考真题）如图，在正方形A3C£＞的边上有一点E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋

转90。，得到EE,连接C尸并延长与A3的延长线交于点G.则二的值为（）

A.72B.6C.述D.更

22

23.（2024.山东威海・中考真题）如图，在扇形403中，=90°,点C是AO的中点.过点C作CELAO

交AB于点E，过点E作垂足为点。.在扇形内随机选取一点P,则点P落在阴影部分的概率是

24.（2024・广西・中考真题）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60。，则

重合部分构成的四边形的周长为cm

25.（2024.贵州.中考真题）如图，在菱形ABCZ）中，点E,F分别是BC,C。的中点，连接AE,AF.若

4

sinZEAF=-,AE=5,贝的长为.

26.（2024•北京・中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在上，AF1DE于点/，CGLDE于点G.若

27.（2024•山西.中考真题）如图，在矩形ABC。中，£、尸分别是边CR8C的中点，BE与。尸相交于点。,

过点。作_LBE交4。于点M,若AB=4,=6,则OM的长为.

A考向二解直角三角形的应用

28.（2024•广东深圳・中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪所测得的仰角

为45。，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪C。测得的仰角为53。，则电子厂的高度为（）（参

434

考数据：sin53°«—,cos53°«—,tan53°）

£二，M

口N

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

29.（2024.山东日照.中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌.某数学

兴趣小组用无人机测量潮汐塔A5的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮

汐塔顶端A的俯角为22。，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N,测得潮汐塔底端5的俯角为45。（点

45在同一平面内），则潮汐塔A3的高度为（）

（结果精确到1m.参考数据：sin22°«0.37,cos22°«0.93,tan220=0.40）

A.41mB.42mC.48mD.51m

30.（2024・湖南.中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（ch6ng）捣谷物的工具——“碓（dui）”

的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点3,48与水平线/相交于点。，OELI.若BC=4分

米，。8=12分米./反加=60。，则点C到水平线/的距离CF为分米（结果用含根号的式子表示）.

D

浪

4南

X!塘

t工

先

坏

^生

校I

皆

物tr

生t

31.（2024.福建•中考真题）无动力帆船是借助风力前行的.下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知

帆船航行方向与风向所在直线的夹角NPDA为7Q。,帆与航行方向的夹角/尸。。为30。，风对帆的作用力F

为400N.根据物理知识，尸可以分解为两个力可与F2,其中与帆平行的力々不起作用，与帆垂直的力F?仪

可以分解为两个力力与人"与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；力与航行方向一致，是真正推动帆船前行

的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：尸=40=400,则

于2=CD=.（单位：N）（参考数据：sin40°=0.64,cos40°=0.77）

航行方向

32.（2024•内蒙古•中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验装置，

安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧

示意图，已知试管ABuZdcmlEugAB,试管倾斜角ZABG为12。.

（1）求试管口8与铁杆OE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）

（2）实验时，导气管紧靠水槽壁跖V,延长交CN的延长线于点£且于点N（点C,D,N,F

在一条直线上）,经测得：DE=28cm,AW=8cm,=147°,求线段ON的长度.（结果用含非特殊

角的三角函数表示）

33.（2024.四川・中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔尸的北偏东37。方向，距离灯塔100海里的A处，它

沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔尸的南偏东45。方向上的3处.这时，3处距离A处有多远？（参

考数据：sin37°。0.60,cos37°»0.80,tan37°®0.75）

34.（2024.青海.中考真题）如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角。是17。，识别到最近点2的俯角夕是

45°,该摄像头安装在距地面5m的点C处，求最远点与最近点之间的距离48（结果取整数，参考数据：

sin17°®0.29,cosl7°«0.96,tanl7°~0.31）.

图①).某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36m,EC±AB,

垂足为C.在。处测得桥塔顶部3的仰角(/CDB)为45。，测得桥塔底部A的俯角(NCDA)为6。，又

在E处测得桥塔顶部3的仰角(NCEB)为31。.

(1)求线段C。的长(结果取整数)；

⑵求桥塔4?的高度(结果取整数).参考数据：tan31o=0.6,tan6o=0.1.

36.(2024•贵州•中考真题)综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综

合性学习.

【实验操作】

第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部8处，入射光线与水槽

内壁AC的夹角为2A；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.(直线MV'为法线，AO为入射光线，OD

为折射光线.)

【测量数据】

如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面内，测得AC=20cm,ZA=45°,折射角/DON=32。.

【问题解决】

根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：

（1）求BC的长；

（2）求2,。之间的距离（结果精确到0.1cm）.

（参考数据：sin32°a0.52,cos32°«0.84,tan32°«0.62）

,新题特训/

一、单选题

1.（2024•广东•模拟预测）正方形网格中，/如图所示放置（点A,O,C均在网格的格点上，且点C

在08上）,则sin/AOB的值为（）

A.-B.也C.正D.1

223

2.（2024.湖北.模拟预测）如图，已知点A的坐标为卜2月,2）,菱形ABCD的两条对角线交于坐标原点0,

将菱形A3CD绕点。顺时针旋转，每次旋转30。，则第2024次旋转结束时，点A的坐标是（）

C.(2,2@D.(2,-2⑹

3.（2024•全国.模拟预测）福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图1）.小

明想测量白塔48的高度（如图2）,在离白塔底端B正前方8米的C处，用高为1.5米的测角仪CD测得白

塔顶部A处的仰角为a,则白塔A3的高度为（）

A

图2

A.（8tana+1.5）米B.（1.5tano+8）米

C.（8cosa+1.5）米D.（8sina+1.5）米

4.（2024.湖南.模拟预测）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩

旗绳48到地面，如图所示.已知彩旗绳与地面形成25。角（即/B4c=25。）,彩旗绳固定在地面的位置与

图书馆相距25米（即AC=25米），则彩旗绳48的长度为（）

2525

A.25sin25°米B.25cos25°米C.----------米D.---------米

cos25°sin25°

5.（2024.湖南.模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由

四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形面积为25,小正方形面积

为1,贝（Jcosa的值为（）

6.（2024•安徽.模拟预测）如图所示，在矩形ABCD中，BE1AC,EF平分NBED,分别交AC、3C于

点尸、F,AE=CF=2,则AB=（）

C

A.^6B.4C.2^/3D.26

7.（2024・湖南•模拟预测）爬坡时坡面与水平面夹角为内则每爬1111耗能（1.025-851）」，若某人爬了1000m,

该坡角为30。，则他耗能（）（参考数据：g名1.732,血=1.414）

8.（2024•上海•模拟预测）tan67.5Oxtanl5。的值在（）

A.0.1-0.3B.0.3-0.6C.0.6-0.8D.0.8-1

9.（2024.辽宁・模拟预测）如图所示阴影部分为一条河流的部分俯视图，从河边上A点驶来一条船，B点在

河对岸.在流速与船速的影响下，小船开始沿着A3方向匀速前进.在航线AB边有一漩涡，抽象为。。.QO

影响的最大范围恰好与航线A8所在直线以及A点所在河岸相切.若OC=3m,AC=3鬲，则/。皿的度

数为（）

B

A.30°B.40°C.50°D.60°

10.（2024.浙江.模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，AB=AD=6,BC=14,E为AB的中点，F为

线段BC上的动点，连结FE,将/kBEF沿E尸折叠得到△GEF.在点尸从点8运动到点C的过程中，若射

线FG与上底"）相交于点P,则点尸相应运动的路径长为（）

11.（2024.湖南.模拟预测）在凡尔纳的小说《神秘岛》中，有一段工程师和赫伯特一起测量瞭望塔的高度

的情节.工程师先做了一个悬垂，其实就是在绳子的一端栓了一块石头，工程师让赫伯特拿着，然后拿起

一根木杆，长度大概为12英尺，两个人一前一后向瞭望塔走去，两个人来到距离瞭望塔485英尺的一个地

方，工程师把木杆的一头插到土里，插下去的深度大概是2英尺，接着，工程师从赫伯特手里结果悬垂，对

木杆进行校正，知道木杆完全竖直，之后对木杆插到土里的部分进行固定，固定好木杆后，工程师朝着远

离木杆的方向走了15英尺，仰面平躺在了地面上（眼睛离木杆15英尺），并且让自己的眼睛能够正好通过

木杆的尖端看到瞭望塔的最顶端，工程师在这个点上做了一个标记，如图所示，请你求出此时瞭望塔的高

度是（）

A.333英尺B.333；英尺C.400英尺D.400工英尺

3

12.（2024.山西•模拟预测）如图，在口ABCD中，AB=4,以点A为圆心，以A8的长为半径画弧，交AD

于点E,且E为AD的中点，若3E的长度为乃，则图中阴影部分的面积为（）

A.160—4万B.8近一2万C.16-4万D.16五-2%

二、填空题

13.（2024・上海•模拟预测）cos57°sin33°（选填“〉”或“=”或“<”）.

1

14.（2024•上海•模拟预测）陀的平方根为若后=_展贝”g[1=cos—

15.（2024.湖北.模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点

C在线段08上，OC:BC=1:2,连接AC,过点。作。尸〃A3交AC的延长线于尸.若尸（1,2）,贝IJtanNQ4P

的值是.

16.（2024.上海•模拟预测）如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形A5CD,内部形成一个小正

方形MNPQ.如果正方形MNPQ的面积是正方形面积的一半，那么的度数是.

AD

n17.（2024・湖北.模拟预测）如图，四边形ABC。是矩形纸片，AB=6,对折矩形纸片ABC。，使AD与3C

重合，折痕为政.展平后再过点3折叠矩形纸片，使点A落在跖上的点N,折痕5M与E尸相交于点。，

再次展平，连接BN,MN,延长"N交BC于点G.有如下结论：

①/ASN=60。；②40=3；③△3MG是等边三角形；④尸为线段上一个动点，H是线段的动点,

则PN+P”的最小值是•其中正确结论的序号是.

18.（2024•广东•模拟预测）长尾夹一般用来夹书或夹文件，因此也称书夹.长尾夹的侧面可近似的看作等

腰三角形，如图1是一个长尾夹的侧平面示意图，已知3C=23mm,NACB=70。.按压该长尾夹的手柄，撑

开后可得如图2所示的侧平面示意图.测量得/GED=N印宏=80°.求这时这个长尾夹可夹纸厚度GH为一

mrn（参考数据：sin700-0.94,cos70°«0.34,tan70°®2.75,sin80°«0.98,cos80°«0.17,tan80°®5.67）

图1图2

三、解答题

19.（2024•北京•模拟预测）如图，VABC是等腰三角形，AB=AC=l,AD±BC,BH^AC.已知Zft4Z>=a,

用两种方法表示VABC的面积

【探究】你能否从这里得出sin2a的计算公式呢？

A

2222

(1、,2sin300-6tan60°-4cos150°3tan30°,/金①八一.

20.（2024.山东.模拟预测）(1)计算.---------o-------------z---------------------------------z——,(参考公式.

2tan845°+4sin245°2sin1200-6tan230°

sina=sin(180°-a))

卡asm245°+夜

（2）已知a、b是一兀二次方程f+2%一3=0的两个实根,求-----------/=的S值.

Z?cos2600-V2

21.(2024・河北•模拟预测)如图1,在RtZXABC中，AC=BC=6,ZACB=9Q°,D,E分别是AC,AB的

中点，尸为射线。石上一动点，在射线AC上取点“，使的1=。尸，连接MF,CF,作尸GJ_CF交射线

于点G.

【发现】⑴当点尸在线段上时，求证：FG=FC.

【拓展】（2）如图2,当点方在。石的延长线上时，以CF,G尸为一组邻边作oCFGH,连接BF,

I_Y]

若tan/CEDu—,DCFGH的周长为M四边形CMBF的周长为“，求一的值.

2m

【探索】（3）设火=x,要使△哥G为等腰三角形，直接写出x的值.

22.（2024•贵州•模拟预测）如图1,这是一款升降电脑桌，它的升降范围是。〜40cm,图2是它的示意图,

已知EF〃肱V,点A、5在肱V上滑动，点。、C在所上滑动，AC、8。相交于点0,

（M=O3=OC=OD=30cm.（结果精确到0.1）

⑴如图2