三角函数与解三角形（选填题）原卷版-2025年新高考数学二轮复习

三角函数与解三角形（选填题11种考点分类）

加飘导囹

三角函数定义与同角三角函数

任意角、弧度制与三角函数定义

设巴X,M是角四边上异于顶点的任一点，其到原点。的距离为r

一定义一yxy

则sina--,cosa=—,tana二一（"0）•

rrx

回=々瓠长用/表示）

角a的孤度数公式

T

@1°=—rad；②1rad=(^r)°

角度与瓠度的换算

J弧度制一180

弧长公式瓠长l=\a\r

$=*=扣片

扇形面积公式

同角三角函数

.,,…sina.兀..

公式—sina+cosa=l,tana=-------(a—+kn,keL)

cosa2

题型二弦的齐次特征一分式或等式，弦的次数相同

题型

题型三弦加减乘问题

(1)sina±cosa—^―>1±2sinacosa=1±sin2a

sina+cosa=联立方程,sina=

(2)=>tana

sina-cosa=cosa=

(3)Asina±Bcosa=k―河早时等---->tana

、'u:除l=sin-(x+€os・a

W：分子分母同除cos?a

注意：(sina±cosa)2=sin2a+cos2a±2sinacosa

=l±2sinacosa

1

恒等变化与正余弦定理

一诱导公式恒等变化

诱导公式一口诀一奇变偶不变，符号看象限

t角的拼凑

加仔诱导公式

(1)找特殊角：目倍角关系La同倍角二二＞特殊角，

非如n两角和差

L2

(2)角的关系：题目求的角=特殊角与条件的角相加减

(3)给三角名：题目求什么给什么

(4)公式化筒：利用恒等变化化简

—正余弦定理

-正弦定理

一公式—一^二二七二?!^为AABC的外接国的半径)

sinAsinBsinC

匚使用范围一(1)已知两角和一边(2)已知两边一对应角

-余弦定理

b2+c2-a2

a2=b2+c2—2bc»cosA2bc

„a2+c2-b2

J公式b2=a2+c:-2ac«cosB，两边一角求边—cosB=-----------三边求角

2ac

c2=a2+b2_2ab»cosC

-a2+b2-c2

cosC=------------

2ab

L使用范围一已知三角求边一已知两边一角求边

I三角形面积

①§4.皿=；a11,(111为@边上的高)

'一@SA.absinC=ibcsinA=iacsinB

AABC222

③SAABC=；r(a+b+cXr为三角形内切圆的半径)

2

解三角形

边角互换思路

正弦定理边角互换

r三边的平方

余弦定理边角互换-—三个角正弦值的平方

角的余弦值

角化边

-三个角的正余弦值

处理掉一个角，利用三角形的内角和及两角和差

①sinC=sin(.44-^)=sinAcosB+cosAsinB

(2)cosC=-cos(.4-|-B)=-(cosAcosB-sinAsinB)

③而也=cosC

J22

®co$dF=sini

一辅助角——两名一角一次方（简称211）

-降暴公式或平方关系或一元二次一正弦值或余弦值的平方

一正余弦值三项相乘一提公因式

数字换边一边化角非齐次时，条件数字换边

最值

「面积或边长乘积一余弦定理+基本不等式

-基本不等式一一周长或边长之和一余弦定理+基本不等式+三角形的三边关系

I基本不等式的配凑型一或对勾函数求最值

「边化角转化成三角函数的性质求最值

J边化角一一转化成角三角函数值的一元二次函数

I利用导数求单调性

3

解三角形

爪型三角形

——X—,11—―"

AD=---AC+-^—AB

九+u九+□

左右同时平方数量积

-中线（等分点）

I互补的两个角余弦值之和为0—

cosADC+cosADB=0

分别在/\^（：和4皿€'采用余弦定理列式

S.ABC=aBC|IAD|=；besinA

即S4底.高g两边之积陕角正弦值

4

三角函数性质

—周期

定义法—寅*+2)=£(*),周期为1

函数y=Asin(cax+(p)(y=4cos@x+p))的最小正周期T=—

l®l

一公式法一

函数y=4tan(ox+9)的最小正周期7=—；

1«1

求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观

察图象得出周期.

J图像法

⑴函数y=0sin(sx+9)|,y=3cos(«ax+p)|,y=Ntan(<»x+p)|的周期均为7=卫

画

⑵函数y=0sin(sx+9)+砥%0),juWcosQix+G+b(屏0)的周期均为T=—

对称性

①函数y=Asin(cox+<p)+B或y=Acos(sx+<p)+B或y=Atan(cox+cp)+B

,②把Ox+<p看成整体，然后整体代入相应公式

对称轴：CDX+(p=对称轴公式求X；

对称中心：0«+中=对称中心横坐标公式求X,对称中心则为(x,B)

单调性

(1)辅助角化成y=Asin(cox+(p)+B^.y=Acos(cox+(p)+B^,y=Atan(cox+(p)+B

一(2)复合函数的同增异减：若co负变正，cox+(p整体代入；

A、co同号，求增代增求减代减;A、co异号，求增代减求减代增

(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间

的子集，列不等式(组)求解.

j(2)反子集法：由已知区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正

余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.

(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过

周期列不等式(组)求解.

定义域

①根据函数定义域求解法则列出不等式或不等式组

L②解有关三角不等式时，单个函数可采用函数图像或三角函数线

解含有多个三角函数时多数采用三角函数线

5

三角函数性质

值域

求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法怎路

①助南型

彩如y=asinx+b8sx+c的三角函数化为yNAsin(wK+«p)+k的彩式，再求值域1(最值)：

②二次函数型

形如y=asin：x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值城最值)

一③换元型

彩如y=asinxcosx+b(sinx士cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±8sx,

化为关于t的二次函数求值域(最值).

④反比例型

再行二asinx+p,采用分离常数法，再用换元法变成反比例型函数

.csLaicnxV+d

奇偶性

(1)定义域是否关于原点对称(左右端点同时(不)取到且成相反数)

定义法-I■否：非奇非偶函数

<

是:f(-x)=-f(x)奇函数；f(-x)=f(x)偶函数f(-x)丰f(x)H-f(x)非奇非偶

J公式法

形如y=Asin((OK土(p)+B或y=ACOS(COK±(p)+B或y=Atan(CK±<p)+B

影响奇偶性的因素为(p和B(前提定义域关于原点对称)

(1)BHO,原为奇函数的变成非奇非偶函数，B对原来为偶函数没有影响

cp=f+k7t(为B的奇数倍)=变性：奇变偶，偶变奇

(2)<p<p=kn(为g的偶数倍)=>不变性：奇是奇,偶是偶

中工与■(不等于三的整数倍)n非奇非偶函数

注意：(1)(2)必须同时满足

伸缩平移

y=Asin(cox+(p)+B或y=Acos(cox+(p)+B或y=Atan(cax+(p)+B

(A>1=>伸长

A(乘除)=>伸缩.

0<A<1=>缩短

纵坐标.

B>0=>向上平移

B(加减)=>上下平移《

B<0=>向下平移

3(乘除)=>伸缩今变化倍数成倒数关系

横坐标,

<p(加减)=>左右平移=>平移时X的系数化成1

坨，考点突破

考向一扇形的弧长与面积

【例1-1］（24-25高三上•湖南长沙•期末）扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的

一个组成部分，历来我国有"制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面

是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm,内环的弧长为16cm,油布径长（外环半径

与内环半径之差）为24cm,则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计）

B.768cm2

C.640cm2D.512cm2

【例1-2］（2024•陕西汉中）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学

社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段作一个等边三角形N3C,然后以

点2为圆心，N2为半径逆时针画圆弧交线段C2的延长线于点。（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径

逆时针画圆弧交线段NC的延长线于点£,再以点/为圆心，/£为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊

香"恰好有11段圆弧时，"蚊香"的长度为（）

蚊香

7

A.14兀B.18KC.24兀D.44兀

JT

【例1-3］（2025高三・全国・专题练习）某地进行老旧小区改造，有半径为60m、圆心角为§的一块扇形空置地,

如图，现欲从中规划出一块三角形绿地尸。尺，其中点尸在病上，PQ±AB,垂足为。，尸RL/C,垂足为R,

当点尸在加上运动时，这块三角形绿地的最大面积是____m2.

【例1-4】（2024•全国•模拟预测）（多选）如图，设单位圆与x轴的正半轴相交丁点以x轴的非负半轴为

始边作锐角a,B，CC-13,它们的终边分别与单位圆相交于点《，4，P.若a=g，则下列说法正确的是

A.当：7时，r尸的面l积为:B.当夕7T时，扇形。4耳的面积为工IT

4466

C.当夕=：时，四边形。4尸4的面积为2+M近D.四边形044々面积的最大值为1

48

考向二三角函数的定义与同角三角函数

【例2-1】.（24-25高三下•广西•开学考试）已知过原点的直线/的倾斜角为a,若点P（l,2）在直线/上，则

cos2tz-2sin2«=()

111111

A.—B.—C.一一D.-----

5555

【例2-2］（2025・广东肇庆•二模）已知a是锐角，6sina+2挺cosa=,则sini=(

V77V33

AR「库NVH

11111111

【例2-3］（2025・安徽•模拟预测）若tana=2,则「国：”的值为（）

cos-2sina

8

33

A.1B.一C.D.-1

77

贝l]tan[&+：)=(

【例2-4](2024•全国甲卷•高考真题)已知—一a=C,)

coscif-sincr

A.273+1B.C.也

2A/3-1D.1-V3

a

【例2-5】（2025•辽宁沈阳•一模）已知锐角。满足3sina+4cosa=4,贝Utan,：（）

43125

A.-B.-C.—D.—

34512

【例2-6］（24-25高三上•山东德州•期末）（多选）已知乃，sin^+cos^=1,则下列结论正确的是（）

A.0e\—,Tt\B.cos^=--C.tan^=--D.sin^-cos^=—

12）545

考向三诱导公式与恒等变化

【例3-1］（2025•山东日照•一模）己知a是第一象限角，且sina+cosa=3cosatana,则$说，+3的值为（）

AV5R2^/5「行n275

5555

【例3-2】（2024•广东江苏•高考真题）已知cos（a+£）=私tanatan7=2,贝！Jcos（a-月）=（）

m

A.—3mTD.3m

【例3-3］（2023•全国•高考真题）已知sin（a—/?）=：,cosasiii/7=，，则cos（2a+2月）=（）.

36

“、2sin(7i+a)cos(7i-a)-cos(7i+a)八八.八、

f(a)=---------------------g----一-(1+2smaw0)

【例3-4](2025高三・全国•专题练习)设」.2,口兀,).J)则

1+sma+cos—+a-sin—+a

U)U)

【例3-5］（2024•新课标II卷•高考真题）已知。为第一象限角，/?为第三象限角，tana+tan/7=4,

tanatan/3=V2+1,则sin(i+fJ)=.

【例3-6］（24-25高三下•重庆沙坪坝•开学考试）tan7（T+2cos26」=_.（请用最简数值作答）

sinl60°

考向四角的拼凑

【例4-1］（24-25高三上・湖北•期中）已知cos［-三）=-g，则sin］^+”的值为（）

AJ.„_1r2V2n2y/2

A•D.L-.-----U.土----

3333

【例4・2】（2024•吉林长春•模拟预测）若cos,-；卜;，则sin2a=（）

9

557

A.——B.一C.——D

888-?

45兀

【例4-3]（24-25高三上糊北•阶段练习）若sin三+a=十则cos2"*()

56

12712

A.B.cD.——

2525-125

【例4-4]（24-25高三上•江苏常州•期中）已知。,力£(。,兀)，_&coscr=-^-,sin(6if+/?)=^^,贝cos4二()

51710

回9V10

RD.----rD.用

1050

考向五三角函数的性质

【例5-1]（24-25高三下.湖北•开学考试）（多选）己知函数〃x）=sin2x,若将小）的图象向右平移展个单位

后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则下列说法正确

的是（)

71

A.g(x)=sinX-------

12

（）的图象关于点（对称

B.gx"J

C.g（x）的图象关于直线X对称

D.g（%）的图象与的图象在曲2兀]内有4个交点

【例5-2]（2025•甘肃白银•模拟预测）（多选）已知函数/⑴=然皿3+夕）（0。〈兀,勾0㈤0）的图象如图所示,

是直线了=-1与曲线j=的两个交点，且1MM==,将函数/（x）的图象向左平移，个单位长度得到

99

7171

C.g(x)在上单调递增

959

7TTjr

D.若关于X的方程g（x）-一=0在xe一27有两个不同的根，则实数比的取值范围为0，2]

mOO

10

【例5-3］（2025•安徽•模拟预测）（多选）已知函数/（x）=cos22x+gsin4x-g,则下列说法正确的是（）

A.函数的最小正周期为］

函数“X）在区间（-急［上单调递增

B.

I16打

C.函数/（X）的图象的一条对称轴方程为x=g

O

D.函数的图象可由＞=2^sin4x的图象向左平移己个单位长度得到

考向六w的求法

【例6-1】（2025•江西九江•一模）将函数/（x）=sin10x+gj的图象向左平移e个单位长度后得到的图象关于了

轴对称，则G的值可能是（）

A.5B.8C.11D.13

【例6-2］（24-25江苏省）已知函数若在区间（0㈤上单调递增，则。的取值

范围为（）

A.陷B,层］C.（0,：）D,叫

【例6-3］（24-2海南）已知函数/（x）=sinGM电＞0）与g（x）=sin02x（°2〉0）的部分图象如图所示，则詈=

11

A.—B.—•C.6D.3

63

【例6-4］（24-25福建）已知函数/（x）=sin"f（o＞0）在区间（0,劝上有最大值，没有最小值，则。的范围

是()

A，(［］5不111］B.(［5不1力1)U(75、D.(7二5'

【例6-5］(24-25湖南常德)已知函数/'(x)=-sin9,g(x)=4sin|+|(。>0),若>=〃x)与〉=g(x)

在区间［0,2可上有且仅有3个交点，则。的最小值是（）

472317

A.一B.一C.—D.

331212

【例6-6］（24-25高三下•河北•开学考试）已知函数/（x）=5亩［3+T（0＞0）的最小正周期T满足］＜7＜兀,

且该函数的图象关于点中心对称，则。的值为（）

11

【例6-7】（2025•山东青岛•一模）已知函数/（x）=sin（0x+°）（（y>O,|9区3，x=-（为〃x）的零点，x=:为

P=/（x）图象的对称轴，且“X）在仁，道单调，则。的最大值为（）

\loJO）

A.13B.11C.9D.7

考点七三角函数的零点

【例7-1】（2025•广东佛山•一模）函数/（x）=sinx+sin2x在区间（0,3兀）上的零点个数为

【例7-2】（2023•新课标I卷•高考真题）已知函数〃x）=coss-1（。>0）在区间［0,2可有且仅有3个零点，则。

的取值范围是.

【例7-3］（2025•湖南邵阳•一模）已知函数/（x）=2cos20x+2sin0xcos@x（0>O）在区间［0,2万］上有且仅有4个

零点，则。的取值范围是

【例7-4］（2014•河北唐山）函数/（x）=2sin7tx-，3x-x，所有零点的和等于

【例7-5］（24-25高三下•山东德州•开学考试）函数〃司=a11（2的-3（。>0）在（0高上单调递增，且在［0,兀］

上恰有三个零点，则。的取值范围为

【例7-6］（24-25天津河西）设函数/（x）=sinox®>0）,若函数g（x）=〃x）-l在［0,可上恰有3个零点,则实

数。的取值范围是

考向八正余弦定理

【例8-1】（2024•陕西商洛•一模）（多选）设的内角4民。的对边分别是a*,c,若a=6,且

（26-c）cos/=acosC,则下列结论正确的是（）

JT

A.4=7B.的外接圆的面积是兀

6

c.△ABC的面积的最大值是mD.5—C的取值范围是（-人,2百）

4

【例8-2］（24-25高三上•江苏苏州•期中）（多选）已知△/5C的内角A,B,。所对的边分别为。，b,。，下

列四个命题中正确的是（）

A.若△Z5C为锐角三角形，贝！Jsin8〉cos/

B.若5=60。，b2=ac,则△45。是直角三角形

C.^bcosC+ccosB=b,则△/夕。是等腰三角形

D.若△4BC为钝角三角形，且/3=3,AC=5,cosC=^f,则△4BC的面积为电1

144

12

【例8-3］（2024・广东•模拟预测）（多选）已知△48C中,角48,C所对的边分别为的面积记为S,

若a=4,/=60°，贝！|（）

A.2S=^/3AB-AC

B.ZUBC的外接圆周长为"业兀

3

C.S的最大值为46

D.若M为线段的中点，且0河=述，则S=4，J

3

【例8-4］（2024•辽宁沈阳）（多选）在△42C中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,且已知。=2,贝!!

（）

A.若/=45。，且△4BC有两解，则6的取值范围是（2,2应）

B.若4=45°,且6=4,则△/2C恰有一解.

C.若c=3,且△ABC为钝角三角形，则6的取值范围是（屈,5）

D.若c=3,且△4BC为锐角三角形，则b的取值范围是（行,JW）

TT

【例8-5］（2024•云南曲靖•模拟预测）（多选）在△NBC中，AB=4,AC=6,A=~,。为边2c上一动点，

贝IJ（）

A.BC=25

B.当/。为角A的角平分线时，40=吆叵

5

C.当。为边中点时，AD=3y［2

D.若点产为△/3C内任一点，莎•（而+定）的最小值为

【例8-6】（2024・重庆•模拟预测）（多选）在锐角△4BC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,若

6sin^=（〃+c）siiL4,则下列说法正确的是（）

A.B=2A

B.3的取值范围为

C.----------+2sin5的最小值为2后

tanAtann

D.冒的取值范围是

考向九实际应用

【例9-1】（2024•四川）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50。方向直线航行，30分钟

13

后到达2处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20。，在B处观察灯塔，

其方向是北偏东65。，那么8、C两点间的距离是（）

A.10及海里B.10力海里C.200海里D.20G海里

【例9-2]（2024・河南）"不以规矩，不能成方圆”出自《孟子・离娄章句上》."规"指圆规，"矩"指由相互垂直的

长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女蜗手执规矩的记载（如

图（1））.今有一块圆形木板，以"矩"量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四

3

边形木板的一个内角a满足cosa=M，则这块四边形木板周长的最大值为（）

图(1)图(2)

A.20cmB.20V2cmC.20j§cmD.30cm

考向十与其他知识的综合运用

【例10-1】（2025•云南•模拟预测）已知函数/（x）=sin0x+sin,x+]^（0eN）在xe[0,可上有且仅有一个极大

值点，则/（x）在下列区间中单调递增的是（）

A，（兀5兀、B，（57171C（5TI5兀、}D*（[1712，"56兀"、J

【例10-2]（2025・陕西渭南•一模）已知〃x）=/13cosx+sinx,则曲线y=/（x）在x=0处的切线与坐标轴围成

的三角形的面积为（）

A.3B.3C.D.2

222

【例10-3】（2025•新疆•模拟预测）（多选）已知函数〃x）=siiu+gsin2无，则下列结论正确的是（）

A.“X）的最小正周期为27r

B./（x）在区间上为增函数

14

C.f（x）的对称中心为（版,0）（左eZ）

D./（无）的最小值为一亚

【例10-4]（2024•安徽•三模）（多选）己知ZUBC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,其中6=4,

m=\-,tanfi,n=\tanA,-,m-n=——,则()

<c)3cos/

B.ZUBC的外接圆面积为16兀

C.^AM=-AC,ABAC=Z.ABM,贝l]BC=迎至

413

____3__.iio

D.^AM=-AC,ZBAC=ZABM,贝！JsinNB/C="

413

【例10-5】（2025•云南昆明•一模）（多选）已知函数〃x）=cos（sinx）-sin（cosx）,则（）

A./Xx）图象关于歹轴对称B.2兀是了=/（x）的一个周期

C./（x）在（0㈤单调递减D.〃x）图象恒在x轴的上方

考向十一新定义

【例U-1]（24-25福建莆田）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为"同族函

数"，例如函数J=x2,xe[l,2]与函数j=x?,xe[-2,-l]为"同族函数下面函数表达式中，可以用来构造“同

族函数”的是（）

3

A.y=TB.y=log2xC.y=xD.y=tanx

[a,a>b

【例11-21（2025山东）设a,beR,定义运算b=<,则函数[0）=smx㊈cosx的最小值为（）

[b,a<b

J21

A.-1B.--C.——D.0

22