三角形 重难点题型分类（解析版）-2022-2023学年人教版八年级数学上册重难点题型必刷题

专题01高分必刷题-三角形重难点题型分类（解析版）

专题简介：本份资料包含《三角形》这一章在各次月考、期末中除压轴题之外的全部主流题型，所选题目源自

各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含七类题型：三角形的边长问题、多边形的内角和与对角线、三

角形的三个角平分线模型、三角形的角度计算、8字模型、燕尾模型、折叠模型，本专题资料适合于培训机构

的老师给学生作复习培训时使用或者学生月考、期末考前刷题时使用。

题型1：三角形的边长问题

1.（2022•四川•成都）已知三角形两边长分别为4和9,则此第三边x的取值范围是（）

A.5cxe13B.4Vx<9C.18cx<26D.14Vx<22

【详解】解：由三角形的三边关系得：9-4<x<9+4,即5<x<13,故选：A.

2.（2021•河南周口）一个三角形的三边长分别为3,5,尤，若x为偶数，则这样的三角形有（）个.

A.2B.3C.4D.5

【详解】解：根据题意得：5-3<x<5+3,即2<x<8,•I为偶数，取4,6,即这样的三角形有2

个.故选：A

3.（2022•辽宁•沈阳）三角形两边长分别为4和7,若第三边的长为偶数,则这个三角形的周长可能是（）

A.15或12B.15或19C.16或17D.19或23

【详解】解：设三角形第三边的长为1.三角形的两边长分别为4和7,二7-4<。<7+4,即

为偶数，,。=4或。=6或。=8或。=10,当。=4时，这个三角形的周长=4+4+7=15；

当。=6时，这个三角形的周长=6+4+7=17；当。=8时，这个三角形的周长=8+4+7=19；

当。=10时，这个三角形的周长=10+4+7=21；综上所述，这个三角形的周长可能是15或17或19或

21.故选：B.

4.（2022・四川成都）已知。，b,。是&ASC的三边长，b,c满足（。-2）?+|c-3|=0,且。为方程|x-4|=2

的解，贝1ABC的周长为（）

A.4B.5C.7或11D.7

【详解】解：（〃一2）2+上一3|=0,「2—2=0且c—3=0,:.b=2、c=3,。为方程,一4卜2的解，

「.。=2或〃=6,又c-b<a〈c+b,BP1<tz<5,:.a=2,贝1ABC的周长为2+2+3=7,故选：D.

5.已知实数无，y满足|x-6|+〉y-15=0,则以x，y的值为两边的等腰三角形的周长为（）

A.27或36B.27

C.36D.以上答案都不对

【解答】解：•.•实数x,y满足」-6|+正-15=0,；.X=6,y=15.；6、6、15不能组成三角形，.•.等腰

三角形的三边长分别为6、15、15,.•.等腰三角形周长为6+15+15=36.故选：C.

6.（2022•辽宁沈阳）已知a,b,。是一个三角形的三边长，化简|。+。-匕|+屹-。+〃|+|。-万-。|=.

【详解】解：a,b,c是一个三角形的三条边长，「.a+c-OK）,b-c+a>G,a-b-c<0,

\u+c—b\+\b—c+ci\+\ci—b—c\=a+c—Z7+Z?—c+a—（a—b—c）=ci+c—b+b—c+ci—ct+b+c

=a+Z?+c,故答案为：a+b+c.

7.已知a,b,c分别为三角形的三边长，则化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-〃+。|的结果为（）

A.a+b+cB.-a+b-3cC.a+2b-cD.-a+b+3c

【解答】解：\a-b-c|+|。-c-a\+\c-a+b\=-a+b+c-b+c+a+c-a+b=-a+b+3c,故选：D.

题型2：多边形的内角和、对角线

8.（2022•广西•兴安）正多边形的一个内角等于144，则该多边形是正（）边形.

A.8B.9C.10D.11

【详解】解：设正多边形是w边形，由题意得0-2）x180。=144”.解得”=10,故选：C.

9.（2022•浙江温州）若w边形的内角和等于外角和的4倍，则边数”是（）

A.8B.9C.10D.11

【详解】解：根据题意得：5-2）x1800=3600x4,解得：”=10,即边数w是：L0.故选：C

10.（2022•浙江杭州）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数〃=.

【详解】解：设这个多边形的边数为"，依题意，得：（"-2）x1800=2*360。，解得：n=6.

故答案为：6.

11.把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若Nl=52°,N2=18°,则N3=.

【解答】解：等边三角形的内角的度数是60。，正方形的内角度数是90°,正五边形的内角的度数是:

A（5-2）X180°=108°,则N3=360°-60°-90°-108°-Z1-Z2=32°.故答案是：32°.

5

12.（2020•四川・宜宾）如果一个多边形从一个顶点出发可以做7条对角线，则它的内角和是

【详解】解：.••多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，，w-3=7,解得w=10.

十边形的内角和为：180°x（10-2）=1440°,故答案为：1440°.

13.一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20。，

（1）求此正多边形的边数；（2）它有多少条对角线？

【解答】解：（1）设多边形的一个外角为a,则与其相邻的内角等于3a+20°,

由题意，得（3a+20）+a=180°,解得a=40°.即多边形的每个外角为40°.

又；多边形的外角和为360°♦.多边形的外角个数=迦=9....多边形的边数为9；

40

（2）二.”边形的对角线条数为：In

2

...当〃=9时，An（«-3）=2x9X6=27,故有27条对角线.

22

题型3：三角形的三个角平分线模型

1、三角形的两内角角平分线模型

14.（2022•山东滨州）如图，N1=N2,N3=N4,ZA=88",贝I|N8OC=

【详解】Z1+Z2+Z3+Z4+Z4=180°,ZA=88°,且N1=Z2,Z3=Z4,/.Z2+Z4=46°,

•••Z2+Z4+ZBOC=180°,Z2。。=180。-46。=134。，故答案为：134°.

15.（2022•山东济南）如图，已知△ABC中，BD,CE分别是△A8C的角平分线，8。与CE交于点。，如

果N4=54。，那么NBOC的度数是（）

A.97°B.117°C.63°D.153°

【详解】•.,BD,CE分别是△ABC的角平分线，,N02C=gNABC,NOCB=—ACB,

Z80C=180°-ZOBC-ZOCB=180°-ABC-180°-ABC+NACB),

•••ZA+ZABC+NACB=180°,ZA=54°,二ZABC+ZACS=180°-ZA=126°,二ZBOC^180°-；xl26°

=117°,故选：B.

16.（2021•江苏•麒麟）如图，BI,C/分别是△ABC的角平分线，ZB/C=1300,则NA=

【详解】解：:B/,C/分别是△ABC的角平分线，,NZBC=gNABC,ZICB=^ACB,vZBZC=130",

Z/BC+NICB=50°,：.ZABC+ZACB=2x50°=100°,/.ZA=180°-100°=80°.故答案为：80°.

17.(2021•福建•莆田)在AABC中，ZB,NC的平分线相交于O,ZBOC=125°,则NA的度数为一.

【详解】解：如图,•,ZBOC=125°,：.ZOBC+Z0cB=180。-125。=55。，/ZABC与NACB的平分线相交于

。点，ZABC=2NOBC,ZACB=2NOCB,：.ZABC+NACB=2(ZOBC+ZOCB)=110°,

ZBAC=180°-110°=70°.故答案为:70°.

2、三角形两外角角平分线模型

18.如图,在△ABC中，NB=40°,三角形的外角ZDAC和NACP的平分线交于点E,则NAEC=

n

【解答】解：：三角形的外角/D4C和/ACF的平分线交于点E,，/EAC=2/D4C,ZECA=lzACF；

22

又：/B=40°(已知)，ZB+Zl+Z2=180°(三角形内角和定理)，

.•.AZZ)AC+-1ZACF=A(ZB+Z2)+A(ZB+Z1)=工(ZB+ZB+Z1+Z2)=110°(外角定理)，

22222

/.ZA£C=180°-(AZ£)AC+AZACF)=70°.故答案为：70°.

22

BACZ:F

19.（2022•山东烟台）如图，已知13ABC,NA=80,即平分外角NC3。，C/平分外角/BCE,BG平

分4:BF,CG平分外角/BCF,则NG=.

【详解】解：：NDBC=ZA+ZACB,ZECB=NA+ZABC,：.ZDBC+Z.ECB=4A+ZACB+NA+ZABC,

■：ZACB+ZA+ZABC=180°,：.ZDBC+NECB=NA+180°=80°+180°=260°,「BP平分外角NDBC,CF

平分夕卜角NECB,ZFBC=-ZDBC,ZFCB=-ZECB,：.ZFBC+NFCB=-(ZDBC+NECB)=130",

222

,「BG平分NCB/，CG平分ZBCF,；.ZGBC=^2FBC,/LGCB=-AFCB,：.^GBC+AGCB=-

222

(ZFBC+ZFCB)=65°,；.ZG=180°-(ZGBC-ZGCB)=180°-65°=115°.

故答案为：115°.

3、三角形一个内角一个外角角平分线模型

20.（2022•河南南阳）已知AABC中，①如图1,若点P是N4BC和NACB的平分线的交点，则N尸=90。

+|zA；②如图2,若点尸是NA3C和外角NACE的平分线的交点，则NP=90。一NA；③如图3,若

点P是外角NC8F和外角N8CE的平分线的交点，则NP=90。一1NA；上述说法正确的是

【详解】解：①正确.P点是NABC和ZACB的角平分线的交点,

ZPBC+ZPCB=J(ZABC+ZACB)=1(180°-NA)=90°-1zA,

ZP=180°--(ZABC+ZACB)=180o-90o+-ZA=90°+-ZA；

2J22

②错误.3P是AABC中NABC的平分线，CP是4cB的外角的平分线，.•.々BC=；ZABC,

NPCE=g/ACE,/ACE是ASC的外角，NPCE是ABPC的外角，:.ZACE=ZABC+ZA,

ZPCE=/PBC+NP,-ZACE=-ZABC+-ZA,-ZABC+-ZA=ZPBC+ZP,即NP=^NA；

222222

③正确，BP、CP为AABC两外角的平分线，

ZBCP=|ZBCE=g(NA+NABC),NPBC=|NCBF=J(NA+ZACB),

由三角形内角和定理得：ZBPC=180°-ZBCP-NPBC=180°-1[ZA+(ZA+NABC+ZACB)]

=180°-J(ZA+180°)=90°-;NA；.故答案为：①③.

21.(2022•山东泰安)如图①、②中，NA=42。，4=N2,Z3=Z4,则的度数为()

【详解】解：,①②中，Z71=42°,N1=N2,N3=N4,.,.①中，

Z2+Z4=1(Zl+Z2+Z3+Z4)=1x(180°-42°)=69°,故N0/=180°-69°=1110；

②中，N。2=/4-N2=1[(N3+N4)-(N1+N2)]=]/A=21°；」.NO/+N。2=111°+21°=132°,故选：D.

22.(2021•江苏无锡)如图，△ABC为直角三角形，NACB=90。，A。为NC48的平分线，与NA8C的平

分线BE交于点、E,BG是AABC的外角平分线，与BG相交于点G,则NAOC与NGBb的和为()

A屁

□

CD

F

G

A.120°B.135°C.150°D.160°

【详解】解：NAC2=90°,=NC42+NCA4=90°,：AE,BE分别平分NCAB,ZCBA,

:.ZEAB+NEBA=gNCAB+gNCBA=45。,,:BG平分NCBF,:.ZCBG=gZCBF,；ZCBE=gzCBA,

ZCBE=NCBG+NCBE=1NCBF+JZCBA=90°,：.ZG=90°-45°=45°,-/ZADC=ZBDG,

ZAOC+NGBF=ZBDG+NOBG=180--NG=135°,故选：B.

23.（2022•山东泰安）如图，在△ABC中，设NA=x。，NABC与NAC。的平分线交于点A,得N4；ZAJBC

与NA/CZ）的平分线相交于点&2,得NA2；…；N人202/与NA?02/C£）的平分线相交于点&2022,得N4（）22,则

NA2022是（）度.

【详解】解：:NAC。是△ABC三角形的外角，NA/CO是△A/BC的外角，NA=NACZ>NABC,

Z4=NAiCD-ZAiBC,-：54/和CA/分别是NABCACD的角平分线，,ZAiBC^^ABC,

N4CD=[NACD,...NA/=[NAC£)-；NABC=[N4=1•尤°,同理可得，N4=1/A尸]x^x。，

NNA2=；xgxg尤。，...，ZA2022-,n77X°,故选：C.

222222U22

题型4：三角形的角度计算

24.（2022•浙江绍兴）如图，AB//CD,AE平分NBAC,且与C。相交于点E,若NC=50。，则NAEC的

度数为.

【详解】解：因为-AB//CD,ZC+ZBAC=180°,又NC=50。，ZBAC=130°,1•AE平分NBAC,

:.ZEAC=^ZBAC=65°,.•./4£。=180。-(/0+/£4。=65。.故答案为：65°.

25.（2022,江苏无锡）将一副三角板（含30。、45。的直角三角形）如图摆放，则图中N1的度数为.

【详解】解：由三角形的外角性质得：N1=30。+90。=120。.故答案为：120。.

26.（2022年江苏）一副三角板如图放置，ZA=45°,ZE=30°,DE//AC,贝

【详解】解：如图，DE//AC,：.Z2=ZA=45°,ZE=30°,"=90。，:.ZD=6Q°,

Z1=Z2+ZD=45°+60°=105°,故答案为：105.

27.（2022•江苏•江阴）把一副常用的三角板如图所示拼在一起，点B在AE上，那么图中1

【详解】解：「NBAC=45°,ZBCA=60°,ZABC=180°-(ZBAC+zBCA)=75°.故答案为：75.

28.(2022•江苏•江阴)如图，已知AABC中，AD±BC^D,AE■平分NBAC,N2=80。，NC=40。，则

ZDAE=度.

【详解】解：：zB=80°,ZC=40°,ZBAC=180°-ZB-ZC=180--80o-40o=60o,：AE平分NBAC,

：.ZBAE=^CAE=^BAC^30°,'：ADrBC,：.AADB=90°,AB+ABAD=90°,：.ABAD=10°,

：.ZDAE=NBAE-NBAD=30O-10°=20°,故答案为：20.

29.(2018•山东德州)如图，在AABC中，ZB=40°,ZC=80",A。是3C边上的高，AE平分N8AC,

(1)求NA4E的度数；(2)求NZME的度数.

【详解】解：(1)1,在AABC中,ZABC=40°,ZACB=80°,ZBAC=180°-40o-80o=60o,

,/AE平分NBAC,：.ZBAE=30°；

(2),.-AD是AABC的高,；.ZADB=90°,ZBA£>=180°-90°-40°=50°,ZDAE=ZBAD叱BAE=50°-30°=20°.

30.(2021•北京)如图，在.ASC内，AD是2c边上的高，BE平分ZABC交AC边于E,Zfi4C=60°,

ZABE=25°,求NZMC的度数.

【详解】解：的平分ZABC,ZABE=ZCBE=|ZABC,ZABE=25。,

ZABC=50°,AD是2C边上的高，..ZADB=90°,则在△A5O中，

4AD=90°-ZABD=9()o-50o=40。，NDAC=NBAC-/BAD,ZBAC=60°,

,-.ZZMC=60°-40°=20°.

E

BDC

31.(2020•黑龙江)如图，已知/A=20。，ZB=27°,AC±DE,求NLN。的度数.

【详解】AC±DE,ZAPE=90°.rN1是△AEP的外角,/.Z1=ZA+/LAPE./ZA=20°,

：.Zl=20°+90o=110".在ABDE中,Z1+ZD+Z8=180°,;N8=27°,

：.Z0=180°-110°-27°=43°.

32.（2021•湖北）如图，在ZkABC中，ZA=40°,N8=76。，CE平分NACB,CQ_LAB于点O,DFLCE于

点、F,求NC£＞尸的度数.

【详解】解：N4=40°,Z8=76；ZACB=180°-40°-76°=64°,rCE平分NACB,：.ZACE=ZBCE=32°,

：.ZCED"A+ZACE=72°-：CDrAB,DFrCE,zCDF+ZECD=NECD+ZCED=90°,ZCDF=4CED

=72°.

33.如图，A。是△ABC的高，AE,3尸是△ABC的角平分线，它们相交于点O,ZBAC=60°,NC=70

(1)求/CA。的度数.(2)求/BOA的度数.

【解答】解：⑴"：AD±BC,：.ZADC=90Q,VZC=70°,AZCAD=180°-90°-70°=20°；

（2）VZBAC=60°,ZC=70°，：.ZBAO=30°,ZABC=50°,TB/是NA3C的角平分线,

/.ZABO=25°,AZBOA=1SO°-ZBAO-ZABO=180°-30°-25°=125°.

题型5：8字模型

34.（2021•黑龙江）如图，NA=NO=90°,若NB=31°,则/OCE=

【详解】解：：ZB=31°,ZA=90°,ZDCE=ZACB=90°—N8=90°—31°=59°故答案为：59

35.（2022•重庆）如图，已知Nl=135°,贝INA+/B+NC+/D+NE+N/=度.

【详解】解：连接8C,•；ZA+NO+N3=ZACB+ZD3C+N2=180。，N2=N3,

：.ZA+ZD^ZACB+ZDBC,

：.ZA+ZD+NEBD+ZACF=ZACB+NDBC+ZEBD+ZACF=NFCB+ZEBC.

：N1=/E+/F=/FCB+NEBC,：.ZA+ZD+ZEBD+ZACF^Zl.'：Z1^135°,

：.ZA+ZEBD+ZACF+ZD+ZE+ZF=2Z1=270°.

故答案为：270.

36.如图，AE是NBA。的平分线，CE是NBC。的平分线，且AE与CE相交于点E.若N0=40。，ZB

=30。，则NE的度数为.

D

C

E

BN-------*4

【详解】解：,•・AE是NA4D的平分线，CE是的平分线，，NDAE=/BAE=g/DAB,

NDCB=NDCE=gNDCB,-：zD=40°,N2=30。，ND"DCB=ZB"BAD①，：.4BAD-ZDCB=10。,

:.NDAE-NDCE=5。,:ND+NDCE=NE+NDAE②,由①+②，得：2ND+NDCB+NDCE

=ZE+ZB+ZBAD+ZDAE,80°+3ZDCE=30°+NE+3ZDAE,/.50°-3(ZDAE-ZDCE)=NE,

：.Z£=35".故答案为：35。.

37.（2022•山西吕梁）如图，已知CBII8,37和C。分另1平分NR4F和/DCE,若NAEC=57°,ZAFC=63°,

则NBAF的度数为.

AB//CD,AB//CD//FG,ZDCF=LGFC,ZBAF=NGFA,/CF平分NDCE,

设NDCF=NFCE=X,则NGFC=X,ZGFA=NAFC-Z.GFC=63°-X,：.ZBAF=ZAFG=63°-x,

在△Cf'H中，ZC//F=180°-ZFCE-ZAFC=18O°-x-630=117°-x,rAE平分NBAF,

63°-x63°-x63°_y

ZBAE=NEAF=------,在AAEH中，NE/M=180°-ZEAH-AE=180°------------57°=123°-----------,

222

63。一x

/ZEHA=AFHC,：.117°-x=123°-——,解得：x=Yl°,：.ZBAF=63O-17O=46°,故答案为：46°.

38.(2020•安徽)如图①，已知线段AB,CD相交于点O,连接AD,CB,我们把形如图①的图形称之为"8

字形如图②，在图①的条件下，NDAB和NBCD的角平分线AP和CP相交于点P,并且与CD,AB分

别相交于点M,N,试解答下列问题：

⑴在图①中，请直接写出NA,ZB,ZC,ND之间的数量关系;

⑵在图②中，若ND=40。，NB=36。，试求NP的度数；

⑶如果图②中ND和NB为任意角时，其他条件不变，试问NP与ND,NB之间存在着怎样的数量关系（直

接写出结论即可）.

①②

【答案】(1)ZA+ZD=ZB+ZC；(2)38°；(3)2ZP=ZB+ZD

【详解】解：(1)在△AOD中，ZAO£>=180°-ZA-ZD,在，3OC中，ZBOC=180°-ZB-ZC,

ZAOD=ZBOC(对顶角相等)，.•.1800-ZA-ZD=180°-ZB-ZC,.•.NA+ND=NB+NC；

(2)QZD=40°,4=36°,ZOAD+40°=ZOCB+36°,:.ZOCB-ZOAD=4°,

一11

AP.C尸分另是/DAB和NBCD的角平分线，.-.ZDAM=-ZOAD,ZPCM=-ZOCB,

又iZDAM+ZD=ZPCM+ZP,ZP=+ZD-NPCM=；(NOAD-NOCB)+NO=38°；

(3)根据"8字形"数量关系，ZOAD+ZD=ZOCB+ZB,ZDAM+ZD=ZPCM+ZP,

所以，ZOCB-ZOAD=ZD-ZB,ZPCM-ZDAM=ZD-ZP,

AP.C尸分另(J是/DAB和N3CD的角平分线，ZDAM=^ZOAD,NPCM=；NOCB,

：.^ZD-ZB)=ZD-ZP,整理得，2ZP=ZB+ZD.

39.（2020•河北•保定）图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为"8字

形”.如图2,在图1的条件下，NDAB和NBCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于

M、N.试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出NA、NB、NC、ND之间的数量关系：；

（2）图2中，当ND=50度，NB=40度时，求NP的度数.

（3）图2中ND和NB为任意角时，其他条件不变，试问NP与ND、ZB之间存在着怎样的数量关系.

【详解】解(1)ZA+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZBOC=180°,ZAOD=ZBOC,/.ZA+ZD=ZC+ZB；

(2)由(1)得，ZDAP+ZD=NP+ZDCP,①NPCB+ZB=NPAB+ZP,②

•••ZDAB和NBCD的平分线AP和CP相交于点P,ZDAP=ZPAB,ZDCP=ZPCB,

①+②得：ZDAP+ZD+ZPCB+ZB=NP+ZDCP+ZPAB+ZP,即2ZP=ZD+ZB=50°+40°,，ZP=45°；

(3)关系：2NP=ND+NB；证明过程同(2).

题型6：燕尾模型

40.（2018・云南・腾冲）已知：点。是△ABC所在平面内一点，连接A。、CD.

（1）如图1,若NA=28。，ZB=72°,ZC=ll°,求NAOC；

（2）如图2,若存在一点P,使得平分/ABC,同时尸。平分NAOC,探究/A,ZP,NC的关系并

证明；

（3）如图3,在（2）的条件下，将点。移至/ABC的外部，其它条件不变，探究/A,ZP,NC的关

【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E,

在AABE中，NAEC=ZA+NB=289+72*100。，在ADEC中，ZADC=ZAEC+ZC=1009+115=llie；

Z5=ZA+Z1,Z5=ZP+Z3,ZA+Z1=NP+Z3,,:PB平分NABC,PD平分NADC,

Z1=N2/3=N4,；.ZA+Z2=NP+Z4,由(1)知N4=N2+ZP+ZC,/.ZA+Z2=NP+Z2+NP+ZC

ZA—ZC=2ZP；

(3)ZA+ZC=2Z已理由如下:如图3,

同(2)理知NA+Z1=NP+Z3/C+Z4=ZP+Z2,/.ZA+ZC+Z1+Z4=2NP+Z2+Z3,

PB平分NABC,PD平分NADC,=Z1=Z2/3=Z4,二Z1+Z4=Z2+Z3,，NA+ZC=2ZP

41.如图(1),由三角形的内角和或外角和可知：在图(2)中，直接利用上述的

结论探究：

①若AD、CD分别平分NOAB,ZOCB,且/0=80°ZB=120°,求/ADC的度数

②AD、CD分别平分/。48,ZOCB,猜想/O,ZABC,/4DC之间的等量关系，并说明理由.

【解答】解：①根据题意得：ZOAB+ZOCB=ZB-ZO=120°-80°=40°,

,：AD.CD分别平分NOAB,ZOCB,：.ZOAD+ZOCD=Ax40°=20°,

2

Z.ZADC^ZO+ZOAD+ZOCD=80°+20°=100°；

②由题意得：ZADC=ZOAD+ZOCD+ZO,ZABC=ZOAB+ZOCB+ZO,

•：AD.CD是/OAB、NOCB的平分线，：.ZBAD=ZOAD,ZOCD=ZBCD,

：.ZABC=2ZADC-ZO.

42.（2022•全国）如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一一圆规.我们不妨把这样图形叫做"规形图",

那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题:

（1）观察"规形图"，试探究NBDC与NA、NB、NC之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图（2）,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图⑴XZ恰好经过点B、C,若

ZA=50°,则NABX+ZACX=°；

②如图⑶DC平分NADB,EC平分NAEB,若NDAE=50°,ZDBE=130°,求NDCE的度数；（写出解答过程）

③如图（4）,NABD,NACD的10等分线相交于点Gi、G2…、G9,若NBDC=140。,ZBGiC=77°,则NA

的度数=

【详解】解：（1）连接AD并延长至点F,由外角定理可得NBDF=NBAD+NB,NCDF=NC+NCAD；

,/ZBDC=ZBDF+ZCDF,ZBDC=ZBAD+ZB+ZC+ZCAD.'.'ZBAC=ZBAD+ZCAD；

ZBDC=ZBAC+ZB+ZC；

(2)①由(1)的结论易得：NABX+NACX+NA=NBXC,「NA=50°,NBXC=90°,

ZABX+ZACX=90°-50°=40".故答案是：40；

②由⑴的结论易得NDBE=NDAE+NADB+NAEB,NDCE=NADC+NAEC+NA

•，-ZDAE=50°,ZDBE=130°,/.ZADB+ZAEB=