三角形（讲义）-2025年中考数学一轮复习

专题15三角形的核心知识点精讲

O复习目标O

1.理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线;

2.理解并掌握三角形的中位线的性质；

3.理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围；

4.掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理；

5.能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明。

O考点植理O

考点1:三角形边角关系

(1)三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

(2)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。

(3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。

考点2：三角形的重要线段

三角形的重要线段概念图形几何语言表示

三角形的高线从三角形的一个顶

AVAD是AABC的BC

点向它的对边所在上高线.

的直线作垂线，顶点.*.AD±BC

和垂足之间的线段ZADB=ZADC=90°

B4DC

三角形的中线三角形中，连结一个

AVAD是AABC的BC

顶点和它对边中点上的中线.

的线段

BD=CD=-BC.

2

。1

4cc

SdABD=S4ADC=­S二ABC

2

三角形的角平分线三角形一个内角的VAD是ZSABC的

A

平分线与它的对边NBAC的平分线

相交,这个角顶点与

AZ1=Z2=-ZBAC

交点之间的线段2

BDC

考点3：三角形的内角和定理及推论

①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。

②推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个

角。

③直角三角形的两个锐角互余。

落弓典例引领

【题型1：三角形的三边关系】

【典例1】（2023•江苏盐城•中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm）,其中能搭成一

个三角形的是（）

A.5,7,12B.7,7,15C.6,9,16D.6,8,12

【答案】D

【分析】根据三角形的三边关系"两边之和大于第三边，两边之差小于第三边"进行分析判断.

【详解】A、5+7=12,不能构成三角形，故此选项不合题意；

B、7+7=14<15,不能构成三角形，故此选项不合题意；

C、6+9=15<16,不能构成三角形，故此选项不合题意；

D、6+8=14>12,能构成三角形，故此选项符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第

三个数.

即时检测

1.（2023・福建•中考真题）若某三角形的三边长分别为3,4,m,则加的值可以是（）

A.1B.5C.7D.9

【答案】B

【分析】根据三角形的三边关系求解即可.

【详解】解：由题意，得4一3<小<4+3,即l<m<7,

故ni的值可选5,

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键.

2.（2023•浙江金华•中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长6cm,8cm的两条线段围成一个三角形的是

（）

A.lcmB.2cmC.13cmD.14cm

【答案】C

【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可.

【详解】解：设第三边长度为xcm,

则第三边的取值范围是2<%<14,

只有选项C符合，

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键.

“码典例引领

【题型2：三角形内角和定理及推论】

【典例2】（2024・西藏•中考真题）如图，已知直线％%，AB1CD于点。，41=50。，贝此2的度数是（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解.先利用平行线的性质求出

NHBC的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可.

【详解】解：•川％41=50。,

：.^ABC=Z1=50°,

■：AB1CD,

■.Z.BDC=90°,

.-.Z2=180°-90°-50°=40°,故A正确.

故选：A.

即时检温

1.（2024•江苏无锡•中考真题）如图，在△48C中，NB=80。，NC=65。，将△ABC绕点4逆时针旋转得到

△ABC.当2B'落在力C上时，ABAC'的度数为（）

A

A.65°B.70°C.80°D.85°

【答案】B

【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理,由旋转的性质可得/9人。=^BAC,

由三角形内角和定理可得出494。=4氏4。=35。，最后根据角的和差关系即可得出答案.

【详解】解：由旋转的性质可得出=

.ABAC+=180°,

：.^BAC=180°-80°-65°=35°,

=/-BAC=35°,

：.Z-BAC=/-BAC+Z-B'AC=70°,

故选：B.

2.（2024•四川资阳•中考真题）如图，AB||CD,过点。作DEIAC于点瓦若功=50。，则乙4的度数为（）

A.130°B.140°160°

【答案】B

【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键.

根据题意可得NCED=90。，/。=50。，即4。=180。-90。-50。=40。，再根据平行线的同旁内角互补

乙。+乙4=180。，即可求出乙4的度数.

【详解】•・,过点。作。E1AC于点E,

.-.ZCED=9O°,

又・・2力=50。,

；/C=180°-90°-50°=40°,

-AB||CD,

.-.ZC+Z^=180°,

将乙。=40。代入上式,

可得乙4=140°,

故选B.

3.（2024•甘肃兰州•中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,乙员4c=130。，DALAC,贝）|乙4。8=（）

A.100°B.115°C.130°D.145°

【答案】B

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形外角的性质.根据等腰三角形的性质，可得NC=

180°-ABAC

=25。，再由三角形外角的性质，即可求解.

2

【详解】解：・."B=4C,134c=130。,

•・ZC=18°°；B"=25。,

\'DA1AC,

・•・"4。=90。,

；ZADB=ZC+ACAD=115°.

故选：B

名勺典例引领

【题型3：三角形中的重要线段】

【典例3】（2024•山东德州•中考真题）如图，在△4BC中，4D是高，AE是中线，AD=4,SAABC=12,则

BE的长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据S^BC=12和4。=4求出BC=6,根据4E是中线

即可求解.

1

【详解】解："△4BC=5XBCXAD=12,2。=4,

：.BC=6

・•,4E是中线，

■,BE=裴C=3

故选：B

即时检渊

1.（2022・江苏常州•中考真题）如图，在△ABC中，E是中线4D的中点.若△AEC的面积是1,则△4BD的

面积是.

【答案】2

【分析】根据2L4CE的面积=ADCE的面积，A4BD的面积=AACD的面积计算出各部分三角形的面积.

【详解】解：•••AD是BC边上的中线，E为4。的中点，

根据等底同高可知，AACE的面积=ADCE的面积=1,

A4BD的面积=A4CD的面积=2ZL4EC的面积=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算.

2.（2024•河北•中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△48C的（）

A.角平分线B.高线

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得BD14C,从而可得答案.

【详解】解：由作图可得：BD1AC,

,•线段BD一定是△力BC的高线；

故选B

3.（2023•浙江•中考真题）如图，点尸是△4BC的重心，点。是边力C的中点，PE||4C交BC于点E,DF||BC

交EP于点凡若四边形CDFE的面积为6,则△力BC的面积为（）

A

【答案】B

【分析】连接8。根据三角形重心的性质可知：尸在BD上，由三角形中线平分三角形的面积可知：

SAABC=2sABDC，证明△DFP-△BEP和△BEP-△BCD,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方

可解答.

【详解】解：如图，连接BD,

A

BEC••・点尸是△ABC的重心，点。是边AC的中点，P在BD上,

^AABC~2s4口口

BP-.PD=2:1,

•••DFWBC,

：.△DFP-△BEP

.S^DFP_1

S^BEP4'

•・•EFWAC,

ABEP〜ABCD,

餐=")2=目==

S^BCD\BD/\3/9

设△DFP的面积为加，则4BEP的面积为4血，△BCD的面积为9血,

•・•四边形CDFE的面积为6,

・•・m+9m—4m=6,

•••m=1,

△BCD的面积为9,

・•.△ABC的面积是18.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线

是解题的关键.

o好题冲关o

1.（2024•广东韶关•模拟预测）如图，人字梯的支架AB,AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则

B,C两点之间的距离可能是（）

A

B

A.3mB.4.2mC.5mD.6m

【答案】A

【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出BC的取值范围，判断各选项即可得的答案.本

题主要考查了三角形的三边关系，掌握据三角形任意一边小于其它两边两边之和是解决问题的关键.

【详解】解：•••4C=4B=2m,

2—2VBC<2+2,

即0<BC<4.

只有A选项数值满足上述的范围，

故选：A.

2.（2024・湖南株洲•模拟预测）己知三角形的两边长分别为4cm和8cm,则第三边的长可以是（）

A.2cmB.4cmC.5cmD.12cm

【答案】C

【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第

三边，求出三角形第三边长的范围，再根据范围逐一判断即可求解.

【详解】解：设第三边的长为“cm,

由题意可得，8—4<%<8+4,

.•■4<x<12,

观察选项，只有选项C符合题意

故选：C.

3.（2023•河北张家口•一模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，贝此1=（）

A.45°B.50°75°

【答案】D

【分析】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关

键.先根据三角板可得42=45。/4=30。，再根据角的和差可得43=45。，然后根据三角形的外角性质

即可得.

【详解】解：如图，由题意可知，42=45。/4=30。,

两个三角板中有刻度的边互相垂直,

.•23=90-2=45°,

•••zl=z3+Z4=45°+30°=75°,

故选：D.

4.(2024•安徽阜阳•二模)将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若a||b/l=15。，贝此2=()

A.105°B.120°

【答案】C

【分析】此题考查了平行线的性质，利用直尺的对边平行可得N1+N4=N3,根据

N1+24=15。+45。=60。，求得乙3=60。，再根据三角形的外角性质即可求出答案.

【详解】解：如图,

2

a

XJ-----------------b

,--a||b,

/.zl+z4=z3,

•.21+44=15。+45。=60。,

.•23=60。，

.-.Z2=Z3+90°=60°+90°=150°,

故选：c.

5.(2024•四川眉山•一模)在△ABC中，ZX=46°,NB=54。，CD平分NACB交力B于。，DE||AC,交BC于

E,贝lUCDE的大小是()

【答案】A

【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，平行线的性质.熟练掌握三角形内角和定理，角

平分线，平行线的性质是解题的关键.

由题意知，/-ACB=18O°-ZX-ZB=80°,由CD平分N2C8,可得Z71CD==40。，由。E||AC,

可得=然后作答即可.

【详解】解：由题意知，^ACB=180°-z/l-zB=80°,

平分ZACB,

.•.zXCD=|zXCB=40°,

：DE||71C,

.-.A.CDE=^ACD=40°,

故选：A.

6.（2024・湖北•模拟预测）如图，点/,B,C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈100°,50。和

180。，贝UNB2C的度数为（）

A

A.105°B.110°C.115°D.120°

【答案】C

【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理.根据题意补全图形，可得乙4。。=80。,

-1-1

^AOB=50°,由圆周角定理可知，^ABC=^AOC^40°,乙4cB=楙乙4OB=25。，再利用三角形内角

和定理求解即可.

【详解】解：如图，点。为外圈所对的圆心，连接。尔OC、OB,

A

由题意得乙4。。=180°-100°=80°,乙AOB=100°-50°=50°,

由圆周角定理可知，乙48c=9乙4。。=40。，乙4cB=9乙4。8=25。,

：./.BAC=180°-40°-25°=115°,

故选：C.

7.（2024・河北•模拟预测）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一

定正确的是（）

A.Z-A=Z.EB.Z.C=Z-E

C.乙B=LE+乙FD.4。=乙4+/8

【答案】D

【分析】本题主要考查了三角形三角形外角的性质，根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和进行

判断即可.

【详解】解：根据图形可知：42力NE,NC力NE,NB力NE+NF,

•2。相当于△A8C的外角，

.-.Z.D=Z.A+Z.B,故ABC不符合题意，D符合题意.

故选：D.

8.（2024•福建莆田•模拟预测）将一块含30。角的直角三角板/8C按如图方式放置在/4纸片上，其中点

2分别落在纸片边上.若41=105。，则42的度数为（）

A.15°B.60°C.65°D.75°

【答案】D

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，由已知条件可得出乙4BC=30。41=105。，由直角三角

形两锐角互余以及平角的定义可得出NR4C=60。，43=45。，再由三角形三角和定理可得出44=45。,

最后根据平角的定义可求出42.

【详解】解：•♦2lBC=30。z.1=105°,

.-.ZBXC=90°-30°=60°,Z3=180°-zXBC-zl=180°-30°-105°=45°,

.-.Z4=180°-90°-45°=45°,

.-.Z2=180°-45°-60°=75°,

故选D.

9.（2024・上海宝山•一模）如图，在笔直的公路2B旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站/

的距离为15km,与公路上另一停靠站8的距离为20km,停靠点48之间的距离为25km,为方便运

输货物现要从公路4B上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD1AB.则修建公路CD长度为—

km

【答案】12

【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，通过计算可

得出ac2+BC2=AB2,根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，根据△ABC的面积公式可

得，=从而求出CD的长.

【详解】解：=15km,BC=20km,AB-25km,152+202=252,

.-.AC2+BC2=AB2,

：.^LACB=90°,

,:CD1AB,

=^AB-CD=^AC-BC,

ACBC15x20.

；.CD=

AB-^=12(km).

••・修建的公路CD的长是12km.

故答案为：12.

10.（2024•四川眉山•二模）如图，CE是△ABC的夕卜角N4CD的平分线，若乙4=85。，ZXCE=60°,则

【答案】35。

【分析】本题考查三角形的外角，与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义，求出乙4CD的度数,

再根据外角的性质，进行计算即可.

【详解】解：「CE是△4BC的外角々CD的平分线,ZXCE=6O°,

.-.ZXCD=2AACE=120°,

；/B=AACD-^A=35°；

故答案为：35°.

⑥力能力提升

1.（23-24八年级上•山东潍坊•期末）如图1,△4DC中，点E和点尸分别为4D,4C上的动点，把△4DC

纸片沿EF折叠，使得点/落在△4DC的外部4处,如图2所示.若N1=100。/2=60。，贝此4的度数

为（）

图1

A.18°B.20°C.21°D.22°

【答案】B

【分析】本题考查折叠的性质，三角形外角的性质，由折叠前后对应角相等可得42="T,结合三角

形外角的性质可得41=N4+42+44=2乙4+42,由此可解.

【详解】解：如图，标记AE与4；的交点为点2,

由三角形外角的性质得，N1=N4+NABE,NABE=N2+N4,

由折叠得乙4=N4,

Z.1=+42+/-A'=2/.A+N2,

•••Z1=100°,Z2=60°,

100。=2"+60°,

Z71=20°,

故选B.

2.（2024•河北秦皇岛•模拟预测）如图，在△2BC中，AB=AC,AB=30。，点尸为直线8c上一点，且

AC=CP,连接4P,则NB4P的度数是（）

A

A.45°B.135°C.45°或135°D.30°或135°

【答案】C

【分析】本题考查了三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解

题的关键.注意点尸为直线BC上一点，分别作图，运用三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角

性质分别列式计算，即可作答.

【详解】解：如图所示：

A

以点C为圆心，4C为半径画弧，分别交直线BC于两点，即Pi，22,连接4P1，P2

■：AB=AC,ZB=30°

.-.ZBCX=30°,/.BAC=180°-30°x2=120°

'.tAC=CP1

'^PrAC=（180°-Z^Ci4）+2=75°,

：.Z-PrAB=120°-75°=45°,

-AB=AC,28=30。

：.Z.BCA=30°,^BAC=180°-30°x2=120°

'.'AC=Cp2

：.Z-CAP2=Z-AP2C=15°

：.^P2AB=120°+15°=135°,

故选：c

3.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）如图，把矩形纸片4BCD先对折使BC与ZD重合的得到折痕MN,再把纸

片展开，重新折叠，使点/刚好落在折痕MN上点R折痕为BE,贝此DEF的度数为（）.

【答案】B

【分析】连接4尸，先证明△力BF是等边三角形，贝!UBAF=60°,贝=NE凡4=3。°,故

乙DEF=30°+30°=60°.

【详解】解：连接4F,

•.•四边形48CD是矩形，

“BAD=90°,

由折叠得，BA=BF,MN垂直平分AB,EA=EF,

：.AF=BF,Z.EAF=乙EFA,

'.BA=BF=FA,

・・・△/BF是等边三角形，

・"AF=60。，

：.2LEAF=2LEFA=90°-60°=30°,

.•2。£9=30。+30。=60。，

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角

形的外角定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键.

4.（2024•湖北武汉•模拟预测）如图，两平面镜a、”的夹角为仇入射光线4。平行于/入射到a上，经两

次反射后的出射光线CB平行于a,则角。等于（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】本题考查了镜面对称问题；利用反射的性质得到入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水

平线的夹角，再利用平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解.

【详解】解：由题意得，Z1=Z0=Z3,

由镜面成像原理可知，zl=z2,N3=N4,

.-.z2-/.d=z4,

.•.8=60°,

故选C.

5.（23-24七年级下•江苏宿迁•阶段练习）如图，已知443。的内角44=处分另作内角N4BC与外角N4CD

的平分线，两条平分线交于点人,得N&;乙名BC和N&CD的平分线交于点A，得N4；…，以此类推

得到442024，贝比4024的度数是（）

【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的

关键.根据角平分线的定义可得4rBe=148配再根据三角形的一个外角等于与

它不相邻的两个内角的和可得乙4CD=乙4+"BC,乙4也。=NA/C+N4,整理即可求出心心的度数,

同理求出442,可以发现后一个角等于前一个角的1，根据此规律即可得解.

【详解】解：是乙4BC的平分线，2/是乙4CD的平分线，

11

：.Z-AyBC=-Z-ABC,Z-A^CD=-Z-ACD,

^：Z-ACD=Z.A+（ABC,Z-A^CD=Z-A^BC+Z-A1y

1i

•••式乙4BC+乙4）=+4勺，

11

''^-Ai=％，

;乙4=a,

a

•••41=5；

1a1a

同理可得乙42=#人1=^^3=2Zi42^…，

a

・•.NT1n=而

a

•,2/2024=22°24'

故选：c.

偷刃真题感知

1.（2024・陕西•中考真题）如图，在△48C中，Z.BAC=90°,4。是BC边上的高，E是DC的中点，连接&E,

则图中的直角三角形有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】本题主要考查直角三角形的概念.根据直角三角形的概念可以直接判断.

【详解】解：由图得△ABD,△ABC,△4DC,△ADE为直角三角形，

共有4个直角三角形.

故选：C.

2.（2023•江苏宿迁・中考真题）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是

（）

A.2,2,4B.1,2,3C.3,4,5D.3,4,8

【答案】c

【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得.

【详解】解：A、2+2=4,不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；

B、1+2=3,不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；

C、3+4>5,满足三角形的三边关系，能搭成三角形，则此项符合题意；

D、3+4<8,不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大

于第三边、任意两边之差小于第三边.

3.（2022•河北•中考真题）平面内，将长分别为1,5,1,1,d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如

图），则d可能是（）

d1

5

A.1B.2C.7D.8

【答案】C

【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为ABCDE,连接4C,CE,并设力C=a,CE=b,先在△ABC和

△CDE中，根据三角形的三边关系定理可得4<a<6,0<b<2,从而可得4<a+b<8,

2<a-b<6,再在△4CE中，根据三角形的三边关系定理可得a—b<d<a+6,从而可得2<d<8,

由此即可得出答案.

【详解】解：如图，设这个凸五边形为4BCDE,连接并设4C=a,CE=6,

在△ABC中，5-l<a<l+5,即4<a<6,

在△CDE中，+即0<b<2,

所以4<a+6<8,2<a—b<6,

在△ACE中，a—b<d<a+b,

所以2Vd<8,

观察四个选项可知，只有选项C符合，

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键.

4.（2024•江苏镇江•中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为.

【答案】6

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键.分

两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判

断是否能构成三角形，即可得出答案.

【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6,底边长为2,

6+6>2,

能构成三角形，

••・第三边长为6；

当2为一腰长时，则另一腰长为2,底边长为6,

2+2<6,

•••不能构成三角形，舍去；

综上，第三边长为6,

故答案为：6.

5.（2023•安徽•中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三

角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结

论：如图，4。是锐角△ABC的高，则+吗”当AB=7,BC=6,4C=5时，CD=—.

乙\BC/

【答案】1

【分析】根据公式求得BD,根据CD=8C—BD,即可求解.

【详解】解：：4B=7,BC=6,AC=5,

+*臼6+力5

-.CD=BC-BD=6-5=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键.

6.（2022・湖北荆门・中考真题）如图，点G为A42C的重心，D,E,尸分别为3C,CA,48的中点，具有