三角形的证明 知识归纳与题型突破（二十三类题型清单）原卷版-2024-2025学年北师大版八年级数学下册

三角形的证明知识归纳与题型突破（23类题型）

01思维导图

一、等腰三角形

i.三角形全等的性质及判定

全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA,AAS、HL.

2.等腰三角形的性质

①.等腰三角形是轴对称图形.

②.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰

三角形的对称轴.

③.等腰三角形的两个底角相等.

3.等腰三角形的判定

有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简述为：等角对等边.

4.等边三角形的性质及判定定理

性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条

对称轴.

判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.

5.含30°的直角三角形的边的性质

定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

要点：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据

要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是g/含有30°的直角三角形揭示了三角

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形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.

二、直角三角形

1.从角的角度研究直角三角形的性质和判定

定理：直角三角形的两个锐角互余.

逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.

2.勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

3.命题与逆命题

命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；

4.直角三角形全等的判定定理

定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).

三、线段的垂直平分线

1.线段垂直平分线的性质及判定

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

2.三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线

分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于LAB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN,则

2

直线MN就是线段AB的垂直平分线.

要点：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；

②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.

四、角平分线

1.角平分线的性质及判定定理

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.

2.三角形三条角平分线的性质定理

性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

3.如何用尺规作图法作出角平分线

要点：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；

②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.

03题型归纳

题型一根据等腰三角形的定义求角度

例题

1.一个顶角为126。的等腰三角形，它的底角的度数为（）

A.18°B.24°C.27°D.34°

巩固训练

2.已知等腰三角形的一个角等于100。，则它的顶角是（）

A.80°B.100°C.80。或20°D.不能确定

3.如果等腰三角形的一个角是80。，则它的顶角度数是（）

A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°

题型二根据等腰三角形的定义求边长

例题

4.若一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则第三边的长为（

A.4B.6C.8D.4或8

巩固训练

5.等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm,则周长为（）

A.15cmB.18cmC.13cm或18cmD.15cm或18cm

6.已知等腰△/BC中，其中一边长为4,周长为17,则其底边长为（）

A.4B.9C.4或9D.不存在

题型三等角对等边

例题

7.已知△48C,AB=AC,AB=65°,则—C的度数是（）

A.50°B.65°C.70°D.75°

巩固训练

8.如图，已知。E〃8C,/2=/C,/l=125。，则NC的度数是（）

C.45°D.35°

9.如图，中，。是3c边上一点,AC=AD=BD,NA4c=105。，则NC的度数为（

C.45°D.50°

10.如图，在△N3C中，AC=BCD,E,尸分别是4B,AC,3c上的点，且4E=BD,AD=BF,

若NEDF=43。,则/C的度数是（）

C.94°D.129°

题型四等腰三角形的“三线合一”

例题

II.如图，在△N8C中，AD1BC,AB=AC,若5。=4,则DC的长是（）

C.6D.8

巩固训练

12.下列说法中，正确的是（）

A.等腰三角形的高线、中线、角平分线重合B.顶角为60。的等腰三角形是等边三角形

C.等腰三角形底边上的中线是它的对称轴D.等边三角形不是轴对称图形

13.如图，在△ABC中，N2=/C,点。为的中点，则下列结论中错误的是（）

A.NB=NBACB.ZBAD=ZCADC.ZBDA=ZCDAD.NB=NC

14.如图，ZX/BC中，4B=AC,AD^LBC于点D,DEJ.AB于点、E,BFJ.AC于点、F,BF=8,则。E的

长为（）

题型五等腰三角形的格点问题

例题

15.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知/、8是两格点，如果C也是图中的格点且使

△/2C为等腰三角形，则点C的个数是（）

A.6B.7C.8D.9

巩固训练

16.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知点/,3是格点，如果点尸也是图中的格点,

且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（）

A.4B.5C.6D.8

题型六等角对等边；等腰三角形的判定

例题

17.在A43C中，NB=C,AB=5.贝!]/C=（）

A.12B.9C.5D.2

巩固训练

18.下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（）

A.a=3,6=3,c=4B.a:b:c=2:2:4

C.Z5=50°,/C=80°D.ZA:ZB:ZC=1:1:2

19.如图，已知N1=N2,NB=NC,不正确的等式是（）

A.AB=ACB.NBAE=NCADC.BEDCD.BD=DE

20.如图，己知△4BC中，ZABC=45°,尸是高NO和BE的交点，。=4,则线段。尸的长度为（）

A

A.72B.4C.5D.2V2

21.如图，△ABC中，BO平分NABC,CO平分NNC2,MV经过点。，与AB,NC相交于点M,N,

宣MN〃BC,已知/B=3,/C=4,SC=4.5,则A/W的周长为（）

题型七等腰三角形的尺规作图

例题

22.如图，在△ABC中，AB=/C,//=50。，根据作图痕迹，可知/C8O=()

A.80°B.60°C.45°D.50°

巩固训练

23.如图，已知直线/及直线/外一点P,过点P作直线,!的平行线，下面四种作法中错误的是()

人拿1BW

①已知等腰三角形的底边和底边上的高;

②已知等腰三角形的底边和腰;

③己知等腰三角形的底边和一底角.

A.①②③B.②①③C.③①②D.②③①

题型八等边三角形的性质

例题

25.等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（）

A.1条B.2条

C.3条D.6条

巩固训练

26.如图，已知等边三角形48C,且则Z1的度数为（）

C.60°D.75°

27.等边三角形的一边与这边上的高的比是（）

A.73：2B.73：1C.2：V3D.1：V3

28.已知直线。〃猴将等边三角形/8C按如图方式放置，点B在直线6上，若/2=130。，则N1的度数为

A

2

B4\b

C

A.10°B.12°C.18°D.20°

29.如图，在等边三角形48c中42=4,BD是/C边上的高，延长3c至点E,使CE=CD,则BE的长

为.

30.如图，已知是等边三角形，2C=OC,E是4）上的点，CE〃4B,与BD交于点、F.若/CBD=40。,

则/DCE的度数为（）

A.40°B.20°C.2°D.25°

题型九等边三角形的判定

例题

31.在△4BC中，已知4B=/C,再添加一个条件,就能使△48C是等边三角形.（只要写出一个符

合题意的条件即可）

巩固训练

32.下面给出几种三角形：（1）有两个角为60。的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高

也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60。的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

33.如图，下列哪个条件能推出△4BC是等边三角形的是（）

A.NB=NCB.AD1BC,BD=CD

C.AD1BC,BD=CD,ABAD=30°D.AD±BC,ABAD=ZACD

题型十等边三角形的性质与判定综合

例题

34.如图，△/BC中，ZACB=90°,ZA=60°,。是边上一点，ZBCD=30°,BD=4cm,则4CD的

周长为（）

A.6cmB.8cmC.12cmD.16cm

巩固训练

35.如图，△48C是等边三角形，点。为/C边上一点，以BD为边作等边ABDE,连接CE.若CD=2,

CE=6,则BC=（）

A.7B.8C.9D.10

题型十一直角三角形的两个锐角互余及其逆定理

例题

36.如图，在RtZkASC中，44c8=90。，于点。.若乙4=35。，则的度数为（

B.35°C.30°D.25°

巩固训练

37.如图，已知直线Q〃b,AB1a,垂足为5,/I=48。，则N4的度数是（)

A.32°B.42°C.48°D.52°

38.在中，下列哪组条件不能判定△/BC是直角三角形（）

A.NC:N5:N4=2:2:4B.AB=5,AC=12,BC=13

C.ZC:ZB:ZA=3:4:5D.ZA+ZC=ZB

题型十二“HL”

例题

39.如图，ACLBC,DF工EF,AC=DF,AB=DE,则判定之RtZ\QE尸的依据是（）

B.SSSC.HLD.AAS

巩固训练

40.如图，在Rt/X/BC中，NACB=90。,E是4B上一点,且BE=BC,过点E作。£1交4。于点

连接如果4C=3cm,则4D+QE等于（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

41.如图，在△48C中，ZC=90°,/C=12,BC=6,P、。两点分别在NC和过点A且垂直于/C的射

42.如图，在等腰△48。中,AB=AC,ZB=50°,点。为边2c的中点，点E在边4B上，

ZAED=69°.若点尸是等腰△4BC的腰/C上的一点，当△瓦乃为等腰三角形时，则NEAP的度数是

)

题型十三直角三角形的30°角的性质

例题

43.如图，在△/5C中，NACB=90°,S是高，ZA=30°fBD=2,则45的长为（）

A.4B.6C.8D.10

巩固训练

44.如图，在△NBC中，N/CB=90。，CD是高，乙4=30。，AB=4.则BD长为()

D.4

45.如图，在△/BC中，4=30。，ZBAC=105°,AC=3底,则3C的长为()

D.12

题型十四勾股定理及其逆定理

例题

46.一直角三角形斜边长为10,一直角边长为9,则另一直角边长为

巩固训练

47.如图，在△4BC中，AB1AC,垂足为4Ao是NC边上的中线，48=5cm,4D=6cm,则2C的长

是.

48.如下图以直角三角形三条边为分别向外作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为225和289,则图

中正方形字母/所代表的正方形的面积为.

49.一块钢板形状如图所示，若48=3,BC=4,AB±BC,CD=12,AD=13,则这块钢板的面积为

D

A（_J

5°--1

50.如图，每个小正方形边长都为1,连接小正方形的三个顶点A,B,C,可得△ZBC,则边BC上的高

为.

51.如图,折叠长方形ABCD一边AD,使。落在3C边的点尸处，已知=6,8C=10,则CE的长.

题型十五互逆命题与互逆定理

例题

52.下列说法中，正确的是（）

A.每个命题不一定都有逆命题

B.每个定理都有逆定理

C.真命题的逆命题仍是真命题

D.假命题的逆命题未必是假命题

巩固训练

53.命题“直角三角形两个锐角互余”.这个命题的逆命题是：.这个逆命题是一命题.（填

“真"或假'）

54.命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是（"如果……那么……”的形

式表示）.

题型十六线段的垂直平分线的性质

例题

55.如图，△48C中，DE垂直平分/C交于点E,44=30。，48=70。，贝!]ZBCE=

C

巩固训练

56.如图，△ABC中，DE垂直平分3C,若48=8,4c=10,则△48。的周长是.

57.如图，△48C中，ABAC=9Q°,4C=8cm,DE是BC边上的垂直平分线，△48。的周长为14cm,则48

的长度是cm.

题型十七线段的垂直平分线的判定

例题

58.如图，在△/BC中，AD1BC,BD=CD,AB=5cm,AC=_cm.

巩固训练

59.如图，△4BC周长为16cm,AC=6cm,AD1BC,所垂直平分NC,BD=DE,则OC=

cm.

例题

6°-如图,在△曲中，d9。。，分别以点/和点C为圆心，大于枭C的长为半径画弧，两弧相交于点

M、N,作直线交3c于点D,连接4D.若NC=30。，AD=12,贝i」3C=.

A

B/DC

巩固训练

61.如图，在RtZk/BC中，ZC=90°,AC=4,3C=8,按下列步骤作图：

步骤1：分别以点4点8为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点：

2

步骤2：作直线"N交2c于点，交AB于点、E,则CC）的长为.

62.如图，在△ASC中，ZC=90°,HD平分/BAC交BC于点D,若3c=8,BD=5,则点。到4B的距

离为.

巩固训练

63.如图，在RtZUBC中，/。=90。,40平分/。4民。。=4,/8=17,则443。的面积为

64.如图，射线OE是的平分线，C是射线OE上一点，且C/1CM于点尸，CF=3,OC=10.点

。是射线03上一动点，当CD=5时,。。的长度是.

65.如图，△48C的三边AC,3c的长分别为4、6、8,其三条角平分线将△ASC分成三个三角形，则

题型二十角平分线的判定

例题

66.如图，4BL8C于点2,4O1OC于点。，若CB=CD,且Nl=30。，则NC4D的度数是（）

A.90°B.60°C.30°D.1

巩固训练

67.如图，0c是NMON内部一条射线，P为射线OC上一点，尸于点4PBLOM于点、B.下面不

能判定。尸是NMON的平分线的是（）

A.ZM0C=ZNOCB.PA=PBC.OA=OBD.PB=OB

题型二十一角平分线的尺规作图

例题

68.如图，Rt^AgC中，ZC=90°,/8=40。，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交4B于点E,交/C

于点尸，再分别以点E,b为圆心，大于g跖的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在/A4c的内

部相交于点P;画射线的与8c相交于点。，则-4DC的大小为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

巩固训练

69.如图，-08为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确的作出N/O3的平分线,

第一步：在射线04。3上分别截取8,OE,使。D=OE；

第二步：分别以点。和点E为圆心，适当长（大于线段。£长的一半）为半径做圆弧，在内，两弧

交于点C;

第三步：作射线。C.

射线OC就是所要求作的ZAOB的平分线.

用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（）

A.SASB.AASC.SSSD.ASA

70.如图，在中，ZC=90°,以顶点“为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点〃、

N,再分别以N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点尸，作射线的交边3c于点。，若

CD=3,AB=10,贝［JANBD的面积为（）

题型二十二其他问题

例题

71.到三角形三边距离相等的点是三角形的（）

A.三边垂直平分线的交点B.三条高所在直线的交点

C.三条角平分线的交点D.三条中线的交点

巩固训练

72.在联欢晚会上，有A、8、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要

求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△NBC的

（）

A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点

C.三边上高的交点D.三条垂直平分线的交点

73.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50。，则顶角的度数为（）

A.40°B.40。或130°C.40。或140°D.140°

题型二十三解答题

例题

74.如图，在△N8C中，NABE=NACE,/BED=NCED.求证：AD±BC.

A

a

巩固训练

75.如图，AD//BC,AA=90°E是48上的一点，且4D=8E,Z1=Z2.求证：DEICE.

---------------T

76.RtZMBC中，ZACB=9Q°,△ABC的高CD与角平分线BE交于点F.

c

ADB

(1)求证/。。=48。。；

(2)求证：ACE尸为等腰三角形.

77.如图，在