三角形的证明（十大题型）原卷版-2024-2025学年北师大版八年级数学下册

三角形的证明(压轴专练)(十大题型)

目录：

题型1:手拉手模型

题型2：倍长中线、类倍长中线模型

题型3：截长补短模型

题型4：三角形的传统解答证明题

题型5：旋转问题

题型6：折叠问题

题型7：动点问题

题型8：最值问题

题型9：数学活动题

题型10：三角形的证明在平面直角坐标系的应用

题型1：手拉手模型

1.(1)问题发现：如图1,和AOCE均为等边三角形，当应转至点A,D,E在同一直线上,

连接易证ABCE当"CD,贝U①/5EC=_；②线段AD,5E之间的数量关系」

(2)拓展研究：如图2,AZCB和ADCE均为等腰三角形，且//C8=/DCE=90。，点A,D,E在同

一直线上，若/£=12,DE=7,求4B的长度；

(3)如图3,P为等边三角形N3C内一点，且/4PC=150。，ZAPD=^°,AP=4,CP=3,DP=1,

求BD的长.

2.【探究发现】（1）如图所示，和ACDE均为等边三角形，ACDE绕点C旋转,其中，4c交BD于点、

M,AE交CD于点、N,4E交BD于点。，如图1所示当ACOE旋转到点2、C、E在同一条直线上时，以下

结论成立的是：

①AE=BD；②2/08=60°；③0C平济/M0N；④AACNgBCM.

【类比探究】（2）当ACDE旋转到A/5C外部时，且点3、C、£不在同一条直线上时，如图2,（1）中结论

仍然成立的是：_（只填序号）若②正确请进行论证，若不正确，请说明理由；

【类比应用】（3）当ACDE旋转到与有部分重叠时，如图3,（1）中结论仍然成立的是：_（只填序

号）若③正确请进行论证若不正确，请说明理由；

A

A

A

图

3N

题型2：倍长中线、类倍长中线模型

3.(1)如图1,点O是线段的中点，连接则与CD的数量关系为,位置关系为

(2)①如图2,在△4BC中，N/CB=90。，点。为△4BC内一点，连接AD,OC,延长DC到点E,使

CE=CD,连接4E,若BDL4E,探究/及台。,/£之间的数量关系，并说明理由；

②如图3,在△4BC中，ZACB=90°,/C=8C,点。为4B中点，点E在线段上(点E不与点B,

点。重合)，连接CE,过点A作/尸，CE,连接£0,若FD=3,CF=2,请直接写出4F的长.

图3

4.已知：等腰R/A/BC和等腰中，AB=AC,AE=AD,ABAC=AEAD=90°.

(1)如图1,延长DE交2c于点尸，若NBAE=68。,则ND尸C的度数为二

(2)如图2,连接EC、BD,延长区4交2。丁点若//EC=90。，求证：点〃■为8。中点;

(3)如图3,连接EC、AD,点G是CE的中点，连接NG,交AD于点H,AG=9,HG=5,直接写出△NEC

的面积.

题型3：截长补短模型

5.(1)阅读理解：问题：如图1,在四边形4BC。中，对角线8。平分NZ8C,ZA+ZC=180°.求证：

DA=DC.

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在3C上截取9=皿，连接。得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长初到点N,使得BN=8C,连接£W,得到全等三角形，进而解决问题.

结合图1,在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.

(2)问题解决：如图2,在⑴的条件下，连接NC,当/D4C=60。时，探究线段BC,之间

的数量关系，并说明理由；

(3)问题拓展：如图3,在四边形ABC。中，ZA+ZC=180°,DA=DC,过点。作。垂足为点

E,请写出线段42、CE、8c之间的数量关系.

图1图2图3

6.阅读与理解：

折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如，在△48C中，AB>AC（如图），怎样证明

呢？

分析：把/C沿24的角平分线4。翻折，因为所以，点C落在42上的点。处，即/C=/C,

据以上操作，易证明△NCO0A/CD,所以N/C'O=NC,又因为//C'D>/8,所以NC>ZB.

感悟与应用：

（1）如图（a）,在△4BC中，44c3=90。，AB=30°,CD平分N4CB,试判断/C和4D、BC之间的

数量关系，并说明理由；

CBB4

图(a)图⑼’

(2)如图(b),在四边形4BC。中，4c平分/R4D,AC=16,AD=8,DC=BC=12,

①求证：Z8+ZD=180。；

②求48的长.

题型4：三角形的传统解答证明题

7.已知：在Rt^4BC中，/48C=90°,点。在边上，NACD+NBDC=90°,

图1图2图3

(1)如图1,求证：CD平分NACB；

(2)如图2,点E在43延长线上，且4c=/E,过点E作EFJ.CD于点凡EF交BC于点、H.求证：

DE=CH；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点C作CGL/C交/E延长线于点G,若。为4E中点，NC=4,求8G

的长.

8.如图1,已知UBC,ZACB=90°,ZABC=45°,分别以、8c为边向外作△48。与xBCE,5.DA^DB,

EB=EC,NADB=NBEC=90°,连接DE交48于点尸.

图2

(1)探究：/尸与3尸的数量关系,请写出你的猜想,

(2)如图2,若/48C=30。，NADB=NBEC=6Q°,题目中的其他条件不变,(1)中得到的结论是否发生变化?

请写出你的猜想并加以证明;

(3)如图3,若NADB=NBEC=mZABC,题目中的其他条件不变，使得(1)中得到的结论仍然成立，请直接

写出〃7的值.

题型5：旋转问题

9.如图1,△48C为等腰直角三角形，ZACB=90°.将边NC绕点A顺时针旋转夕(0°<a490。)得到/N,

连接CN,将NC绕点N逆时针旋转90。得到连接NM,BN.

⑴求证：ABCN义AANM；

(2)当8,N,M三点共线时，求黑AN的值;

⑶若△BCW是等腰三角形，请直接写出a的度数.

10.如图，在等腰三角形Z3C中，AB=AC=A,M为平面内一点.

(1)当点M在A4的延长线上时，连接MC；

①如图1,若NR4c=90。,BDLMC交AC于■点、N,AM=3,求CN的长；

②如图2,若NR4C=60。，将线段MC绕点“逆时针旋转120。得到线段连接若G为8〃的中点,

连接MG,请猜想线段MG,BC,之间的数量关系，并证明你的猜想；

(2)如图3,若NA4C=60。，点加•在N4BC的角平分线上运动(不与点8重合)，取8c中点E,将线段9W

绕点E逆时针旋转60。得到线段“，连接PM,PB,设NBPE=a,请用含戊的式子表示NPMS的度数.

题型6：折叠问题

II.如图，N40B=a,点”是射线CM上的一个定点，点N是射线05上的一个动点，连接MN,把

沿"N折叠，点。落在，工。2所在平面内的点C处.

(1)如图1,点C在//O8的内部，若/CA〃=20。，ZCNB=60°,则a=_.

(2)如图2,若c=45。，ON=VL折叠后点C在直线03上方，CM与OB交于点E,且.MN=ME,求NOMN

的度数及折痕的长.

⑶如图3,若折叠后，直线MC108,垂足为点E,且。河=5,ME=3,直接写出此时ON的长.

题型7：动点问题

12.已知正三角形N8C的边长为4,。为△/8C内部(含边上)的一点，过点。作交3C于点

E,过点E作斯_L4C于点尸，过点尸作尸G14B于点G.

图1图2

(1)如图1,点。在48边上；

①当。为4B中点时，判断点。与点G是否重合，并说明理由；

②当0G=1时，求出班'的长；

(2)如图2,点。在△4BC内部，且在线段FG上，连接CD,求CD的取值范围.

题型8：最值问题

13.在等腰aNBC中，AB=AC,48的垂直平分线OE分别交48,NC于。，E两点.

AAA

图1图2图3

(1)如图1,连接5E,若40=6,的周长为19,直接写出的长；

⑵若4尸是△48C的中线.

①如图2,AF交DE于点0,若NA4c=30。，求证：EC=2OD+OE；

②如图3,“是4月的中点，N是射线8尸上的动点，连接MN,作等边△跖VP,连接的，若力尸=11,直

接写出"的最小值.

14.已知：等边△/2C中,。为48延长线上一点，连接C。，点£在8上，连接4E,ZAEC=60°.

C

F'

图1图2图3

(1)如图1,连接5E,求证：BE平分NAED；

(2)如图2,点尸为线段NC上一点，连接3尸交4E于点G,若点G为■中点，求证：AF=BD；

(3)如图3,点尸为线段NC上一动点，作尸关于48的对称点F,连接AT,CF'.交AD于点、K,点、D在

的延长线上运动，始终满足月尸=3。，连接尸D,BF交AE于点、G,当尸。取得最大值时，此时

AD=1643,求整个运动过程中G尸的最小值.

题型9：数学活动题

15.在等边△4SC的两边48,NC所在直线上分别有两点M,N,。为△48C为外一点，且/地W=60。,

NBDC=120°,BD=DC.探究：当跖N分别在直线4B,/C上移动时，BM,NC,之间的数量关

系及A4MN的周长。与等边AABC的周长£的关系.

图1图2图3

【操作发现】

(1)如图1,当点N分别在边48,AC±,且DM=Z)N时，试猜想8M,NC,MV之间的数量关系,

并求出此时多的值.

小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路：

思路一：如图1-1,由NAffiW=60。，DM=DN,易证“MW是等边三角形；由等边△48C,

NBDC=120°,BD=DC,易证ABZJAf和△CDN均为直角三角形，且Rt&?£>M0RtZ\C£W,进而可得

NBDM=30。,从而得出现/,NC,之间的数量关系，并求出2的值；

L

思路二：如图1-2,延长/。至点使。£=5m，易证Rt^BDMQRMCDE,从而可证,从

而得出现/,NC,之间的数量关系，并求出号的值；

图1-1图1-2

故敏，NC,之间的数量关系是；此时苫=(直接写出结果);

【类比探究】

(2)如图2,点N边分别在48,NC上，且当DMwZJN时,

①猜想NC,之间的数量关系并加以证明；

②此时(直接写出结果)；

(3)如图3,当M,N分别在边48,。的延长线上时，

①猜想物/,NC,之间的数量关系并加以证明；

②若此时/N=x,则。=(用x,L表示,直接写出结果).

题型10：三角形的证明在平面直角坐标系的应用

16.如图，在平面直角坐标系中，点火。,0）为x轴负半轴上一点，点5为第三象限内一点，点3的横坐标

为6,^.\a+6\+b2+6b+9=Q,AB=AO.

图1图2图3

（1）如图1,a=；b=,△CM2为三角形.

⑵如图2,点尸在线段。/上（点尸不与点。、点A重合），点E在线段A4的延长线上，连接8fM，且

BF=EF.求OF与/E的数量关系，并证明.

（3）如图3,在（2）的条件下，以E尸为边作等边△C