三角形中的四心问题与奔驰定理的应用（5大题型）原卷版-2025高考数学重难题型解题技巧

i重难题型•解题技巧攻略

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专题07三角形中的四心问题与奔驰定理的应用

*>-----------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01重心....................................................................................1

题型02外心...................................................................................2

题型03内心...................................................................................3

题型04垂心...................................................................................4

题型05奔驰定理...............................................................................6

0---------------题型探析•明规律------------

题型01重心

【解题规律•提分快招】

一、三角形的重心

1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；

2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

在平面向量的应用：（1）设点6是小ABC所在平面内的一点，则当点6是仆ABC的重心时，有

GA+GB+GC=O或PG=；（PA+PB+PC）（其中P为平面内任意一点）；

（2）在向量的坐标表示中，若G、A、B、C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G（x,y）、

X1+?+X3Y1++Y3

A（x,,yj、B（X2,y2）,C（x3,y3）,则有G（^,）.

【典例训练】

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）已知在ABC中，G为11Ase的重心，。为边中点，贝|（）

A.AB+AC=2AGB.AD=3AG

C.AB-AC=AD2-BD2D.ABAD=ACAD

2.（2024・全国•二模）点O,P是VABC所在平面内两个不同的点，满足OP=。4+O8+OC，则直线OP经过

VABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

3.（2024高三•全国•专题练习）6是VA5c的重心,a,b,c分别是角A,8,C的对边，若aGA+bGB+—cGC=0,

3

则角A=（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

二、多选题

4.（2024.辽宁•二模）VABC的重心为点G,点O,尸是VABC所在平面内两个不同的点，满足

OP=OA+OB+OC>贝U（）

A.O,P,G三点共线B.OP=2OG

C.2OP=AP+BP+CPD.点P在VABC的内部

三、填空题

5.（2024.四川南充.模拟预测）已知点。是VABC的重心，OA=2,OB=3,OC=3,贝U

OAOB+OAOC+OBOC=.

四、解答题

6.（2024•浙江温州•模拟预测）VABC的角A,B,C对应边是a,b,c,三角形的重心是O.已知

OA=3,OB=4,OC=5.

⑴求a的长.

（2）求VABC的面积.

题型02外心

【解题规律•提分快招】

一、三角形的外心

1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个.

3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

在平面向量的应用：若点O是△ABC的外心，贝11OA|=|OB|=|OC|或

（OA+OB）BA=（OB+OC）CB=（OC+OA）AC=0；

【典例训练】

一、单选题

1.（2024・天津北辰•三模）在VABC中，|相|=2四，。为VABC外心，且AO.AC=1，则，ABC的最大值

为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2024・安徽•模拟预测）已知VABC的外心为G,内角A,B,C的对边分别为a,6,c,且a:6:c=5:5:8.若

CACB=-28,贝1JCGC8=（）

A.不B.50C.25D.25收

3.（23-24高三下•新疆•阶段练习）在VABC中，AC=2币,。是VA3C的外心，M为8C的中点，AO=8，

N是直线上异于M、。的任意一点，则就.昵=（）

A.3B.6C.7D.9

4.（24-25高三上•辽宁•期中）设VABC的外心为0,重心为G,并且满足|图nsi/A+sin咽+sii?C,则当

|。6最大时，VABC的外接圆半径为（）

A-TB-1C-TD-1

二、多选题

5.（2024•全国•模拟预测）已知。为VABC的外心，AB+AC=CO,贝I（）

A.08与AC不共线B.08与OA+OC垂直

C.cosZOAC=—D.cosZ.BOC=—

44

三、填空题

6.（2024・四川凉山・三模）在VABC中，已知A5=1,AC=3,点G为VABC的外心，点。为VABC重心,

则。G.gC=.

题型03内心

【解题规律•提分快招】

一、三角形的内心

1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心

2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等

②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.

3.内切圆

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形

在平面向量的应用：若点1是仆ABC的内心，则有|BC「IA+|CA|JB+|AB|JC=O

【典例训练】

一、单选题

22

1.（23-24高三下•山西晋城•阶段练习）已知与，工是椭圆C:\+2=l（a>b>0）的两个焦点，M为C的顶

ab

点，若.乙的内心和重心重合，则C的离心率为（）

A.且B.也C.1D.-

3223

ADDA

2.（2024・四川南充•三模）已知点尸在VABC所在平面内，若以•（----------）=PB-（----------------）=0,则

|AC|\AB\\BC\\BA\

点尸是VABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

3.（2024高三.全国.专题练习）若满足a.OA+6.OB+°OC=0，则。为VA3C的（）

4.（2025高三•全国・专题练习）设ABC的内角A,B,C的对边分别为。,b,c,PABC所

在平面上的一点，PAPB=-PAPC+—PA1=-PBPC+—PB2,则点pABC的（）

bbaa

A.重心B,外心C.内心D.垂心

二、填空题

22

5.（2024.全国•模拟预测）已知椭圆+与=1（。>匕>0）的左、右焦点分别为耳耳,P为椭圆上不与顶点

ab

重合的任意一点，/为的内心，记直线OP，。/的斜率分别为K&，若匕=；幻，则椭圆E的离心率

为.

22

6.（2024.全国•模拟预测）已知尸为椭圆上+二=1上任意一点，耳B为左、右焦点，/为，尸片工的内心,

98

记鸟，△/尸片，△/尸鸟的面积分别为S,&,S2,则与七的值为

kJ

题型04垂心

【解题规律•提分快招】

一、三角形的垂心

1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

在平面向量的应用：若H是△ABC的垂心，则心.而=而•的=阮.前或

.2q.2.7___09

HA+BC=HB+AC=HC+AB"

【典例训练】

一、单选题

1.（23-24高三下•广东汕尾・期末）在VABC中，AB=AC,点。为VA5C的垂心，且满足AO=xAB+yAC,

cos/BAC——,则%+y=（）

A.—B.-1C.—D.—

242

2.（23-24高三下•广东惠州•期中）已知三棱锥P-ABC中，若R4,PB,PC两两互相垂直，作尸平面A3C,

垂足为。，则点。是VABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

3.（2025高三・全国・专题练习）设。是平面上一定点，A,B,。是平面上不共线的三点，动点尸满足

A3AC

OP=OA+A+--------------,2e[0,+oo),则点尸的轨迹经过VABC的()

|AB\cosB|AC|cosCJ

A.内心B.夕卜心C.垂心D.重心

4.（23-24高三下.贵州贵阳・期末）已知点O、N、尸在VA3C所在平面内，且=|。@=|。4,

NA+NB+NC=0^PAPB=PB-PC=PC-PA,则点O、N、P依次是VABC的（）

A.外心、重心、垂心B.重心、外心、垂心

C.重心、外心、内心D.外心、重心、内心

二、多选题

5.（23-24高三下・重庆渝中•阶段练习）在等腰V4JC中，已知=4,C4=C3=8,若"W、G、/分别为VABC

的垂心、外心、重心和内心，则下列四种说法正确的有（）

A.AHBC=0B.AW-BC=24

C.AGBC=16D.AIBC^n

6.（24-25高三上•四川达州•阶段练习）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线

反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线V=4x的焦点为£。为坐标原点，从点打如为乂^。＞尤＞0）发出平

行于x轴的光线经过抛物线上的点N反射后再经过抛物线上另一点则（）

A.存在点P使得点P,N,O,M.都在以尸为圆心的圆上

B.存在点尸使得点歹是,的垂心

C.存在点尸使得点尸是的重心

D.点M到直线PN的最短距离为4

三、填空题

7.（23-24高三下•北京东城•阶段练习）在三角形ABC中，点。是三角形4BC所在平面内一点，VABC的三

个内角A,民C的对边分别是,则下列给出的命题:

①若OA.OB=OB.OC=OC-OA,则点。是三角形ABC的垂心;

②若向量A尸=彳（A3+AC）（A6R）,则点P的轨迹通过VABC的重心；

/\/、

ArARBCBA

③若。411-I।-OB-।r-1।=0,则点。是三角形ABC的内心；

ACABBC

UI\\）UI网

@^（0A+0B）AB=（0B+0C\BC=G,则点0是三角形ABC的内心.

其中正确的命题是：.（填写正确结论的编号）

四、解答题

8.（23-24高三下•广西桂林•阶段练习）已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,a=6,

Z?+12cosB=2c.

⑴求A的大小；

（2）请在下列三个条件中选择一个作为己知条件，使VABC存在，并解决问题：

M为VABC内一点，A"的延长线交于点。，求VABC的面积.

①M为VABC的外心，40=4；

②M为VABC的垂心，MD=6

③〃为VA3C的内心，AD=3y/3.

题型05奔驰定理

【解题规律•提分快招】

一、奔驰定理

5ACOA:5AAOB

1.奔驰定理：O是小ABC内一点，且xUX+yOB+zOA=0„则5ABm:=X：y：Z

2.奔驰定理推论：。是△ABC所在平面内一点，且xUX+y而+xUX=6,,则：

①SABOC：^I^AOC'-^l^AOB—X\y.z

②SRBOC_IX|_SA，OC_IyI.SA，OB_IZ|

SAABCx+y+z'S^ABCx+y+z，S&ABCx+y+z

由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理.

二、奔驰定理的证明

奔驰定理：。是AABC内一点，且％・3+y・无+Z•历=6，贝1]5"0相5484：5.08=%：）；：2

已知。是AABC内的一点，她0。,人40。,儿405的面积分别为枭，SB,Sc,求证:

SA.OA+SB.OB+SC>OC=O

法一证明：延长0A与边相交于点。则处=4M组=•也=『D-'D=J

S

0D=££0B+m0C=BQB+Sc历

BCBCSB+ScSB+Sc

••OD_S^OD_SCOD_SBOD+S(JOD_S4-^-OA

.-.0D=

S304+

%SBOA^COASCOASB+Scs+s

DCr

5B+SC°B

:,SA.OA+SB.OB+SC.OC=O

20。,0为4AiBiCi

5AA05^\OA\\OB\smZAOB1

SAAQB]；104110耳1sinNA0与盯

SAAOC110A||0CIsinZAOC1

SAA0G：I04||0GlsinNAQG位

SAAQg=xySAAOB,

SAA0C；=xzSAAOC,

xySAAOB=xzSAA0C,

SAAOB_z

SAAOC-y

得证.

三、三角形四心与奔驰定理的关系及证明

①。是"BC的重心：S^BOC:S^COA:S^A0B=l:lAt^OA+OB+OC=0.

证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得SABOC：SACOA：SNOB=1:1:1^>OA+OB+OC=0

②O是AABC的内心：S^oc:S^COA:5AA05=a:b:coaOA+bOB+cOC=0

证明：SABOC=-a-r,SACOA=-b-r,SMOB=-c-r（厂为AABC内切圆的半径），所以

S&B0CSACOA:SAAOB=a:b:c,再由奔驰定理可得aO4+005+cOC=6

③O是AABC的外心：SAB0C:S0:-SAAOB=sin2A:sin2B:sin2Cosin2AOA+sin2BOB+sin2C0C=0.

证明：1|OB|­|5c|sinZCOB,由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得/CO5=2/A,所以

2

S^oc=-OBOCsm2A=-Rsm2A（R为AABC外接圆的半径），同理可得5入84=工氏？sin23,

ZAZJC/C22ZUU/i2

2

SMOB=-^Rsin2C,所以S^oc:SACOA:3根05usinZAisinZBisinZC,再由奔驰定理可得

sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=6

④尸是AABC的垂心：Sgpc:S^CPA:SgpB=tanA:tanB:tanC=tanAPA+tanBPB+tanCPC=6

c

生

ADB

pr\pr）

证明：如图尸为△ABC的垂心，则有tanA=——,tanB=—,所以由4:|人。=tanA:tan从所以

S.PC:S®c=；|CP|♦忸斗；|。斗=忸4|A。=tanA:tanB，同理可得SMPC:SMPB=

tanB:tanC,所以：5人人尸「苏八其的=tanA:tanB:tanC,再由奔驰定理可得

Sgpc:SKPA:S^PB=tanA:tantanC<^>tanAPA+tanBPB+tanCPC=6

【典例训练】

一、多选题

1.（23-24高三上.河北保定•阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应

的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：己知。是VABC内一点，

BOC,△AOC,VA03的面积分别为%,SB，%,则邑・。4+品・O3+Sc0.设。是VABC内一

点，VABC的三个内角分别为A,B,C,BOC,△AOC,VA03的面积分别为%,SB,Sc,若

30A+40B+50C=0,则以下命题正确的有（）

A

A.SA:SB:SC=3:4:5

B.。有可能是VABC的重心

C.若。为VABC的外心，则sin4:sinB:sinC=3:4:5

D.若。为VA2C的内心，则VA2C为直角三角形

2.（23-24高三下•重庆沙坪坝•期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔

驰”轿车的log。非常相似，该结论如下：如图，已知。是VABC内部一点，将BOC,△AOC,VA08的

面积分别记为鼠，SB，SC,贝州/。4+5鼠03+/。。=0.根据上述结论，下列命题中正确的有（）

12

B.若4。=二48+（4?,则/%£=2:1:2

JT

C.若。为VA3C的内心，且5Q4+12O8+13OC=0，则NAC3=5

D.若。为VABC的垂心，则tan/54C0A+tan/ABC•02+tanNACHOC=0

3.（23-24高三上.江西新余.期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常

优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：己

知M是VABC内一点，ABMC,AMC,的面积分别为〃，品，名，且

SAMA+SBMB+SCMC=O.以下命题正确的有（）

A.若SA：SB：SC=1：1：1,则M为VABC的重心

B.若M为VABC的内心，则BC.MA+AC."B+A3.Me=0

C.若M为VABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,贝han4AC:tanNASC:tan/3C4=3:4:5

D.若/54C=45。，ZABC=60°,M为VABC的外心，则丛：邑：S0=6：2:1

二、填空题

4.（23-24高三下.湖南•期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优

美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心、内心、外心、垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若

「是VABC内一点，.BPC,_APC,_AP3的面积分别为〃,现,品，则有4-上4+5鼠总+51尸。=0.已知。为

VABC的内心，且cos/A4c=；,若4。=根43+加4。，则相+〃的最大值为.

*>----------题型通关•冲高考-----------*>

一、单选题

1.（23-24高三下.河北张家口•期末）已知三棱锥V-ABC中，VA±BC,VB1AC,作V。，平面ABC,垂足

为0,则。为VABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

2.（2024高三.全国•专题练习）已知三角形A3C的外心为0,ABAC=0,cosZAOC=1,则4?在8C上

的投影向量为（）

A.-BCB.--BCC.-BCD.--BC

3333

3.（24-25高三上•北京通州•期中）已知G是VABC的重心，过点G作一条直线与边AB,AC分别交于点E,

F（点、E,尸与所在边的端点均不重合），设AB=xAE，AC=yAF,则'的最小值是（）

xy

4

A.1B.-C.2D.4

3

4.（24-25高三上•湖北•开学考试）在三棱锥S-ABC中，三个侧面与底面A3C所成的角均相等，顶点S在

VABC内的射影为0,则。是VABC的（）

A.垂心B.重心C.内心D.外心

22

5.（2024高三.全国・专题练习）已知双曲线E:土-匕=1的左、右焦点分别为耳耳，右顶点为A,点、P是E

42一

右支上一点，点”是尸月月的重心，若林1，片乙，则点尸到E的两条渐近线的距离之和为（）

A.4mB.45/3C.4夜D.4

6.（23-24高三下•浙江•期中）设。为VABC的内心，AB=AC=13,3c=10,AO=mAB+nAC（m,neR）,

则"?+“=（）.

A.—B.—C.—D.—

36181836

7.（2024高三•全国•专题练习）若VABC的三边为a,b,c,有冼=6，则。是丫钻。的（）

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

8.（24-25高三・上海•课堂例题）已知VABC,点P是平面ABC外一点，点。是点P在平面ABC上的投影.

①点P到VABC的三个顶点的距离相等；

②点P到VABC的三边的距离相等且O点在VABC内；

③PA_LPB,PB工PC,PCIPA.

当点尸分别满足以上条件时，点0一定是VABC的（）

A.外心、垂心、内心；B.垂心、内心、外心；

C.内心、外心、垂心；D.外心、内心、垂心.

9.（23-24高三下•河北・期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知。为VABC内的一点，BOC,&AOC,

VA03的面积分别为%,SB，SC,则邑-。4+58-03+5}0。=0.因其几何表示酷似奔驰的标志，所以

称为“奔驰定理”.已知。为VABC的内心，三个角对应的边分别为a,b,c,已知a=3,6=2若，c=5,

则80-AC=（）

A.273-8B.-2C.y/6-7D.372-9

2.2

10.（24-25高三上•河北邢台・开学考试）若。是；ASC的外心，S.^-（AB-AO）+^-（AC-AO）=-AO2,

则sinB+sinC的最大值是（）

A.出+也B.典C.-D.20

222

11.（24-25高三上•吉林长春•期中）如图，在等腰直角中，AS=AC=3,点尸是边48上异于端点的

一点，光线从点尸出发经3C,C4边反射后又回到点P,若光线QR经过ABC的重心，贝h/Q?的周长等

APB

A.2百B.26

C.4际D.573

二、多选题

12.（23-24高三下•湖北荆州•阶段练习）已知ASC内角A,氏C的对边分别为a,6,c,。为ASC的重心，

cos4=：,力。=2,贝！J（）

A.AO=-AB+-ACB.ABAC<3

44-

C.ASC的面积的最大值为3而D.。的最小值为2述

13.（23-24高三下.江苏扬州.期中）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法中正确

的是（）

A.若向量AB=（1,0）,AC=（0,1）,则AABC的外心为BC中点

B.若点G为VABC的重心，则GA+GB+GC=0

C.若点。为VABC所在平面内一点，S.OAOB=OAOC，则QB=OC

D.若点/为VA5c的内心，贝!JaZA+b/B+c/C=O

14.（23-24高三下•山东济宁•开学考试）边长为1的正三角形ABC的内心为0,过。的直线与边A8,AC交

于尸、。，贝I（）

A.前向4B.当AOCQ时,此时款f

1,111

c.|op「+的最大值为18D.网2+"@2的最小值为15

15.（23-24高三下•湖南岳阳•阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应

的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：己知。是

VABC内一点，BOC,△AOC,VA03的面积分别为鼠，SB,Sc,且-QI+SB-03+Sc.设

。是锐角VABC内的一点，/B4C、/ABC、ZACS分别是的VABC三个内角，以下命题正确的有（）

A.若04+202+3。。=。，则枭：SR:=1：2:3

B.若但=烟=2,ZAOB=y,20A+30B+40C=0,贝！

.71

C.若。为VABC的内心，30A+40B+50C=0，则NC=；y

D.若。为VA3C的垂心，OA+2OB+3OC=0,则cos/AOB=