融合数形结合思维以直观阐释数学关系（4大题型）-2025年高考数学二轮复习（新高考）解析版

思想02融合数形结合思维以直观阐释数学关系

目录

01考情透视•目标导航.................................................2

02知识导图•思维引航.................................................3

03知识梳理•方法技巧................................................4

04真题研析•精准预测................................................5

05核心精讲•题型突破................................................12

题型一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点12

题型二：解不等式、求参数范围、最值问题18

题型三：解决以几何图形为背景的代数问题23

题型四：解决数学文化、情境问题31

考情透视•目标导航

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础

性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的

组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来

记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的

认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转

化与化归思想等.

〃用识导图•思维引航\\

㈤3

知识—•，方法技TH

1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把

数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想.

2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量

化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想.

0

心真题砒标•精御皿\\

1.（2024年北京高考数学真题）已知M=｛（x,y）|y=;c+r（尤2-x）,lWxW2,0<r<l｝是平面直角坐标系中的

点集.设d是M中两点间距离的最大值，S是Af表示的图形的面积，则（）

A.d=3,S<1B.d=3,S>1

C.d=>/wfS<1D.d=,S>1

【答案】C

【解析】对任意给定尤<1,2],则d-x=x（x-1）2且

可知尤4元+/（尤2—x）4尤+尤2—尤=尤？，即尤VyV尤2,

y<x2

再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，ywx,

l<x<2

如图阴影部分所示，其中4（1,1）,8（2,2）,C（2,4）,

可知任意两点间距离最大值d=|AC|=7（1-2）2+（1-4）2=回,

阴影部分面积S<SBC=：X1X2=L

故选：C.

2.（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥夕-ABCD中，底面ABC。是边长为4的正方形,

A.1B.2C.72D.73

【答案】D

【解析】如图，底面A2CD为正方形，

当相邻的棱长相等时，不妨设PA=PB=AB=4,PC=PD=2叵,

分别取A8,CD的中点瓦尸，连接尸瓦尸尸，瓦"

则PEJ_AB,£FJ_A3,且PEcEF=E,尸瓦石尸u平面「£尸，

可知AB_L平面PEF,且ABu平面ABC。，

所以平面PEF±平面ABCD,

过尸作砂的垂线，垂足为0,即尸。_LEF,

由平面PEBCl平面ABCD=EF,POu平面PEF,

所以PO_L平面ABCD,

由题意可得：PE=2'PF=2,EF=4,贝U「序+尸产=石尸，即尸石,作，

PF.PFr-

则一1PEPF=—1POEF,可得尸。=------二后,

22EF

所以四棱锥的高为力.

故选：D.

3.(2024年高考全国甲卷数学(文)真题)曲线一3无与y=-(x-iy+a在(0,+。)上有两个不同的交

点，则。的取值范围为.

【答案】(-2,1)

【解析】令V-3x=-(x-1)~+a,§Pa=x3+x2—5x+l,令g(x)=x，-5x+l(x>。)，

则g,(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-l),令g'(x)=0(x>0)得x=I,

当xe(O,l)时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

当xe(l,+8)时,g〈x)>0,g(x)单调递增,g(O)=l,g⑴=-2,

因为曲线y=d-3x与y=-(x-l)2+a在(0,+oo)上有两个不同的交点，

所以等价于y="与g(x)有两个交点，所以ae(-2,1).

iiy=g(x)

故答案为：(-2,1)

4.(2024年天津高考数学真题)已知正方形ABCD的边长为1,许=2反，若丽=2丽+〃肥,其中九〃

为实数，贝|彳+〃=；设/是线段班上的动点，G为线段"的中点，则行.砺的最小值为.

【答案】7-白

3lo

1_,1_,uuruunuuriutruun

【解析】解法一：因为CE=—OE,BPCE=-BA,则2E=2C+CE=-BA+2C,

233

,14

可得2=4,4=1,所以X+4=£；

。J

由题意可知：I阮1=1丽1=1,丽•而=0,

因为下为线段班上的动点，设丽左砺=3丽+左配水«0』，

贝||/=而+阱=通+左而=1;左一1]反4+左於，

又因为G为AF中点，则方存=方+/=一就+=丽+134一：11前，

可得而•砺=(1^-ljBA+^BC•

1215

=-\-k-lI+k\上k-l

232I-w

又因为％e[0,l],可知：当左=1时，标.方小取到最小值

18

解法二：以8为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

可得丽=(-1,0),配=(0,1),而

因为3£=2瓦1+〃交=(-彳,〃)，贝|]<'3,所以几+〃=3；

〃=13

因为点尸在线段BE：>=—3x,尤e——,0上，设尸(a,—3a),ae——,0

且G为AF中点，则G

可得AF=(q+1,-3〃),DG=

3

贝1衣.方存二

10

旦ae0,所以当°=一：时，否?.方G取到最小值为-工；

一33lo

45

故答案为：

5.(2024年北京高考数学真题)设函数〃x)=x+左ln(l+x)(左/0),直线/是曲线y=/(x)在点

(/"⑺)(/>0)处的切线.

(1)当左=—1时,求/(无)的单调区间.

⑵求证：/不经过点(0,0).

(3)当k=1时，设点⑺)«>o),C(o,/(?)),0(0,0),B为/与y轴的交点,《AC。与LB。分别表示

△ACO与AABO的面积.是否存在点A使得2s△.。=1554^。成立？若存在，这样的点A有几个？

(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

1y

【解析］(1)/(x)=x-ln(l+x)，r(x)=l---=.(尤>一1),

1+x1+尤

当xe(-l,0)时，r(x)<。；当xe(0,+e),//(x)>0；

/(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增.

则/(x)的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+◎.

kk

(2)/(%)=1+#-,切线/的斜率为1+4，

1+x1+t

则切线方程为y-/⑺=[1+(x-t\t>0),

将(0,0)代入则-/⑺=t11+占)"⑺=++小)，

“tt

即/+—n(l+/)=，+/——,贝lJln(l+，)=——，ln(l+Z)-----=0,

1+tl+t1+Z

令F⑺=ln(l+f)-j

假设/过(。,。)，则尸⑺在，e(0,y)存在零点.

/⑺=J-一与二尸⑺在(0,+s)上单调递增，F(r)>F(0)=0,

1+r(1+1)(1+ty

二尸⑺在(0,+8)无零点，.•.与假设矛盾，故直线/不过(0,0).

1x+2

(3)左=1时，/(x)=x+ln(l+x),fr(x)=1+----=---->0.

1+X1+X

S»co=；犷⑺，设/与y轴交点B为(0,4),

7>0时，若q<°,贝q此时/与/(尤)必有交点，与切线定义矛盾.

由(2)知4工0.所以“0,

则切线/的方程为了―%—in«+i)="+，Y)(x—,)，

令x=0,贝!Jy=<7=y=ln(l+0——.

t+1

■.-2S^ACO=15SABO,则纣⑺=15/ln(l+r)-*,

.-.13ln(l+/)-2?-15—=0,记h(t)=131n(l+t)-2t--(t>0),

1+t1+t

•••满足条件的A有几个即g)有几个零点.

,,1315_13/+13-2卜°+2/+1)_15__2/+9_4_(-2/+1)(/-4)

⑺一币一一1+以~(Z+1)2-(Z+1)2--(Z+1)2-

当衣(0,；)时,〃⑺<0,此时/z⑺单调递减；

当此口』时，/⑺>0,此时入⑺单调递增；

当/44,+⑹时，”⑺<0,此时/«）单调递减;

因为/7（O）=O,/（jo,/7（4）=131n5-2O13xl.6-2O=O.8>O,

15x247272

/z（24）=131n25-48-------=261n5—48——<26x1.61-48——=-20.54<0,

2555

所以由零点存在性定理及阳的单调性，h（t）在］;，4）上必有一个零点，在（4,24）上必有一个零点，

综上所述，力⑺有两个零点，即满足2sAe0=155.。的A有两个.

22

6.（2024年北京高考数学真题）已知椭圆E：，+斗=1包>6>0）,以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点

ab

的四边形是边长为2的正方形.过点（0,。卜>忘）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,3,过点A

和C（0,l）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.

⑴求椭圆E的方程及离心率；

⑵若直线BD的斜率为0,求t的值.

【解析】（1）由题意6=c=3=应，从而a=Jj+c?=2,

所以椭圆方程为反+其=1,离心率为e=】2；

422

（2）直线AB斜率不为0,否则直线48与椭圆无交点，矛盾,

从而设=W0,/>点），>

工+匕=1

联立42~化简并整理得（1+2左2）必+4依+2/一4=0,

y=kx+t

由题意八=16公产一8（2公+川产—2）=8（4左2+2-巧>0,即理应满足耐+2">0,

-4kt2『-4

所以石+%=石光2

1+2左22F+1

若直线BD斜率为0,由椭圆的对称性可设。（-9,%），

所以在直线A。方程中令彳=0,

再+x2

把y_玉%+入2y_X1（质2+1）+%2（%+%）_2g尤2+，（石+%2）_4%（»-2）+,_2

•（玉+%尤1+%尤1+%-4ktt

所以，=2,

此时%应满足尸+2-产=4〃-2＞0,即左应满足左＜一也或心立，

k^O22

综上所述，/=2满足题意，此时女＜一立或女〉1.

22

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点

a

XH---,X>0

【典例1-1]已知函数/(%)={X与，=，有恰有四个交点，则。的取值范围为()

|x+^|,x<0

A.[4,+oo)B.(4,+oo)C.(-oo,-2]u[4,+oo)D.(-oo,-2)U(4,+oo)

【答案】B

【解析】由题意知/(X)为分段函数，在x>0时为函数〃x)=x+£,在时为绝对值函数

/(x)=|x+4*

①如果a=0,则〃尤)=M，与y=0只有一个交点，不符合题意；

②如果。<0,则函数/(x)=x+,为双刀函数，在x>0时单调递增，此时位于无轴下方，与/(X)只

有一个交点，不符合题意；

③如果。>0,则函数/(无)=X+?为对勾函数，在第一象限的最小值为/(6)=26，绝对值函数

/(%)=卜+4与〉轴相交于点(0,°),此时y经过点(0,。).

如果y=a经过点(后,26),即a=26,解得a=4,即当。=4时，y=4恰好与〃龙)有三个交点.

要使得存在四个交点，则”2右，解得。>4,画出图象如图所示，满足题意.

【典例1-2】如图所示，直线>=区+机与曲线y=/(x)相切于尤2))两点，其中玉<%.若

当xe(O,%)时，f'[x)>k,则函数-履在(0,+8)上的极大值点个数为()

3

D.

根据图象，可分别作出“X)斜率为左的另外三条切线：y=b-+m;(z=1,2,3),切点分别为耳，后，匕，

如图所示：当无«0,再)5电,%)5斗天)时,f'[x)>k-当工«%,鼻)5马,王)。(%,+8)时,f'[x)<k-

设g(X)=/(x)-履，则g，a)=r(x)-%,

.•・8(力在(0巧),(玉,%),(4%)上单调递增，在(国,W)，(孙丁)，(%，+8)上单调递减，

二g(x)=/(x)-质有了=%，尤=%和x=三三个极大值点.

故选：D.

【变式1・1[函数〃x)=(x-〃)lnx-X有两个极值点，则实数。的取值范围是()

A.--,+ooIB.I__,+oo

【答案】D

【解析】由=/'(%)=Inx+^-^-l=lnx--,

因为/(%)=(%-〃)1nx-x有两个极值点，

所以「(x)=lnx-2=0有两个不等的正根，

即。=xlnx有两个不等的正根，

令g(%)=%lnx(x>0),则g'(x)=lnx+l(x>0),

当0<尤<!时，g'(x)<0,当x>工时，g'(x)>o,

ee

所以g(x)在[o，B上递减，在上递增，

所以g(x)m,n=g(j

eee

当x->0时，g(x)->0,当x->+8时，g(x)->-KO,

所以g(x)的大致图象如图所示,

a与g(x)的图象有两个不同的交点,

所以当-，〈尤<0时，/(X)有两个极值点.

故选：D

—x—,x<0

【变式1-2]若函数/(》)=[+]；的图象与丁=。的图象恰好有四个交点，则实数。的取值范围是

-----+2,x>0

、x

()

A.(L+⑹B.(0,2)U{-2}C.(2,3)D.[2,3)

【答案】C

【解析】当x<o时，/(%)=-%--,可得广(力=-1+!=三二=土土学曰，

XXXX

当xe(-co,-l)时，/(%)<0；当xe(-l,0)时，f(x)>0,

所以函数/(x)在(-叫-1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，且/(-1)=2,

当x>0时，〃到=笠*2,可得尸(无)=一竽

当xw(0,l)时，/(无)>0；当xe(l,+oo)时，/(%)<0,

所以函数在(0,1)上单调递增，在(L+◎上单调递减，且〃1)=3,

当x30时，/(%)->^20；当xf+8时，-

函数〃x)的图象，如图所示，

要使得函数y=〃x)与y=a的图象有4个交点，则2<a<3,

所以实数。的取值范围为（2,3）.

故选：C.

命题预测

X+1

-----,X<

X

1.（多选题）函数〃x）=<,关于X的方程/（尤）-可/'（x）|=o（meR）,则下列正确的是（)

3x、八

——,x>0

、e"

A.""-1））=0

B.函数的单调减区间为（口,0）,[1,—）

C.当机=1时，则方程有4个不相等的实数根

D.若方程有3个不相等的实数根，则机的取值范围是+8）

【答案】ABD

y11

【解析】当XV。时，/（%）=——=1+—,〃%）在（华⑼上是减函数，且渐近线为y轴和直线y=i,

XX

3尤\3ex-3xe%3（1-x\

当XN。时，/«=-,

当0<x<l时，/（左）>。，“X）在（。,1）上增函数，当X>1时，­⑺<0,〃尤）在（1,E）上是减函数,

3

所以/Q）£/Xl）=-,函数图象如图所示：

A./(-I)=^=0,/(/(-l))=/(0)=-^=0,选项A正确.

B.函数的单调减区间为(3刀)，［L+s),选项B正确.

C.当机=!■时，尸(x)-时/(到=0可化为，⑸=0或=

函数y=|/(x)|的图象如图所示：

由图可知，直线y=o与y=|/(x)|有两个交点，直线y与y=|/(x)|有4个交点，故方程有6个不相等的

实数根，选项c错误.

D.若方程有3个不相等的实数根，即，(尤)|=0与|/(x)|=”共有3个不相等的实数根.

因为|/("|=0有两个不相等实数根。，-1，所以|/(尤)|=根有且仅有一根，且不为0,-1,

所以直线'=相与y=|〃x)|有1个交点，由图象可知加时满足题意，选项D正确.

故选：ABD.

⑪

2.若函数y=fe——些Inr——1—的图象与直线y有4个交点，则实数a的取值范围是

e-1xex-x

【答案】I5。］

【解析】因为函数y=fa—以—-Inr—-」1的图象与直线丫=。有4个交点，

e-1xQX-X

⑪

所以方程fe——-Inx———i=a有4个不同实根,

e-1xex-x

即e"+in*+a_e)(Q%+lnx)—l=O有4个不同实根.

设，=ar+lnx,/(/)=ez+(1-e)Z-1,

则f(t)=ez+1-e.

令广⑺>0,得1>ln(e-1)；令/⑺<0,得力<ln(e—1),

所以函数/⑺在(-s/n(e-1))上单调递减，在(ln(e-1),+刃)上单调递增.

又因为/(0)="1)=0,

所以/。)=。有2个不同实根。与1.

令av+lnx=0,得。=一^^.

x

设g(无)=-吗

X

贝1g'(无)=_1龙€(0,+8).

令g'(x)>0,得x>e；令g，(x)<0,得0<%<e,

所以g(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增，

则g(x)min=g(e)=-L且X>1时g(x)<。，

e

作出函数g。)的草图：

所以当。<-工时，直线y=a与函数g(x)的图象没有交点；

e

当。20或。=时，直线>与函数g(x)的图象有1个交点;

e

当-!<。<0时，直线y=a与函数g(x)的图象有2个交点.

e

令依+lnx=],得Q=^―^

设/九)=上也，

x

则〃(%)=42,%«0,+8).

令h\x)>0,得%>e?；令hr(x)<0,得0v尤ve?,

所以h(x)在(0,e2)上单调递减，在(",+8)上单调递增，

则/如X)血n=〃6)=--1，且X>e时，/z(-r)<0.

e

作出函数Mx)的草图：

所以当时，直线y=a与函数飘龙)的图象没有交点；

当。20或。=-±时，直线与函数/z(x)的图象有1个交点;

e

当-4<a<0时，直线y=a与函数以尤)的图象有2个交点.

e

综上可得：当-41<"0时，函数y=f产——-InY—-」1的图象与直线y=a有4个交点.

ee—1xex—x

故答案为：

题型二：解不等式、求参数范围、最值问题

【典例2-1】已知函数/(x)=x3+ax2_6x+c(a,6,ceR),若不等式〃x)<0的解集为{乂尤〈根，且

xH〃},S.m-n=l,则函数〃元)的极小值为()

【答案】B

【解析】由/(x)=x3+G?_bx+c得尸(x)=3x?+2办,为二次函数且图象开口向上.

若AVO,则尸(无)2。，函数f(x)在R上单调递增，不符合题意；

若△>(),方程3/+2依-6=0有两个不等实根%,务，

不妨设王〈尤2，当xe(-8,%)J'(x)>O,/(x)单调递增，

xe(药,当),/'(了)<0,/(x)单调递减，xe(x,,+oo),/,(j;)>0,/(x)单调递增,

若使/(x)<。的解集为｛x|x<〃z,且尤工7»,则/(x)的大致图象如图所示：

则，"，”为函数/(x)的两个零点，且九为函数/(x)的极大值点,

所以/(尤)=(尤_m)2(尤_〃)或/(%)=(x-ni)(x一")2,

当f(x)=(x-〃z)2(x-〃)时，/(x)=2(x-m)(x-ri)+(.x-m)2,

/(n)^0,贝产不是函数/(尤)的极值点，不符合题意;

当/(无)=(x-m)(x-a)?时，f(x)=(x-〃)2+(x-机)•2(x-〃)=(尤--)(3尤-n-2>ri),

人,，，、ce-“t、n+2m〃+2(〃+1)2土…2,,..

令/(x)=0,贝1]X=九或x=---=-------------=〃+§，所以芯="+§为1极1小7值d点s;H.

所以/'(x)的极小值为/[〃+■!)=]"+：+=_(.

故选：B

【典例2-2]设0<6<。+1,若关于x的不等式(尤-bp>(公『的解集中的整数解个数恰为3个，则满足条

件的实数。所在区间可以是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,3)D.(3,5)

【答案】C

【解析】原不等式等价于归-4>|依不妨设不等式的解集为(%，%)，

作出函数y=|x-4，y=|ox|的图象如图所示,

易知当时＜1,此时不等式的解集不只有三个整数解,

要满足题意需网＞1,

又a+l>O=>a>—1,所1以a>1,

EI7b.7b

贝!]ax=b—xx,=-----v1,—ax=b—x=------,

6Z+11—Q

h

此时还需-3W-----<-2,整理得2a-2<b43。-3n2a-2<6<a+lnl<a<3,

\-a

此时C正确，其余选项错误.

故选：C.

【变式2-1】已知函数y=1和y=12的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别为a,b,则

A.a>bB.a+b<2C.ab>\D.a2+b2>2

【答案】D

【解析】作出函数'=/和y=hu的图象以及直线y=2-x的图象，如图,

由函数y=e，和y=lru的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别为a,b,

结合图象可知0＜。＜6A错误;

由题意知A(a,e°),B(b,\nb),也即A(a,2—由B(b,2—b),

由于函数＞=^和y=互为反函数,

二者图象关于直线＞=彳对称，而48为＞=d和y=lnx的图象与直线y=2-x的交点,

故关于y=x对称，故。=2—仇二。+6=2,B错误;

由0＜々＜"〃+。=2,故(m)2=葭c错误;

因为Ovavb,故/+/>2ab,2(a12+Z?2)>(a+b)2,

结合a+b=2,即得片+/〉？，D正确，

故选：D

【变式2-2】已知函数”x)=73-|2x-l|,若满足了(尤)＞。的整数解恰有3个，则实数优的范围为()

A/|,

【答案】A

【解析】〃力＞。得小＞|2%-1],所以满足〃可＞。的整数解恰有3个，等价于函数y=|2x-l|的图象在直

线y=/nr下方的部分有3个整点.

如图，当直线'=皿的斜率加满足坛七B时满足题意，其中A(3,5),B(4,7)

5757

所以,七4二§，左06="所以1＜加47

命题预测

1.不等式x?+ln＞/x＜x的解集为.

【答案】(0,1)

【解析】设"石(r>0),则不等式为：f+lnt<t2,即lnr<r-4,

令"r)=lnr(r>0),g(r)=「«>0)

则g'("=2f_4户=2/(1-2/)=_2d"+1)(万一1),

令得，t=Q,t=q,t=-今(舍负)

t0也

2

g«)0+0—

1

g⑺0递增递减

4

(万、1

g⑺小=gV="g(°)=g(i)=6

〃r)=ln(>o)与g(/)=/T4”>0)在同一坐标系中的图像如下:

由图像可得的解为即0<«<1,所以0<x<l

所以不等式d+ln&<x的解集为(0」).

故答案为：(0,1).

2.若关于x的不等式十/-6+。<0的解集为。〃，〃)(〃<0),且(加，〃)中只有一个整数，则实数。的取值

范围是.

【答案】苴击

【解析】由％•e”-Qx+〃<0,得x,e"<ax-a,

设g(x)=x-ex,y=ax-a,由题设原不等式有唯一整数解，

即g(x)=%•/在直线丁=改一。下方，g'(x)=(x+l),",

g(x)在(-8,-1)递减，在(-1,+8)递增,

故g（尤）min=g（T）=—,，y=G—。恒过定点P（1，O），

e

21

结合函数图像得⑥怎B，即

故答案为：）

题型三：解决以几何图形为背景的代数问题

【典例3-1】已知抛物线C：产二房了的焦点为R过点4（7,1）作直线/；彳+--2y-70+4=0的垂线，垂

足为8,点尸是抛物线C上的动点，则|尸耳+|依|的最小值为（）

A.14-述B.—C.14D.25-3百

222

【答案】D

【解析】由/：尤+ay-2y-7“+4=0得x-2y+4+a（y—7）=0,

fx—2y+4=0/、

由1—710，得U丫=7,所以直线，过定点M（10,7）.

所以点的中点坐标为连接AM,

则河=j9+36=3氐由题意知点8在以AM为直径的圆上，

所以点2的轨迹方程为卜—11+（y-4）2=.（不包含点4（7,1））,

记圆,=：+（>-"2=亨的圆心为"与“，

过点P,N分别作准线x=T的垂线，垂足分别为，H,

则\PF\+\PB\=\PD\+\PB\>\PD\+\PN\-^->\NH\-^=25一心,

当且仅当尸，D,N,H四点共线且点。在P,N之间时等号同时成立，

所以|P尸|+「目的最小值为空芋.

故选：D.

OFy

【典例3-2】正四面体的棱长为3,点M,N是它内切球球面上的两点，P为正四面体表面上的动点，当

线段最长时，闻7.丽的最大值为（）

【答案】C

【解析】设正四面体ABCD的内切球球心为。，G为△3CD的中心，E为CD的中点，连接AG,BE,则

。在AG上，连接30,则40=30.

因为正四面体的棱长为3,所以BG=^BE=：x与X3=5所以AG=J6_的=^^=瓜

设内切球的半径为「，贝限47-4=/+班;2,（新一4二产+百、解得一手，

3

当跖V为内切球的直径时肱V最长，止匕时丽'+两=0，OMON=-

8

TM-JN=^+（my^Pd+ON^=PO+Pd\OM+ON^+OMON=PO-^,

因为尸为正四面体表面上的动点，所以当尸为正四体的顶点时，|丽|最长，|而|的最大值为

亚=亚，所以两.两的最大值为

44

故选：C.

【变式3-1】已知点K为三棱柱ABC-A与G的棱4用上一点，经过顶点A,C及点K的平面将三棱柱分成

体积相等的两部分，则笑的值为（）

A.1B.6C.2-y/3D.73-1

【答案】B

【解析】过K作KPIIAC一交B©于点尸,

则KPIIAC,

连接CP,则平面ACPK即为过顶点AC及点K的平面，如图所示：

设三棱柱ABC-A片£的底面面积为s,高为公

设蓝="

BK1

则X

44i+x

又因为△用KP〜△用AG，

所以两三角形的相似比为工，

1+2

由相似三角形的性质可知S邛产（j7）2川4.=（『［fS,

易知△用KP~ABAC,侧棱AK,CP,BBi交于BB,延长线上一点,

所以几何体BtKP-BAC为三棱台,

设三棱台用KP-BAC体积为K,三棱柱ABC-ABC的体积为V，

则有

又因为乂=19S产+s+Js^~s)h

11I1~~"

=-((——)29S+S+J(——)2S-S)h

31+2V1+Z

111

=-((——y9+1+——)Sh,

31+21+2

又因为V=S/i,

所以:Jr)?+1+1—命=:s/7,

31+41+A2

113

所以q—7)2+1+~—~=~，

1+41+A2

(^)2+—---=0,

1+21+A2

令〉0,

1+2

贝|J有』+看一：=。，

解得””

所以6="

所以1+2=£_]=若+1,

解得2=石.

故选：B.

【变式3-2］（多选题）在平面直角坐标系中，已知点尸和曲线C上不同两点A8,记

M（F）=\AF\+\BF\-\AB\,则下列结论中正确的是（）

A.若点尸（0,0）和直线C:y=履信eR）上不同两点A,B,则M（尸）的最小值为0

22

B.若点尸（1,0）和椭圆C：q+'=1上不同两点A&则M仍）的最大值为0

C.若点/（0,0）和圆C:尤2_2》+/_2石y+3=。上不同两点A8,|AB|=2,则M仍）的最大值为

2^/5-2

D.若点尸（-2,0）和双曲线C:/-y2=2右支上不同两点A,B,则M（尸）的最小值为4后

【答案】ACD

图1图2

M（F）>0.故A正确;

对于选项B,知仍）=|/用+怛目-|/明20,（4,8,下三点共线时取等号）.故B错误;

对于选项C,如图3,

=2,故AB为圆C直径，连接尸C,则

\FC\=2,

因为M刊2=|CF|2+|AC|2-2\AC\-\CF\-COSZFCA,|BF|2=ICF|2+1BC|2-21BC|-ICF|•COSZFCB,

MZFG4+ZFCB=7i,

所以：|AF|2+|BF|2=2（|CF|2+|AC|2）=2（22+12）=10,

又（|AF|+|BF|）2<2（|AF|2+|BF|2）=20,+\BF\<245（|AF|=忸同时取等号）.

:.M（F）=\AF\+\BF\-\AB\<2y/5-2.故C正确;

对于选项D,如图4,可知点/（-2,0）是双曲线C的左焦点,

设右焦点为尸，.由双曲线的定义，得M（厂）=|AF|+忸典—|AB|=|AF|+2a+忸曰+2a-|AB|,即

M（F）=|+|5F|-\AB\+4a>4a=4s/2（当点尸在线段A3上时取等号）.故D正确.

故选：ACD

命题预测

1.（多选题）已知曲线c：x2+j|y|=l,若直线y=h+b与C的交点的可能个数的集合记为人优力），则

A.c关于y轴对称

B.A（匕-1）={1,2}

C.A（k,-2k）={l,2}

D.“A（4,2）={3}”的充要条件是“A网<后

【答案】ABD

【解析】当yNO时，曲线C的方程为犬+产=1,表示为圆心在原点、半径为1的上半圆;

当y<0时，曲线C的方程为V-V=1,表示为焦点在X轴、对称中心在原点的双曲

线的X轴下方的部分，其渐近线方程为y=±x；

对于A,设点（x,y）在曲线C上，点（x,y）关于y轴对称的点为（-x,y）,

因为（-4+〉卜=/+引3=1,所以曲线c关于y轴对称，故A正确；

对于B,4（匕一1）时,直线y=，-l恒过定点（0,-1）,如图，

当上21,或％V-1时，曲线C与直线丫=丘-1只有1个交点，

当曲线C与直线y=丘-1有2个交点，所以A（%,-1）={1,2},故B正确;

对于C当A（c—2左）时,直线产质-2左=左卜-2）恒过定点（2,0）点,

当曲线/+9=1320）与直线了=履-2后相切时，

圆心0,0到直线好质-2左的距离为1=^解得左=_组，

yjl+k3

当左21,或左v-1,或左=_@时，曲线。与直线）=丘-2左只有1个交点,

3

当-立〈发时，曲线C与直线y=履-2左没有交点；

3

当-立＜上＜1时，曲线C与直线y=履-2左有2个交点;

3

所以4（k-24）={0,1,2},故C错误；

'"左Q-2)

对于D,A（%,2）时，直线丁=丘+2恒过定点（0,2）点，

当曲线Y+y2=l（yN0）与直线y=Ax+2相切时，

|2|_

圆心（0,0）到直线y=kx+2的距离为消溟=1,解得左=±6,

当直线丁=履+2过（—1,0）时，得左=2,

当直线丁=履+2过（1,0）时，得左=一2,

若曲线Y+y2=l（yN0）与直线、=履+2有2个交点时，

贝I］一2（左＜一/，或指＜%V2,

若曲线—+9=13»0）与直线、=履+2有1个交点时，

贝I］左＞2,或k＜-2,或左=±百，

当-6＜k＜有时，曲线*+9=1（岸0）与直线y=fcr+2没有交点;

当直线丁=&+2与曲线y2=1（y＜0）相切时，联立方程

得（-2卜2_4爪_5=0（”0）,

可得A=16^+2O（l—/）=0,解得心±&,

当Y〈k&-2,或2〈人＜逐时，

直线丫=丘+2与曲线d-y2=i（y＜0）有2个交点，

当一2＜左＜-1,或1（后＜2时，

直线、=履+2与曲线f-VTQvo)有i个交点，

当—14左41时，曲线f—y2=1(y<o)与直线丁=丘+2没有交点;

所以当直线y="+2与曲线公+/.仙学。)与有2个交点、与

/一丁二耳”。)有1个交点时，-24左<一百，或也<k&2;

当直线>=丘+2与曲线d+y2=l(y20)有1个交点、与

X?-y2=i(y<0)有2个交点时，Y<k〈-2,或2<k〈下,

综上所述，相<陶<石时，曲线C：f+yN=i与直线>=履+2交点个数为3个,

故D正确.

2.已知空间单位向量工,&,向，$+可=厘+可=啊+£+/+可=1，则4W的最大值

是.

【答案】嗖

【解析】因为空间向量G,%,e3,是单位向量,

所以把向量1，［，3平移到以。为起点，终点在半径为1的球面上，如图:

I—►—►I__9o_______»...»>

由,+可=1,得G+e2+2e^e