山西省晋中市2024-2025学年高一年级上册期末考试 数学试卷（含解析）

晋中市2025年1月高一年级期末调研测试试卷

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1cosl230°=()

A.BB.一心

22

C—D--

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据诱导公式化简求值即可.

【详解1cos1230°=cos(3X3600+150°)=cos150°=-cos30°-

故选：B

2.若集合2=卜€凶04X<5},5={x|(x-4)(x-l)=0},则38=()

A.{2,3}B.{1,2,3)

C.{0,2,3}D.{2,3,5}

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合A、B,利用补集的定义可得出集合丹8.

【详解】因为Z={xeN|0Wx<5}={0』,2,3,4},5={x|(x-4)(x-l)=o}={1,4},

故{0,2,3}.

故选：C.

3.已知函数/(x)=x+/一，xe(1,+ao),则/(x)的最小值为()

X-L

A.5B.4

C.3D.272

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本不等式可求得函数/(x)的最小值.

44I4

【详解】当x>l时，x-l>0,则/(x)=x+——=('—1)+——+1>2(x-1)----+1=5,

x1x1Vx1

4

当且仅当X—1=—时，即当x=3时，等号成立，

因此，函数/(x)的最小值为5.

故选：A.

4.在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血

液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量0随时间/变化的图象是()

【解析】

【分析】根据血液药物含量变化，结合函数单调性变化可判断.

【详解】在2〃内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A,D,停止

注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C.能反映血液中药物含量。随时间t变化的图象是B.

故选：B.

5.以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三

角形就是勒洛三角形，如图.已知某勒洛三角形的三段圆弧的总长度为2兀，则该勒洛三角形的面积为（）

B.47T-2V3

C.2K-V3D.2兀-

【答案】D

【解析】

【分析】利用弧长公式与扇形面积公式计算即可.

【详解】设等边三角形的边长为。，

7T

所以3x—a=2兀，可得。=2,

3

Io1JT27r

因此等边三角形的面积为9x2?=G，扇形面积为一x—x22=;

4233

2兀/~

则对应的弓形面积为一-V3,

3

所以该勒洛三角形的面积为+V3=271-273.

故选：D

/、1/、1tana

6.已知sm(a+〃)=一，sin(a—尸)=—,则-----=()

v73v76tan.

£

A.B.4

4

J_

C.D.3

3

【答案】D

【解析】

【分析】利用和差角的正弦公式，结合同角公式计算得解.

【详解】依题意，sinacos/?+cosasin。=一，sinacos分一cosasin",

36

联立解得sinacos尸=了cosccsin=—,

tanasinacosB

所以-----=---------匕=3.

tan/3cosasin/3

故选：D

7.已知。=log43,b=log23,则下列判断错误的是()

A.b>aB.ab>2

3

C.—<b<2D,a+b>2

2

【答案】B

【解析】

【分析】利用对数函数的单调性可判断AC选项；求出。、b的范围，结合不等式的基本性质可判断B选

项；利用对数的运算性质结合对数函数的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为对数函数歹=10g4X在(0,+8)上为增函数，

2

贝ija=log43<log49=log223=log23=6,A对；

对于B选项，因为对数函数y=log2x在(o,+oo)上为增函数，

则0=log41<log43=a<log44=1,1=log22<log23=b<log24=2,

即0<a<l,l<b<2,所以，0<ab<2,B错；

33

对于C选项，—=log22V2<log23=b<log24=2,即C对；

对于D选项，a+b=log43+log23=log43+log49=log427>log416=2,D对.

故选：B.

8.已知函数/(x)=e*+i+e—i+asin最有唯一零点，贝Ua=()

3

A.1B.一

2

C.2D.e

【答案】C

【解析】

【分析】分析函数/(x)的对称性，可得出/(-1)=0,即可得出实数。的值.

【详解】因为函数/（X）的定义域为R,

71_x_1।x+1

f(-2-x)=e-2-+1+e>2T+asin=e+e+asin1-7i-

2

-x-1x+1

二e+e+Qsin£=/(x),

所以，函数/（X）的图象关于直线x=-1对称,

因为函数/(x)=e'M+e-i+asin号有唯一零点，则/(—1)=2+asin[—=2-°=0，解得a=2.

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知a>6>c>0,则下列说法正确的是（）

11a+ca

A.—<-B.------->-

abb+cb

.a-c八

C.1g-->0D.a+c>2b

b-c

【答案】AC

【解析】

【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断

C选项；利用特殊值法可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为a>3>c>0,在不等式。>6的两边同时除以可得!〈工，A对;

ab

.a+ca力(a+c)-a(b+c)c(b-a^

对于B选项，--------<0,则----<-,B错;

b+cbb(b+c)b(b+c)b+cb

a—c

对于C选项，因为a〉b〉c>0,则〃一。>6-。>0,则---->1,

b-c

因为对数函数V=lgx为（0,+8）上的增函数，则1g幺t>lgl=0,C对；

b-c

对于D选项，取a=3,b=2,c=l,贝ija+c=26,D错.

故选：AC.

10.已知函数/（x）=log05（加2x—3）,rneR,则下列说法正确的是（）

A,若加>0,则/（x）的图象为轴对称图形

B.若/(x)在区间［1,+8)上单调递减，则机的取值范围是［L+S)

C.若/(X)的值域为R,则根的取值范围是［0,+8)

D.若关于x的方程|/(x)|=l有且仅有3个实数解，则加=-；

【答案】ACD

【解析】

【分析】设g(x)=m：2—2x-3.对于A：根据二次函数对称性分析判断；对于B：可知y=g(x)在区间

［1,+8)上单调递增，且g(x)〉0在区间［1,+8)上恒成立，进而列式求解即可；对于C：可知〉=g(x)的

值域包含(0,+"),进而列式求解；对于D：分析可知〉=8(%)与了=^、y=2共有3个交点，进而分析

求解.

【详解】设g(x)=加工2—2%一3,

对于选项A：若加>0,可知〉=g(x)的图象为轴对称图形，

所以/(x)的图象为轴对称图形，故A正确；

对于选项B：因为/(x)在区间［1,+8)上单调递减，且y=logo^x在定义域(0，+")内单调递减，

可知歹=g(x)在区间［1,+8)上单调递增，且g(x)>0在区间［L+8)上恒成立，

显然加V0不合题意，则加〉0,

,—<1,

可得<m,解得加>5,

g⑴=m-5>0

所以加的取值范围是(5,+8),故B错误；

若/(x)的值域为R,可知y=g(x)的值域包含(0,+“)，

若加=0,g(x)=—2x—3的值域为R,符合题意；

m〉0

若加。0,则〈，解得m>0,

综上所述：加的取值范围是［0,+8),故C正确；

对于选项D：因为|/3|=陲0.5g(X)=l,可得8(力=；或8卜)=2,

可知〉=g(x)与了=g、y=2共有3个交点，

可知〉=g(x)的最值为为。或2,且g(0)=-3<0,

m<0

则《1。/解得冽=—，故D正确;

------3=25

m

故选：ACD.

11.已知函数f(x)=4sin(3x+s)(A>0,d)>0,|^|<|)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是

Aa)=—

4

77r

B.f(x)的图象关于直线》=芋对称

C./(x)在区间［-兀，兀］上有且只有2个零点

D.若/(再)=/(》2)=_1(%7%),则上一马,2二兀

【答案】BCD

【解析】

【分析】由函数图象求出/(x)的解析式，再根据特殊点的三角函数值计算可得A错误，由对称性可判断B

正确，利用三角函数图象性质可得正确,由周期性可得当/(XJ=/(X2)=T，则|再一々=兀正确，

CLmin

即D正确.

7兀

【详解】根据图象可知2=2,又易知图象过点(0,6)

即/⑼=2sine=6,即sin°=立，又时可得0=^；

223

n7兀7

由对称性可知函数/(x)的对称轴为5J，即/(x)的图象关于直线X=?对称，即B正确;

2--44

2兀7兀7兀

由图可知周期为了=——£,,可得

COTT77

又/[T]=2smNT+£|=6,所以等+f)=%

7/7)717197124

结合图象可得L^+2=」+2E#eZ,解得。=一+—左，左eZ

233217

24142

因此当左=1时，符合题意，即。=一+—=—=—,所以A错误；

217213

所以/(x)=2sin[gx+g],令/(x)=0,可得gx+三=左兀,左£Z,

TT3

即x=-----\--kn.k€Z,

22

又xej-匹兀],可得左=0,1时，则-],兀€[-兀，可，即/(x)在区间[-匹句上有且只有2个零点，可得C

正确；

27C7C27L57c

若f(七)=f(%2)=一](X]W/)，则一项——....F2k[Tl,—%-------F2左2兀#i，%2Z；

336336

因此卜一%|=|兀+3(左一左2)兀|尢，左2£Z,显然当左1一左2二0时，|七一12,由二兀，即D正确；

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数图象由对称性以及周期范围求得解析式，再由正弦函数性质

判断可得结论.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

cos(兀+a)cos—+a

12.化简：------7——4~2=_________.

smg-a

【答案】-sina

【解析】

【分析】利用诱导公式可化简所求代数式.

cos(7i+tz)cos=+a

(一cosa)・(-sina)

［详解】---------7——---------------------=-sma.

.［兀-cosa

sin------a

I2

故答案为：-sina.

13.已知Iog2a-21oga4=3(a>l),则4=.

【答案】16

【解析】

4

【分析】换元令/=log2a>0,可得/-7=3,运算求解即可.

【详解】因为Iog2"21oga4=log2a-41og°2=3,且a〉l,

令t=log2a〉0,贝ijlog“2=；,

4

可得/——=3,整理可得/—3f—4=0,解得/=4或/=—1(舍去)，

t

即log2a=4,所以a=16.

故答案为：16.

14.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设xeR,用符号[可表示不大于x的最大整数，如

[2.1]=2,[-1.2]=-2,称函数/(x)=[x]为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看

到它的身影，则函数g(x)=/-2卜]-3的零点有个.

【答案】3

【解析】

【分析】根据函数新定义得x—结合方程得2x-1求x范围，然后对x的范围进

行分类讨论，求出[可的值，然后解方程g(x)=0即可.

【详解】由题意[x]«x<[x]+l,贝!]X—1<[X]KX,

所以2x+l<2[x]+3<2x+3,

令g(x)=f—2[x]—3=0,贝ijf=2[x]+3,所以2x+l<x2W2x+3，

由x?>2x+l可得--2x—l>0,解得x<1-0或x>1+及，

由》242》+3可得x2-2x-340，解得-l<x<3，

所以，—1<X<1—血或l+VI<x<3，

当一—时，国=一1,此时,g(x)=x2-1,

由g(x)=0可得x=-l或x=l(舍去)；

当l+0<x<3时，国=2,此时，g(x)=x2-7,

由g(x)=。可得x=J7或苫=-J7(舍去)；

又因为g⑶=3?-2x3-3=0,

综上所述，函数g（x）=f—2区-3的零点有3个.

故答案为：3.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据x-得出关于x的范围，再结合龙的范围得出[x]

的可能取值，结合代数法求解即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知非空集合/={x|a—2WxV3a+l},5=「卜<2工<32}.

（1）若。=1,求ZcB,/UB；

（2）若xeZ是的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

【答案】（1）Ar>B=|x|3<x<4},ZuB={x|-l<x<5}

’4'

（2）<tz<5>

3J

【解析】

【分析】（1）代入。=1,再由交集、并集的运算可得结果；

（2）根据题意可知BA,限定出不等式关系解不等式可得结果.

【小问1详解】

若a=l,可得/={x|—lWxV4},

又3=3<x<5},

所以Zc8={可3<xW4},A'UB=卜卜1<x<5j.

【小问2详解】

若xeZ是xeB的必要不充分条件，贝Ij5A,

a>--

ra-2<3«+12

4

所以<a-2W3,解得<aW5,即一

3

3o+1>5、4

ia>—

[3

f4'

所以a的取值范围为<a-<a<5>.

16.为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标

准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%,且不超过50%,而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的

窗洞口面积与地面面积分别为am?，6mL

(1)若这所住宅的地面面积为100n?,求这所住宅的窗洞口面积的范围；

(2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了xn?，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说

明理由.

【答案】(1)[10,50]m2

(2)变好，理由见解析

【解析】

【分析】(1)依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果；

(2)利用作差法计算比较出大小，可得结论.

【小问1详解】

因为3=100,所以10%W—W50%,

100

解得10WaW50,

所以这所住宅的窗洞口面积的范围为[10,50]m2.

【小问2详解】

由题意得0<a<b,x>0,

原来的窗地面积比为g,现在的窗地面积比为史三

bb+x

a+xaab+bx-ab-axx(b-a\

则T77=77；----r.

b+xb\b+x)\7bb[b+x)

因为0<a<b,x>0,所以.b(b+x)〉O,x(b—Q)〉0

广…Q+Xa八口-Q+xa

所以-------->0,即----->-.

b+cbb+cb

所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了.

17.已知函数/(x)=a+—金一(仍NO)是奇函数，且/(x)的图象经过点[1,；

(1)求实数a、b的值；

(2)求关于X的不等式八5百工)+/(005%一1)<0的解集.

【答案】(1)(7=3,b=-6

兀C,3兀2,

(2)—F2左兀,---F2Ml,左£Z

(22)

【解析】

【分析】(1)根据题意得出/(0)=0,=求出。、b的值，结合题意检验即可；

(2)证明出函数/(x)在R上是增函数，结合奇函数的性质、同角三角函数的基本关系可得出

cos2x-COSX>0，求出COSX的取值范围，即可得出尤的取值范围.

【小问1详解】

对任意的xeR,3'+1>0,则/(X)的定义域为R，

因为/(x)为奇函数，所以/@=a+g=0,①

又/⑴=a+g=|"，②

aH—二0

2a=3

联立①②，得《彳-解得〈

b=-6

经检验，当。=3,6=-6时，/(x)为定义在R上的奇函数，所以a=3,b=-6.

【小问2详解】

因为/(x)为定义在R上的奇函数，

所以/(sin2x)+/(cosx-l)<0等价于f(sin2x)<-/(cosx-1)=/(1-cosx).

由(1)知，/(x)=3—3F],任取为、/eR且西＜》2，

616______66(3X'-3X2)

则/(苞)-/(%)=3一^^：

3-+11—3工2+[.3为+]―(31+1)(3-+1)

由王＜X2，可矢口3沏〉3西〉0，则3西+1〉0，3》2+1〉0，3百一3次＜0，

6(3』-3*)

所以/(西)―/(%)=(3』+1)(3*+1)＜0'即/(为)＜/(々).

所以/(x)=3-在R上是增函数.

所以/(sin?x)</(1-cosx)等价于sin2x<l-cosx»

由sin2x+cos2x=1，得上述不等式等价于1-cos2x<l-cosx，

即(Wx—COSX〉。，解得COSX<0或COSX>1，

又cosxVl,所以COSX<0,

(兀3JI、

则x£—2防i,---2kli,左£Z,

(22)

所以原不等式的解集为1]+2E,£+2E],左eZ.

18.已知函数/(x)=sin4x+4sin^2x+^-cos4x-6cos2x+1.

(1)求/(x)的单调递增区间；

(2)将/(x)的图象向左平移百个单位长度后得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间-上的最值;

663_

(3)在(2)的条件下，若对任意再£—,都存在々<2,4],使得g(M)-上一4+3。W。，求

实数〃的取值范围.

【答案】(1)—7+左兀,不+左兀，keZ

L63J

(2)g(x).=—4,g(x)=2

r

(3)\aa<—>

2,

【解析】

【分析】(1)由三角恒等变换化简后，根据正弦型三角函数的性质求单调增区间；

(2)求出平移后函数解析式，再由正弦型函数的值域、最值的求法求解；

(3)由题意转化为g(xJW|x2-分别求不等式两边函数的最大值即可得解.

【小问1详解】

f(x)=sin4x+4sin[2x+£)-cos4x-6cos2x+1

=sin2x-cos2x+4Hsin2x+』cos2x

-3(1+cos2x)+1

(22J

=2百sin2x-2cos2x-2

=4sin^2x--^j-2.

令----F2/CTIV2x<—F2/CJI9左£Z，得---卜ku幺xW—i-ku,keZ

26263

jrjr

所以/(x)的单调递增区间为一石+赤,§+E,keZ.

【小问2详解】

根据⑴知，g(x)=/|x+-^|=4sin|2%+^1-2.

.C兀“兀兀I「兀5兀

令，=2xH--,当---,一时，tG---,--.

6L63J66_

根据正弦函数的性质，当/=-四，即x=-二时，sin,取得最小值-,，此时g（x）取得最小值-4;

662

当/=巴，即》='时，sinf取得最大值1,此时g（x）取得最大值2.

26

所以gOin=一4,gGLx=2.

【小问3详解】

不等式g（西）—民—4+3aW0等价于g（下）W|x2-a|-3a.

令函数〃（X）=R—3a,根据题意，有g（x）maxWMx）max•

由（2）得g（x）111ax=2，由绝对值的几何意义可知，

当a«3时，〃（x）max=场（4）=|4—4―3a=4-4。，由2<4—4a,解得aW；,故

当a>3时，〃（工入所=〃。）=23a=-2a-2,由2W-2a-2,解得a<-2,无解.

综上，实数°的取值范围为

2

19.如果函数/（X）在其定义域内存在实数/，使得/（%+外=〃%）+〃4）（2〉0）成立，那么称飞

是函数/（x）的“彳一阶梯点

(1)判断函数/(x)=2是否有“2—阶梯点”，并说明理由；

JC

(2)证明：函数/3=2*+/—%有唯一的“1—阶梯点”；

(3)已知a<0,设函数/(x)=lg"(:在(0,+力)上不存在“1-阶梯点”,求实数°的取值范围.

【答案】(1)否，理由见解析

(2)证明见解析(3){a|-3<a<0}

【解析】

22

【分析】(1)根据题意可知与是方程----------1=0的解，运算求解即可；

x+2x

(2)可知X。是方程口向+(X+1)2—(x+1)]—(2*+Y—X)—2=0的解，结合零点存在性定理分析证明;

(3)可知方程/(x+l)=/(x)+/(l)在(0,+8)上无解，变形构造函数，利用函数有零点分类讨论运算

求解.

【小