陕西省“西中教育联合体”2025届高三第一次模拟考试数学试题（含解析）

陕西省“西中教育联合体”2025届高三第一次模拟考试数学试题

第I卷（选择题）

一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合4={13层},B=（l,a+2],若贝|。=（）

A.2B.1C.-2D.-1

2.已知i为虚数单位，若z=则z•万=（）

A.也B.2C.-2iD.21

3.设TH,五为非零向量，则“存在负数九使得血=比1”是“血,九〈0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.若sin忘+仇）=/则cos（2a-等=（）

A.一获B.一亲C.强D.||

5.某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成

绩比例划定尔B、C、D、E共五个等级（见下表）.第二步，将4至E五个等级内的考生原始分，依照等比例转

换法则，分别对应转换到100〜86、85〜71、70〜56、55〜41和40〜30五个分数段，从而将考生的等级转

换成了等级分.

等级ABCDE

比例15%35%35%13%2%

赋分区间100-8685-7170-5655-4140-30

（该区间原始最高分一原始分）_（等级赋分区间最高分一X）

赋分公式:计算出来的X经过四舍五人后即为赋分成

（原始分一该区间原始最低分）一（X-等级赋分区间最低分）'

绩.

某次考试，化学成绩4等级的原始最高分为98分，最低分为63分.学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的

化学赋分分数为（）

A.85B.88C.91D.95

6.若函数=区：£*4a，X<1是R上的减函数，则a的取值范围为（）

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A.髓B.呜

C.［1,+8)D.(一8者u［1,+oo)

7.已知直线斓x+y+a=0与OC：/+(y—1尸=4相交于4B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a

=()

A.-4或2B.-2或4C.-1±A/3D.—1士水

8.已知函数/'(久)及其导函数/''(»定义域均为R,满足/(］+%)-/(万一久)=2x,记g(x)=f'(x),其导函数为

g'(x),且“(3—久)的图象关于原点对称，贝的'(9)+潟)=()

A.0B.3C.4D,1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/(x)=2sin(2x一§,则

A.函数/(%)的图象关于点篇,。)对称

B.函数/(久)的图象关于直线》=将对称

C.若尤e［。,且，则函数f(x)的值域为［―避,避］

D.函数/(X)的单调递减区间为同+瑞,k兀+岩］(keZ)

10.若函数f(久)=ln(l+x)—ln(l—x)+5则()

A.八久)的图象关于(0,0)对称B.f(久)在(0净上单调递增

CJ(x)的极小值点为#Dj(x)有两个零点

11.已知抛物线产=8%的焦点为F,准线与x轴的交点为C,过点C的直线/与抛物线交于4B两点，4点位于B

点右方，若乙4FB=NCF8,则下列结论一定正确的有()

A.\AF\=8B.明=竽

C•龈源都三堂迤D.直线4F的斜率为避

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率

是_____

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13.在等差数列｛a九｝中，a1+3a8+。15=120,则3a9—的值为-

14.三棱锥P—ABC中，AB=AC=*,AB1AC,平面P8C1平面ABC,且P8=PC.记P—ABC的体积为匕

内切球半径为r,贝岭Y的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

/ABC中,sin2y4—sin25—sin2C=sinBsinC.

(1)求A

(2)若8c=3,求2L48C周长的最大值.

16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，底面四边形4BCD的边长均为2,且NB4D=60。，PDLDC,PB1AC,棱PD

的中点为M.

AB

(1)求证：PD1平面4BCD;

⑵若△PDB的面积是2逆，求点P到平面BCM的距离.

17.(本小题15分)

已知椭圆C:胃+哙=l(a>b>0)的离心率为字，且短轴长2,。为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点4(0,2)的直线I与椭圆C交于M,N两点，当AOMN的面积最大时，求直线1的方程.

18.(本小题17分)

高性能计算芯片是一切人工智能的基础.国内某企业已快速启动4/芯片试生产，试产期需进行产品检测，检

测包括智能检测和人工检测.智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指

标，且智能检测三项指标达标的概率分别为繇嘉，赛人工检测仅对智能检测达标(即三项指标均达标)的

3U4-774,0

产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标.人工检测综合指标不达标的概率为P(0<P<1).

(1)求每个4芯片智能检测不达标的概率；

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(2)人工检测抽检50个4/芯片，记恰有1个不达标的概率为f(p),当「=「。时，f(p)取得最大值，求po；

(3)若4芯片的合格率不超过93%,则需对生产工序进行改良.以(2)中确定的po作为p的值，试判断该企业是

否需对生产工序进行改良.

19.(本小题17分)

若数列｛“｝满足4：+1=2„2,则称数列那„｝为“平方递推数列”.已知数列5｝中，的=9,点(册&+1)在函

数/'(久)=/+2%的图象上，其中为正整数.

(1)证明数列｛斯+1｝是“平方递推数列”，且数列｛恒(即+1)｝为等比数列；

(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项积为T”即7„=(西+1)92+1>“斯+1)，求lg「n；

(3)在(2)的条件下，记6n=电(黑1),求数列｛g｝的前几项和S”并求使Sn>4026的门的最小值.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

因为8

贝ija+2=3或a+2=a2,

解得Q=1或-1或2,

当。=1时，A={1,3,1},不合题意，舍去；

当a=-1时，A={1,3,1},不合题意，舍去；

当a=2时，A={1,3,4},8={1,4},满足题意,

・•・a=2.

故选/.

2.【答案】B

【解析】

因为Z_且__阳1一。__2f(l-Q_

所以z=1—i,

所以z•万=(1+i)•(1—i)=2.

故选：B.

3.【答案】A

【解析】

根据题意，存在负数九使得非零向量而=入云则表示非零向量二和「共线反向,

m-n=|m|-|n|cosl80°=—|m|-|n|<0恒成立;

—»—>—>—>

而反过来小力<0,并不能得到小和打共线，可能是两向量夹角为钝角,

故“存在负数人使机=4n”是“小上<0”的充分而不必要条件,

故选/.

4.【答案】C

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【解析】因为血岩•域三颜萨底Fl斯造一q曰砌畲一菁！三

所以eo«(2c-y)=eo«2(c-1)]=2eos2(n-_I=(.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查频率分布表，属于一般题.

100-X98-76

设该学生的化学赋分分数为X,根据赋分公式有即可求该生的化学赋分分数.

X—86-76-63,

【解答】

设该学生的化学赋分分数为X,则野f=

所以35X=13x100+86X220X-91分.

故选：C.

6.【答案】A

【解析】

-a%x>XL+4a，X<1是R上的减函数,

根据题意，函数/0)=IzVa/V

,3ct—1<0

贝小一a<0，解可得

(3a—1)+4a之一a

即a的取值范围为的)，

故选：A.

7.【答案】4

【解析】

由直线湘x+y+a-0与OC:x2+(y—l)2=4相交于2、B两点,

且△ABC为等边三角形，

C到直线4B的距离为岑X2=©

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.Il+G_R

-73一"

a=2或一4,

故选4.

8.【答案】D

【解析】

因为/弓+X)—/(1—x)=2x,

两边同时求导可得：f(|+x)+f(|-x)=2,即g《+x)+g需一x)=2,①

令x=。，可得g(R=l

①两边同时求导：g'(|+x)-g'(|-x)=0,整理得：g'弓+刀)=。'(|一久)，

因为g'(3—幻的图象关于原点对称，

所以g'(3+久)=-g'(3一久)，g(3+x)=g(3—x),g'(3)=0

所以

g'(9)=g'(6+3)="(3)=0,

潟)=g(|)=1，

故"(9)+湍)=i.

9.【答案】AD

【解析】

TT

已知函数f(%)=2s讥(2%—5)，

对于4当久=专时，7(f)=0,故/正确；

对于8：当久=与时，/(争=2s讥(与一$=0,故5错误；

对于C：由于久W[由故2「等,故sin(2%—$W[—宰1].

故/(%)的值域为[—而,2],故C错误；

对于。：令5+2/CTT<2x—§<2/CTT+整理得％6\kn+普，々兀+€Z),

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函数/⑴的单调递减区间为即+居,而+与为(keZ)故。正确.

故选：AD.

10.【答案】AC

【解析】

对于4函数/(X)的定义域为(一1,0)U(0,1),关于原点对称，

/(-x)=ln(l-x)-ln(l+x)-|=-/(%),所以/(x)是奇函数，故/(%)的图象关于(0,0)对称,N正确;

对于B，因为广(乃=已+±_>嘉e昌

令尸0)=需二］)>0,则孝<乂<1或一1<%<—孝；令，(x)<0,则一孝<%<。或0<^<孝-

故/(%)在(T—字)和信，1)上单调递增；在(—岑,0)和(0,考)上单调递减，3错误；

当故/(%)的极小值点为孝，极大值点为一岑，C正确.

因为/(宇)=ln(l+孝)—ln(l—芋)+2^/2=ln(3+2避)+2M>0,所以/(x)在(0,1)上无零点，故/(幻

在定义域内无零点，。错误.

故选/C.

11.【答案】ABC

【解析】由题意得,F(2,0),C(—2,0),

当直线［的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，

故设直线/的方程为x=my—2,不妨设m>0,

联立y2=8x,可得y2—8my+16=0,易得/>0,

设a(%i,*2)，B(久2)2)，则yi>o,y-i>o,

则yi+V2=8m,7172=16.

222

则|AB|=^1+m-\y1-y2\，\BC\=yjl+m-\y2\=+m-y2,

由正弦定理得一%=制方制布=—%，

smZ-CBFsmz.CFBsmz.ABFsmZ.AFB

因为乙4FB=NCFB,4CBF+4ABF=TT,

所以为>V2,=需，

加4=，1+病.-2|=-21

\AF\~y/l+m2•|yi—y2|-lyi一丫2|•

又由焦半径公式可知|/尸|=%i+2=myr—2+2=mylf

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,771

贝“^7=y1-y2即yly2=4yl-4y2=4A/（%+、2）2—4yiy2,

即167n=4,647n2—64,解得m^

则yi+。2=1乎^,丫1丫2=16，解得yi=44，丫2=^^，

故|AF|=my[=X4^3=8,

当mV0时，同理可得到|49|=8,故Z正确；

2

\AB\—,1+=2.|y1—y2|=^1+m.1647n2-64

=QIX/PM=/X^=苧,故2正确；

1

^^AFB-S^ACF-S^BCF=]、\CF\x\y±—y2\—^\yi—yi\

=21647n2-64=2xJ64x^-64=i^?,故C正确；

当相＞0时，月=4避，则％1=（4弗）2=6,即4（6,4平），

8

此时膜F=¥U=^.

6—2

由对称性可得，当771＜。时，k^p=—

故直线AF的斜率为土依，故。错误.

12.【答案】1

【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,

基本事件总数n=Cl=10,

选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：

m=C3C2+C2=7,

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选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p=£=看.

故答案为看.

13.【答案】48

【解析】

+3。8+。15=5a8=120,

他=24,即臼+7d=24,

*'.3a9—=2al+14d—48,

故答案为48.

14.【答案】m+2

【解析】

取BC的中点0,连接。力，OP,

因为4B=4C=湄，ABLAC,所以BC=2.

则。4=0B=0C=l,△48。的面积为豺仆8。=1,

因为PB=PC,。是BC的中点，所以PO1BC,

又平面PBC1平面ABC,平面PBCC平面4BC=8C,P。u平面PBC,所以P。！平面ABC,

设三棱锥P—4BC的高为h,贝|OP=/i,

贝IAPBC的面积为9•BC=h,

PA=PB=PC=y/h2+1,

可得APB4△PAC的面积均为汽王I,

于是三棱锥P-ABC的表面积为避庐下I+h+l,

由等体积可知(J2F+1+h+1)《=lxj,

J3

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所以2=2九+2+2,2九2+1_2，2九2+1+2+2

“V-h~h'

故2_工_2,2层+1+2+2_g_2，2九2+1—1

XrVhhh

设函数〃>)=独f+2,且久>0,

，2汽2+1_2____________2N_3__________

x2yj2x2+1x2J2%2+1（^2x2+1+2）'

当x<4时,尸(为<。，/⑺单调递减，x>J|时，f'(x)>0,/⑺单调递增,

所以/（X）2fd|）=m+2,

所以拉=乎时，刍一§取得最小值述+2,

故答案为述+2.

15.【答案】（1）设△ABC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,

因为sin?/—sin25—sin2c=sinBsinC,

由正弦定理可得Q2-b2-c2=be,

即为扶+c2-a2=—be,

由余弦定理可得cosZ="=一悠=-i

2bc2bc2.

2TT

由0<AVTT,可得/=F~；

（2）由题意可得a=3,

又8+0=全可设8=*—d,C=^+d,—专<d<*

由正弦定理可得自=磊=肃=2道，

可得b=2y/3sin（^—d）,c=2和sin（专+d）,

则△4BC周长为a+b+c=3+2避［sin（卷一d）+sin（卷+d）］=3+2避弓cosd—^-sind+^cosd+号sind

），

=3+2避cosd,

当d=0,即B=C=飘*,△/BC的周长取得最大值3+24.

16.【答案】（1）证明:由已知/BCD为菱形,

所以

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又因为2C1PB,PBCBD=B,PB、BDu平面PBD,

所以4c1平面PBD,

因为PDu平面PBD,

所以PD14C,

又由已知PC_LDC,ACdDC=C,AC,DCu平面4BCD,

所以PD1平面4BCD;

(2)因为M为PD的中点，所以点P到平面MC8的距离等于点。到平面MC8的距离.

所以为-BCD=yD-BCM-

由(1)知，PDl^^ABCD,

所以SAPBD=?BD-PD=2V^

又因为NB4D=60°,所以B£)=2,

所以「。=2m，

设点。到平面BCM的距离为d,

因为S^BCO=F，所以VM-BCZ)=BCD,MD=M，

计算可得54BCM=3,所以匕)-BCM=，•$△BCM,d=

所以d=".

17.【答案】(1)

f2b=2

由题意得：，e=£=学，解得a2=4力2=I,C2=3,

b2=a2—c2

2

所以椭圆c的方程为a+y2=i；

(2)由题意得直线［的斜率存在且不为零，

设直线1的方程：y=kx+2,M(x1,y1),N(<x2,y2)>

(y=kx+2

悍+y2=i,消去y整理得(1+妹2)/+16依+12=0,

O

则4=(16k)2-4x12x(1+4k2)>o,得M>J,

所以久1+力2=一］黑2,.久2=］二心

则|MN|=6+N-{(四+冷)2—4支62=+Mj(遥=4^1+fc2-

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2

原点。到直线1的距离d=下区良，

所以5.。堀=抑用^=*1乐-4尸京普奈=喑羊,

令1=，嫡―3(t>0),所以4k2=严+3,

4/-44

则SA0MN=4^=E<q^=l，当且仅当t=2时等号成立，

则/=)谒，解得k=±g'满足条件,

所以直线/的方程为>=冬+2或丫=—冬+2.

18.【答案】(1)记事件a=”每个粗芯片智能检测不达标”，则

n,八n/