上海市某中学2024-2025学年高一年级下册3月考试数学试题

上海市格致中学2024-2025学年高一下学期3月考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

若一3€,一3,2a—1,02_1｝，则a的值为------

2.在V48C中，角43,C所对应的边分别为若人生5=生,°=2夜，则6=—

43

3.不等式-2W生心42的解集为.

4—x

4.已知函数>=/（%）的对称中心为若函数y=l+sinx的图象与函数7=/（力的图

象共有6个交点，分别为卜1，/），（“2，匕），…，（々，乂），则£@+乂）=.

Z=1

5.当*>1时，x+二的最小值为一.

X-1

x,ya丫

6.设正实数满足中=10,lgx-lgy=——,则lg」=_____.

-4y

7.若且cos2ct=cos[a,则----

8.函数»=是定义在（0,+功上的严格减函数，对任意x、ye（O,+e），满足

〃孙）=/（x）+/3,且/囚=2，则不等式〃x）+〃xf+2>0的解集为

试卷第11页，共33页

9.已知函数"x）=xTinx是R上的单调增函数，则关于“的方程一一尤如2》+工=』8$4*

88

的实根为.

tana2呵2以+与的值是一

10.已知(兀3,则

tana+—

I4

a

11.关于“的方程2cos2x-sinx+a=0在区间0,—上恰好有两个不等实根，则实数一的

6

取值范围是—.

93,且当

04再＜%2Kl时,/(X1)^/(X2),则/1

2025

二、单选题

13.已知扇形所在圆的半径为2,扇形的弧长为三，则扇形所对的圆心角的弧度为（）

5

B-7C-TD-TF

14..sinx|在下列哪个区间上是严格减函数（

A.B.71C.371D.3兀5兀

5"

15.已知X£R,则“（x-2）（x-3）40成立”是“卜_2|+,-3|=1成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

试卷第21页，共33页

16.己知函数了=/(x)(xeR)的最小正周期是工，函数＞=g(x)(xeR)的最小正周期是北，

且7]=件代＞1)，对于命题甲：函数了=〃尤)+g(x)(尤eR)可能不是周期函数；命题乙：

若函数y=/(x)+g(x)(xeR)的最小正周期是心，则(27].下列选项正确的是()

A.甲和乙均为真命题B.甲和乙均为假命题

C.甲为真命题且乙为假命题D.甲为假命题且乙为真命题

三、解答题

17.外户均为第一象限角，其中。终边与单位圆的交点横坐标为，£终边与单位圆的交点

纵坐标为空，求0+

13

18.设锐角三角形的内角4S。所对的边分别为〃,仇。，若

(siib4+sinJ?-sinC+=siib4•

⑴求5；

⑵求尸siM+sinC的取值范围•

meR

19.已知函数/(Xi?-妙+味g(x)=S+3_2,

x+1

⑴求/(X)的单调区间和值域；

⑵若对于任意修«0,1],总存在再40,1],使得〃x0)=g(xj成立,求机的取值范围.

20.对于/(x)=ln[2+].

试卷第31页，共33页

⑴若g(x)=/(1一%),且g(x)为奇函数，求。的值;

⑵若且对任意当％、龙2^也6+1］时，满足|〃xJ-〃X2)|4ln2,求实数“

的取值范围.

21.如图，某景区有景点42,C,Z>,经测量得，BC=6km,ZABC=120°,

smZBAC=--,ZACD=60°,CD=AC-

14

(1)求景点4。之间的距离；

(2)现计划从景点8处起始建造一条栈道，并在〃处修建观景台.为获得最佳观景效果，

要求观景台对景点A,D的视角AAMD=120。•为了节约修建成本，求栈道9长度的最小值.

试卷第41页，共33页

《上海市格致中学2024-2025学年高一下学期3月考试数学试题》参考答案

题号13141516

答案ABCC

【分析】由题意可得3=-3或2°-1=-3或/.i=_3,分别求解后再验证即可―

【详解】解：因为一3e{"3,2a-l,〃一1},

当"3=-3，即°=0时，此时==不满足元素的互异性；

当2°-1=-3,即"T时，此时{”3,2々-1,/-1}=卜4,-3,0},满足题意；

当/_1=_3，即02=_2时，此时无解；

综上，a=-\'

故答案为：_1

2-273

【分析】根据正弦定理即可求解.

3=2.2及x县

,e、，siiL4sin8..,asiriS7、h

【详解】因为，所cr以K6=—v=——^^=2J3.

SIIL4V2

故答案为：2拒，

3.LiZ

_'3_

【分析】根据分式不等式的解法求解即可.

答案第11页，共22页

2x+2.

---------+2>0

4jr—6---------<0-

【详解】V20V4-x一'I<»-l<x<-

4x—6八6x-14八3

-----------2<0---------->0

4-x1x-4

故答案为：-1J.

_3_

4.6

【分析】根据给定条件，结合函数y=l+sinx图象的对称性，确定6个交点的关系即可求

解作答.

【详解】显然函数y=1+sinx的图象关于点(0,1)成中心对称，

依题意，函数y=l+sinx的图象与函数＞=/(x)的图象的交点关于点(0,1)成中心对称，

666

于是。=。5%=6,所以之(x,+%)=6.

Z=1Z=1Z=1

故答案为：6

5.5

【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可.

【详解】因为、＞1，

4.4,„

当％-1=------,x=3时，x+-------的取小值为5.

x-1x-1

故答案为：5.

6.土？

【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解.

【详解】由中=10,得Igx+Igy=Igpcy=1.

答案第21页，共22页

所以1g2=Igx-lgy=±7(Igx+Igy)2-41gx-Igy=±2.

y

故答案为：+2

7.-A

12

【分析】化简三角函数式，求出sin|a+3=；，根据即可求解.

【详解】由cos2a=cos(o:+J,得cos%-sin2a=[^(cosa-sintz),

因为ae—,。],所以c-m”0,则c°se+sme=*则sm"T=g

由aejgo],得a+哭J—则a+”一，解得a=-N.

I2)4612

故答案为：-4.

12

8.(1,2)

【分析】由定义代入x=〉=l,可求出/(I)的值，代入x=，可求出一2对应的”的值，根

2

据题意对不等式变形可得了(/_1)>/(2)，根据单调性可列出关于x的不等关系，结合定

义域可求出结果.

【详解】解：令x=y=l，则有=/⑴+/⑴=2/(1)，所以〃1)=0,

因为/出=2,所以/⑴=/出+〃2)=0,所以/⑵=一2,

答案第31页，共22页

不等式/(x)+/(x—l)+2>0等价于-尤)>-2=/(2)，

函数了=〃x)是定义在(0,+的上的严格减函数，则V一》<2，

即一1cx<2，又x>0，且x-l>0，所以1<X<2・

故答案为：(1,2)

9.0

【分析】x2-xsin2x+—=—cos4x,得到x-'sin2x=0再利用题目中函数

882

/(x)=x-sinx是R上的单调增函数，得到答案.

【详解】x2-xsin2x+—=—cos4x=>x2-xsin2x+—sin22x=0=>(x--sin2x)2=0

8842

x--sin2x=0=>2x-sin2x=0

2

验证知：》=0是方程的解.

函数/(x)=x-sinx是R上的单调增函数，〃2x)单调递增，最多有一个零点.

故》=0是方程的唯一解

故答案为0

【点睛】本题考查了方程的解，三角恒等变换，函数的单调性，函数零点，综合性强，需

要灵活掌握各个知识点，综合运用.

10.旦.

10

【分析】由题意首先求得tLadlnlCZa的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题

转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.

答案第41页，共22页

tana_tana_tana(l-tana)__2

【详解】由(tana+1tana+13,

tana+-----------

[4)1-tana

得3tan2a-5tana-2=0?

左刀&tana=2-1

角牛得，或tana=一一•

3

sin2a+—=sin2acos——Fcos2asin—

I4)44

2sinacosa+cos2a-sin2a

(sinla+cos2a)=

si•n7a+cos2a

2tana+1-tan2a

tan2a+1

当tana=2时，卜式一小加2+1-21.小

2122+1J10

1

tana=——

当3时,

综上,

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利

用分类讨论和转化与化归思想解题.

11.一21(一2,1)

【分析】根据题意，令"smx,将问题转化为直线'一"和函数"2r+"2,

2

答案第51页，共22页

的交点个数问题，进而分XGFK,—1时和当X€（。兀）两种情况讨论求解•

_6_

【详解】解：由题意，方程可变为a=_2cos2x+sinx=2sin2x+sinx-2，

人，=sinx..,7兀日「1i

令，由——，可得，w——,1•

6L2

①当71,—时，/£--,0，此时，与“一一对应.

_6JL2J

由题意可得，关于’的方程“="+/2,当/JJ.（）］应有2个实数根,

_2_

即直线和函数0=2〃+"2,当（/_±0］应有2个交点.

_2_

当仁」时，。=2/+"2有最小值JI.

48

当仁-工或0时，a=2F+-2=-2.此时，应有.

218」

但当"=一2时，:一工或0,在区间1°卫］上，对应x=°或"或?，

2L6J6

关于”的方程2c°s2x-sinx+a=0在区间h田上有3个实数根，

_6_

故不满足条件，应舍去，故ae］-.，-2〉

②当xe（O,兀），且时，有2个、与一个'值对应.

故由题意可得，关于f的方程a=2»+”2,当fe（O,l）有一个实数根，

答案第61页，共22页

即直线y=a和曲线a=2产+f-2在（0,1）上有一个交点，如图所示：此时，ae（-2,l）.

a（

综上可得，实数的取值范围是-y,-2ju(-2,l).

一［，_卜(_

故答案为:22,1).

【点睛】本题考查三角函数的性质，方程的根的个数求参数范围，考查分类讨论思想，数

形结合思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件，分当

7兀时和当xe（0,n）两种情况讨论求解.

XG71.-----

6

12.—

128

答案第71页，共22页

【分析】利用赋值法可得〃1)=1,L==进而根据条件当°"占＜%41时,

〃网)"口2)得小€，」］均有/@)=；,即可赋值求解.

322

【详解】由/(°)=°J(x)+/(j)=l,令x=；,得/出=；,

令X=O，得〃0)+/⑴=1，所以/⑴=1，

令E

又当0W网jWl时，〃』)4/伉)，又因为/匕］=/&］=：,

所以X/xe—均有/(x)=L

［32)2

注意到工=1史』,口，因此/»］」，

20252025|_3'2」71^2025)2

于是《小卜心言fm%募卜出/盛］

=-=Q}4蔡［出*卜力，

故答案为：—.

128

13.A

【分析】设这个扇形的圆心角的弧度数为0，根据弧长公式求解即可.

答案第81页，共22页

ajr

【详解】设这个扇形的圆心角的弧度数为，〃=2,/=二，

根据扇形的弧长公式得/=oz=>]=ax2,解得a=R.

故选：A.

14.B

【分析】作出函数“X)■sinx|的图象，结合选项可得答案.

【详解】根据正弦函数的图象，作出函数〃耳=卜山|的图象，

如图所示：

分析选项可得函数函数“*)=忖时在区间性,兀]上是严格减函数.

故选：B.

15.C

【分析】利用解二次不等式和去绝对值，结合充要条件的分析方法，即可作出判断.

【详解】由(尤一2)(>3)40可得:24尤43,

而当2Wx(3时,W|X-2|+|X-3|=X-2+3-X=1,

所以“(x-2)(x-3)(0”成立是“卜一2|+卜-3|=1”成立的充分条件・

2x-5,x>3

由卜-2|+,-3|=11,2<x<3^

5-2x,x<2

因为x>3n2x-5〉6-5=1，X(2=>5-2%〉5-4=1，

答案第91页，共22页

可知若k_2|+卜-3|=1，必有2X3.

所以“(x-2)(x-3)«0”成立是“|x-2|+|x-3|=1”成立的必要条件，

综上所述，"(x—2)(工-3)«0”成立是7.2|+|x-3|=1”成立的充要条件・

故选：C.

16.C

【分析】利用三角函数的周期性，选用特殊函数和反证法验证两个命题.

【详解】甲:存在/(x)=sinx,g(x)=sin7rx,y=sinx+sin;rx不是周期函数,

(反证法)假设f(x)=sinx+sinTTX(XGR)是周期函数，

则存在非零常数T,使得对VXER,都有/(x+7)=/(x),

即sin(x+T)+sin(〃x+兀T)=sinx+sinnx①，

在①式中，取x=0，得sinT+sin乃7=0②'

在①式中，取x=2-T，得sin2=sin(2-T)-sin〃T③，

在①式中，取x=2,W"sin(2+T)+sinTIT=sin2®，

由③④得，sin(2+T)+sinnT=sin(2-T)-sin，

所以cos2•sin7+sin兀T=0⑤'

由②⑤得，cos2sinT-sinF=0，所以sinT(cos2—l)=0，

显然cos2wl，所以sin7=0，所以存在％eZ且左片0，使T=k兀，

又sin/rT=-sin7=0，所以存在加EZ,加。0,使得开T=m冗，

所以'=所以加=左匹乃=竺，所以“是有理数，矛盾，

答案第101页，共22页

所以/(x)=sinx+sinc不是周期函数，正确；

乙:取/(x)=Sin2x+sin3x,)=2肛g(x)=-sin=%，则f(x)+g(x)=sin3》工=g，所

以7；<4，错误；

故选：C

17.a+夕=2桁tarcces左eZ）

【分析】由a,夕是第一象限角，可以得出a,夕的正余弦值，从而计算a+夕的余弦值，由

余弦值的符号可以断定a+0为第二象限角，反三角函数求出结果.

【详解】由％"是第一象限角，得sina=±cos夕=9，

513

/n\A..々4531216

cos（a+p）=cosacosp-smasmp=jx--—x—,

因为a,0是第一象限角，所以a+夕为第二象限角，

所以a+2=2左兀aircces

18.(1)5=-

3

【分析】（1）由正弦定理得碇=/+°2_/,代入余弦定理即得8的值.

V

（2）由两角和差的正弦公式和辅助角公式得,从而得,的取值范围.

答案第111页，共22页

【详解】(1)由正弦定理,可得(a+6-c).(b+c-“)=ac

即ac=a2+c2-b29

由余弦定理得C0S3=:+/―=1

lac2

又•..3£（0,兀），

3

（2）由（1）可知z+c=E27r,

3

因为V/5c为锐角三角形，

0<A<-

2

八2兀兀,

0<A<—

32

7171,

—</<一

62

36316八2

y=siiL4+sinC=+的取值范围为gG-

19.(1)递减区间为(—8,2],递增区间为g,+8);值域为[加_生1,+8)

2，4

答案第121页，共22页

⑵[0,1]

【分析】(1)根据题意，利用二次函数的图象与性质，即可求解;

(2)化简函数ga)=(x+l)+&-4,利用换元法和单调性，求得g(x)的值域为[°H,根

X+1

据题意，转化为{y|y=/(x)}q[0,l],结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.

【详解】⑴解：由函数/(力=/一3+加，其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴

为x=一，

2

所以函数/(x)在(-8,%]上单调递减，在白，+»)上单调递增，

22

当》=当时，函数/(X)取最小值，最小值为了⑹="_,，

所以函数/(x)的值域为阿一+00).

(2)解：由函数g(x)=^±l_2=(x+D2_2(x+l)+4_2=(x+i)+J__4,

x+1x+1x+1

当xe[0,l]时，令，=尤+1，可得元=/-1且，

则gC)=/+,4在/工2]为单调递减函数，

所以g(/)mm=g(2)=0,g⑺=g6=「所以函数g(X)的值域为[。刀，

对于任意为e[0,l]，总存在&e[0,l]，使得/(%)=g(xj成3

可得函数/⑴的值域为函数g(x)的值域的子集，即3y=/(x)}曰0,1],

答案第131页，共22页

由/(Hi-mx+m'可得〃O)=mJ⑴=1，

当％＜0时，即机＜°时，显然不成立；

2

当依＞_1时，即心＞1,根据抛物线的对称性，可得/(°)＞/(1),显然不成立;

22

廿卜=/(%)}7[0』]冽,10<m<l

us—s一

所以要使得，贝IJ22,解得

m八

m---->0

4

所以实数机的取值范围为［0,1］.

2。•⑴I

24

⑵

【分析】⑴先求出函数g(x)的解析式，根据g(x)为奇函数，可得g(x)+g(-x)=0,

再结合对数的运算即可得解；

(2)易得〃x)在［46+1］上为减函数，由题意可得则〃X)ma、WM2，再构造新的

函数，求出函数的最值即可得解.

【详解】(1)因为〃x)=ln1|+d，

所以8(切=〃1_》)=111(占+“=111三人詈，

又g(X)为奇函数，.•.g(x)+g(r)=In2+”竺+In2+a+ax=i"尸—=。，

'\-x\+xn1-x2

...(2+4一1+(-2)-=°,对定义域内任意x恒成立，

答案第141页，共22页

」(2+4-1=0,解得°=T

\\-a2=0

7

(2)令/，+人

x

则t=2+a在（°，+8）上为减函数，，=血在（0,+8）上为增函数,

X

=ln4+a）在电"1］上为减函数，

当司,工2£［6,6+1］时，满足|/（项）_/（x2）|<ln2，

则〃x）max-/（x）mm=/（6）-/e+l）=ln1|+\-ln［高+a^<\n2,

一+042（=-+4］，即加+（"+2）6—220对任意的辰］］恒成立，

b（6+1）［4」

设〃伍）=加+（0+2）6-2，

又a>°'，函数'e