数列-2025年高考数学复习易错题（新高考）

专题04数列

考点oi等差、等比数列的定义

1.（24-25高三上•内蒙古包头•开学考试）“数列｛叫是等差数列”是“数列｛6+%｝是等差数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先假设数列｛%｝是等差数列，结合等差数列的性质设出其首项及公差，计算可得数列｛。“+。用｝亦

为等差数列，举出恰当的数列｛4｝的通项公式，使｛。"+。用｝是等差数列，但｛与｝不是等差数列即可得.

【详解】若数列｛%｝是等差数列，可设其首项为q,公差为d,

则an=%,则an+a,+i=2%+（2n—\）d=（2%+d）+（〃-l>2d,

即数列｛«„+。用｝是以2%+d为首项，2d为公差的等差数列；

若数歹U｛0"+%+J是等差数列，取则%+%=0,符合要求，

但数列an=（-1）"不为等差数列，

故“数列（«„｝是等差数列”是“数列+a„+l｝是等差数列”的充分不必要条件.

故选：A,

易错分析：利用等比数列的定义进行判断时一定要注意验证%H0.

2.（24-25高三上•陕西•阶段练习）己知正项数列｛叫，也｝满足=6“％,且%+。用=2%,则（）

A.｛百｝为等差数列B.，为等差数列

C.｛而:｝为等比数列D.抄,｝为等比数列

【答案】A

【分析】由条件可得%=师二，a“M=J”+也+2，结合关系可得%+。用=26,用，可得

西+际=2历，由此判断AC,举反例判断BD.

【详解】因为僧=她",数列｛%｝,｛2｝为正项数列，

所以%=J她+1，«,I+1=也+也+2，又+%+1=2&1，

所以痣瓦?+属项=2b2,

所以扬+废=2卮，

所以｛M｝为等差数列，A正确，C错误；

设”="2,则6"+1=（〃+1『，6=〃（"+1）,。“+]=（〃+1）（〃+2）,

满足条件a：=bnbn+1,an+an+1=2bn+l,

,11,121

因为a=16片她=9,百+旷1+37=5，

所以也,｝不是等比数列，[十，不是等差数列，B错误，D错误.

故选：A.

3.（24-25高三上•江苏常州•期末）己知。，b,ceR,贝胪。，b,c既是等差数列又是等比数列”是

“a=b=c”的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用推出关系去判断充要关系即可.

【详解】当a=6=c=0时，6,c是等差数列，不是等比数列，

当a,b,c既是等差数列又是等比数列，则a=6=c,

故"a,6,c既是等差数列又是等比数列”是"a=b=c”的充分不必要条件，

故选：A.

4.（2023•新课标I卷•高考真题）记5”为数列｛%｝的前力项和，设甲：｛%｝为等差数列；乙：｛2｝为等差数

n

列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】c

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前〃项和与第〃项的关系推理判

断作答.，

【详解】方法1,甲：｛%｝为等差数列，设其首项为6,公差为d,

因此｛2｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

反之，乙：｛均为等差数列，即^s“_叫1一（"+1电_

为常数，设为"

nn+1

即"=t,则S,=〃%+]-加+=(n-l)(z„-t-n(n-l),n>2,

n(n+V)

a=na

两式相减得:„n+i~(n-X)an-2tn,即即+[-。"=2/,对〃=1也成立，

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛%｝为等差数列，设数列｛g｝的首项3,公差为"，即s"="1+*»",

则2=%+超普"=?〃+%-〈，因此｛2｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

反之，乙:｛二4为等差数列，即心-==£>,==

nH+1nn

即S0=nS\+n(n-1)£»,Sn_、=(n-l)5r+(»-l)(n-2)D,

当〃22时，上两式相减得：S-S"T=H+2(-1)D,当”=1时，上式成立，

于是%=%+2("T)。,又q,+i-a,=q+2(〃-1)0=2。为常数，

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

+

5.已知数列｛%｝满足％=a(“eR,aw-g),a„=2a„_1("eN,"N2).又数列｛"｝满足

⑴求证：数列也｝是等比数列；

(2)若数列｛6｝是严格增数列，求。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析;

⑵

【分析】(1)根据给定的递推公式，裂项变形，再利用等比数列定义判断即得.

(2)由(1)求出数列｛%｝的通项，再由单调性列出不等式，分离参数，借助单调性求解即得.

1

【详解】(1)当〃22时，an=1an_x+—+=+----二，即%+—^=2(%_1+,)，亦即

nn(n+l)nn+ln+\n

b„=2b“t,

又4=。+；H0,即AWO,所以数列｛2｝是等比数列.

(2)由(1),b=(a+-)-2"-1,即％H-------=(a+—)-2"T,a=(a+-)-2"-'-------,

n2n+l2n2n+l

依题意，«„+1>%,O(a+3•2"-―?->(«+1)-2修-一，对任意的正整数«成立，

2〃+22n+l

即。+〈>一7—八一T对任意的正整数n成立，

而数列｛-7—J］、m｝严格增，且一；一J­<0对任意的正整数«成立，

因止匕。+不N0,又aw-不，解得。>一不，

所以。的取值范围是(-;,+8).

考点02等差、等比数列基本量的运算

1.(24-25高三上・吉林・期末)若等差数列｛%｝的公差d=2,网：%=7:8,则％=()

A.-15B.-28C.15D.28

【答案】B

【分析】根据等差数列的通项公式结合题目条件可得结果.

［详解］设。8=7左,%=8左，则"二1一%=7左一8左=_后=2,解得后=—2,

.,.%=—16,%=%—6d=—16—12=—28,

故选：B.

2.(2025高三・全国•专题练习)已知各项均为正数的等差数列｛%｝的前〃项和为S,，若〃1+%-2%=4,

59-254=^,则」=()

A.25B.16C.9D.4

【答案】D

【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可求解.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,由6+%-2%=4,得％+%+8d-2（1+3"）=4,

（也可由等差数列的性质得2a5-2%=4,得2d=4）

解得4=2,又$9-254=。；，所以9a|+；x9x8x2-2（4ai+；x4x3x2j=d+3x2）2,

解得4=1或%=-12.

因为｛叫各项均为正数，所以可=1，所以品,=100,%=25,所以鼠=4.

%3

故选：D

3.（24-25高三上•天津河东•阶段练习）己知等差数列｛%｝的首项为1,若生,出，。3+1成等比数列，则&

（）

A.-2B.4C.8D.-2或4

【答案】B

【分析】设出公差，根据%,2,%+1成等比数列，得到方程，求出d=±l,检验后得到答案.

【详解】由题意得=1,出=。|（。3+1）=%+1，且&力。，

设公差为d,则（l+d『=l+2d+l,解得d=±l,

若4=1,则%=2,a4=1+3=4,满足要求，

若d=-1,则出=。，不合要求，舍去，

故。4=4.

故选：B

4.（24-25IWJ二上•河北廊坊•期末）已知等比数歹!j｛%｝,4+。3+。5=9,—+—+—=3,则%=（）

A.3B.±3C.V3D.±73

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算得解.

【详解】在等比数列｛《｝中，axa5=af,由‘+'+^-=3,得%+%=3。；,

而4+03+%=9,因此。；=3,又%+。3+%>°，且％,生，。5同号，则4>°，

所以%=G.

故选：c

5.（2025高三・全国•专题练习）已知｛%｝为等比数列，且％%=16%，“4+2%=40,记S”为｛%｝的前"项

和，则$6=（）

A.127B.128C.63D.64

【答案】C

【分析】根据等比数歹U的性质可得。5=16和。4=40-2%=8,即可求解公比和首项，由等比求和公式即可

求解.

【详解】设｛%｝的公比为4,由%。7=16。5，得

又%W0,故％=16.又。4+2%=40,所以为=40-2%=8,

从而《=”=2,所以％===1,5=a^-q）=1-2^=63；

&q6l-q1-2

故选：C.

6.（2024•山东淄博・二模）已知等比数列｛。“｝,%=4,即）=16，则4=（）

A.8B.±8C.10D.±10

【答案】A

【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决.

【详解】根据等比中项知道壮=。2%。，求得｛=64,则&=±8.

又。6=。2]>°，则。6=8.

故选：A.

易错分析：在进行等比数列的基本量运算时要注意挖掘等比数列的隐含条件，如公比不等

于零、通项不等于零、6Z],CL3,（^5j***同号等.

7.（2024•山东泰安•二模）设等比数列｛6｝的前"项和为S"，若邑=5%+6%,则公比4为（）

A.1或5B.5C.1或-5D.5或一1

【答案】D

【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和公式，采用基本量思想进行计算即可.

【详角军】由£=5。2+64=4+。2+的得，+5ax=a3,

2

所以4a1q+5%=a1q,即/一4q—5=0,

所以(9-5)(q+l)=0,所以9=5或q=-1.

故选：D.

考点03等差、等比数列的性质

1.(24-25高三上呐蒙古鄂尔多斯•期末)设S“是等比数列｛%｝的前"项和，若Sf=6,品=18,则邑4=

()

A.48B.84C.90D.112

【答案】C

【分析】利用等比数列片段和的性质得几-几=24,$24-几=48,进而可求$24.

【详解】因为S"是等比数列｛%｝的前"项和，

所以$6,S12-S6,S18-S12,%-品成等比数列，

又$6=6,又-£=12,所以品一几=24,S24-Sls=48,

所以S24=S6+E2-S6+S|8-S|2+S24-ES=6+12+24+48=90.

故选：C

2.(2023•新课标n卷•高考真题)记S”为等比数列｛%｝的前〃项和，若$4=-5,久=21邑，则S$=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【分析】方法一：根据等比数列的前〃项和公式求出公比，再根据其，工的关系即可解出；

方法二：根据等比数列的前"项和的性质求解.

【详解】方法一：设等比数列｛%｝的公比为“，首项为4,

若4=-1,则$4=0〜5,与题意不符，所以4#-1；

若9=1,贝=64=3x2q=3S20。，与题意不符，所以

由邑=一5,£=215可得，”「.J，［(j6)=21x%(J/)①,

\-q1-q1~q

由①可得，l+q2+/=21,解得：夕2=4,

所以$8=)x0+q4)__5x(]+[6)=_85.

故选：C.

方法二：设等比数列｛%｝的公比为4,

因为$4=-5,S6=21S2,所以qw-1,否则S4=0,

从而，S2,S,-邑,$6-S,4-$6成等比数列，

°5

所以有，(一5—$2)=$2(21邑+5),解得：邑=-1或邑=a，

当$2=7时，S2,S4-S2,S6-S4,Ss-S6,即为T,-4,-16,$8+21,

易知，58+21=-64,即\=-85；

当$2=:时，$4=

q+%+。3+〃4=

与$4=-5矛盾，舍去.

故选：C.

【点睛】本题主要考查等比数列的前〃项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握$4,5的关

系，从而减少相关量的求解，简化运算.

易错分析：在利用等比数列片段和的性质求值时一定要注意4--1这一前提条件.

£

3.设S“是等差数列｛叫的前"项和，若名贝2=

»12

A.吃1CI

B.一D.

39

【答案】A

【分析】由等差数列的性质可知昆、S6-S3.Sg-S6.几-S9成等差数列，根据题意可将$6,Sg都用星表示,

可求得结果.

【详解】由等差数列的性质可知S3、S「S3、S「Se、席-跖成等差数列,

•.1=；,即$6=383,(S6-S3)-S3=S3,

.«.S9-56=3S3,512-59=4S3,.-.S9=6S3,Sn=WS3,

SG_3s3_3

io^-To-

故选：A.

4.已知等差数列｛%｝的前"项和为S”,S6=-5S3*0,则〉（）

»3

A.18B.13C.-13D.-18

【答案】D

【分析】由等差数列的性质可知$3，$6-邑,$9-$6依旧成为等差数列，据此求解.

【详解】由$6=-5$3,可设$6=-5。,$3=。（。/0）,

•••｛%｝为等差数列，，s3,s6-s3,s9-s6为等差数列，

即a,-6a,S9-S6成等差数列，

/.Sg—£——13ci,

即Sg=-18a,.'.—=—18

S3

故选：D.

5.（24-25高三上•黑龙江•期末）记S“为等差数列｛%｝的前"项和，若。2+%=九阳=16,则几=（

A.140B.150C.160D.180

【答案】B

【分析】根据下标和性质求出。4，即可求出生+为5,再由求和公式计算可得.

【详解】因为%+6=2%=8,所以。4=4,又％2=16,所以=%+%2=20,

所以几型=150.

故选：B

6.（24-25高三上・吉林松原•期末）已知等差数列｛0“｝的前"项和为且。3+%+%=24,贝!]&]=（）

A.88B.114C.132D.144

【答案】A

【分析】根据题设条件可求得义的值，从而可得品的值.

[详解]根据等差数列的下标和性质，a3+a7+as=a7+a5+a6=2a6+a6=3&=24,

解得q=8,所以S”="詈111=1106=11x8=88.

故选：A.

考点04数列的通项公式

1.（24-25高三上•吉林长春•期末）已知数列｛%｝的前"项和为邑，且区=3月，为=1,贝=

1,"=1

【答案】

8x9、22

【分析】由点二=3后，可知｛厄｝是等比数列，由等比数列的通项公式求出S“，然后由乞求解。“即可.

【详解】因为Js“+]=3=1*0,

所以数歹■!｛后｝是以瓶=1为首项，3为公比的等比数列,

所以#；=3"T,所以S“=9"T,

n2

当〃22时，a„=Sn-S,i=9-'-尹2=9"-（9-l）=8x9々，

fl,w=1

又％=1不符合上式，所以4，=[8、97"22.

故答案为：_________________________________________________________________________

易错分析：利用S”与斯的关系求通项时一定要检验〃=1和〃22时能否合写成一个公式.

2.（2025・湖北襄阳・模拟预测）数列｛%｝满足为+中+与+一.+弱=4"，则数列｛叫的通项公式为.

【答案】一，〃6/=“1

【分析】根据题目给出的递推公式进行升次作差即可求解.

21

【详解】由题意为+/+/+…+^f=4-i…①，=4，/.％+/+/+…+^r+^=4-2…②，

②一①得：崇=4〃+2—4向=3*4〃+1,。〃+1=3〃+14〃+1=12〃+1,

则当〃之2时，氏=12〃，

当九=1,4=16不适合上式.

16,w=1

12\n>2

16,77=1

故答案为：4=

\2\n>2

3.（2025•江苏南京•模拟预测）已知数列｛%｝满足%=l,2%+「a“+aMm=0（〃eN*）,则数列｛%｝的通项公

式为

【答案】。“=八

Z—1

【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.

【详解】数列｛%｝中，%=1,2%+「=0,显然为。0,

则有=2.工+1,+1=2（-+1）,而，+1=2,

a

%+1%%+in%

因此数歹（J｛'+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

册

所以?+1=2"，即见=七-

故答案为：

4.（2022•新高考全国I卷•高考真题）记S”为数列｛与｝的前〃项和，已知%=1,1，］是公差为g的等差数列.

⑴求｛对｝的通项公式；

111c

（2）证明：—+—+—<2.

axa2an

【答案】（1）。“=攻m

（2）见解析

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得与=1+《"-1）=胃，得至I$“=（”+2””,利用和与项的关

见333

系得到当时，a“=s—S"।=_+2）%_（"+1”.，进而得:—=^,利用累乘法求得

n""133%«-1

2=当辿，检验对于”=1也成立，得到｛与｝的通项公式乙二当辿；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到…+-1-=2.-一U,进而证得.

axa2an\n+1J

［详解】（1）4=1,S］=%=1■|L=1,

又・・•］*］是公差为1的等差数列，

.•.当“22时，%=（〃+；）%,

・.〃_c=（〃+2）46+1）%

33

整理得：=（"+l）qM—1，

日门册n+1

即----二Q，

an-X

•a=a^x-x-x...%-x

〃qa2an_2%

134nn+ln(n+l)

=lx—X—X...X----X----=-----

I2n-2n-\2

显然对于〃=l也成立,

.••｛%｝的通项公式%=也詈;

LL…+，=2h」［+0」］+…仕-

a总<2

%。2n(2n+l)

考点05数列的求和

l.（24-25高三上・吉林长春・期末）记首项为I的数列｛4｝的前〃项和为S“，且]9:是以2为公差的等差数

列，则数列丁丁）的前100项和为（)

[S,+3”J

100514950

A.---B.---C.D.---

101100100101

【答案】D

【分析】利用等差数列的性质求出S”，再利用裂项相消法求和即可.

【详解】因为首项为I的数列｛%｝的前"项和为s”,

所以q=Si=l,令b〃=」~,故4=—=l,

nI

由题意得｛2｝是以2为公差的等差数列，

故，=1+2(〃-1)=2〃-1,即0=2〃-1,

n

,111

2.,

得至US〃=〃(2〃-1)=2〃-n,故二尸-z-=99

Sn+3n2n—n+3n2n+2n

1

人11/1、

〃2n2+2n2〃(〃+1)2nn+l

其前100项和为1(l--)+(---)+...+(-——-)=1x(1--),

2L223100101J2101

110050

_x___—___故D正确.

2101~101

故选：D

易错分析：利用裂项相消法求数列的和时，拆项时要注意是否需要添加系数即注意变形的

等价性.

2.（24-25高三上•河南•期中）已知函数/（x）的定义域为R,且+力+小一力=2/（尤）+2〃力,

201

则£1=(

=设％="〃)(〃eN*),)

k=2以一1

1019589531

A.——B.—C.D.-----

2140840760

【答案】C

【分析】赋值可求得/⑵=4=22,〃3)=9=32,…，/(20)=202进而结合裂项相消法求和即可.

【详解】由/'(》+田+/«7)=2/3+2/3，/(1)=1,

令x=y=0,得/(O)+/(O)=2/(O)+2/(O),即〃0)=0,

令x=y=l,#/(2)+/(O)=2/(l)+2/(l),即/⑵=4=22,

令x=2,y=l,得/⑶+/(1)=2〃2)+2/⑴,即〃3)=9=3',

令x=3,y=l,得/■(4)+〃2)=2八3)+2/⑴,gp/(4)=16=42,

同理可得"5)=52,/(6)=62,”20)=202,

2^1J11J111]

+2

22220-1

入a2-1a3-la4-la20T2-l3-l4-1

11111^1111111]

1x32x43x519x212^324351921

11O_589

2(22021J840'

故选：C.

3.(24-25高三上・甘肃・期末)已知等差数列｛%｝的前"项和为S“，」且=3n2+kn+k.

(1)求｛。”｝的通项公式；

(2)若，=,求数列他,｝的前“项和

anan+\

【答案】(1)%=6"-3

n

(2)7；=---------

5n18H+9

【分析】（1）利用公式囚=%。“=邑-九（〃22）求出数列的通项，结合｛%｝为等差数列列方程求左，由

此可得结论；

（2）由（1）b„=--占-，1,利用裂项相消法求和即可.

（6九一3）I（6〃+3）2n+\.J

【详解】（1）当〃=1时,%=S[=3+2后,

当〃N2时，an=S口—S〃_]=3几2+bi+左一13（〃一I）?+k（n—1）+左]—6〃一3+左，

因为数列｛〃/为等差数列，且%-%=6,所以数列｛%｝的公差为6

所以出一6=。1，即6x2—3+E—6=3+2左,

所以左=0,故4=3,

所以〃〃=q+6（〃-1）=6〃-3.

,71=11,11、

（2）因为"=~4"O_L1），

anan+i（6几-3）（6〃+3）182n-l2n+l

所以北=右（i_g+（W）+…+qiI），

18|_3352n-l2n+\_

7；,=—（1———）=—^―.

"182/7+118〃+9

4.（2023•天津・一模）已知数列｛4｝是首项为1的等差数列，数列｛，｝是公比不为1的等比数列，且满足

%+出=均，a2+a3=b3fa4+a5=b4,

（1）求数列｛%｝,｛“｝的通项公式；

2n

⑵求X（T）。也；

k=\

⑶令C"=（abhb1+1）（〃eN*）,记数列｛g｝的前〃项和为加求证：对任意的“eN*,都有

4

1<S<一.

〃3

【答案】（1M=2"1,bn=2\

⑵玄（-版也4+序需止

k=\，213/

（3）证明见解析.

【分析】（1）利用等差数列，等比数列的通项公式可得到结果；

2n

（2）Z（T『“也可转化为等差乘等比类型，利用错位相减法可解；

k=\

（3）数列｛cj的前"项和S,可利用裂项相消，然后用放缩可证.

n1

【详解】（1）设｛%｝的公差为d,低｝的公比为则+bn=biq-.

由等比数列性质可得6；=4“，又％+电=&,a2+a3=b｝,%+%=2

a+a

所以（%+。3y=（%+a2）（4s）,

所以（2+3dy=（2+d）（2+7d）,解之得d=2或d=0,

当d=0时，a〃=1,贝ija=%+%=2,b3=a2+a3=2,

即q=J=i与g矛盾，故舍去；

打

当d=2时，。〃=2〃—1,贝I打=%+%=4,4=%+%=8,

所以4=3=2抱=%=2,满足题意；

b2q

n

所以bn=2.

2n

（2）设北=Z（T＞。也=（-%"）+azZ+lwA）+。也+…+。2也,，

k=i

Tn二（一4。）+a力2+（-%4）+a4b4+…+?也”，

设。=电也%一也“t=（4«-1）22"-（4«-3）22^+

2

则北=4+，2+…+，“=：x4+：x42+…+[2〃+：]4",4Tn=1x4+[x4,+…+[2"+；]4向，

两式相减得3〈=-10-2x4?-2x4?——2x4n+^2M+1^4-+1,

所以北=|+|｝〃-部即.（-琰叫J+停―

m、例日..二*2（2"+3）2=/1_____________1]

"（。也+D&也+i+l）（（2"1）2"+1）（（2〃+1）2向+1）（（2〃-1）2"+1（2〃+1）2用+1J

C11111）

“（3131341（2〃一1）2"+1（2^+1）2/1+1+1\

/、

S=4-_______-______

"（3（2«+1）2,,+1+1\

因为〃eN*,易知S.随着〃的增大而增大，

404

所以y2岳=前＞1,5„＜-,

4

所以

【点睛】方法点睛：

求数列前〃项和常见的方法：

公式法：适用于等差数列、等比数列以及其他特殊数列.

分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用

倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前"和公式的推导方法）.

错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位

相减法（这也是等比数列前〃和公式的推导方法）.

裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求

和.

通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.

5.（24-25高三上・吉林四平•期末）在前"项和为S“的等比数列｛6｝中，3a2=24+%,S4=30,

5*2=38-%.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）令。=a„-log2a„,求数列｛4｝的前n项和Tn.

【答案】（1）4=2"

⑵7；=（1）x2向+2

【分析】（1）根据等比数列的通项公式，由3%=2%+%,可以计算得出等比数列的公比4=1或《=2,分别

再由邑=30得心验证，是否符合$2=38-%，得到q=2,得出数列的通项公式.

（2）根据%=2",得出”的通项公式，错位相减得出7；.

【详解】（1）设数列｛%｝的公比为4,

由3a2=2。］+。3，得3%q=24+//,所以%=2+/,解得q=l或q=2,

若4=1,则由$4=30,得q=葭，所以邑=15,38-。5=38-葭=?与$2=38-%矛盾，所以，力1

若q=2,则由84=3。，得4=2,所以邑=6,38-^5=38-2x24=6,符合

S2=38-6Z5,所以q=2,9=2,所以%=2〃.

故数列｛%｝的通项公式为：%=2”

(2)由，=ajlog2g=〃-2",

231

Tn=1X2+2X2+3X2+...+(M-1)X2^+HX2"

两边乘以2得

27；=lx22+2x23+3x24+...+(n-l)x2"+nx2"+1,

两式相减得：一I=2+2?+r+…++2"-〃x2"+i,

,2x(l-2,'),

:工=HX2/i——:2)=(M-1)X2"+1+2

故数列低｝的前〃项和北=(«-l)x2"+1+2.

易错分析：求数列的和要注意错位相减法适用的前提条件，即判断数列是否是“差比数

列”.

6.(24-25高三上・辽宁・期末)已知｛%｝为等差数列，其前力项和为"，低｝为等比数列，％=-24=1,

13

a2+b2=,S6=36,

⑴求｛4｝和也｝的通项公式；

⑵求数列｛%"｝的前"项和

【答案】(1)%=2"-1,

【分析】(1)设｛%｝的公差为d,也,｝的公比为4,利用等差数列前"项和公式及等比数列通项公式基本量

运算求出"应，即可求解通项公式；

(2)利用错位相减法求和即可得解.

【详解】(1)设｛%｝的公差为1,也｝的公比为4,

6x5

则6%+寸4=36,解得d=2,

因为（l+d）+1_；jxg=1,所以q=_g,

则%=1+（〃-1）x2=2〃-1,

（2）由（1）得口也=（2〃—1）

则北=Txg+3x*_5xJ+7xg_...+（2〃_3）x1_；]+（2n-l）x^-1j,①

1-jxT；="-3x：+5x*7x*…+（2〃一3）X.£|+（2I）X（一,②

由①-②得9=一；+2X"_2X）+2X：+2x]-；J_（2〃_l）x（一；J

=-1+2—M…+][]-（2"-U

7.（24-25高三上・江苏•阶段练习）记S,为数列｛%｝的前〃项和，且4s“=3a”+4.

（1）证明:数列｛S,-l｝为等比数列;

⑵求数列•等｝的前"项和；

⑶数列间的前〃项和为且〃=eN*),求证：Tn<~.

7

n(n+V)an+2'12

【答案】(1)证明见解析

(2)(2”了+】

(3)证明见解析

【分析】(1)根据4和S”的关系可得=进而求证即可；

(2)先求出勺=4.(-3尸，可得(-1)"-•詈=〃3"一，进而结合错位相减法求和即可;

(3)结合(2)可得“」获一丁・F，进而结合裂项相消法求和即可.

4|_H-3(«+1),3

【详解】(1)证明：当〃=1时，4s1=3q+4=3耳+4,则Si=q=4,

当〃之2时，4sL3(S〃一S1)+4,即，=而岳―1=3。0,

所以数列｛s,-1｝成首项为3,公比为-3的等比数列，

(2)由(1)知，S“一l=3-(-3)i,贝州“=3・(-3)1+1=1-(—3)",

4

由4S“=3%+4,所以%=§⑸一1)=4•(-3尸，

则(-1)1.等=〃.3"一，设｛"•3"一｝前„项和记为Rn,

所以凡=l+2・31+3・32+…+(〃-l).3"-2+〃.3"T①，

则34=卜3+2-32+…+("-2>3"-2+(”-1).3"7+小3"②,

113

①一②得一2此=1+3+3?+…+3"一一小3"='^-^-n-3"=(lzZf±£zl,

"1-32

贝ljRn=(2"：3”+1,即数列“_i)"T.詈，的前〃项和为(2"T：3"+1

(3)证明：由(2)知,4=4・(一3尸，则a,.=4•(-3严，

所以b=(-1严(2"+3)=(-1严(2"+3)=2〃+3=3(〃+1)-〃

所"""("+1)%+24”(〃+1>(-3)向4«(«+1)-3"+14"("+1>3向

_j_M________1____-

一礼£三一(〃+1).3"+[

1r111111

所以小.百一亦+疔一而+…+/一(力+1)3。

_]1]]_

~4｛3~(n+l)-3n+i

因为"eN，所以北=：、_（〃+；3用卜;x；=g.

8.（24-25高三上•黑龙江鸡西•阶段练习）已知数列｛%｝的首项为%=g,且满足%+|+4%+汹“-4=0.

（1）证明：数列为等差数列；

（2）求数列的前“项和为S”;

⑶求数列｛（T）"sJ的前〃项和.

【答案】（1）证明见解析

⑵Si。

7=[/+%〃为偶数

⑶"一为奇数

【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明;

（2）由（1）的结果根据等差数列的前"项和公式可求S,.

（3）分别讨论"为奇、偶的两种情况的前〃项和.

【详解】（1）因为。"+|+4。“+口”-%=0,%=；,

若%+1。.=0，则%=%+1=°，与%=；矛盾，

所以6+四片°，所以%-%=4。"%,

11,11c

所以-------=4,因为%=彳，所以一=2,

aa

„+ln2%

所以数列，:，是以首项为2,公差为4的等差数列.

（2）由（1）知工=2+（"-1>4=4"-2,

an

数列U的前〃项和为Sn=（2+4；-2）"=2/

（3）因为（-1）"S"=2.（-1）”

设数列｛（T）"S"｝的前〃项和为北,

22222

当n为偶数时，Tn=2[-1+2-3+--(H-1)+«],

因为标一(„-1)2=2〃一1,

所以北=2^3+7H---------\-(2n-1)]=2---="(〃+])=/+",

当"为奇数时，"-1为偶数.

7；=1_1+2•(-1)"〃2=(〃一1)〃一2"2=一〃2-〃，

,什〃为偶数

所以(一-〃，〃为奇数.

易错分析：当数列的通项含有(-1)"或者是分奇偶数的分段函数形式时，求数列的和往往

需要分奇偶数进行讨论.

9.(2024•陕西西安•一模)已知数列｛4｝的前〃项和为s“，4=1,且满足(77+l)S"=〃S"+「g"(77+l).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设bn=(片+3%)•cosmt,求数列｛%｝的前“项和4.

【答案】⑴见=〃

)(〃+1)3+(-3户汨俚将

———-----..—，〃为偶数，

24

⑵(=।

H(H+1)3+(-3广4大贴

--——L——,〃为奇数.

I24

【分析】(1)利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得5〃=也由，结合氏=S〃-S-即可求解；

2

(2)由(1)知6“=(-1)"/+(-3)"利用分组求和法计算即可求解.

【详解】⑴根据题意，(〃+1电=码「，(〃+1),所以之吟-2=

2n+1n2

由于・=%=1,贝是以首项为1,公差为3的等差数列，

“…y/V、1n+\ll-n(n+1)

所以一■=1+(〃-1"彳=二1,所以s,=△——',

nv722"2

*-cc»(«+!)("T)〃”

三〃22时，an=5„-5„_1=------------=n.

验证〃=1时4=1满足通项公式，故数列｛4｝的通项公式为a,=n.

(2)由(1)知，=(a；+3"")-cos"7i=(-l)''/+(_3)”.

设（-1）"/的前"项和为4，则当"为偶数时，

2