数列的求和及应用（解析版）-2024-2025学年高二数学同步训练（人教B版选择性必修第三册）

拓展提升01数列的求和

公式法

倒序相加法

角度1加减型

角度2分段函数型

分组求和

角度3an+an+l=f(n)型

题角度4通项卜l)nan型

型

数列的求和分错位相流法

类

角度1等差型

角度2根式型

裂项相消法

角度3指数型

角度4含。)n型

数列求和与不等式

题型清单

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.

①等差数列的前〃项和公式：

“3+。")."(九一1),

Sc„=-------------=na'--------2-----'d-

②等比数列的前〃项和公式：

na^q=1

Qi(1-q")67]—aq.

-1----------=—i-----n-工应丰1

｛l-q\-q

2.倒序相加法

如果一个数列｛。“｝的前〃项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个

数列的前n项和即可用倒序相加法求解.

3.分组求和法

(1)把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.

若数列｛%｝的通项公式为+bn,且｛4｝,｛4｝为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数

列｛%｝的前"项和.

(2)若数列｛%｝的通项公式为奇偶分段数列型或者绝对值分段数列型，可采用分组求和法求数列｛c“｝

的前"项和，注意对"进行分类讨论

(3)一个数列的前"项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如%=(-类型，可采

用两项合并求解.

4.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

常见的裂项公式：

]=£_1]=JJ

+nn+\'+2n+lJ'

111111/—公

(3)-------------=----------------------；(4)~~r=广=；(Va—7b)；

⑸而+1内='〃「+17厂〃；(6)(2"—12""+』广井1一户11

5.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前〃项和

可用错位相减法求解.

错位相减法求和时，应注意：①在写出“s“”与"qS“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,

以便于下一步准确地写出“Sn—qS“”的表达式.

②应用等比数列求和公式必须注意公比1是否等于1,如果[=1,应用公式

02题翊讲

题型01公式法

【典例1】(24-25高三上•辽宁•期中)数列｛%｝中已知对任意自然数+电+〃3+…+。〃=2〃-1,则

---等于()

4〃一141+2

A.T-1B.(2〃一1)2C.

33

【答案】C

【分析】根据条件，利用S〃与求得明=2“T,进而得到片=4〃T,再利用等比数列的前正和公式，即可

求解.

【详解1因为4+出+。3+…+%=2"—1(1),

当〃22时，%++。3+…+an-\~2〃一1一1(2)，由(1)—(2)得an=2〃一2"々=2〃一1,

又q=2-1=1,满足%=2〃T,所以%=2〃T,

由a“=2"T,得到a：=(2'T)2=4"T,

1_d"4"-1

所以a；+a；+a；H--Fa；=1+4H---1-4"1=———=---,

故选：C.

【变式1】（24-25高二上•天津东丽•阶段练习）已知S.为等比数列｛%｝的前n项和，S8=-30,$4=3$2,则

$6=（）

A.-1B.-8C.-10D.-14

【答案】D

【分析】根据前〃项和公式，根据率=1+d=3得d=2,即可根据〉?求解.

d2d6'

【详解】若公比4=1,则见=2邑，这与邑=3星矛盾，故公比不为1,

由S…可得丁亨二―故

S_l-^_1-24_15_75_

又$86一匚『一口7一’，故56_正8一-14,

故选：D

【变式2】（23-24高二上•河南漠河・期末）等差数列｛6｝中，/+%+。4=18,氏=10，则其前100项和为

()

A.5050B.10010C.10100D.11000

【答案】C

【分析】利用等差数列性质得为〃，再利用求和公式求解得答案

【详解】•・•电+。3+。4=18,%=10，

[3。]+64=18[。[=2

•••"，解得「c，

[4+4d=10n[d=2

100x99

所以Si。。=100q+—--d=10100.

故选：C.

【变式3】（24-25高二上•全国•课后作业）在数列｛%｝中，已知%M+%=32,则｛%｝的前10项和为（）

A.2040B.2046

C.4040D.4046

【答案】B

【分析】由已知条件表示出｛%｝的前10项和，再由等比数列求和可得答案.

【详解】因为%+i+a“=3-2",所以的+%=3x21

5

%+%=3x2,,a6+a5=3x2,

+ci~i=3x2,6Z|Q+Q9=3x2,

贝I{%}的前10项和为3(2+23+2$+2,+2<))=3x)=2046.

故选：B.

【变式4】（24-25高二上•福建,期中）已知等差数列｛6｝的前”项和为5“，%+%=55,则九=（）

A.880B.220C.110D.440

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质可求为+须的值，从而可求品,.

【详解】因为由+g=55,所以q+“16=55,

故儿=*%+%6）=8X55=440,

故选：D.

题型02倒序相加法

111

【典例2】（24-25高二上•湖南•期中）若等比数列｛4｝满足%。口=1贝U-------+--------+…+-----------)

6Z]+1①+1。2023+1

20232025

B.1012D.1013

【答案】A

【分析】利用等比数列的性质计算出；+—二（1«〃（2023/eN*）的值，然后利用倒序相加法可求

为+1出024.“+1

得所求代数式的值.

【详解】等比数列｛6｝满足%012=1，则%。2023=42a2022=…==。1012=1，

所以，对任意的1«〃《2023的正整数〃，

[_1]_。"。2024—〃[_42024—〃]

%+1。2024f+1an+ana2024-n。2024-〃+11+“2024-〃“2024-〃+1

令s'+」一+…+'

4+1+1。2023+1

贝I]2s=[」一+—-—+」一+—!—+-■■+—i—+」—]=2023,

I4+1。2023+1JI。2+1。2022-1~J\°2023+1卬+1J

c1112023

S-----------1-------------1-------1---------------

Q1+12+1。2023+12

故选：A.

【变式1】(24-25高二上•全国•课后作业)已知数列｛%｝中，q------,则S=%+%+…+〃97+〃98=

2n-99

()

A.96B.97C.98D.99

【答案】C

【分析】利用倒叙相加法求和即可.

■、斗时、096949698

【详解】5=^+(22+---+(297+«98=—+—+—+—0,

c98969496小

S—QQR+QQ7+…+Q)+QI---------1--------F…H--------1-------(2),

9897197959597

9694969898969496

①+②得2S=------1--------F•••H--------1------------1--------F•••H--------1------

9795959797959597

9698949696949896

------1------+------1------+•••+------1------+------1------

9797959595959797

=2+2H----1-2+2=98x2,

所以5=98.

故选：C.

【变式2】(24-25高二上•全国,课后作业)已知正项数列｛0“｝是公比不等于1的等比数列，且

2

1g%+1g02023=0,若小)=币7,则/(4)+/(%)+…+/(%023)等于()

A.2022B.4036C.2023D.4038

【答案】C

【分析】根据题意结合等比数列的性质可得为•«2023=«2-a2022=a3-a202l=…=片1n=1，根据函数解析式可得

/(x)+/1：j=2,利用倒序相加法运算求解.

【详解】因为正项数列｛%｝是公比不等于1的等比数列，

且1g+1g。2023—°，则1g，“2023)=。，即％,“2023—，

aa

结合等比数列性质可得号，2023=2'。2022='。2021=…=%012=1>

又因为函数〃同=导，则“耳+/[£|=.+==：卓=2,

X2

令7=/(q)+/(%)+…+/(.21)23)，则7=/(%。23)+/(%022)+~+/(%)，

可得27=/(4)+/(。2023)+/(。2)+/(4022)+…+/(电023)+/(%)=2*2023,

所以7=2023.

故选：C.

【变式3】(24-25高二上•上海,阶段练习)已知函数/(x)=占，数列｛%｝是正项等比数列，且％。=1,

(1)计算〃+的值；

⑵用书本上推导等差数列前〃项和的方法，求/(1)+/(。2)+/(%)+--+〃阳)+〃％9)的值.

【答案】(1)1;

吠

【分析】(1)直接代入/'(x)+/d)化简即可；

(2)由(1)/(x)+/(l)=l,结合等比数列性质，即可求解.

X

【详解】(1)因为函数〃x)=」7，

X+1

二匚I、If(X)+f(­)=-----1-----T=-----1-----=1

所以Xl+x11l+x1+X

1H--

X

(2)因数列｛4“｝是正项等比数列，且%0=1,贝1]%%9=。2%8=。3%7=,,=温=1，

所以/(«1)+/(«19)=/(«1)+/(-)=1,

%

同理f(a2)+/际)=/⑷+"%7)=…=/(«10)+/(«10)=1，

令5=/(%)+/(电)+/(。3)+…+/(48)+/(。19)，

又5=/(%9)+/(《8)+/(%7)+…+/(4)+/(%)，

19

则有2s=19,故5=了，

所以〃。1)+/(。2)+/(%)+…+/(48)+/(。19)=5.

题型03分组求和法

■角度1和差结构型

【典例3](24-25高二上•天津滨海新,阶段练习)已知数列｛%｝的前〃项和为S“且满足S,=2%-1(«eN,

等差数列低｝满足4=1,且％也+1也+6成等比数列.

(1)求数列｛%,｝与低｝的通项公式；

(2)记数列｛6+4｝的前〃项和为北,求人

【答案】①。，=2"、b„=3n-2

【分析】（1）利用一=%-其求出%；设等差数列低｝的公差为d,由他+1）2=a（4+6））求出d=-l可

得2；

（2）利用分组求和的方法可得答案..

|详解1（1）S"=2%-1,Sn+l=2%+]-1,

%=S"+「S"=2an+1-l-（2an-l）=2an+l-2an,

an+\=2a“,又：％=1,

所以数列｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列，则。"=2"'

设等差数列加J的公差为"，

则由4=1,也+1）2=b2M+6）得（2+2d了=（1+d）（7+3d）,

解得："=一1或"=3,

"=-1时，=此时伪=2-2=0,构不成等比数列，舍去，

所以“=3”-2；

n

（2）an+bn=2-'+3n-2,

7；=（2°+2+---+2,"1）+（1+4+---+3«-2）

1-2",〃。+3”-2）

=-----1------------Z—In---------.

1-222

【变式1】（24-25高二上・甘肃张掖•阶段练习）已知等差数列｛%｝的公差d>0,其前〃项和为S〃，若

邑=6,且％,出，1+。3成等比数列.

⑴求数列｛4“｝的通项公式；

⑵若6“=%+2一％,求数列6“的前项和7；.

【答案】⑴％二〃

+1)

(2)4=——^+1-

2

【分析】（1）根据等差数列前3项和以及等比中项的性质构造方程组计算可得%=〃；

（2）利用分组求和以及错位相减法计算可得结果.

%(1+43)=

【详解】（1）依题意可得

+〃2+。3=6'

,%(1+%+2+(%+疗，整理可得八/2=。,

即

3al+3d=6

解得"=1或"=-2（舍），所以q=l；

即可得4,=%+（〃T）4=1+〃T=〃，

所以数列｛%｝的通项公式%=〃；

(2)由(1)可得2=%+2一"”="+2-0=〃+I

北=4+"+”+…+2

=1+2+3+---+«+-+|-

2(2

=^1+1-QJ.

可得小一+1七卜

【变式2】（24-25高二上•上海,阶段练习）已知等差数列｛%｝的前"项和为S"，%=3,且$6-53=45,数

列也｝为等比数列，公比为2,且4+&+—14.

⑴求数列｛%｝与低｝的通项公式；

（2）设数列,“｝满足c”=an+bn,求数列｛c„｝的前〃项和Tn.

【答案】⑴。，=3"；bn=T

（2）7；=3"2；3〃+2用_2

【分析】（］）由等差数列与等比数列前〃项和公式，分别求得公差与4,带入等差数列与等比数列的通项公

式即可；

（2）由等差数列与等比数列前〃项和公式可得.

【详解】（1）设｛%｝的公差为d,因为邑-邑=45,所以g+%+&=45,

又%=3,贝ij（3+3d）+（3+4d）+（3+5d）=45,故〃=3,

所以。*=3+（“-1>3=3”；

因为4+62+"=14,q=2,所以4+24+44=14,解得々=2,

所以6,=6「27=2-2"7=2".

（2）结合（1）可得:

«(3+3«)2(1-2")3/+3"1

=4+%+,,•+%+4+“2+•,,+”〃---------------1--------------=--------------rZ-乙

21-22

【变式3】（24-25高二上•湖南永州•期中）已知等差数列｛%｝满足%=2,«4+2a6=16.

⑴求数列｛。“｝的通项公式；

⑵设6,=%+2%,求数列｛2｝的前"项和S）,.

【答案】（1）。“=〃

（2）2向+四/一2

【分析】（1）设出等差数列｛%｝的公差，结合已知条件列出方程，进而求出通项公式.

（2）由（1）的结论，利用分组求和法及等差、等比数列前〃项和公式求解即得.

【详解】（1）设等差数列｛0”｝的公差为d，由。2=2,'+206=16,

[a,+d=2隆=1

得4,解得4,

1%+3d+2（Qi+5d）=16附寸=l

所以数列｛%｝的通项公式为：%=1+（"-1）X1=".

（2）由（1）知"="+2",则S“=4+a+…+6“=（1+2）+（2+22）+…+（〃+2"）

=（1+2+-+"）+（21+22+~+2"）/（,1）+2（]；）=2%亚丁）_2.

■角度2分段函数型

【典例4】（24-25高三上•内蒙古包头•开学考试）已知正项数列｛叫的前〃项和为S",且2s

（1）求｛%｝的通项公式；

%,“为奇数

⑵设a=]〃为偶数，求数列也｝的前2"项和八•

44+2'

【答案】（1）。“="

11

（2）七二二?+1

4〃+4

【分析】⑴利用%=f'5.,金n=l或2

来求得｛凡｝的通项公式.

（2）利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列抄“｝的前2〃项和心

【详解】（1）依题意，2S„=«„（«„+1）,a„>0,

当”=1时，2%=%(q+1),解得q=1,%=0(舍去).

当心2时,由2S“=%(%+1)得2S“T=—(%T+1),

两式相减得2%=a~+an-a~_i-an_x,a；-a^_x-(an+an_x)=0,

即（%+。,一1）（%-%八T）=。，由于4+%>0,

所以%-%一1=0,%-%=1（〃22）,所以数列｛。“｝是首项为1,

公差为1的等差数列，所以（为=1也符合）.

为奇数

⑵由⑴得a=为偶数，

〃（〃+2）2\n〃+2）

所以4〃=bl+仇+4+"+…+力2〃一1+b2n

=(4+4+・-+%)+92+64+•••+&/

1

2〃+2

1±^.

2〃+2甲(2一，2«+2)］=­44〃+4

a+1,〃为奇数,

【变式1】（24-25高二上•江苏苏州•期中）已知数列｛0“｝的前”项和为S"，且%=1,«„n

+1q,+2,”为偶数,

则$2。的值为（）

A.300B.29C.210D.29-1

【答案】A

【分析】由递推关系得｛“〃｝的奇数项是首项为q=1,公差为3的等差数列，再利用分组转化求和以及等

差数列的求和公式求解即可.

【详解】若〃为奇数，贝lj"+l是偶数，〃+2是奇数，

则%+1=%+1，①

aa

„+2=„+l+2，②

①+②得：“〃+2=%+3,

所以｛4｝的奇数项是首项为q=1,公差为3的等差数列；

3+〃5+…+〃19)+2+〃4+〃6---20)

所以S20=(%+〃(。+。

=(。］+。3+。5+.’,+419)+("1+1+%+1+%+1+.,,+%9+1)

=2(〃］+%++…+69)+I。

(1f)X9\

=210x1+^—x3+10=300.

故选:A.

为偶数

【变式2】（23-24高二下•广东佛山•阶段练习）已知数列｛与｝满足%=%=1,a,川=卜“+1,”为奇数则数

歹U｛a,｝的前2n项和s2n=.

【答案】2"+"2+"-2

2

【分析】由题意数列｛七｝的所有偶数项构成以1为首项2为公比的等比数列，所有奇数项构成以1为首项1

为公差的等差数列，分组求和即可.

2%,“为偶数

【详解】由。,+2为奇数可得'

数列｛2｝的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列,

数列｛2｝的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列,

前2〃项和邑“=5奇+S偶=2"+n'+n~2

2

故答案为：2"+"2+"-2

2a","是偶数

【变式3】（24-25高二上•江苏苏州•阶段练习）已知数列｛与｝满足%=3,且％M

an-1,"是奇数'

（1）设4=%,+%—，证明：也-3｝是等比数列;

⑵求数列｛%｝的通项公式；

⑶设数列｛。.｝的前n项和为S”，求使得不等式E,>2022成立的〃的最小值.

【答案】⑴证明见解析；

2尸+1,〃是偶数

（2）%=彳；

2h+2,〃是奇数

(3)20.

【分析】（1）由已知条件，用均表示出a,得出。2“="，再用均表示出a”得出出“二写。，联立

得出b„+1=2b”-3,通过构造得出如「3=2（4-3）,检验“-3片0,即可得出证得结论.

（2）由（1）求出“，再求出。2小即可求出数列｛%｝的通项公式.

（3）由（2）的结论，探讨数列岱“｝的单调性，再计算判断即得.

2。”,”是偶数

【详解】⑴由%M得ain=a2n-l~1>。2”+1=2a2"，02"+2=g0+111，

<2„-1,〃是奇数

b-1

则出i=%+l，又。=。2”+。2"-1，于是d=%.+%,+1=2%+1，解得%=六一

又bn+l=a2n+2+a2n+1,则bn+l=a2n+l-1+a2n+l=2a2n+l-1=4a2„-l,解得a2n=

因止匕勺1=11,整理得6网=2'-3,即6角一3=20一3),

由%=3,得出=4—1=2,贝ij4=%+4=5,4一3=2w0,

所以数列｛4-3｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

_i_Q_1

(2)由(1)知，%―3=2〃，即或=2〃+3,%〃==2〃T+1,4〃―1=电〃+1=21+2,

fj

z)22+1,〃是偶数

所以数列｛%｝的通项公式是见=

2~+2,”是奇数

(3)由(2)知，出"-1+g"=2"+3,贝!!$20=——+3n=2,,+1+3〃-2,

1—2

5=$2-$21，S2n+1=S2n+a2n+l>S2n,因此数列｛SJ是递增数列，

n

而又=3x29+3x9=1563,S20=2+3x10-2=2076>2022,

所以使得不等式J>2022成立的„的最小值是20.

■角度3(-1)"%型

【典例5】(24-25高二上•福建莆田•阶段练习)(多选)已知数列｛%｝：2,-4,6,-8,10,-、记｛对｝的前〃项和为

S“，下列说法正确的是()

A.«„=(-2)"+1B.一%｝是等差数列

C.百7>百9D.$39=40

【答案】BD

【分析】通过观察数列各项可得选项A错误；根据数列通项公式计算出小，结果为关于〃的一次函数形

式可得选项B正确；禾|J用句9=岳7+%8+%9,代入数据可得选项C错误；利用分组求和可得选项D正确.

【详解】A.根据数列各项可得a“=(-1)用•2〃，选项A错误.

B.a2,一-a2n=(-I)?"-2(2〃一1)一(一I)?"--4〃=4〃-2+4n=8«-2,

是以6为首项，8为公差的等差数列，选项B正确.

C.S19=S*+%8+/9=A7—36+38=Su+2>S17,选项C错误.

D.S39~(4+)+(。3+--------1"(437+”38)+。39

二(2-4)+(6-8)+…+(74-76)+78=-2x19+78=40,选项D正确.

故选：BD.

【变式1】(24-25高二上•广东东莞•期中)已知公差d*0的等差数列｛为｝满足？+。4=10，%，的，％成等

比数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设。求可+Z+4+,,,+%

【答案】⑴4=2〃-1

(2)20

【分析】(1)根据等差数列｛%｝的通项公式表达出+%和4，/，%成等比数列，解出即可求解;

(2)求出”=(-1)%〃，再并项求和即可.

【详解】(1)解：由题设％+。4=2%+4d=10,

因为%,a2,生成等比数列，即■二%•%,

所以(%+dp=%(Q]+4(7),

2al+4(7=10

可解得%=l,d=2

(q+d)2=%(q+4d)

所以%=为+(〃—1)d=2〃—1

(2)解：因为“=(-!)%〃，

以4+Z>2+&+…+人20=—"1+出—。3+。4—…—"19+。21

=(。2—+—%)+…+(〃20—q9)=2X10=20.

【变式2】(24-25高二上•江苏•期中)已知数列｛%｝是等差数列，且4>0恒成立，它的前四项的平方和为

54,且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2.

(1)求｛。”｝的通项公式.

(2)若“=(T)”a，〃eN*,求数列仞｝的前100项和“.

【答案】⑴%="+1;

(2)5150.

【分析】(1)根据给定条件，建立首项卬、公差d的方程，进而求出通项公式.

(2)由(1)求出“，再利用并项求和法求解即得.

【详解】(1)设｛。"｝的首项为q,公差为d,

依题意，(％+d)(%+2<7)-%(%+34)=2,解得"=1或d=-l,

由%>0恒成立，得"=1,

又0；+(%+1丫+(%+2『+(为+3『=54,而%>0,解得%=2,

所以｛%｝的通项公式*=2+("-1)」=〃+1.

(2)由(1)知，〃=(一1)"5+1)2,

2

则%”-1+&=-4"2+(2n+1)=4«+1,

所以儿。=伯+3+他+")+…+(砥+狐。)=50(5；201)=5150.

【变式3】(24-25高二上•江苏•期中)已知等差数列｛0.｝的前〃项和为S,,满足%+&=10，$7=49.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设6"=(-1)"。0,求4+b2+b3+•••+%.

【答案】⑴氏=2〃-1

(2)20

【分析】(1)根据题意，列出关于qS的方程，代入计算，即可得到结果;

(2)由并项求和法代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)设等差数列的公差为"，

2al+4d=10<7j=1

由题意可得，解得所以a“=21.

7al+2\d=49d=2

(2)由(1)可得”=(一1)%=(-1)"(2〃一1),

以4+/+4+…+4o=(-1+3)+(-5+7)+…+(-37+39)=2x10=20.

■角度4%+an+l=/(〃)型

【典例6】(24-25高三上•江苏苏州•期中)在数列｛6｝中，an+an+x=2n,则数列｛。“｝前24项和S24的值为

()

A.144B.312C.288D.156

【答案】C

【分析】根据题意，结合%+。用=2",将｛%｝前24项和$24转化为等差数列求和问题.

【详解】因为(+(+1=2〃，

bi12x(2+46)

以84=q+a,+%+…+/4=2+6+10+…+46=---------------=288,

故选：C.

【变式1】(23-24高二下•江西萍乡•期中)数列｛%｝(〃eN*)满足q=1,前〃项和为S“，对任意正整数“都

有%+1+。“=〃+3,则$8=()

A.18B.28C.40D.54

【答案】B

【分析】代入递推关系式，直接求和.

【详解】由见+1+。“=〃+3可知，

S&=(%+出)+(。3+04)+(>5+%)+(%+08)'

=4+6+8+10=28.

故选：B

22

【变式2】（23-24高二下,江苏南京•阶段练习）已知数列应｝满足％=1,电=3,«„+2=（l-2sin^>„+cos^,

则该数列的前22项和为（）

A.69B.88C.89D.96

【答案】C

【分析】利用条件分奇偶讨论的关系，利用分组求和法计算即可.

【详解】当〃为奇数时，an+2=~an,

当”为偶数时，an+i=an+l,

以*S*22=4+。2+03+，，，++^22

=（%+/+,,,+〃21）+（42+〃4+°,,+42）

=（1—1+1—1+…+1）+（3+4+…+13）=89.

故选：C

【变式3］（23-24高二下广西南宁・期末）已知数列｛叫满足％=1,%+%=3〃+2,则其前9项和59=_.

【答案】69

【分析】由分组求和法即可得解.

【详解】Sg=%+（g+。3）+（。4+。5）+（。6+%）+（。8+。9）

=1+（3X2+2）+（3X4+2）+（3X6+2）+（3X8+2）=69.

故答案为：69.

题型04裂项相消法

■角度工等差型

【典例7］（23-24高二上•河南漂河・期末）已知数列｛%｝满足：4=1,%+|=霍］.

⑴若，=一,求证：｛"｝为等差数列.

an

⑵求数列｛。/向｝的前〃项和S".

【答案】⑴证明见解析

【分析】（1）将两边取倒数，即可得到以「或=2,从而得证;

（2）由（1）可得%=，，从而得到。1AM二-利用裂项相消法计算可得.

2n-l2y2n-l2n+lJ

a12a+1小1

【详解】（1）因为。用=」n7,所以一=-n^=2+一,

2%+1%a,an

11c,1,

即-------=2,b-，又4=—=1,

%%«i

所以也“｝是以1为首项，2为公差的等差数列；

（2）由（1）可得〃=^-=2"-1,贝

%2n—1

1•_If11）

所以。"。用=―T,歹二7=彳|一'

2n-l2z?+l212〃-1In+lJ

所以S"4■-对U+…-&]

2v3）2[35）212〃-12/7+1J

1/1111111I/111n

2（13352n-l2n+1）2（2n+\）2n+\

【变式1】（24-25高二上・天津滨海新•阶段练习）等比数列｛与｝中，%=3,%=81,则数列------------

[log3a„-log3a„+1J

的前2022项和为（）

2020202120222021

A.B.C.D.------

4044202220234046

【答案】C

【分析】先求出等比数列的通项公式，然后根据裂项法求和.

【详解】设等比数列的公比是4,则4=%/,即3/=81,解得4=3,

111_11

Jze.一—3，n+1

log3a„-log3a„+1log,3"-log,3n（n+1）nn+\

于是[1--------]------|--的-刖2022项和为1+H-----2RE12022

^log3a„-log3«„+1J223202220232023

故选：C

【变式2】（24-25高二上•天津东丽•阶段练习）已知数列｛%｝满足4=1±2+3+…±1,则数列的

”+1〔4a,4+J

前〃项和S”=_____________

VI

【答案】ZT

【分析】根据等差数列求和公式可得。“=],再利用裂项相消法求和.

(1+〃)〃

【详解】由已知1+2+3+…+〃2〃，

a：=：-=T

n=〃+1H+12

1111

则~A=(二----77，

所以s=i--+---+---+--一—=1-一匚=」-

"223nn+\n+\〃+l

故答案为：言p

【变式3】(24-25高二上•黑龙江绥化•阶段练习)已知等差数列｛乙｝的前〃项和S“满足$3=-3,S7=-21.

(1)求｛叫的通项公式;

,1、

(2也=-%+1,求数歹U｛嘉1｝的前"项和却

【答案】(1)«„=-»+!;

2)7；,=-----型土^—.

〃42(〃+1)(〃+2)

【分析】(1)利用等差数列的前〃项和公式求出]「进而求出通项公式.

[a=-1

(2)由(1)的结论，利用裂项相消法求和.

(1S?=3〃[+3d——3fa,

【详解】(1)设等差数列｛00｝的公差为d,则;01解得;

所以%=%+(〃一l)d=-〃+1.

(2)由(1)知，b=n,贝！1--------=-----------=—(-------------)

n」44+2〃(〃+2)2nn+2

所以[=\[(1…+(^7^)+(工-----)]

232435n-ln+1nn+2

1Z1111、32〃+3

=—(IT------------------------)=--------------------------

22n+1n+242(n+1)(«+2),

■角度2根式型

【典例8](23-24高二下•重庆九龙坡•阶段练习)数列｛%｝的前〃项和为色，且邑="2+2〃,

2

“匹+，则数列的,｝的前"项和为(=()

A.J2〃+1—Jin—1B.J2n+3-1

C.72/7-2D.V2W+3-V3

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用。“S”的关系求出。“，再利用裂项相消法求和即得.

2

【详解1数列｛%｝的前n项和Sn=n+2n,

当〃N2时,an=S„-ST="+2〃-[(〃-+2(〃-l)]=2n+l,而4=E=3满足上式，

2_________

因止匕=2〃+1,b=,----]-------=二2〃+3-J2〃+1,

j2〃+l+j2〃+3

以北=(y/5—A/3)+(s/7—y/-5)+(V9—)H----F(J2rl+3—J2AZ+1)—<2n+3—\/3.

故选：D

【变式1】(24-25高二上•江苏苏州•阶段练习)已知数列｛%｝满足

2〃一%+2〃一2或+…+2j+4=3・2〃―〃—3,若=如：",则数列｛g｝的前〃项和北=.

【答案】AA?+2-V2

【分析】根据所给递推关系，得出2〃一2%+2〃-3〃2+...+〃1=3-21-〃+1-3,两式相减即可求解通项公式,

再利用裂项相消求和即可得解.

【详解】当〃=1时，％=3-21—1—3=2,即％=2.

2"।%+2"2?+…+2a〃_]+cin=3,2°—w—3(1^)

当心2时,2〃-2%