数与式、方程、不等式的计算-2025年中考数学二轮复习热点题型专项训练（解析版）

专题01数与式、方程、不等式计算

目录

热点题型归纳.............................................................................................1

题型01实数计算..........................................................................................1

题型02整式及因式分解的运算.............................................................................4

题型03分式及分式方程...................................................................................9

题型04二元一次方程组的计算............................................................................16

题型05一元二次方程的计算..............................................................................22

题型06一元一次不等式（组）..............................................................................27

中考练场.................................................................................................33

题型01实数计算

01题型综述________________________________________

实数计算是初中数学的核心基础内容，分值占比约5%-10%,贯穿代数、几何等综合题型。

1.考查重点：四则运算（含乘方、开方）、绝对值化简、运算律灵活应用；

2.高频题型：混合运算题、数轴结合比较题；

3.高频考点：乘方与开方符号处理、绝对值非负性、运算顺序规范；

4.能力要求：运算顺序的严格执行、符号敏感度（如负号与括号）、估算验证能力、步骤规范性；

5.易错点：混淆乘方符号（如—32=-9与（-3）2=9）、运算顺序跳步等错误。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.实数的运算法则：

先乘方，再乘除，最后加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。

2.绝对值的运算：

时〜"；一：：），常考形式：卜-4=伏-小）。

3.根式的化简运算：

①利用二次根式的乘除法逆运算化简。乘除法：/a-4b=4ab-,*=1•,

②二|4；③=a。

自A用右拜小用1______-千，加_____._4a+4b

4a±4b[^±4b^]~a+4b^ct-b

④二次根式的加减法：a4m±b4m=（a±b）4m。

4.0次幕、负整数指数幕以及-1的奇偶次幕的运算：

①J=l（aw0）；©a-n=—；®-lw=-l；④（T）"HfL。

'，an[-1（"是奇知

5.特殊角的锐角三角函数值（附加）：

三角函数30°45°60°

J_V3

sinaV2

2~^2~r

V3

cosaV2

~2~~2~~2

V3

tana1V3

3

【典例分析】

例1.（2024.湖南长沙.中考真题）计算：（^）-1+|-V31-2cos30°-（7t-6.8）°.

【答案】3

【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数塞、负整数指数幕的意义，特殊角的三角函值化简，再

算加减即可.

【详解】解：原式=4+&-6-1=3.

【变式演练】

1.（2025・广东阳江•模拟预测）计算：（-3）°+1；）X4-|73-2|.

【答案】73

【分析】本题考查实数的混合运算，根据零指数累、有理数的乘方，以及化简绝对值，求解即可.

【详解】解：（兀一3）°+[-；]、4_|函一21

=1+1X4-（2-A/3）

=1+1-2+73

=A/3

0（万丫2

2.（2025•陕西西安•一模）计算：（括—1）。+二+sin60°+|l-^|.

I2J

【答案】2+巫

2

【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数累，负整数指数累，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，熟练掌握运

算法则是解题的关键.根据运算法则进行计算即可.

【详解】解：原式=1+2+与g

2

=2+坦

2

3.（2025・广东•模拟预测）计算：阿-2%（无-2024）°+-4cos45°.

【答案】3

【分析】本题考查了实数的运算，根据特殊角的三角函数值，零指数累，负整指数累以及二次根式的化简即可解答本

题.

【详解】原式=我-2+1+4-4X走

2

=20-2+1+4-20

=3.

4.（2025・湖南娄底•一模）计算：-1-21+f-——+2tan60°-至

1112024J

【答案】-1

【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算.

先计算零次累、二次根式、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算加减.

【详解】解：-|-2|+f+2tan600-V12

1112024J

=-2+1+273-2^

=-1.

题型02整式及因式分解的运算

01题型综述

整式及因式分解的计算是初中数学代数运算的基础内容，涉及代数式的化简、变形与分解，分值占比约5%-10%（以中

考卷为例）。

1.考查重点：整式的四则运算、乘法公式的灵活应用，以及因式分解的基本方法（提公因式法、公式法、分组分解法

等）。

2.高频题型：选择题、填空题中的直接计算题，解答题中的化简求值或综合因式分解题。

3.高频考点：完全平方公式与平方差公式的应用、多项式因式分解的彻底性、代数式化简中的符号处理。

4.能力要求：准确快速的计算能力、代数式结构观察能力、公式逆用与变形的逻辑思维能力。

5.易错点：运算中符号错误（如负号遗漏）、公式混淆（如（a-6）2误写为标一/，因式分解不彻底、混淆乘法公式

展开与因式分解方向。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.合并同类型:

法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。

2.整式的加减的实质：

合并同类项。

3.整式的乘除运算：

①单项式X单项式：系数相乘，同底数募相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。

②单项式义多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

③多项式义多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

④单项式+单项式：系数相除，同底数幕相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。

⑤多项式小单项式：多项式的每一项除以单项式，变成单项式除以单项式。

4.乘法公式：

①平方差公式：口+为口―6)=。2—62。

②完全平方公式：｛a+bf=a1+2ab+b2.

5.因式分解的方法：

①提公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)；

②公式法：平方差公式：a^-b2=(a+b^a-b)

完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+bf.

③十字相乘法：在f+bx+c中，若C=7侬且加+〃=从加，”均为整匏，贝I」：

x2+bx+c=[x+m^x+n)o

【典例分析】

例1.(2024•云南・中考真题)分解因式：a3-9a=()

A.a(a-3)(a+3)B.a(a2+9)C.(a-3)(a+3)D.a2(a-9)

【答案】A

【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键.

将/一9。先提取公因式，再运用平方差公式分解即可.

【详角军：/_9a=a(a~-9)=a(a+3)(a-3),

故选：A.

例2.(2024•江苏常州•中考真题)先化简，再求值：(尤+以-尤(尤+1),其中尤=百一1.

【答案】x+1,6

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，

然后合并同类项化简，最后代值计算即可.

【详解】解：(x+1)2-x(x+l)

=x2+2x+1—x~—x

=x+l,

当x=A/3—1时，原式=A/3—1+1=5/3.

例3.(2024.山东济宁.中考真题)先化简，再求值：

x(y-4x)+(2x+y)(2x-y),其中％y=2.

2

【答案】-3

【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代

入计算即可求出结果.

此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【详解】解：x(y—4x)+(2x+y)(2尤一y)

二孙-4x2+4x2-y2

2

=xy-yf

当x=2，y=2时，

2

原式=：x2-22=1-4=一3.

【变式演练】

1.（2024•内蒙古通辽•中考真题）因式分解3a无2-6ovy+3ay2=.

【答案】3a（x-y）2

【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可.

【详解】解：原式=3a（f-2盯+力=3°（无-y）2；

故答案为:3a（x-y）2.

【点睛】本题考查因式分解.解题的关键是掌握因式分解的方法.

2.（2025•河南郑州•模拟预测）先化简，再求值：3a（a2+2a+l）-（-a+4a+l）,其中。=1.

【答案】8

【分析】本题主要考查整式的混合运算，单项式乘以多项式，化简求值，先根据单项式乘以多项式的法则将括号去掉,

然后再进行合并同类项，最后将a的值代入化简后的式子得出答案.

【详解】解：原式=3。3+6。2+3。+。一4。-1=3（/+6。2_1,

当〃=1时，原式=3xl+6xl—l=8.

3.（2024•浙江台州・二模）先化简，再求值：（5a2-3b2）+2（2b2-3a2）,其中.=6=2.

【答案】b2-a2,3

【分析】本题考查整式的化简求值，将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可.

【详解】解：（5/-3从）+2（2斤一3/）

=54-362+4/一6a2

=b~-a1>

当a=T,6=2时，

原式=2y-l）2=4-1=3.

4.（2024.内蒙古通辽.中考真题）先化简,再求值：（2。+6）（2。叫-（〃+媚4。-6）,其中〃=-应力=2.

【答案】-3ab,6立

【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后代入计算即可；

【详解】解：（2a+b）（2a-b）-（a+b）（4a-b）

=4a2—Z?2-4o2+ab-4ab+b2

=—3ab,

当〃=—Z?=2时，

原式=-3、卜闾x2=60；

5.（2025・陕西・一模）先化简，再求值：J（3xy+2xy2）-14x2y44-7xy2,其中x=2,y=T.

【答案】孙2+2孙3,_2

【分析】此题考查了整式的混合运算.先根据单项式乘以多项式和多项式除以单项式运算法则进行化简，再把x=2,

y=-i代入计算即可.

【详解】解：y（3xy+2xy2）-14x2y4^xy2

=3盯2+2xy3-2xy2

=xy2+2xy3,

将尤=2,,=_］代入得原式=2*(_1)2+2*2*(_1)3=2_4=_2.

6.（2025・湖南长沙•模拟预测）先化简，再求值，（%-y）（x+y）+（x+y）2-2%2,其中x=-2,>=

【答案】2孙，-1

【分析】本题主要考查了整式混合运算-化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键.

先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并，然后把x=-2,y代入，即可求解.

4

【详解】解：（工-田口+/+0+丫/—

=x2-y2+x2+2xy+y2-2x2

二2犯，

当x=-2,y=:时，

4

原式=2x（—2）x—=—1.

题型03分式及分式方程

01题型综述___________________________________________

分式及分式方程的计算是初中数学代数运算与方程应用的核心内容，分值占比约8%-12%（以中考卷为例）。

1.考查重点：分式的基本性质（约分、通分）、分式四则运算、分式方程的解法（去分母法）。

2.高频题型：分式化简与求值题、分式方程的计算。

3.高频考点：分式有意义的条件（分母不为零）、分式方程增根的检验、复杂分式化简中的因式分解技巧。

4.能力要求：分式运算的细致性（符号、通分顺序）、方程变形中的逻辑严谨性。

5.易错点：忽略分母为零的情况、去分母时漏乘项或未检验增根、分式化简过程中符号或运算顺序错误。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.分式的概念及性质：

A

形如4、3都是整式的式子叫做分式。简单来说，分母中含有字母的式子叫做分式。

B

分式的分子与分母同时乘上（或除以）同一个不为0的式子，分式的值不变。即：

4=①，2=生£（%。）。

BBCBB+C7

2.分式的通分：

把几个异分母的分式利用分式的性质化成分式值不变的几个同分母的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做

分母的最简公分母。

公分母=系数的最小公倍数乘上所有字母（式子）的最高次幕。

3.分式的约分：

利用分式的性质约掉分式中分子分母都存在的公因式的过程叫做约分。

公因式=系数的最大公因数乘上相同字母（式子）的最低次幕。

分子分母不存在公因式的分式叫做最简分式。约分时一般把分式化成最简分式。

4.分式的加减运算：

ACA+C

①同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。即：-+-=--O

BBB

②异分母的分式相加减，先通分成同分母的分式，再按照同分母的分式进行加减。即：

ADACBDAC+BD

BC―BCBC-BC°

5.分式的乘除运算：

AnAj~）

①分式的乘法：分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。即：——=—O

BCBC

ADACAC

②分式的除法：除以一个分式，等于乘上这个分式的倒数式。即：O

BCBDBD

6.分式方程的定义：

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

7.分式方程的解：

使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。

8.解分式方程。

具体步骤：

①去分母一一分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。把分式方程化成整式方程。

②解整式方程。

③检验一一把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。若公分母不为0,则未知数的值即是原分式

方程的解。若公分母为0,则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。

【典例分析】

例1.（2024.甘肃临夏.中考真题）化简：（a+l+—+土耳

（a-\）a-\

【答案】士

【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题关键.根据分式的混合运算法则计算即可.

【详解】解：

1a-1Ja-1

（〃一1）（〃+1）1+

=------------1-----H------------------

ci—1a—1a—1

Q2—1+1ci—1

=-------X-----

a-1+

Q?Q—1

----x—----

Q-lQ（Q+1）

a

a+l

例2.（2。24.宁夏.中考真题）先化简,再求值：1-占二^，其中a=l-万

a

【答案】a-1,—y/2

【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

先将先括号内通分，去括号，除式分子分解因式，再约分化简，继而将。的值代入计算可得.

【详解】解：磊a?—1a

VTJ.,

aa+la

当a=l-忘时,

原式=1—y[2—1=—\/2.

例3.（2024•黑龙江大庆•中考真题）先化简，再求值：［1+义］+其中》=-2.

1x-3Jx-6x+9

【答案】上；，-2

x+3

【分析】本题考查了分式的化简求值.原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变

形，约分得到最简结果，把X的值代入计算即可求出值.

3YX2-9

【详解】解:[尤-3)x2-6x+9

^-3,3Y(x+3)(x-3)

1%-3x—3j(x-3)2

xx-3

x-3x+3

x+3

当％=—2时，原式==_2.

-2J+3

2x

例4.（2024•陕西・中考真题）解方程：^—+——=1.

x-1x-1

【答案】%=-3

【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检

验即可.

【详解】解：—2+*x=1,

X-1x-1

去分母得：2+1（％+1）=—1,

去括号得：2+/+%=%2-1,

移项，合并同类项得：%=-3,

检验：把％=-3代入(x+l)(x-1)得：(—3+1)(—3—1)=80,

*e•i=-3是原方程的解.

3x

例5.(2024.福建・中考真题)解方程：一=+1=；

x+2x-2

【答案】x=10.

【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题.

3x

【详解】解：17r「三，

方程两边都乘(x+2)(x—2),得3(%—2)+(x+2)(%—2)=x(x+2).

去括号得：3X-6+X2-4=X2+2X,

解得了=10.

经检验，1=10是原方程的根.

【变式演练】

1_r3

1.(2025・陕西西安・一模)解方程：--=-^--1.

x+1x-1

【答案】X=1

【分析】本题主要考查解分式方程，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键.

先去分母，移项，合并同类项，系数化为1,检验根，由此即可求解.

1-x31

【详解】解:------=~?-------1

%+1x—1

等式两边同时乘以(x+D(x—l)去分母得，(l-x)(x-l)=3-(x+l)(x-l),

去括号得，-X2+2%-1=3-X2+1,

移项、合并同类项得，2x=5,

系数化为1得，尤=g,

检验，当x=g时，原分式有意义，

•••原分式方程的解为％=二.

2

x-21

2.（2025•陕西西安•一模）解方程：一--^-=1.

x+2x-4

7

【答案】x=-

【分析】本题主要考查分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键.根据分式方程进行求解即可，注意要检

验.

x—21

【详解】解:=1

x+2(x-2)(x+2)

两边同时乘以(X-2)(X+2),得：(X-2)2-1=(X+2)(X-2),

x2-4x+4-l=x2-4

-4x=-7，

7

X~4,

7

将彳=—代入（尤-2）（彳+2）与0,

4

7

故x=：是原分式方程的解.

4

m2-4m+4_,

3.（2025•陕西西安•一模）先化简，再求值;1—————---------,其中加=-1

m—1m-m

m1

【答案】

m-2'3

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键.

先根据分式的混合运算法则化简，然后将m=-1代入计算即可.

m2—4m+4

【详解】解:

m—1m—m

m—11

^m—1m—1)m(

m2xm(m-1)

m

m-2

-11

当根=一1时，原式=-----

m-2-1-23

m—2m+1(])

4.(2025•江西•模拟预测)先化简一r--1——-,再从绝对值小于3的整数中，选一个合适的数代入求值.

m-1v机+1)

【答案】—;当相=2时，原式=!

【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件、绝对值等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题

的关键.先根据分式的混合运算法则化简，再根据绝对值确定机的取值范围，然后取分式有意义的根的值代入计算即

可.

m1-2m+l

【详解】解:+1-

m2-1m+1

(m-1)2

m-l

•・•根是绝对值小于3的整数,

••m的值为-2,-1,0,1,2,

・・,当加的值为-1,0,1时，分式无意义.

，当机=2时，原式=m==

m2

5.（2025・湖南郴州•模拟预测）先化简,再求值：黄J,其中-④--

【答案】三7，收

【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式的性质和分式的运算法则是解题的关键.

先将括号内的分式通分并相加，再利用分式的除法法则进行计算即可得到化简结果，代入X的值即可求解.

【详解】解:

\x+1x—1Jx—2x+1

X—1+X+11)

(X+1)(JC-1)(JC-1)2

2xx-1

(x+l)(x-l)X

2

x+1'

当％=后一i时，原式~

题型04二元一次方程组的计算

01题型综述________________________________________

二元一次方程组的计算是初中数学方程与代数应用的核心内容，分值占比约5%-10%（以中考卷为例）。

1.考查重点：方程组的解法（代入消元法、加减消元法）

2.高频题型：解答题中二元一次方程组的计算。

3.高频考点：消元法的灵活运用、方程组的特殊解（无解/无穷解）。

4.能力要求：精准的计算能力。

5.易错点：消元过程中符号错误、代入时未化简导致计算复杂

02解题攻略

【提分秘籍】

（1）概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

\a\x-\-b\y-c\,

（2）一般形式：\（°1，如bi，62均不为零）.

十b2y=。2

（3）二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

解法

代入法解二元一次方程组的一般步骤：

a.从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；

h将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到含有一个未知数的一元一次方程；

c.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

d将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.

加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

a.方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使它们中同

一个未知数的系数相等或互为相反数；

b.把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

c.解这个一元一次方程；

d.将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.

【典例分析】

2x-y=5

例1.（2024•浙江•中考真题）解方程组:

4x+3y=-10

1

x=—

【答案】2

y=-4

【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①x3+②得，10x=5,解得x=再把x代入①求出y=T即可.

22

2x-y=5①

【详解】解:

4x+3y=-10②

①x3+②得，10%=5

解得

把代入①得

解得y=-4

1

x=一

2

y=-4

x+2y=3

例2.（2024・广西・中考真题）解方程组:

x—2y=l

x=2

【答案】1

)=-

2

【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可.

x+2y=3①

【详解】解:

x-2y=1②

①+②得：2]=4,

解得：x=2,

把％=2代入①得:

1

-V=I

x=2

•••方程组的解为：1.

2x+y=7

例3.（2024•江苏苏州・中考真题）解方程组:

2x-3y=3

x=3

【答案】

y=i

【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解.根据加减消元法解二元一次方程组即

可.

2x+y=7①

【详解】解:

2x-3y=3②

①-②得，4y=4,解得，y=l.

将>=1代入①得x=3.

x=3

方程组的解是

y=i

【变式演练】

x+y=7

1.（2024.江苏南京.二模）解方程组：＜Y_?=1

[23

x=4

【答案】

y=3

【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法一加减消元法，代入消元法是解题的关键.利

用加减消元法解方程组即可得答案.

%+y=7

【详解】解：%>1

—=i

123

将②x6,得3x-2y=6,③

将①x2,得2x+2y=14,④

③+④，得5x=20,x=4,

将X=4带入①，得y=3,

（x=4

・・・方程组得解为.

[y=3

2x-y=3①

2.（2025・广西•一模）解方程:

x+2y=-1®

fx=l

【答案】I

[y=T

【分析】利用加减消元法进行解方程组即可得到答案.本题主要考查解二元一次方程组，掌握解方程组的方法是解题

的关键.

f2x-y=3①

【详解】解:[x+2y=-1②

.•.①x2+②，得5x=5,

解得x=1,

把尤=1代入①，贝°2xl_y=3,

解得y=-i,

原二元一次方程组的解为

二2±1=1

3.（2024•新疆乌鲁木齐•模拟预测）解方程组：23

3%+2y=10

x=3

【答案】1

【分析】本题主要考查了解二元一次方程组.先化简，再利用加减消元法解答，即可求解.

3%-2（y+l）=6

【详解】解：原方程组可化为

3x+2y=10

3x-2y=8①

即

3x+2y=10②'

①+②得，6x=18,

解得：x=3.

①-②得，Ty=-2,

解得：

x=3

所以原方程组的解为1.

y=一

2

3x-5y=10

4.（2024・甘肃金昌•一模）解方程组：＜,■xj_1

、6~2~3

元=5

【答案】

)=1

【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握其解法是解题的关键.

先化简方程②，再根据加减消元法求解即可.

3x-5y=10f①

【详解】解："②

方程②去分母，得x-3y=2,③.

①-③x3,得4y=4,即y=l,

将V=1代人③，解得x=5.

x=5

故方程组的解是

)=1

3x+4y=11

5.（2025・广东揭阳•一模）解方程:

x+2y=5

?fx=l

【答案】.

[y=2

【详解】解：二「3x+24；y=51②1①，

由②得：x=5-1y@,

将③代入①得：3（5—2y）+4y=ll,

解得:y=2,

将V=2代入③得：x=5-2x2=l,

fx=1

所以原方程组的解为C；

题型05一元二次方程的计算

01题型综述________________________________________

一元二次方程的计算是初中数学代数与方程思想的核心内容，分值占比约12%-18%（以中考卷为例）。

1.考查重点：一元二次方程的解法（因式分解法、配方法、公式法）、根的判别式与根的性质分析、实际应用问题

中的方程建模与解的意义验证。

2.高频题型：选择题和填空题中的直接解方程或判断根的情况，解答题中的综合应用题（如几何、经济问题）或与

函数、不等式结合的题目。

3.高频考点：求根公式的灵活运用、根的判别式（△）判断根的存在性、实际问题中解的合理取舍（如非负解或整

数解）。

4.能力要求：准确的计算技巧、代数变形能力（如配方）、实际问题抽象为方程的建模能力及多解情境的分析能力。

5.易错点：求根公式代入时系数符号错误、忽略二次项系数不为零的条件、应用题中未剔除不符合实际的解。

02解题攻略

【提分秘籍】

概念

（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程.

（2）一元二次方程的一般形式：tzx2+te+c=0（存0）,其中ax?叫做二次项，fct叫做一次项，c叫做常数项，。是二次

项的系数，b是一次项的系数，注意存0.

解法

①直接开平方法:（尤+根）2="（论0）的根是x=-m±4n

②配方法:将aN+6x+c=0（存0）化成J+的形式，当〃-4acK）时，用直接开平方法求解

（la）4a2

③公式法:aN+6x+c=0（<#0）的求根公式为％=一"~也心竺~旧-4ac>0）

2a

④因式分解法:将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0,得到两个一元一次方程，解这两个

一元一次方程就得到原方程的解

根的判别式

（1）当62一4公>0时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根；

（3）当加-4ac<0时，方程无实数根.

【典例分析】

例1.（2024•江苏徐州•中考真题）解方程：X2+2X-1^0；

【答案】西=血一1,%=—上一1

【详解】解：尤2+2X-1=0,

x2+2x-l7

x~+2x+1=1+1,

（尤+1）2=2,

x+1=±A/2，

..玉=>/2—1»%=~—1；

例2.（2024・江苏无锡•中考真题）（1）解方程：（X-2）2-4=0；

【答案】%）=4,x2=0

【详解】解：（X-2）2-4=0,

(X-2)2=4,

x—2=2或x—2=—2，

解得：占=4,9=。.

例3.（2024・青海・中考真题）解一元二次方程：X2-飘+3=0；

【答案】x=l或x=3

【详解】解：%2-4X+3=0

(x-l)(x-3)=0

%=1或%=3；

【变式演练】

1.（2025・江苏无锡・一模）解方程：2d—3x-1=0.

3+7173-V17

【答案】（1）%=

4—，“24

【详解】解：2/-3x-l=0,

a=2,b=—3,c——1f

AA=(-3)2-4X2X(-1)=17,

・3±#7

••x—

4

.3+#73-#7

••西=-------%

4

2

2.（2025•新疆乌鲁木齐•三模）解方程：X-4X-1=0.

【答案】玉=2+石，%=2-石.

【详解】解：x2—4x—l—0,

A=(^l)2-4xlx(-l)=20>0,

方程有两个不相等的实数根，

.0二4士而二2±有,

2x1

••=2+-y5，XQ=2-^5.

3.(2025・山西长治•模拟预测)解方程：3x(x-l)=2(l-x).

2

【答案】为=1,x2=-j

【详解】3x(x-l)=2(l-x)

贝(|3x(x-l)+2(x-l)=0

(x-l)(3x+2)=0

贝l|x-l=0或3x+2=0

2

解得乂=1,无2=-：

4.(2025•广东深圳•一模)(1)解方程：(2x-iy=4

(2)解方程：(x+3)~=2x+5.

【答案】(1)X]=L5,x2=—0.5；(2)xt=x2=—2；

【详解】解：(1)两边直接开平方得：2x-l=±2,

则2x—1=2,2x—l=—2,

解得：再=16,%=-0.5；

(2)(X+3)2=2X+5,

整理得：x2+4x+4=0,

即(x+2?=0,

两边直接开平方得：石=々=-2.

5.（2025•辽宁抚顺•一模）解方程

(1)尤2-6%-1=0(配方法)

(2)3X2-5X+1=0(公式法)

【答案】⑴玉=3+而，9=3-瓦

5+V135-V13

6

【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键.

（1）利用配方法解一元二次方程即可;

（2）利用公式法解一元二次方程即可.

【详解】(1)解：X2-6X+9=1+9,

(尤一3)2=10,

尤-3=+\/10,

.,.%=3+VIU,w=3-

(2)解：〃=3,b=—5ic=l

A=Z?2-4QC=(-5)2-4x3xl=13>0,

•••方程有两个不相等的实数根,

-b±y/b2-4ac_5±A/13

2a6

5+如5-V13

—,Xc=

66

题型06一元一次不等式（组）

01题型综述

一元一次不等式（组）的计算是初中数学代数与实际问题分析的基础内容，分值占比约5%-8%（以中考卷为例）。

1.考查重点：不等式的基本性质、解集表示（数轴法）、不等式组的公共解确定，以及实际应用中的最值问题或范

围限制分析。

2.高频题型：选择题和填空题中的不等式（组）求解，解答题中结合实际问题（如方案设计、费用优化）或与方程、

函数综合的题目。

3.高频考点：不等式变形中的符号方向变化、解集公共部分的提取、特殊解（如整数解）的筛选、含参数不等式的

分类讨论。

4.能力要求：严谨的符号处理能力、数形结合分析解集的能力、实际问题转化为不等式模型的抽象能力。

5.易错点：乘除负数时未改变不等号方向、解集端点取舍错误（如是否包含等号）、应用题中忽略隐含条件（如非

负性）。

02解题攻略

【提分秘籍】

不等式的基本性质

（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变

（2）不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

（3）不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

四种不等式组的解集解法

不等式组3<b）解集图示口诀

x>a

x>b_J__I—»同大取大

x>bah

x<a

<x<a__1___同小取小

x<ba

x>a

a<x<b__1___大小小大取中间

x<ba

x<a

无解大大小小就无解

x>ba