数与式-2025年上海中考数学复习易错题（解析版）

易错点01数与式

易错陷阱一：错误理解实数的有关概念

一、实数的分类:

'正有理数'

有理数零有限小数和无限循环小数.

实数负有理数

‘正无理数'

无理数无限不循环小数.

负无理数

二、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，a>0o零的绝对值是它本身，也可看

成它的相反数，若时=a,则。之0；若时=一。，则aWO,。

三、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数

四、倒数：如果。与6互为倒数，则有乃=1,反之亦成立

易错提醒：

（1）需要牢记与三者有关的概念以及相关概念之间的的包含与被包含的关系才能避免出错；

（2）几个特殊值注意：0的相反数还是0；。没有倒数，1的倒数是1,—1的倒数是一1；一个正数的

绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0.

例1-1.（2024・上海•模拟预测）实数中绝对值最小的数是

【答案】0

【分析】本题考查了实数的性质，绝对值的概念，正确理解实数的性质及绝对值的概念是解题的关键.根

据绝对值的定义，绝对值是数轴上表示一个数的点到原点的距离，距离是非负数进行解答.

【详解】实数中绝对值最小的数是0.

故答案为：0.

HI

易错警示：

这道题考查实数性质和绝对值概念，易错点如下：

绝对值概念模糊：如果对绝对值数轴上表示一个数的点到原点的距离"这一概念理解不透彻，可

能无法准确判断出哪个实数的绝对值最小。例如，不能正确理解距离是非负的，就可能会考虑负数的

绝对值情况，导致思维混乱。

忽略特殊值：部分同学在思考过程中，容易忽略这个特殊的实数。可能在脑海中先想到其他实

数，如1、-1-等，没有全面考虑到0的绝对值是0,而其他实数的绝对值都大于0。

例1-2.（2024・上海.二模）下列数是有理数的是（）

—22

A.兀B.y/3C.^/24D.—

【答案】D

【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数的概念，根据有理数包括整数和分数求解即可.

【详解】解：A.兀是无理数，故本选项不符合题意；

B.石是无理数，故本选项不符合题意；

C.泅是无理数，故本选项不符合题意；

D.羊是分数，属于有理数，故本选项符合题意；故选：D.

易错警示：这道题主要考查有理数和无理数的概念，其易错点如下：

概念混淆：若对有理数和无理数的概念理解不清晰，就可能误选。比如，乃是一个无限不循环

小数，属于无理数，但如果不了解其性质，可能会错误地认为它是有理数；也开方开不尽，也是无理

数，若不清楚无理数的定义，就可能判断失误；#五同样是开方开不尽的数，为无理数，若对此认知

不足，也容易出错。

对分数是有理数理解不深：三22是分数，属于有理数。然而部分同学可能会因为

7

三22《3.142857…是无限循环小数，在判断时产生犹豫，甚至错误地将其归为无理数。

7

变式1-1.（2024・上海•模拟预测）-2024的相反数是（)

A.-2024B.2024C.一——

20242024

【答案】B

【分析】本题考查相反数定义.根据题意利用相反数定义即可得到本题答案.

【详解】解：•••-2024的相反数是2024,

故选：B.

变式1-2.（2024・上海嘉定•二模）下列实数中.属于有理数的是（）

22

A.—B.27rC.V27D.sin60°

7

【答案】A

【分析】根据整数和分数统称有理数，计算判断即可.

本题考查了有理数，无理数的区别，熟练掌握概念是解题的关键.

【详解】A.学是有理数，符合题意；

B.2兀是无理数，不符合题意;

C.收=3百是无理数，不符合题意；

D.sin60。=更是无理数，不符合题意；

2

故选A.

变式1-3.（2024・上海•模拟预测）数轴上到0距离为3的点表示的数为

【答案】+3

【分析】本题考查了数轴上到点距离的问题.根据数轴上两点间的距离公式，即可求解.

【详解】解：数轴上到0距离为3的点表示的数为±3.

故答案为：±3

变式1-4.（2024・上海宝山•一模）一个数的倒数等于它本身的数可能是（）

A.1B.兀C.0D.2

【答案】A

【分析】本题考查了倒数，直接开平方法解一元二次方程.熟练掌握倒数的定义，直接开平方法解一元

二次方程是解题的关键.

设这个数为。，依题意得，aa=l,计算求解，然后作答即可.

【详解】解：设这个数为。，

依题意得，a-a=l,

解得，a=±l,

・•・一个数的倒数等于它本身的数可能是b

故选：A.

易错陷阱二：混淆平方根、算术平方根、立方根

一、平方根

若x2=a（aN0）,那么x叫做。的平方根，记作x=±&.一个正数有两个平方根，它们互为相反数;

0的平方根是0；负数没有平方根。

二、算术平方根

若/=。（。20）,了20,那么犬叫做a的算术平方根，记作一个正数的算术平方根是一个正数，0

的算术平方根是0。

三、立方根

若x3=a，那么％叫做。的立方根，记作x=任何实数都有且只有一个立方根，正数的立方根

是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

易错提醒：

(1)计算时易忽略平方根有正负两个值，直接将平方根等同于算术平方根，如求9的平方根，错写为3,

而正确答案是±3o

(2)对算术平方根的非负性认识不足，在一些根式方程中，没有对求出的根进行检验，导致出现增根。例

如在Jx+1=%一1中,解得x=0或1=3,但当x=0时，Vo+l=1,0-1=-1,等式不成立，尤=0是

增根，应舍去。

(3)混滑立方根和平方根的性质，比如认为负数没有立方根，或者将立方根的求解方法与平方根混滑。

举一反三

例2.(2024.上海.模拟预测)痫的平方根为°,若坛…

【答案】45

【分析】本题主要考查锐角三角函数，先求的立方根和平方根，再结合被开方数的特点得到。的值，进

1

一步计算得到的值，根据其值倒退得到余弦值的角度.

【详解】解：•••痫=4的平方根为a,

;・a=±2,

,*,V?=-a'

••ct=-2,

..Ae-Oe

•cos45=----,

2

故答案为：45

这道题综合考查了立方根、平方根、二次根式的性质、负指数塞以及锐角三角函数值等知识点,

以下是易错点分析:

立方根与平方根计算错误：计算唬时，若对立方根概念不熟悉，可能无法准确得出痫=4；

在求4的平方根得到。的值时，易忽略一个正数有两个平方根，只得出0=2,而遗漏a=-2.

二次根式性质运用不当：根据必确定。的值时，需要明确J户斗。当府=_。时，

意味着aWO。但部分同学可能对这一性质理解不深，不能正确判断。的正负，从而在a=±2的情况

下，无法准确得出Q=—2。

负指数累计算出错

三角函数值记忆有误：得出等后，需要找到对应的余弦值角度。若对特殊锐角三角

函数值记忆不准确，可能无法快速判断出cos45°=立，或者会与其他角度的三角函数值混清。

2

变式2-1.（23-24九年级下•上海徐汇•期中）100的平方根是；

【答案】±10

【分析】根据平方根的性质计算，即可得到答案.

【详解】loo的平方根=±7155=±io

故答案为：±10.

【点睛】本题考查了平方根的知识；解题的关键是熟练掌握平方根的定义：如果一个数X的平方等于

那么这个数x就叫做。的平方根.

变式2-2.（2024・上海•模拟预测）计算：2°->/9=.

【答案】-2

【分析】本题考查了实数运算，先根据零指数塞和算术平方根运算，然后进行减法运算即可，解题的关

键是熟练掌握零指数幕和算术平方根运算法则.

【详解】解：原式=1-3,

=—2，

故答案为：-2.

变式2-3.（2024・上海徐汇•二模）下列实数中，有理数是（）

A.6B.74C.V5D.A/6

【答案】B

【分析】本题主要考查实数的分类及算术平方根，熟练掌握实数的分类及算术平方根是解题的关键；根

据实数的分类可进行排除选项.

【详解】解：："=2，

是有理数，而心、逐、卡是无理数；

故选B.

易错陷阱三：有效数字和精确度识别错误

一、有效数字

从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字，包括0,都是这个数的有效数字。用

科学记数法表示的数。义10"(14|。|<10,〃为整数)，有效数字只看。中的数字。

二、精确度

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。对于用科学记数法表示的数axlO”,先

将其还原，再看。中最后一位数字在还原后的数中的位置，确定其精确度。

易错提醒：

(1)确定有效数字时，易把0在数字中间或末尾的情况忽略。

(2)判断精确度时，对于科学记数法表示的数容易出错。

例3.(2024.上海.中考真题)科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2X1()5GB,

一张普通唱片的容量约为25GB,则蓝光唱片的容量是普通唱片的倍.(用科学记数法表示)

【答案】8xl03

【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为4X10",其中

l<|a|<10,〃为整数，按要求表示即可得到答案，确定。与〃的值是解决问题的关键.

【详解】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的乌也=8000=8x103倍，

25

故答案为：8xl03.

这道题主要考查科学记数法以及倍数运算，以下是易错点分析:

•科学记数法概念不清：对于科学记数法ax10"（1＜|a］＜10,”为整数）的形式掌握不牢。在计算

出倍数为8000后，要写成科学记数法，部分同学可能会出现。的值不在1到10之间的情况，比如写

成80x102;或者确定九的值时出错，错误写成8x102等。

运算错误：在计算主竺时，可能出现计算失误。有的同学对1（）5.代表的数值理解不准确，

25

导致计算错误。

变式3-1.（2025・上海宝山•模拟预测）在2024年4月，中国自主研发的第三代超导量子计算机“本源悟

空”正式接入国家超算互联网平台，截至10月，“本源悟空”已经完成近270000个量子计算任务.用科学

记数法表示270000,正确的是

【答案】2.7x10s

【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为axl（T,其中"。＜0,〃为整

数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

根据科学记数法表示即可.

［详解］解：270000=2.7xlO5

故答案为：2.7x105.

变式3-2.（2024・上海奉贤.三模）节约粮食势在必行，据统计，我国每年浪费粮食约是3500000吨，将

3500000用科学记数法表示为.

【答案】3.5x10®

【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，科学记数法的表现形式

为axlO"的形式，其中14间（1。，〃为整数，确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少

位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，w是正数，当原数绝对值小于

1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解:3500000=3.5xlO6，

故答案为：3.5xlO6.

4.（2024.上海崇明.三模）去年12月8日，2023世界新能源汽车大会“碳中和愿景下的全面电动化解决方

案”论坛在我国海南国际会展中心隆重召开，随后，中国汽车工业协会发布了《2024中国汽车市场整体

预测报告》.预测2024年中国新能源汽车销量将达1150万辆左右，1150万用科学记数法表示为.

【答案】1.15X107

【分析】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中1〈时＜10,〃为整数.

【详解】解：1150万用科学记数法表示为1.15x107.

故答案为：1.15xIO,.

变式3-3.（2024・上海•模拟预测）用科学记数法表示：123456789=.（保留4位有效数字）

【答案】1.235x10s

【分析】此题考查了科学记数法与有效数字，把已知数字变成为科学记数法即可.

【详解】123456789=1.23456789xlO8»1.235xlO8.

故答案为：1.235x108.

易错陷阱四：运算顺序错误

实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算

律在实数范围内仍然成立

易错提醒：

在有理数混合运算中不注意运算导致计算错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，再算乘除,

最后算加减；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，后算大括号.

例4.（2023・上海•中考真题）计算：%+

【答案】-6

【分析】根据立方根、负整数指数幕及二次根式的运算可进行求解.

【详解】解：原式=2+君-2-9+3-斯

【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幕及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数累及二

次根式的运算是解题的关键.

易错警示：这道题涉及立方根、负整数指数幕、二次根式以及绝对值的运算，以下是易错点分

析：

根式化简错误：取应化简为2,但如果对立方根的概念不熟悉，可能无法准确化简，导致后续

计算出错。

分母有理化出错：对金万进行分母有理化时，要利用平方差公式，分子分母同乘2-得

到6-2。若不熟悉分母有理化的方法或计算过程粗心，就容易出现计算错误。

•负整数指数累计算错误：根据负整数指数累的运算法则a-为正整数），

ap

=9,若记错公式，比如错误地计算成[g[2=g,就会导致结果错误。

绝对值化简错误：因为&〉3,所以|0-3|=3-6，若对绝对值内数的正负判断失误，比如

认为石〉3,从而得出3|=褥-3,就会造成计算错误。

运算顺序混乱：在混合运算中，若不按照先算根式、指数幕、绝对值，再进行加减运算的顺序,

就可能出现计算顺序上的错误，影响最终结果。

变式4-1.（2024・上海静安•三模）下列计算正确的是（）

CCU111

A.3x3=3B.35-38=36

C.23X33=66D.（33）2=35

【答案】B

【分析】本题主要考好了同底数嘉乘除法计算，分数指数累，积的乘方的逆运算，幕的乘方计算，熟知

相关计算法则是解题的关键.

【详解】解：A、32X33=35,原式计算错误，不符合题意；

B、313：=3Y=3=原式计算正确，符合题意；

C、23X33=（2X3）3=63,原式计算错误，不符合题意;

D、（33）2=36,原式计算错误，不符合题意；

故选：B.

变式4-2.（23-24九年级下•上海•期中）计算：sin45°-cos450+2-2-（72-1）°-1-2|.

【答案】-49

【分析】此题考查了实数的混合运算，利用特殊角的三角函数值、零指数幕、负整数指数累、绝对值进

行计算即可.

【详解】解：sin45°-cos45°+2-2--1）°-1-2|

V2V21

=--x---1---1-2

224

111C

=—I--1—2

24

9

~~4

变式4-3.（2024・上海•模拟预测）计算：|班-2卜p24+2cos60?.

【答案】1-V3

【分析】本题主要考查了求特殊角三角形值，零指数幕，负整数指数幕和化简绝对值，先计算特殊角三

角形值，零指数幕，负整数指数幕和化简绝对值，再计算加减法即可.

【详解】原式=2-1+2?11

2

=1-6.

变式4-4.（2024・上海松江•三模）计算：-『四+J话+亚百-|石-3|

【答案】际-4

【分析】本题考查了实数的运算，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键.

先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可解答；

【详解】解：原式=-1+4+（-4）-（3-6）

=-1+4—4—3+s/s

=V5-4.

变式4-5.（2024.上海•模拟预测）计算：|有一3卜6]-V20+V3cos300

【答案】y-3x/5

【分析】本题考查了实数的混合运算，利用绝对值的性质、负整数指数塞、二次根式的性质、特殊角的

三角函数值分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键.

【详解】解：原式=3-百+2-2百+出

=5—3A/5H—,

2

=--3^.

2

易错陷阱五：混淆代数式的运算法则

整式加减法的实质是合并同类项，同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同

类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变。

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幕分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同

它的指数作为积的一个因式；单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加;

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

易错提醒：

在整式运算中，易混淆易的运算法则

在代数式化简求值时，代入数值时容易忽略符号，或者没有先化简就直接代入计算，使计

算过程繁琐且容易出错。

例5-1.（2024・上海•中考真题）计算：（4—）3=.

【答案】64元6

【分析】本题考查了积的乘方以及幕的乘方，掌握相关运算法则是解题关键.先将因式分别乘方，再结

合幕的乘方计算即可.

【详解】解：（4尤2）3=64/,

故答案为：64x6.

这道题主要考查积的乘方和塞的乘方运算法则，以下是易错点分析：

积的乘方运算法则应用错误：积的乘方（〃为整数），对于（4/）3,需要将4和

分别进行乘方。部分同学可能只对一进行乘方，而忽略4,得到（4/）3=4/；或者在计算对时出现

错误，算错4的立方值。

事的乘方运算法则混淆：塞的乘方（m〃为整数），在对炉.进行乘方运算时，可能会

把指数相乘的规则记错，比如错误地计算成而不是好,3=%6.运算顺序混乱：没有清晰地

按照先进行积的乘方，再进行事的乘方的顺序计算，导致运算过程混乱而出错。

例5-2.（2023・上海•中考真题）下列运算正确的是（）

523336

A.a4-a=aB.a+a=aC.„=a，D.=a

【答案】A

【分析】根据同底数幕的除法，合并同类项，嘉的乘方，二次根式的化简等计算即可.

【详解】解：A、a^a2=a\故正确，符合题意；

B、a3+a3=2a3,故错误，不符合题意；

C、（/『nd,故错误，不符合题意；

D、V7=|a|,故错误，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了同底数幕的除法，合并同类项，塞的乘方，二次根式的化简，熟练掌握累的运算法

则是解题的关键.

这道题综合考查了同底数塞的除法、合并同类项、塞的乘方以及二次根式的化简，以下是易错

点分析：

同底数嘉除法法则运用错误：选项4考查同底数暴的除法法则优'+优为整

数）。部分同学可能对该法则不熟悉，导致无法正确判断"5+々2=43是否正确；或者在其他类似题目中，

出现如/+/=〃（应为46-3="3这样的计算错误。

合井同类项错误：对于选项3,合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

«3+«3,系数1+1=2,结果应为2a3.但有的同学可能会把指数相加，错误地得到d，这是对合并同

类项法则理解不到位。

塞的乘方法则混淆：选项C涉及幕的乘方法则（。,"二相"（加〃为整数）。在这里（/J应是

/*2=46,若记错法则，比如算成病,就会做出错误判断。

二次根式性质理解有误：选项。中，根据二次根式的性质而引可，而不是简单的因为a

的正负不确定。部分同学可能忽略。为负数的情况，对二次根式性质理解不全面，从而认为，/是

正确的。

变式5-1.（2025.上海静安.一模）下列代数式中，不是单项式的是（）

1a+b

A.3nmB.—C.0D.——

2TI2

【答案】D

【分析】本题考查单项式的定义，较为简单，要准确掌握定义.数与字母的积的形式的代数式是单项式,

单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式.

【详解】解：解：A.3〃血是单项式；

B.是单项式；

27

C.0,是单项式；

D.等，是多项式.

故选：D.

变式5-2.（2024・上海•中考真题）计算（0+力（＞-°）=.

【答案】b2-a2

【分析】根据平方差公式进行计算即可.

【详解】解:(a+b^b-a)

=S+a)(b—a)

=/_Q2,

故答案为：b2-a2.

【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

22

变式5-3.(2025・上海静安•一模)计算：(-fl)\a=_.

【答案】-/

【分析】本题主要考查了事的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则.根据幕的乘方和同底数幕除

法运算法则进行计算即可.

【详解】解：(-a?)'

故答案为：-a4.

变式5-4.(2024•上海浦东新•三模)下列计算正确的是()

A.2a2+2a3=2a5B.9^z64-3t22=3d3

B.C.2a273a36a6D.fa--=a2—a+—

I2j4

【答案】D

【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式.根据合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘

单项式的法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答.

【详解】解：A、2a2与2/不能合并，故A不符合题意；

B、9a6+3/=3/w3d,故B不符合题意；

C、2a2-3a3=6a5^6a6,故C不符合题意；

D、故D符合题意；

故选：D.

易错陷阱六：忽略了分式的分母不能为零

分式有意义的条件

A

对于分式一（A、3是整式，3中含有字母），其有意义的前提是分母BW0。当6=0时，分式无意

B

义。

易错提醒：

在涉及分式的各类问题中，一定要时刻牢记分母不能为。这个关键条件。无论是求字母取

值范围、解分式方程，还是分式化简求值，都要仔细检查是否存在使分母为。的情况，避

免出现错误。

2—x

例6-1.（2024.上海.中考真题）函数的定义域是（）

x-3

A.x=2B.XH2C.x=3D.尤H3

【答案】D

【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0,解不等式即可得到答案,

熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键.

【详解】解：函数〃尤）=上式的定义域是x-3w0,解得xw3,

x-3

故选：D.

这道题考查函数定义域以及分式有意义的条件，以下是易错点分析：

分式有意义条件理解不足：部分同学对分式的分母不能为0这一条件理解不深刻，在看到函数

/（》）=二三时，可能意识不到需要根据分母不为0来确定x的取值范围，从而无从下手。

尤-3

受分子干扰：函数表达式中分子为2-x,有的同学可能会错误地认为分子也会对定义域产生限

制，从而在判断x的取值范围时，除了考虑分母，还去分析分子，导致思路混乱，错选其他选项。

2lx

例6-2.（2023・上海•中考真题）化简：4-卢的结果为______.

1-x\-x

【答案】2

【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可.

【详解】解：一卢生=2（匕2=2；

1-X1-X1-X1-x

故答案为：2.

【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键.

这道题考查同分母分式的减法运算及化简，以下是易错点分析：

分式减法法则运用错误：同分母分式相减，分母不变，分子相减，即0-2=巴心（°，0）.但

CCC

部分同学可能对该法则不熟悉，出现错误。

（—无）

化简过程出错：在得到2上-2士x后，需要对分子提取公因式2进行化简，即2有1的同学

1-xx

可能不会提取公因式，或者在提取过程中出现错误；还有的同学在约分时，可能会因为粗心，出现约

分不完全或约错的情况，比如约分时保留2（1—*=2Q_X）.

I-X

忽略分母条件：在整个运算过程中，要保证分母1-XWO,虽然本题化简结果为常数2,不受分

母取值影响，但部分同学在做这类题时，可能完全不考虑分母不能为这个条件，在其他更复杂的分式

运算中就容易出现错误。

变式6-1.（2023・上海•中考真题）函数〃的定义域为.

【答案】x*23

【分析】根据分式有意义的条件可进行求解.

【详解】解：由/（同=」^可知：彳一23二0,

x—23

xw23；

故答案为XX23.

【点睛】本题主要考查函数及分式有意义的条件，熟练掌握函数的概念及分式有意义的条件是解题的关

键.

变式62（2024・上海嘉定•三模）化简：+：=__________

Ix-2）x-2

【答案】工

x-1

【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.

先化简小括号内分式，再将除法转化为乘法计算.

【详解】解：原式=("-匚1)・产余

x—2x—2(%—1)

x—1x—2

x—2(x—I)2

1

x-1'

故答案为：----.

x-1

变式6-3.(2024・上海崇明•三模)计算J4+土上,=_____.

x-4x+42x-4x

【答案】-

X

【分析】本题主要考查分式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键.根据平方差公式，完全平方公式

进行计算即可.

2

S叩尤2-4X+2X1_(X+2)(X-2)2(X-2)1_21_1

【详角牛】角牛：-------7--------------=---；----------；------=-----=一，

x-4%+42%-4x(x-2)x(x+2)xxxx

故答案为：一.

x

易错陷阱七：因式分解不彻底致错

一、因式分解的定义与方法

因式分解是把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式。常见方法有：

(一)提公因式法

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，如

ma+mb+me—m(a+b+c).

(二)公式法

利用平方差公式储-/=(a+8)(q-))，完全平方公式片+2ab+Z?2=(a土b)2进行因式分解。

(三)十字相乘法

二、常见不彻底情况及原因

(一)提公因式不完全

在多项式中，公因式可能是一个单项式，也可能是一个多项式。例如对3Mx-2)-6(2-x)因式分解,

部分同学只看到数字和字母部分的公因式，提出3得到3[x(x-2)-2(2-%)]就停止，忽略了(x-2)与

(2—%)的关系，可进一步变形为3x(x—2)+6(%—2),再提出公因式3(x—2),得到3(x—2)(x+2).

(二)公式运用不熟练

1.对于一些复杂的多项式，需要多次运用公式。比如16,先用平方差公式得到(尤2+4)(/—4),但部

分同学就到此为止，没有发现4还能继续用平方差公式分解为(x+2)(x-2),最终应分解为

(炉+4/工+2)(%-2).

2

2对公式的结构特征把握不准确，导致不能正确运用公式。例如把%+4x+4分解为(x+2)(%+2)后，

没有写成完全平方形式(X+2)2；或者在使用平方差公式时，对于类似4炉-9产，不能准确识别出

a=2x,b—3y,从而分解错误。

(三)多种方法结合混乱

当一个多项式需要综合运用多种因式分解方法时，容易出现思路混乱的情况。比如2d—8炉+8达应

先提取公因式2x得到2%(/一4x+4),再对括号内的式子用完全平方公式进一步分解为2x(x-2>.

但有的同学可能先尝试用公式法，发现无法直接分解后又不知所措，或者提取公因式不彻底就开始使用

其他方法，导致因式分解不彻底。

易错提醒：

在进行因式分解时，要按照“一提、二套、三检查”的步骤进行。先看多项式各项是否有公因式，若

有先提公因式；再看剩余部分能否运用公式法或其他方法继续分解；最后检查分解后的每一个因式是否

还能继续分解，确保因式分解彻底。

例7.(2024・上海杨浦•模拟预测)因式分解：.

【答案】[(尤-y『+l](x-y+l)(x-yT)

【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，直接利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握公式

法因式分解是解题的关键.

【详解】解：原式=/7)2+1]/7)2-1]

=[(x-y)2+l](x-y+l)(x-y-l),

故答案为：[(X-y)2+1](x-y+1)(x-y-1).

这道题主要考查利用平方差公式进行因式分解，以下是易错点分析：

平方差公式识别与运用错误：平方差公式为^二色+加色一切，对于(刀—丁叶―],需将

(x->)4看作：“2(即a=@—m2,再运用公式。部分同学可能无法准确识别出该式子符合平方差公

式的形式，导致不知道从何下手分解因式；或者在运用公式时出现计算错误，如错误地写成

(x-y)4-1=[(X-y)2-1][(X-y)2_1].

因式分解不彻底：在第一次运用平方差公式得到[(x-y)2+l][(x-y)2-1]后，部分同学没有

注意到(x-y)2-1还能继续使用平方差公式分解。因为此时可将(x-y)看作一个整体，(x-y)2-1符

合平方差公式形式，能进一步分解为(x-y+l)(x-y-1),若忽略这一步，就会导致因式分解不彻底。

整体思想运用不熟练：本题中多次将(x-y)看作一个整体进行运算，若对整体思想运用不熟练,

在分解过程中容易出现混乱，比如在对(x-'『-I分解时，可能会把(x-y)拆开，使计算变得复杂且

容易出错。

变式7-1.(2024・上海•模拟预测)因式分解：孙6_02=

【答案】xy2(y-i)(y+i)(/+i)

【分析】本题考查了提取公因式法和公式法分解因式，首先提取公因式与"再利用平方差公式分解因

式即可，正确运用乘法公式分解因式是解题的关键.

【详解】解：xy6-xy2

=xy2(y4-l)

=xy2

=xy2(y-l)(y+l)(y2+l).

变式7-2.(2024・上海嘉定•三模)因式分解：%2-2xy-(4-/)=

【答案】(x-y+2)(x-y-2)

【分析】本题主要考查运用分组分解法和公式法分解因式，原式先去括号，再运用公式法进行因式分解

即可

【详解】解：%2-2^-(4-/)

=x2-2xy+y2-4

=(x-y)2-4

=(x_y+2)(x_y-2)

故答案为：(x-y+2)(x-y-2)

变式7-3.(2024・上海•模拟预测)若x=y-2020。，贝口?-2孙+/=

【答案】1

【分析】本题考查了零指数幕的运算，利用完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关

键.先计算2020。的值，得到=再根据完全平方公式将/-2盯+V化为(了一»,最后将

=代入,即得答案.

【详解】解：门=，-2020。=〉-1,

/.x-y=_1,

x1-2xy+y2=(x-y)2=(-1)2=1.

故答案为：1.

变式7-4.(2024・上海金山•二模)下列多项式分解因式正确的是()

A.a2-b2=(a-b^2B.a2+b2=(a+Z?)2

C.储+2a—3=a(a+2)—3D.2a—4=2(。—2)

【答案】D

【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式表示成几个多项式积的形式；根据因式分解的定义

逐项判断即可.

【详解】解：A、a1-b1={a+b){a-b)^^a-b^,故分解错误；

B、B+J不能分解,故错误；

C、不是因式分解，故错误；

D、分解正确；

故选：D.

易错通关•练

一、单选题

1.（2024・上海•模拟预测）下列运算正确的是（）

A.J4+9=2+3B.74^9=72^3C.再=3。D.屈=0.7

【答案】C

【分析】本题考查了平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键.

根据平方根的定义进行逐项判断即可.

【详解】解：A、709=713,则A不符合题意.

B、74^9=736=6,则B不符合题意.

C、再=屈=9=33则C符合题意・

D、衣？片0.7,则D不符合题意.

故选：C.

2.（2025・上海静安•一模）下列各组数中，不相等的一组是（）

A.（-2）3和_23B.（-2『和-2?

C.卜2『和23D.2和一正/

【答案】B

【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，求一个数的立方根，根据有理数的乘方运算法则和立方根

定义，逐项进行判断即可.

【详解】解：A.（-2?=-8和-2?=-8,相等，故A不符合题意；

B.（-2『=4和一?2=T，4/T,故B符合题意；

<2.卜2『=8和23=8,相等，故C不符合题意；

D.2和-廿=-（-2）=2,相等，故D不符合题意.

故选：B.

二、填空题

3.(2025・上海奉贤•一模)函数y=展的定义域是_________.

x+2

【答案】XW-2

【分析】本题考查了分式有意义的条件、求函数的定义域，根据分式有意义的条件得出x+2w0,求解

即可.

【详解】解：要使分式一'有意义，则分母*+2#0,

即％w-2,

；・函数>的定义域是XH—2,

故答案为：XW—2.

4.(2025・上海宝山•模拟预测)分解因式：ax4-ax2=

【答案】ax2(x+l)(x-l)

【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，根据因式分解的方法：1、提公

因式法；2、公式法(完全平方式，平方差公式)；3、“十字相乘”法对其分解即可得到答案.

【详解】解：ax-ax2=av2(x2-1)=ax2,

故答案为：ac2(x+l)(x